CINEMATIQUE (partie 1/2)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Décrire le mouvement d’un point matériel à l’aide d’équations analytiques et de représentations graphiques. - Utiliser la méthode d’équiprojectivité pour déterminer la trajectoire d’un point soumis à plusieurs mouvements composés. - Résoudre des problèmes professionnels (chantier, atelier, bureau d’études) liés à la cinématique d’un mécanisme ou d’un engin de travail au Cameroun. - Identifier les erreurs fréquentes et appliquer les règles de sécurité liées à la manipulation d’appareils en mouvement. **Prérequis** : Notions de dérivées et d’intégrales de base, systèmes de coordonnées cartésiennes, notions de vitesse et d’accélération introduites en physique de seconde, capacité à lire et à tracer des graphiques simples. --- ## Introduction Dans les domaines techniques (construction, mécanique agricole, entretien d’engins de travaux publics), la maîtrise de la cinématique permet de prédire le comportement des pièces mobiles, d’optimiser les cycles de travail et d’assurer la sécurité des opérateurs. Au Cameroun, les chantiers de voirie, les ateliers de réparation de véhicules lourds et les bureaux d’études des entreprises de BTP utilisent quotidiennement des outils d’analyse du mouvement (logiciels de DAO, schémas cinématiques, relevés sur le terrain). Ce chapitre présente deux approches complémentaires : l’analyse analytique (équations du mouvement) et l’analyse graphique (représentation vitesse‑temps, espace‑temps), puis la méthode d’équiprojectivité pour composer plusieurs mouvements simples. Des activités d’intégration mettent l’élève en situation professionnelle réelle. --- ## I. Leçon 7: Cinématique analytique ### 1. Définitions et notions de base - **Point matériel** : corps dont les dimensions sont négligeables devant les distances considérées. - **Repère galiléen** : système de référence où la première loi de Newton est vérifiée (au repos ou en mouvement rectiligne uniforme). - **Vecteur position** \(\vec{r}(t)\) : fonction du temps donnant la localisation du point dans le repère. - **Vitesse instantanée** \(\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{r}}{dt}\) : dérivée première du vecteur position. - **Accélération instantanée** \(\vec{a}(t) = \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \dfrac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}\) : dérivée seconde du vecteur position. > **> Vitesse instantanée = dérivée première de la position par rapport au temps.** > **> Accélération instantanée = dérivée seconde de la position par rapport au temps.** ### 2. Équations du mouvement dans un repère cartésien Dans un repère \((O;x,y,z)\) : \[ \begin{cases} x(t) = x_{0} + v_{0x}t + \frac{1}{2}a_{x}t^{2}\\[4pt] y(t) = y_{0} + v_{0y}t + \frac{1}{2}a_{y}t^{2}\\[4pt] z(t) = z_{0} + v_{0z}t + \frac{1}{2}a_{z}t^{2} \end{cases} \] où \(x_{0},y_{0},z_{0}\) sont les coordonnées initiales, \(v_{0x},v_{0y},v_{0z}\) les composantes de la vitesse initiale et \(a_{x},a_{y},a_{z}\) les composantes constantes de l’accélération (mouvement uniformément accéléré). ### 3. Exemple chiffré : déplacement d’une benne sur un chantier de Yaoundé Une benne démarre du repos (\(v_{0}=0\)) avec une accélération constante \(a = 0,8\; \text{m·s}^{-2}\) le long d’une voie rectiligne. - **Question** : Quelle distance parcourt‑elle en \(t = 12\; \text{s}\) ? Quelle est sa vitesse à cet instant ? - **Résolution** : \[ x(t)=\frac{1}{2} a t^{2}= \frac{1}{2}\times0,8\times(12)^{2}=0,4\times144=57,6\; \text{m} \] \[ v(t)=a t =0,8\times12=9,6\; \text{m·s}^{-1} \] - **Interprétation professionnelle** : Après 12 s, la benne a parcouru 57,6 m et atteint une vitesse de 9,6 m/s (≈34,6 km/h), valeur à comparer avec les limites de vitesse sur le chantier pour éviter les risques de renversement. ### 4. Tableau récapitulatif des équations du mouvement uniformément accéléré | Grandeurs | Formule (composante \(x\)) | Unités | |-----------|----------------------------|--------| | Position | \(x = x_{0}+v_{0x}t+\frac12 a_{x}t^{2}\) | m | | Vitesse | \(v_{x}=v_{0x}+a_{x}t\) | m·s⁻¹ | | Accélération | \(a_{x}= \text{constante}\) | m·s⁻² | | Relation vitesse‑position | \(v_{x}^{2}=v_{0x}^{2}+2a_{x}(x-x_{0})\) | (m·s⁻¹)² | > **> Dans un mouvement uniformément accéléré, la trajectoire est une parabole dans le plan \((x,t)\).** --- ## II. Leçon 8: Cinématique graphique ### 1. Représentation des grandeurs cinématiques - **Graphique \(x(t)\)** : courbe de l’espace en fonction du temps. La pente à un point donne la vitesse instantanée. - **Graphique \(v(t)\)** : courbe de la vitesse en fonction du temps. La pente donne l’accélération ; l’aire sous la courbe entre \(t_{1}\) et \(t_{2}\) donne le déplacement \(\Delta x = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)\,dt\). - **Graphique \(a(t)\)** : courbe de l’accélération ; son aire donne la variation de vitesse. ### 2. Méthode des tangentes pour déterminer la vitesse Sur le graphique \(x(t)\), tracer la tangente en un point \(P(t_{0},x_{0})\). Son coefficient directeur \(\dfrac{dx}{dt}\big|_{t_{0}}\) vaut la vitesse instantanée \(v(t_{0})\). ### 3. Exemple graphique : analyse du mouvement d’une bétonnière sur un site de Douala Le relevé sur le terrain fournit les valeurs suivantes (temps en secondes, espace en mètres) : | \(t\) (s) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | |-----------|---|---|---|---|---|----| | \(x\) (m) | 0 | 1,2 | 5,0 | 11,2 | 19,8 | 30,8 | - **Construction du graphe** : on trace les points et on ajuste une courbe approximative (parabole). - **Détermination de la vitesse à \(t=6\;s\)** : on trace la tangente en \(t=6\). En lisant le graphique, la pente vaut environ \(3,6\; \text{m·s}^{-1}\). - **Vérification analytique** : en supposant un mouvement uniformément accéléré, on retrouve \(a = \dfrac{2\Delta x}{t^{2}} = \dfrac{2\times30,8}{10^{2}} =0,616\; \text{m·s}^{-2}\) et \(v(t)=a t =0,616\times6 =3,70\; \text{m·s}^{-1}\), cohérent avec la valeur graphique. > **> L’aire sous la courbe \(v(t)\) entre deux instants donne le déplacement parcouru pendant cet intervalle.** ### 4. Utilisation professionnelle Dans les bureaux d’études, les logiciels de DAO (AutoCAD, SolidWorks) permettent d’exporter les courbes \(x(t)\), \(v(t)\), \(a(t)\) provenant de relevés de capteurs (encodeurs, accéléromètres). L’interprétation graphique aide à détecter des à‑coups (variations brusques d’accélération) pouvant entraîner une usure prématurée des pièces mécaniques. --- ## III. Méthode d’équiprojectivité ### 1. Principe Lorsqu’un point subit simultanément plusieurs mouvements simples (translation, rotation, vibration), sa trajectoire résultante est égale à la somme vectorielle des déplacements de chaque mouvement pris séparément, à condition que les mouvements soient indépendants et que le référentiel soit galiléen. > **> Équiprojectivité : \(\vec{r}_{\text{rés}}(t)=\sum_{i}\vec{r}_{i}(t)\) où chaque \(\vec{r}_{i}\) décrit un mouvement élémentaire.** ### 2. Application à un mécanisme bi‑linéaire (exemple de bras de levage) Considérons un bras de levage composé d’une translation horizontale du chariot (vitesse constante \(v_{c}=1,5\; \text{m·s}^{-1}\)) et d’une rotation du bras autour d’un pivot (vitesse angulaire constante \(\omega =0,4\; \text{rad·s}^{-1}\)). Le point d’extrémité du bras se trouve à une distance \(L=2,0\; \text{m}\) du pivot. - **Mouvement de translation** : \(\vec{r}_{c}(t)= (v_{c}t,\,0)\). - **Mouvement de rotation** : dans le référentiel du chariot, le point décrit un cercle : \(\vec{r}_{r}(t)= (L\cos\omega t,\, L\sin\omega t)\). - **Mouvement résultant** : \(\displaystyle \vec{r}(t)=\big(v_{c}t+L\cos\omega t,\; L\sin\omega t\big).\) ### 3. Exemple chiffré : position du godet après 5 s - \(v_{c}t = 1,5\times5 = 7,5\; \text{m}\) - \(\omega t =0,4\times5 =2,0\; \text{rad}\) - \(\cos(2,0) = -0,416\) ; \(\sin(2,0) = 0,909\) - \(\displaystyle x = 7,5 + 2,0\times(-0,416)=7,5-0,832=6,668\; \text{m}\) - \(\displaystyle y = 2,0\times0,909 =1,818\; \text{m}\) Le godet se situe donc à \((6,67\; \text{m},\;1,82\; \text{m})\) relativement à l’origine du chariot au départ. > **> Dans un mouvement composé, la trajectoire résulte de la somme vectorielle des mouvements élémentaires.** ### 4. Tableau récapitulatif des compositions fréquentes | Mouvement 1 | Mouvement 2 | Résultat (exemple) | |-------------|-------------|--------------------| | Translation rectiligne uniforme | Rotation uniforme | Hélice ou cycloïde selon rapport vitesses | | Translation accélérée | Translation uniforme | Parabole dans le plan \((x,t)\) | | Vibration sinusoïdale | Translation uniforme | Ondulation portée (wave) | --- ## IV. ACTIVITES D’INTEGRATION ### 1. Mise en situation professionnelle **Contexte** : Une entreprise de travaux publics à Bafoussam doit concevoir un convoyeur à bande pour le transport de gravats sur un chantier de 150 m. Le convoyeur comporte : - Un moteur entraînant la poulie motrice à vitesse angulaire constante \(\omega_{m}=10\; \text{rad·s}^{-1}\). - Un système de tension qui impose une accélération linéaire de la bande \(a_{b}=0,3\; \text{m·s}^{-2}\) pendant les 5 premières secondes de démarrage, puis une vitesse constante. **Objectif** : Déterminer la loi de déplacement d’un point situé sur la bande, tracer les graphiques \(x(t)\), \(v(t)\), \(a(t)\) pour les 15  premières secondes, et vérifier que la vitesse linéaire de la bande ne dépasse pas la limite de sécurité de \(2,0\; \text{m·s}^{-1}\). ### 2. Travail dirigé (étapes) 1. **Écrire la vitesse angulaire linéaire de la poulie** : \(v_{p}= \omega_{m} r_{p}\) (avec rayon de poulie \(r_{p}=0,15\; \text{m}\)). 2. **Décomposer le mouvement** : - Phase d’accélération (0‑5 s) : \(v_{b}(t)= a_{b}t\) ; \(x_{b}(t)=\frac12 a_{b}t^{2}\). - Phase de régime constant (t>5 s) : \(v_{b}=a_{b}\times5 =1,5\; \text{m·s}^{-1}\) ; \(x_{b}(t)=x_{b}(5)+v_{b}(t-5)\). 3. **Superposer la translation due à la rotation de la poulie** : la bande avance aussi par entraînement : \(v_{ent}=v_{p}\) constante. 4. **Obtenir la vitesse totale** : \(v_{tot}(t)=v_{ent}+v_{b}(t)\). 5. **Tracer les graphiques** (à l’aide d’un tableur ou de papier millimétré). 6. **Vérifier la contrainte de sécurité** : s’assurer que \(v_{tot}(t)\le 2,0\; \text{m·s}^{-1}\) pour tout \(t\). ### 3. Résultat attendu (illustratif) - \(v_{p}=10\times0,15=1,5\; \text{m·s}^{-1}\). - Pendant l’accélération : \(v_{tot}=1,5+0,3t\). À \(t=5\;s\), \(v_{tot}=1,5+1,5=3,0\; \text{m·s}^{-1}\) → dépasse la limite. - **Conclusion** : il faut réduire soit l’accélération de la bande, soit la vitesse de la poulie pour respecter la consigne de sécurité. Cette analyse montre l’intérêt de la cinématique analytique et graphique dans la conception d’équipements sûrs. > **> En intégration, on vérifie toujours que les vitesses résultantes respectent les normes de sécurité édictées par le MINTP (ex. : vitesse maximale des bandes transporteuses = 2,0 m·s⁻¹).** --- ## Synthèse du chapitre - **Cinématique analytique** : utilisation des dérivées pour obtenir \(\vec{v}(t)\) et \(\vec{a}(t)\) ; équations du mouvement uniformément accéléré. - **Cinématique graphique** : interprétation des pentes et des aires sur les graphiques \(x(t)\), \(v(t)\), \(a(t)\). - **Méthode d’équiprojectivité** : composition vectorielle de mouvements élémentaires pour obtenir la trajectoire résultante. - **Applications professionnelles** : conception de convoyeurs, analyse d’engins de chantier, contrôle de vitesses sur les équipements de travaux publics au Cameroun. - **Sécurité** : respecter les limites de vitesse et d’accélération prescrites par les normes nationales ; détecter les à‑coups pouvant provoquer des pannes ou des accidents. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Point matériel | Corps dont les dimensions sont négligeables devant les distances considérées. | | Repère galiléen | Système de référence où la première loi de Newton est valable (au repos ou en mouvement rectiligne uniforme). | | Vecteur position | Fonction \(\vec{r}(t)\) donnant la localisation d’un point dans un repère. | | Vitesse instantanée | Dérivée première du vecteur position par rapport au temps : \(\vec{v}=d\vec{r}/dt\). | | Accélération instantanée | Dérivée seconde du vecteur position : \(\vec{a}=d^{2}\vec{r}/dt^{2}\). | | Mouvement uniformément accéléré | Mouvement où l’accélération est constante dans le temps et l’espace. | | Équiprojectivité | Principe selon lequel le déplacement résultant d’un point soumis à plusieurs mouvements indépendants est la somme vectorielle des déplacements de chaque mouvement. | | Tangente (à une courbe) | Droite qui touche la courbe en un point et dont le coefficient directeur égale la dérivée de la fonction en ce point. | | Aire sous la courbe | Intégrale d’une fonction sur un intervalle ; en cinématique, donne le déplacement ou la variation de vitesse. | | Norme de sécurité | Valeur limite prescrite par la réglementation (ex. : vitesse maximale d’une bande transporteuse). | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Analyse d’un bras de pelleteuse Une pelleteuse sur un chantier de Ngaoundéré possède un bras de longueur \(L=3,0\; \text{m}\) tournant autour d’un pivot avec une vitesse angulaire constante \(\omega =0,5\; \text{rad·s}^{-1}\). Le chariot sur lequel le bras est monté se déplace horizontalement avec une vitesse constante \(v_{c}=2,0\; \text{m·s}^{-1}\). **1.** Déterminer l’équation paramétrique de la trajectoire du godet (point d’extrémité du bras) dans le référentiel fixe. **2.** Calculer les coordonnées du godet après \(t=4\; \text{s}\). **3.** Vérifier si la vitesse linéaire du godet dépasse la limite de sécurité de \(4,0\; \text{m·s}^{-1}\). **Corrigé** 1. Mouvement de translation du chariot : \(\vec{r}_{c}(t)=(v_{c}t,\,0)\). Mouvement de rotation du bras : \(\vec{r}_{r}(t)=(L\cos\omega t,\, L\sin\omega t)\). Résultant : \(\displaystyle \vec{r}(t)=\big(v_{c}t+L\cos\omega t,\; L\sin\omega t\big).\) 2. Pour \(t=4\;s\) : \(v_{c}t = 2,0\times4 = 8,0\; \text{m}\). \(\omega t =0,5\times4 =2,0\; \text{rad}\). \(\cos(2,0) = -0,416\) ; \(\sin(2,0) = 0,909\). \(x = 8,0 + 3,0\times(-0,416)=8,0-1,248=6,752\; \text{m}\). \(y = 3,0\times0,909 =2,727\; \text{m}\). Donc \(\vec{r}(4\;s) = (6,75\; \text{m},\; 2,73\; \text{m})\). 3. Vitesse : \(\displaystyle \vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}= \big(v_{c}-L\omega\sin\omega t,\; L\omega\cos\omega t\big).\) En \(t=4\;s\) : \(-L\omega\sin\omega t = -3,0\times0,5\times\sin(2,0)= -1,5\times0,909 = -1,364\; \text{m·s}^{-1}\). \(v_{x}=2,0-1,364=0,636\; \text{m·s}^{-1}\). \(v_{y}=L\omega\cos\omega t =1,5\times(-0,416)= -0,624\; \text{m·s}^{-1}\). Norme : \(\displaystyle v=\sqrt{0,636^{2}+(-0,624)^{2}}=\sqrt{0,405+0,389}= \sqrt{0,794}=0,891\; \text{m·s}^{-1}\). Cette valeur est bien inférieure à la limite de \(4,0\; \text{m·s}^{-1}\) ; le mouvement est sûr. --- ### Exercice 2 – Conception d’un tapis roulant pour un atelier de transformation du cacao à Yaoundé Un tapis roulant doit transporter des fèves de cacao sur une distance de 30 m. Le moteur entraîne le rouleau moteur à une vitesse angulaire \(\omega_{m}=8\; \text{rad·s}^{-1}\) (rayon du rouleau \(r=0,12\; \text{m}\)). Au démarrage, le tapis subit une accélération constante \(a=0,25\; \text{m·s}^{-2}\) pendant les 4 premières secondes, puis il roule à vitesse constante. **1.** Déterminer la vitesse linéaire du rouleau moteur. **2.** Écrire l’expression de la vitesse du tapis \(v(t)\) pour \(0\le t\le 4\;s\) et pour \(t>4\;s\). **3.** Calculer le temps nécessaire pour parcourir les 30 m, en supposant que le tapis démarre du repos. **4.** Vérifier que la vitesse maximale ne dépasse pas la norme de sécurité de l’atelier (1,8 m·s⁻¹). **Corrigé** 1. Vitesse linéaire du rouleau : \(v_{m}= \omega_{m} r = 8\times0,12 =0,96\; \text{m·s}^{-1}\). 2. Pendant l’accélération (0‑4 s) : \(v(t)= a t =0,25\,t\). Après 4 s, la vitesse due à l’accélération atteint \(v_{a}=0,25\times4=1,0\; \text{m·s}^{-1}\). La vitesse totale du tapis est la somme de la vitesse du moteur et de celle due à l’accélération : - Pour \(0\le t\le4\) : \(v(t)= v_{m}+ a t =0,96+0,25t\). - Pour \(t>4\) : \(v(t)= v_{m}+ v_{a}=0,96+1,0 =1,96\; \text{m·s}^{-1}\). 3. Distance parcourue pendant l’accélération : \(x_{1}= \int_{0}^{4} (0,96+0,25t)\,dt = [0,96t+0,125t^{2}]_{0}^{4}=0,96\times4+0,125\times16=3,84+2,00=5,84\; \text{m}\). Distance restante : \(x_{2}=30-5,84=24,16\; \text{m}\). Temps à vitesse constante : \(t_{2}=x_{2}/v(t>4)=24,16/1,96=12,33\; \text{s}\). Temps total : \(t_{\text{tot}}=4+12,33=16,33\; \text{s}\). 4. Vitesse maximale atteinte : \(v_{\max}=1,96\; \text{m·s}^{-1}\). Cette valeur dépasse légèrement la norme de l’atelier (1,8 m·s⁻¹). **Action corrective** : réduire soit l’accélération (ex. à \(0,20\; \text{m·s}^{-2}\)), soit la vitesse du moteur (ex. à \(\omega_{m}=6\; \text{rad·s}^{-1}\) donnant \(v_{m}=0,72\; \text{m·s}^{-1}\)) afin de ramener \(v_{\max}\) sous 1,8 m·s⁻¹. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |------------------|-------------|--------------------------------------| | Confondre vitesse moyenne et vitesse instantanée lors de la lecture d’un graphe \(x(t)\). | Sous‑ ou sur‑estimation des temps de cycle d’une machine. | Rappeler que la pente de la tangente donne la vitesse instantanée ; la vitesse moyenne correspond à la pente de la sécante entre deux points. | | Oublier de convertir les unités (tr/min en rad·s⁻¹, km/h en m·s⁻¹) avant d’appliquer les formules. | Résultats erronés pouvant conduire à un sous‑dimensionnement d’un entraînement. | Toujours convertir : \(\omega\;(\text{rad·s}^{-1}) = \frac{2\pi}{60}\,N\;(\text{tr/min})\) ; \(v\;(\text{m·s}^{-1}) = \frac{5}{18}\,v\;(\text{km/h})\). | | Supposer que l’accélération est constante alors qu’elle varie (ex. démarrage d’un moteur avec courbe de couple). | Sous‑estimation des efforts mécaniques, risque de rupture. | Vérifier la nature de l’accélération (graphique \(a(t)\) ou données constructeur) ; si variable, utiliser l’intégration ou une approximation par morceaux. | | Ne pas prendre en compte la réaction du sol ou du support lors du calcul de la vitesse d’un engin sur une pente. | Vitesse réelle différente de celle prévue, perte de contrôle. | Introduire la composante de gravité \(g\sin\alpha\) dans l’équation du mouvement lorsqu’on travaille sur une pente d’angle \(\alpha\). | | Utiliser la méthode d’équiprojectivité sans vérifier l’indépendance des mouvements (ex. couplage par frottement). | Résultat non physique, trajectoire irréelle. | S’assurer que les mouvements considérés sont réellement indépendants ; sinon, introduire les termes de couplage dans les équations. | | Négliger le port des équipements de protection individuelle (EPI) lors de tests de vitesse sur banc d’essai. | Risque de blessure par projection ou écrasement. | Toujours porter lunettes de protection, gants anti‑coupure et chaussures de sécurité lorsqu’on manipule des pièces en mouvement à vitesse > 0,5 m·s⁻¹. | --- *Fin du cours.*