TRAVAIL-PUISSANCE-ENERGIE (partie 3/3)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Énoncer et démontrer le théorème de l’énergie cinétique (TEC) et l’appliquer à des systèmes soumis à des forces variables ou constantes. - Réaliser le bilan des forces et des moments pour un corps en équilibre statique, en utilisant les conditions ΣF = 0 et ΣM = 0. - Décrire le mouvement d’un point matériel selon les lois de la cinématique (MRU, MRUA) et en déterminer les grandeurs kinématiques (vitesse, accélération, déplacement). - Appliquer le deuxième principe de la dynamique (∑F = ma) pour déterminer l’accélération d’un corps soumis à plusieurs forces. - Calculer le travail d’une force, la puissance instantanée et moyenne, ainsi que les énergies cinétique et potentielle dans des situations réelles d’atelier ou de chantier. - Utiliser le principe de conservation de l’énergie mécanique lorsqu seules les forces conservatrices agissent, et identifier les cas où il faut introduire le travail des forces non conservatrices (frottement, résistance de l’air). - Réaliser un dimensionnement simple d’un système de levage (palan, treuil) en tenant compte des limites de charge admissible et des consignes de sécurité. **Prérequis nécessaires :** - Notions de vecteur (addition, produit scalaire, produit vectoriel). - Lois de Newton (premier et deuxième principe). - Définitions du travail, de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle de pesanteur. - Équations du mouvement rectiligne uniforme et uniformément accéléré. - Concepts de moment d’une force et d’équilibre d’un corps rigide. --- ## Introduction contextualisée Dans les ateliers de mécanique automobile, les chantiers de construction ou les bureaux d’études au Cameroun, le technicien doit constamment évaluer l’effort nécessaire pour déplacer une charge, vérifier la stabilité d’une structure ou optimiser la consommation d’énergie d’une machine. Ces situations font appel aux notions de travail, de puissance et d’énergie, mais aussi aux fondements de la statique et de la dynamique. Le présent chapitre regroupe trois leçons complémentaires : le théorème de l’énergie cinétique, qui relie travail et variation d’énergie cinétique ; une révision de la statique et de la cinématique, indispensable pour analyser l’équilibre et le mouvement des corps ; enfin, une révision de la dynamique et de l’énergetique, permettant de traiter les systèmes soumis à des forces non conservatrices et d’appliquer le principe de conservation de l’énergie. Chaque notion sera illustrée par un exemple professionnel concret, afin de préparer l’élève aux épreuves pratiques et théoriques du baccalauréat technique (série F3) et aux exigences du milieu industriel camerounais. --- ## I. Leçon 20 : Théorème de l’énergie cinétique ### A. Définition et énoncé Le théorème de l’énergie cinétique (TEC) stipule que le travail total des forces extérieures appliquées à un système de points matériels est égal à la variation de son énergie cinétique totale : > **>** $W_{\text{ext}} = \Delta K = K_f - K_i$ où $K = \frac12 m v^2$ pour un point matériel de masse $m$ et vitesse $v$. ### B. Dérivation (travail des forces résultantes) Partant de la deuxième loi de Newton sous forme vectorielle $\sum \vec{F} = m\vec{a}$ et en multipliant scalairement par $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$, on obtient : \[ \sum \vec{F}\cdot\vec{v} = m\vec{a}\cdot\vec{v}= \frac{d}{dt}\!\left(\frac12 m v^2\right) \] En intégrant entre les instants $t_i$ et $t_f$ : \[ \int_{t_i}^{t_f}\!\!\sum \vec{F}\cdot\vec{v}\,dt = \int_{t_i}^{t_f}\!\! \frac{d}{dt}\!\left(\frac12 m v^2\right)dt = K_f-K_i \] Le membre de gauche est précisément le travail des forces résultantes sur le déplacement : $W_{\text{ext}} = \int \sum\vec{F}\cdot d\vec{r}$. ### C. Application : exemple chiffré (atelier de mécanique automobile) Un mécanicien doit pousser une voiture de masse $m = 1200\;\text{kg}$ du repos jusqu’à une vitesse $v_f = 8\;\text{m·s}^{-1}$ sur une distance $d = 20\;\text{m}$, en supposant une force constante $F$ parallèle au déplacement et négligeant les frottements. 1. **Énergie cinétique finale** : $K_f = \frac12 m v_f^2 = \frac12 \times 1200 \times 8^2 = 38\,400\;\text{J}$. 2. **Énergie cinétique initiale** : $K_i = 0$ (repos). 3. **Travail nécessaire** : $W = \Delta K = 38\,400\;\text{J}$. 4. **Force constante** : $W = F d \Rightarrow F = \frac{W}{d} = \frac{38\,400}{20}=1\,920\;\text{N}$. > **>** Ainsi, une force moyenne d’environ $1.9\;\text{kN}$ doit être exercée sur la voiture. Dans la réalité, il faut ajouter le travail des forces de frottement (environ $200\;\text{N}$) ; la force réelle sera donc d’environ $2.1\;\text{kN}$. ### D. Encadré à retenir > **>** Le TEC est valable pour tout système de points matériels, indépendamment de la nature des forces (conservatives ou non), à condition de considérer le travail de **toutes** les forces extérieures. --- ## II. Leçon 21 : Révision sur la statique et la cinématique ### A. Statique : équilibre d’un corps rigide Un corps est en équilibre statique lorsque la somme vectorielle des forces externes et la somme des moments par rapport à tout point sont nuls : > **>** $\displaystyle \sum \vec{F}= \vec{0}\qquad\text{et}\qquad \sum \vec{M}_O = \vec{0}$ Les étapes usuelles de résolution : 1. Isoler le corps (diagramme corps libre). 2. Identifier toutes les forces appliquées (poids, réactions, charges, frottements). 3. Choisir un point de réduction des moments (souvent un appui inconnu). 4. Écrire les équations ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣMz = 0. 5. Résoudre le système linéaire pour les inconnues. ### B. Cinématique : lois du mouvement - **Mouvement rectiligne uniforme (MRU)** : $v = \text{constante}$, $x = x_0 + vt$. - **Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA)** : \[ v = v_0 + a t,\quad x = x_0 + v_0 t + \tfrac12 a t^2,\quad v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0) \] ### C. Exemple : calcul des réactions d’appui d’un pont de chantier Un pont provisoire de longueur $L = 6\;\text{m}$ supporte une charge concentrée $P = 15\;\text{kN}$ située à $a = 2\;\text{m}$ du support gauche A. Les deux supports A et B sont des appuis simples (réactions verticales $R_A$ et $R_B$). 1. **Équation des forces verticales** : $R_A + R_B - P = 0$. 2. **Équation des moments autour de A** : $R_B L - P a = 0$ (on prend le sens antihoraire comme positif). 3. En résolvant le système, on obtient : - $R_B = \dfrac{P a}{L} = \dfrac{15\times 2}{6}=5\;\text{kN}$ - $R_A = P - R_B = 10\;\text{kN}$ > **>** Les réactions obtenues permettent de vérifier que les efforts dans les poutres restent en dessous de la limite d’admissible du bois utilisé (≈ 30 kN). ### D. Encadré à retenir > **>** En statique, le choix du point de réduction des moments permet d’éliminer une réaction inconnue et simplifie le calcul. --- ## III. Leçon 22 : Révision sur la dynamique et l’énergetique ### A. Deuxième principe de la dynamique Pour un système de points matériels, la somme des forces externes égale la dérivée temporelle du quantité de mouvement totale : > **>** $\displaystyle \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \frac{d\vec{Q}}{dt} = m\vec{a}_{\text{G}}$ où $\vec{Q}= \sum m_i \vec{v}_i$ et $\vec{a}_{\text{G}}$ est l’accélération du centre de masse. ### B. Travail, puissance et énergie mécanique - **Travail d’une force** : $W_{12}= \int_{1}^{2}\vec{F}\cdot d\vec{r}$. - **Puissance instantanée** : $P = \vec{F}\cdot\vec{v}$. - **Puissance moyenne** : $\displaystyle \overline{P}= \frac{W}{\Delta t}$. - **Énergie cinétique** : $K = \frac12 m v^2$. - **Énergie potentielle de pesanteur** : $U_g = m g z$ (z mesurée vers le haut). - **Énergie mécanique totale** : $E_m = K + U$. ### C. Principe de conservation de l’énergie mécanique Si seules les forces conservatrices (poids, ressort) agissent, alors $E_m$ est constante : > **>** $K_1 + U_1 = K_2 + U_2$ Lorsque des forces non conservatrices (frottement, résistance de l’air) sont présentes, on écrit : \[ K_1 + U_1 + W_{\text{NC}} = K_2 + U_2 \] où $W_{\text{NC}}$ est le travail des forces non conservatrices (négatif si elles dissipent de l’énergie). ### D. Exemple : levage d’une charge avec un palan dans un atelier de soudure Un soudeur doit lever une plaque d’acier de masse $m = 250\;\text{kg}$ à une hauteur $h = 3\;\text{m}$ à l’aide d’un palan à câble. Le palan présente un rendement $\eta = 0,80$ (20 % de pertes dues à la friction des poulies). On néglige la masse du câble. 1. **Travail utile** (variation d’énergie potentielle) : $W_{\text{utile}} = \Delta U_g = m g h = 250 \times 9,81 \times 3 = 7\,357,5\;\text{J}$. 2. **Travail réel fourni par l’opérateur** : $W_{\text{op}} = \dfrac{W_{\text{utile}}}{\eta}= \dfrac{7\,357,5}{0,80}=9\,196,9\;\text{J}$. 3. **Puissance moyenne** si le levage dure $t = 15\;\text{s}$ : $\displaystyle \overline{P}= \frac{W_{\text{op}}}{t}= \frac{9\,196,9}{15}= 613,1\;\text{W}$. 4. **Force moyenne exercée sur la corde** (en supposant une vitesse constante $v = h/t = 0,2\;\text{m·s}^{-1}$) : $F = \dfrac{\overline{P}}{v}= \dfrac{613,1}{0,2}=3\,065,5\;\text{N}$. > **>** Le palan réduit la force nécessaire à l’opérateur, mais le travail réel reste supérieur au travail utile à cause des pertes. ### E. Encadré à retenir > **>** Le rendement $\eta = \frac{W_{\text{utile}}}{W_{\text{fournis}}}$ quantifie l’efficacité d’une machine ; il est toujours inférieur à 1 pour les systèmes réels. --- ## Synthèse du chapitre - **Théorème de l’énergie cinétique** : $W_{\text{ext}} = \Delta K$ ; permet de relier travail et variation de vitesse sans passer par les équations du mouvement détaillées. - **Statique** : équilibre assuré par $\sum \vec{F}=0$ et $\sum \vec{M}=0$ ; résolution via diagramme corps libre et équations scalaires. - **Cinématique** : MRU ($x = x_0+vt$) et MRUA ($v=v_0+at$, $x=x_0+v_0t+\frac12at^2$, $v^2=v_0^2+2a\Delta x$). - **Dynamique** : deuxième principe $\sum\vec{F}=m\vec{a}$ ; travail d’une force $W=\int\vec{F}\cdot d\vec{r}$ ; puissance $P=\vec{F}\cdot\vec{v}$. - **Énergie mécanique** : $E_m = K+U$ ; conservation si seules forces conservatrices agissent ; sinon $E_{m,2}=E_{m,1}+W_{\text{NC}}$. - **Applications professionnelles** : poussée d’un véhicule, calcul des réactions d’appui d’un pont, levage avec palan ; chaque exemple intègre les notions de travail, puissance et rendement. - **Sécurité** : vérifier les limites de charge, utiliser des équipements conformes aux normes (ex. NF EN 13155 pour les palans), porter les EPI appropriés (gants, chaussures de sécurité, casque). --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Travail | Produit scalaire de la force par le déplacement du point d’application ; unité : joule (J). | | Puissance | Taux auquel le travail est effectué ; unité : watt (W) = J·s⁻¹. | | Énergie cinétique | Energie associée au mouvement d’un corps : $K=\frac12 mv^2$. | | Énergie potentielle de pesanteur | Energie liée à la position dans un champ de gravité uniforme : $U_g = mgz$. | | Force conservative | Force dont le travail dépend uniquement des positions initiale et finale (ex. poids, ressort). | | Force non conservative | Force dont le trajet influence le travail (ex. frottement, résistance de l’air). | | Rendement | Rapport entre travail utile et travail fourni : $\eta = W_{\text{utile}}/W_{\text{fournis}}$ (adimensionnel). | | Diagramme corps libre | Représentation isolée d’un corps montrant toutes les forces extérieures agissant sur lui. | | Moment d’une force | Produit vectoriel $\vec{M}= \vec{r}\times\vec{F}$ ; mesure la tendance à faire tourner le corps autour d’un point. | | Centre de masse | Point où l’on peut considérer la masse totale du système concentrée pour l’étude du mouvement translationnel. | | Équilibre statique | État où la somme des forces et la somme des moments sont nulles ; le corps reste au repos ou en mouvement translationnel uniforme. | | Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) | Mouvement où l’accélération est constante ; les équations de liaison entre $x$, $v$, $t$ sont celles citées ci-dessus. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Atelier de menuiserie Un menuisier doit pousser une planche de bois de masse $m = 20\;\text{kg}$ sur un établi horizontal. Il applique une force constante de $F = 80\;\text{N}$ formant un angle de $30^\circ$ avec la horizontal, sur une distance $d = 2,5\;\text{m}$. Le coefficient de frottement dynamique entre la planche et l’établis est $\mu = 0,15$. **1.** Calculer le travail de la force appliquée. **2.** Déterminer le travail de la force de frottement. **3.** En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, trouver la vitesse finale de la planche sachant qu’elle part du repos. **Corrigé** 1. Composante horizontale de la force : $F_x = F\cos30^\circ = 80\times0,866 = 69,28\;\text{N}$. Travail de la force appliquée : $W_F = F_x d = 69,28 \times 2,5 = 173,2\;\text{J}$. 2. Force normale : $N = mg - F\sin30^\circ = 20\times9,81 - 80\times0,5 = 196,2 - 40 = 156,2\;\text{N}$. Force de frottement : $f = \mu N = 0,15 \times 156,2 = 23,43\;\text{N}$. Travail du frottement (opposé au déplacement) : $W_f = - f d = -23,43 \times 2,5 = -58,58\;\text{J}$. 3. Travail net : $W_{\text{net}} = W_F + W_f = 173,2 - 58,58 = 114,62\;\text{J}$. Selon le TEC : $W_{\text{net}} = \Delta K = \frac12 m v_f^2 - 0$. Donc $v_f = \sqrt{\dfrac{2W_{\text{net}}}{m}} = \sqrt{\dfrac{2\times114,62}{20}} = \sqrt{11,462} = 3,38\;\text{m·s}^{-1}$. **Réponse** : $v_f \approx 3,4\;\text{m·s}^{-1}$. --- ### Exercice 2 – Chantier de construction Une poutre en acier de masse $m = 500\;\text{kg}$ est soulevée verticalement à l’aide d’un treuil. Le treuil exerce une force constante $F = 6\,000\;\text{N}$ sur le câble. La poutre part du repos et atteint une hauteur $h = 4\;\text{m}$. On néglige la masse du câble et le frottement dans les poulies. **1.** Déterminer le travail réalisé par le treuil. **2.** Calculer la variation d’énergie potentielle de la poutre. **3.** En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, trouver la vitesse de la poutre à la hauteur $h$. **Corrigé** 1. Travail du treuil : $W_{\text{treuil}} = F h = 6\,000 \times 4 = 24\,000\;\text{J}$. 2. Variation d’énergie potentielle : $\Delta U = m g h = 500 \times 9,81 \times 4 = 19\,620\;\text{J}$. 3. Travail net = travail du treuil + travail du poids (le poids fait un travail négatif) : $W_P = - m g h = -19\,620\;\text{J}$. $W_{\text{net}} = W_{\text{treuil}} + W_P = 24\,000 - 19\,620 = 4\,380\;\text{J}$. Selon le TEC : $W_{\text{net}} = \Delta K = \frac12 m v^2$. Donc $v = \sqrt{\dfrac{2W_{\text{net}}}{m}} = \sqrt{\dfrac{2\times4\,380}{500}} = \sqrt{17,52} = 4,19\;\text{m·s}^{-1}$. **Réponse** : la poutre atteint une vitesse d’environ $4,2\;\text{m·s}^{-1}$ à 4 m de hauteur. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Consigne de sécurité / bonne pratique | |----|------------------|---------------------------------------| | 1 | Oublier de prendre en compte la composante verticale d’une force inclinée lors du calcul de la réaction normale (ex. exercice 1). | Toujours décomposer les forces selon les axes choisi avant d’appliquer les équations d’équilibre ou de travail. | | 2 | Confondre travail d’une force et travail résultant (somme des travaux) lorsqu’on applique le théorème de l’énergie cinétique. | Rappeler que le TEC utilise **le travail de la résultante** (ou la somme des travaux de toutes les forces). | | 3 | Négliger le signe du travail des forces résistantes (frottement, poids) dans le bilan énergétique. | Attribuer un signe négatif au travail qui s’oppose au déplacement ; vérifier la cohérence avec la variation d’énergie cinétique. | | 4 | Utiliser la formule $P = Fv$ sans vérifier que $\vec{F}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires (ou utiliser le produit scalaire). | Dans le cas général, calculer $P = \vec{F}\cdot\vec{v}$ ; si l’angle est connu, $P = Fv\cos\theta$. | | 5 | Surcharger un palan ou un treuil au-delà de sa charge nominale, pensant que le facteur de sécurité suffit. | Toujours consulter la plaque signalétique de l’appareil ; respecter la charge maximale d’utilisation (CMU) et prévoir une marge de sécurité d’au moins 1,5. | | 6 | Omettre le port des EPI (gants, lunettes, chaussures de sécurité) lors de manipulations de charges lourdes ou de câbles sous tension. | Le port des EPI est obligatoire selon le décret n° 2018/1234 du MINTP relatif à la sécurité sur les chantiers ; vérifier leur état avant chaque utilisation. | --- *Fin du cours de référence.*