STATIQUE GRAPHIQUE (partie 2/2)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - représenter graphiquement un système matériel soumis à plusieurs forces non parallèles ; - appliquer la méthode de Culmann pour déterminer la résultante et l’équilibre d’un système à quatre forces non parallèles ; - construire le polygone des forces et le funiculaire pour vérifier l’équilibre d’un système à trois forces ou plus ; - interpréter les résultats dans un contexte professionnel (chantier, atelier de métallerie, bureau d’études) ; - respecter les règles de sécurité liées à la manipulation des charges et à l’utilisation d’outils de tracé. **Prérequis :** - notions de vecteur, de somme vectorielle et de moment d’une force ; - maîtrise du tracé à l’échelle (choix d’une échelle graphique, report de longueurs) ; - connaissance des types de systèmes matériels (rigide, déformable, articulé) ; - capacité à lire un plan simple et à identifier les points d’application des forces. > **Définition** : Un *système matériel* est un ensemble de corps rigides considérés comme solidaire, soumis à des forces extérieures et éventuellement à des réactions d’appui. ## Introduction contextualisée Dans les travaux publics et la métallerie au Cameroun, il est fréquent de devoir vérifier l’équilibre d’une structure avant son montage : portique de levage, grue à flèche, charpente métallique ou encore un treuil de chantier. Les méthodes analytiques (équations d’équilibre) sont parfois lourdes lorsqu’on ne connaît pas précisément les angles ou les longueurs. La statique graphique offre alors une alternative rapide, fiable et directement utilisable sur le terrain avec une règle, un compas et une échelle de tracé. Ce chapitre présente deux procédés classiques : la méthode de Culmann (pour quatre forces non parallèles) et la résolution funiculaire/dynamique (pour trois forces ou plus). Les exemples proposés s’inspirent de situations réelles rencontrées dans les ateliers de soudure de Douala, les chantiers de construction de Yaoundé et les bureaux d’études de Bafoussam. ## I. Leçon 5 : Résolution graphique d’un système matériel soumis à 4 forces non parallèles (Méthode de CULMANN) ### A. Notions de base Lorsque quatre forces **F₁, F₂, F₃, F₄** agissent sur un corps rigide et ne sont pas toutes parallèles, on peut déterminer leur résultante **R** et le point d’application de cette résultante en deux étapes : 1. construire le polygone des forces (somme vectorielle) ; 2. reporter le polygone des moments relativement à un pôle choisi (méthode de Culmann). > **Rappel** : Le moment d’une force **F** par rapport à un point **O** est **M_O = r × F**, où **r** est le vecteur position du point d’application de **F** par rapport à **O**. En statique graphique, le moment se représente par un segment perpendiculaire à la droite d’action de **F**, dont la longueur est proportionnelle à **F·d** (d = bras de levier). ### B. Principe de la méthode de Culmann 1. Choix d’un pôle **P** quelconque (souvent l’origine du tracé). 2. Construction du polygone des forces : on place bout à bout les vecteurs **F₁, F₂, F₃, F₄** à l’échelle choisie ; le vecteur de clôture **R** représente la résultante. 3. Report des moments : à partir du pôle **P**, on trace des droites parallèles à chacune des forces ; sur chacune de ces droites, on reporte un segment dont la longueur est égale au moment de la force correspondante par rapport à **P** (on utilise une échelle de moments). 4. Le polygone ainsi obtenu se clôture par un segment qui représente le moment résultant **M_R** par rapport à **P**. 5. La droite d’action de **R** est obtenue en menant par le pôle **P** une parallèle au segment de clôture du polygone des moments ; l’intersection de cette droite avec la ligne d’action de **R** (déterminée par le polygone des forces) donne le point d’application de **R**. > **Formule clé** : Si **M_R** est le moment résultant par rapport au pôle **P**, alors la distance **e** du point d’application de **R** à la droite passant par **P** et parallèle à **R** vaut **e = M_R / |R|** (avec les mêmes unités d’échelle). ### C. Étapes pas à pas (procédé de chantier) | Étape | Action | Outils | Précaution | |-------|--------|--------|------------| | 1 | Choisir une échelle de forces (ex. 1 cm = 50 N) et une échelle de moments (ex. 1 cm = 200 N·m) | Règle graduée, compas | Vérifier l’homogénéité des unités | | 2 | Tracer le polygone des forces **F₁→F₂→F₃→F₄** | Crayon, règle | Respecter l’ordre donné (sens horaire ou anti‑horaire) | | 3 | Déterminer la résultante **R** (vecteur de clôture) | Règle | Noter son intensité et son angle | | 4 | Sélectionner un pôle **P** (souvent l’origine du tracé) | Pointe fine | Éviter de choisir un pôle sur une droite d’action de force | | 5 | Dessiner les droites parallèles à chaque force passant par **P** | Équerre | Utiliser un rapporteur pour la parallélisme | | 6 | Reporter les moments **M₁, M₂, M₃, M₄** sur ces droites (échelle de moments) | Compas | Signer le sens (horaire/anti‑horaire) | | 7 | Fermer le polygone des moments ; le segment de clôture donne **M_R** | Règle | Vérifier la fermeture (erreur < 2 mm) | | 8 | Tracer par **P** une parallèle au segment de clôture ; cette droite est la ligne d’action de **R** | Règle, équerre | | | 9 | Reporter **R** (déjà connu du polygone des forces) à partir de son point d’application provisoire ; l’intersection avec la droite obtenue en étape 8 donne le point d’application définitif de **R** | Crayon fin | | | 10 | Vérifier l’équilibre : si **R** = 0 et **M_R** = 0, le système est en équilibre | – | Sinon, déterminer le moment ou la force manquante | ### D. Exemple professionnel : portique de levage d’une charge de 2 kN Un portique métallique constitué de deux poteaux verticaux reliés par une traverse supporte une charge **P = 2000 N** appliquée au milieu de la traverse. Au niveau des pieds, deux réactions verticales **R_A** et **R_B** apparaissent, ainsi qu’une force horizontale **H** due au vent (estimée à 300 N). On veut vérifier graphiquement l’équilibre du système à l’aide de la méthode de Culmann. **Données** : - Distance entre les poteaux **L = 4 m** ; - Charge **P** appliquée à mi‑portée (2 m de chaque appui) ; - Force du vent **H** appliquée au niveau de la traverse, dirigée vers la droite. **Choix d’échelles** : 1 cm = 400 N pour les forces ; 1 cm = 800 N·m pour les moments. **Étapes** (résumé) : 1. Polygone des forces : on trace **R_A** (inconnu, vertical vers le haut), puis **P = 2000 N** vers le bas, puis **R_B** (inconnu, vertical vers le haut), puis **H = 300 N** vers la droite. Pour fermer le polygone, il faut ajouter une force horizontale **H_A** vers la gauche au niveau du poteau A. La fermeture verticale donne **R_A + R_B = P = 2000 N** ; la fermeture horizontale donne **H_A = H = 300 N** vers la gauche. 2. Pôle **P** choisi au point A (pied gauche du portique). 3. Report des moments : - Moment de **R_A** : nul (passe par **P**). - Moment de **P** : **M_P = P × d_P = 2000 N × 2 m = 4000 N·m** (sens horaire). - Moment de **H** : **M_H = H × d_H = 300 N × 2 m = 600 N·m** (sens horaire) (on suppose que la traverse est à 2 m de hauteur). - Moment de **R_B** : **M_RB = R_B × d_RB = R_B × 4 m** (sens anti‑horaire). - Moment de **H_A** : nul (passe par **P**). En utilisant l’échelle de moments (1 cm = 800 N·m), on reporte : **M_P** → 5 cm, **M_H** → 0,75 cm (tous deux vers le bas, sens horaire), **M_RB** → (R_B×4)/800 cm vers le haut (sens anti‑horaire). La fermeture du polygone des moments donne : (R_B×4)/800 = 5 + 0,75 = 5,75 cm → R_B×4 = 5,75 × 800 = 4600 N·m → **R_B = 1150 N**. Alors **R_A = 2000 − 1150 = 850 N**. 4. La droite d’action de la résultante (nulle) est indéterminée, mais la fermeture des deux polygones confirme l’équilibre. > **Résultat** : Les réactions aux appuis sont **R_A = 0,85 kN** vers le haut, **R_B = 1,15 kN** vers le haut, et une réaction horizontale **H_A = 0,30 kN** vers la gauche, nécessaires pour équilibrer la charge et le vent. ### E. Tableau récapitulatif de la méthode de Culmann | Élément | Description | Échelle typique (exemple) | |---------|-------------|---------------------------| | Forces | Vecteurs **F_i** reportés bout à bout | 1 cm = 50 N | | Résultante **R** | Vecteur de clôture du polygone des forces | Même échelle que les forces | | Pôle **P** | Point choisi librement pour le report des moments | – | | Moments **M_i** | Segments sur droites parallèles à **F_i** passant par **P** | 1 cm = 100 N·m | | Moment résultant **M_R** | Vecteur de clôture du polygone des moments | Même échelle que les moments | | Distance **e** | Bras de levier de **R** par rapport à **P** : e = M_R / |R| | Même unité que l’échelle de longueur | ## II. Leçon 6 : Équilibre d’un système matériel soumis à 3 forces et plus : Résolution graphique (dynamique et funiculaire) ### A. Notions d’équilibre Un système matériel est en équilibre lorsque la somme vectorielle des forces est nulle **∑F = 0** et la somme des moments par rapport à tout point est nulle **∑M_O = 0**. Graphiquement, ces deux conditions se traduisent par : - la fermeture du polygone des forces (condition de résultante nulle) ; - la fermeture du funiculaire (polygone des moments) ou l’alignement du point de concours des droites d’action (condition de moment nul). > **Définition** : Un *funiculaire* est la ligne polygonale obtenue en reportant, à partir d’un pôle choisi, des segments proportionnels aux moments des forces par rapport à ce pôle. ### B. Méthode funiculaire (polygone des forces) Cette méthode s’applique lorsque l’on connaît ou l’on suppose la direction de au moins deux forces ; elle permet de déterminer la troisième (ou plus) force nécessaire à l’équilibre. **Procédure** : 1. Choisir une échelle de forces. 2. Reporter les forces connues **F₁, F₂, …** bout à bout ; le vecteur de clôture **R** représente la force manquante (si le système doit être en équilibre, **R** doit être nul ; sinon, **R** est la résultante à équilibrer). 3. Si l’on cherche la direction d’une force inconnue, on trace une droite passant par l’origine du polygone et parallèle au vecteur de clôture ; l’intersection de cette droite avec la ligne d’action supposée de la force inconnue donne son point d’application. > **Règle de fermeture** : Pour un système à **n** forces, le polygone des forces doit avoir **n** côtés ; s’il se ferme, la résultante est nulle. ### C. Méthode dynamique (construction du funiculaire) Cette approche utilise le pôle et le funiculaire pour vérifier la condition du moment nul. **Étapes** : 1. Sélectionner un pôle **P** (souvent l’intersection de deux droites d’action connues). 2. Reporter les moments **M_i = F_i · d_i** (où **d_i** est le bras de levier de **F_i** par rapport à **P**) sur des droites parallèles à chaque **F_i** passant par **P**, en utilisant une échelle de moments. 3. Fermer le polygone des moments ; le segment de clôture représente le moment résultant **M_R**. 4. Si **M_R = 0**, le système est en équilibre au niveau des moments ; sinon, il faut introduire un couple ou une force supplémentaire pour annuler **M_R**. 5. La droite d’action de la résultante **R** (déterminée par le polygone des forces) est obtenue en menant par **P** une parallèle au segment de clôture du funiculaire. > **Formule du moment** : **M_i = F_i · d_i** ; en représentation graphique, la longueur du segment représentant **M_i** est **l_i = M_i / k_M**, où **k_M** est l’échelle de moments (ex. 1 cm = 100 N·m). ### D. Exemple professionnel : treuil de chantier soumis à trois forces Un treuil utilisé pour hisser des panneaux de béton sur un chantier de Bafoussam est soumis à : - la force de traction du câble **T** (inclinée à 30° par rapport à l’horizontale, dirigée vers le haut et la droite) ; - le poids du treuil **W = 1500 N** agissant verticalement vers le bas en son centre de gravité ; - la réaction du sol **N** (force de soutien au point d’appui arrière, pouvant avoir une composante verticale et horizontale). On veut vérifier graphiquement l’équilibre du treuil. **Choix d’échelles** : 1 cm = 200 N pour les forces ; 1 cm = 200 N·m pour les moments. **Étapes** : 1. Polygone des forces : on trace **T** (module inconnu, direction 30°), puis **W** (1500 N vers le bas). Le vecteur de clôture donne la réaction **N** nécessaire pour fermer le polygone. En mesurant, on trouve **|T| ≈ 643 N** et **|N| ≈ 1 300 N** (direction approximativement 65° au‑dessus de l’horizontale gauche). 2. Pôle **P** choisi au point d’appui arrière (où agit **N**). 3. Report des moments : - Moment de **T** : bras de levier **d_T = 0,35 m** → **M_T = T × d_T ≈ 643 N × 0,35 m ≈ 225 N·m** (sens anti‑horaire). - Moment de **W** : bras de levier **d_W = 0,15 m** → **M_W = W × d_W = 1500 N × 0,15 m = 225 N·m** (sens horaire). - Moment de **N** : nul car il passe par **P**. En utilisant l’échelle de moments (1 cm = 200 N·m), on reporte **M_T** et **M_W** chacun sur 1,125 cm (225/200). Le polygone des moments se ferme (différence négligeable), donnant **M_R ≈ 0** → équilibre des moments satisfait. 4. La droite d’action de la résultante (nulle) est indéterminée, mais la fermeture des deux polygones confirme l’équilibre. > **Conclusion** : Le treuil est en équilibre avec une tension de câble d’environ **0,64 kN** à 30° et une réaction du sol d’environ **1,30 kN** dirigée vers le haut et la gauche (angle ≈ 65° au‑dessus de l’horizontale gauche). ### E. Tableau récapitulatif des deux approches graphiques | Approche | Quand l’utiliser | Étapes principales | Résultat attendu | |----------|------------------|--------------------|------------------| | Méthode funiculaire (polygone des forces) | Au moins deux forces connues, recherche d’une troisième force ou vérification de résultante nulle | 1. Échelle de forces 2. Report des forces connues 3. Vérification de la fermeture du polygone | Si fermé → ∑F = 0 ; sinon, vecteur de clôture = force manquante | | Méthode dynamique (funiculaire des moments) | Vérification de l’équilibre des moments ou détermination d’un couple nécessaire | 1. Choix du pôle 2. Report des moments sur droites parallèles aux forces 3. Fermeture du polygone des moments | Si fermé → ∑M = 0 ; sinon, segment de clôture = moment résiduel à compenser | ## III. Synthèse du chapitre - La statique graphique permet de résoudre des systèmes de forces sans recourir aux équations analytiques, en utilisant uniquement une règle, un compas et une échelle de tracé. - **Méthode de Culmann** (Leçon 5) : adaptée à quatre forces non parallèles ; elle combine le polygone des forces (résultante) et le polygone des moments (funiculaire) pour obtenir la résultante et son point d’application. - **Méthode funiculaire** (Leçon 6) : basée sur la fermeture du polygone des forces pour vérifier ∑F = 0. - **Méthode dynamique** (Leçon 6) : basée sur la fermeture du funiculaire pour vérifier ∑M_O = 0. - Les deux méthodes sont complémentaires : on utilise souvent le polygone des forces pour trouver la résultante, puis le funiculaire pour contrôler l’équilibre des moments. - En contexte professionnel camerounais (chantiers de construction, ateliers de métallerie, bureaux d’études), ces procédés permettent de valider rapidement la stabilité d’un portique, d’un treuil, d’une charpente ou d’une plateforme avant le montage réel, réduisant ainsi les risques d’accident. - Le respect d’une échelle cohérente, la vérification de la fermeture des polygones (erreur < 2 mm sur le tracé) et l’utilisation d’outils de tracé en bon état sont des règles de bonne pratique et de sécurité. > **Règle de sécurité** : Toujours vérifier que les forces représentées ne dépassent pas les capacités de charge des matériels utilisés (câbles, poteaux, ancrages) avant de conclure à l’équilibre. ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Système matériel | Ensemble de corps rigides considérés comme solidaire, soumis à des forces extérieures et à des réactions d’appui. | | Résultante | Vecteur unique qui a le même effet que l’ensemble des forces appliquées sur un système. | | Polygone des forces | Construction graphique où l’on place bout à bout les vecteurs des forces ; le vecteur de clôture représente la résultante. | | Funiculaire | Ligne polygonale obtenue en reportant, à partir d’un pôle, des segments proportionnels aux moments des forces par rapport à ce pôle. | | Méthode de Culmann | Procédé graphique qui combine le polygone des forces et le funiculaire pour déterminer la résultante d’un système à quatre forces non parallèles et son point d’application. | | Pôle | Point choisi arbitrairement (souvent l’intersection de deux droites d’action) servant d’origine pour le report des moments. | | Bras de levier (d) | Distance perpendiculaire entre la ligne d’action d’une force et le pôle ou le point de référence utilisé pour le calcul du moment. | | Équilibre | État d’un système où la somme vectorielle des forces (∑F) et la somme des moments (∑M_O) sont toutes deux nulles. | ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Portique de chantier (Méthode de Culmann) Un portique métallique de 5 m d’envergure supporte une charge concentrée de **3 kN** au milieu de la portée. Au niveau des pieds, deux réactions verticales **R_A** et **R_B** apparaissent, ainsi qu’une force horizontale du vent **H = 400 N** appliquée au niveau de la traverse, dirigée vers la droite. Déterminer graphiquement les réactions **R_A**, **R_B** et la réaction horizontale nécessaire au poteau A pour assurer l’équilibre. **Corrigé** : 1. Échelle de forces : 1 cm = 500 N. 2. Polygone des forces : on trace **R_A** (inconnu, vertical haut), puis **P = 3000 N** vers le bas, puis **R_B** (inconnu, vertical haut), puis **H = 400 N** vers la droite. Pour fermer le polygone, il faut ajouter une force horizontale **H_A** vers la gauche au niveau du poteau A. La fermeture verticale donne **R_A + R_B = P = 3000 N** ; la fermeture horizontale donne **H_A = H = 400 N** vers la gauche. 3. Pôle **P** choisi au point A (pied gauche du portique). 4. Report des moments : - Moment de **R_A** : nul (passe par **P**). - Moment de **P** : **M_P = P × d_P = 3000 N × 2,5 m = 7500 N·m** (sens horaire). - Moment de **H** : **M_H = H × d_H = 400 N × 2,5 m = 1000 N·m** (sens horaire) (on suppose que la traverse est à 2,5 m de hauteur). - Moment de **R_B** : **M_RB = R_B × d_RB = R_B × 5 m** (sens anti‑horaire). - Moment de **H_A** : nul (passe par **P**). En utilisant l’échelle de moments 1 cm = 250 N·m, on reporte : **M_P** → 30 cm, **M_H** → 4 cm (tous deux vers le bas, sens horaire). La fermeture du polygone des moments donne : segment vers le haut pour **M_RB** de longueur 30 + 4 = 34 cm → **M_RB = 34 cm × 250 N·m/cm = 8500 N·m** → **R_B = 8500 / 5 = 1700 N**. Alors **R_A = 3000 − 1700 = 1300 N**. 5. La droite d’action de la résultante (nulle) est indéterminée, mais la fermeture des deux polygones confirme l’équilibre. **Réponse** : **R_A = 1,3 kN**, **R_B = 1,7 kN**, réaction horizontale au poteau A **H_A = 0,4 kN** vers la gauche. ### Exercice 2 – Treuil de levage (Méthode funiculaire + dynamique) Un treuil de levage utilisé pour hisser des poutres métalliques est soumis à : - la tension du câble **T** (angle 45° avec l’horizontale, dirigée vers le haut et la droite) ; - le poids du treuil **W = 2000 N** vertical vers le bas ; - la réaction du sol **N** verticale vers le haut au point d’appui arrière. Déterminer graphiquement la tension **T** et la réaction **N** nécessaires à l’équilibre. **Corrigé** : 1. Échelle de forces : 1 cm = 400 N. 2. Polygone des forces : on trace **T** (direction 45°, intensité inconnue), puis **W = 2000 N** vers le bas. Le vecteur de clôture donne la réaction **N** nécessaire pour fermer le polygone. En mesurant, on trouve **|T| ≈ 857 N** et **|N| ≈ 1 400 N** (direction approximativement 66° au‑dessus de l’horizontale gauche). 3. Pôle **P** choisi au point d’appui arrière (où agit **N**). 4. Report des moments : - Moment de **T** : bras de levier **d_T = 0,35 m** → **M_T = T × d_T ≈ 857 N × 0,35 m ≈ 300 N·m** (sens anti‑horaire). - Moment de **W** : bras de levier **d_W = 0,15 m** → **M_W = W × d_W = 2000 N × 0,15 m = 300 N·m** (sens horaire). - Moment de **N** : nul car il passe par **P**. En utilisant l’échelle de moments 1 cm = 100 N·m, on reporte **M_T** et **M_W** chacun sur 3 cm. Le polygone des moments se ferme (différence négligeable), donnant **M_R ≈ 0** → équilibre des moments satisfait. 5. La droite d’action de la résultante (nulle) est indéterminée, mais la fermeture des deux polygones confirme l’équilibre. **Réponse** : Tension du câble **T ≈ 0,86 kN** à 45°, réaction normale du sol **N ≈ 1,40 kN** dirigée vers le haut et la gauche (angle ≈ 66° au‑dessus de l’horizontale gauche). ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / correction | |------------------|-------------|----------------------------------| | Choix d’une échelle de forces incohérente avec l’échelle de moments (ex. 1 cm = 100 N pour les forces et 1 cm = 50 N·m pour les moments) | Le polygone des moments ne se ferme pas même si le système est en équilibre, leading to false conclusion of non‑équilibre. | Toujours définir clairement deux échelles distinctes et les noter sur le tracé ; vérifier que les unités utilisées sont cohérentes (ex. forces en N, moments en N·m). | | Oublier de reporter le sens (horaire/anti‑horaire) des moments lors de la construction du funiculaire | Le polygone des moments peut se fermer apparamment mais représenter un moment résiduel non nul. | Utiliser une convention (ex. moments anti‑horaire = longueur vers la gauche du pôle) et la respecter systématiquement pour chaque force. | | Choisir un pôle situé sur la ligne d’action d’une force | Le moment de cette force devient nul, ce qui peut masquer un déséquilibre dans les autres directions. | Éviter de placer le pôle sur toute droite d’action connue ; privilégier un point d’intersection de deux droites d’action ou un point libre clairement hors de ces lignes. | | Utiliser une règle ou un compas endommagé (graduations floues, jeu excessif) | Imprécision dans le report des longueurs, entraînant des erreurs de plusieurs pourcents sur les forces ou moments. | Vérifier l’état des outils avant chaque tracé ; remplacer ou recalibrer si nécessaire. | | Ne pas contrôler la fermeture du polygone (tolérance trop grande) | Acceptation d’un système non équilibré, risque de basculement ou de rupture en charge réelle. | Fixer une tolérance maximale (ex. écart < 2 mm sur un tracé de 20 cm) et refaire le tracé si elle est dépassée. | | Négliger les réactions d’appui horizontales lorsqu’une force extérieure horizontale est présente (ex. vent, poussée) | Équilibre apparent selon les seules forces verticales, mais le système peut glisser ou basculer. | Toujours rechercher la fermeture du polygone des forces dans les deux directions (verticale et horizontale) ; ajouter une réaction hypothétique si nécessaire. | > **Rappel de sécurité** : Avant toute manipulation de charges sur un chantier, vérifier que les câbles, poteaux et ancrages utilisés possèdent une capacité de charge supérieure d’au moins 1,5 fois la valeur maximale déterminée par l’analyse graphique. --- *Fin du cours de référence pour le chapitre « Statique graphique (partie 2/2) ».*