Chap4: Fonctions usuelles

# Chap4: Fonctions usuelles ## Etude des fonctions rationnelles ### Introduction Bienvenue à ce chapitre sur l'étude des fonctions rationnelles. Les fonctions rationnelles sont omniprésentes en mathématiques et dans diverses applications pratiques, notamment en physique, en économie ou en ingénierie. Comprendre leur comportement, leurs limites, et la forme de leur courbe est essentiel pour analyser des phénomènes complexes. Dans ce cours, nous allons apprendre à analyser ces fonctions de manière systématique afin de pouvoir tracer leur représentation graphique et d'en déduire leurs propriétés. ### Concepts Clés #### Définition d'une fonction rationnelle Une fonction rationnelle \( f \) est une fonction qui peut s'écrire comme le quotient de deux fonctions polynomiales \( P(x) \) et \( Q(x) \), où \( Q(x) \) n'est pas le polynôme nul. Formellement, \[ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \] où \( P(x) \) et \( Q(x) \) sont des polynômes, et \( Q(x) \neq 0 \). **Exemples :** * \( f(x) = \frac{3x+2}{x-1} \) * \( g(x) = \frac{x^2+x-6}{x+2} \) * \( h(x) = \frac{1}{x} \) #### Ensemble de définition L'ensemble de définition (ou domaine de définition) d'une fonction rationnelle \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \) est l'ensemble de tous les nombres réels \( x \) pour lesquels le dénominateur \( Q(x) \) est non nul. Autrement dit, \( D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0 \} \). Pour trouver \( D_f \), il faut identifier les valeurs de \( x \) qui annulent \( Q(x) \) et les exclure de \( \mathbb{R} \). #### Limites aux bornes de l'ensemble de définition L'étude des limites est cruciale pour comprendre le comportement d'une fonction rationnelle lorsque \( x \) s'approche de l'infini ou des valeurs interdites. * **Limites en \( \pm \infty \)** Pour déterminer la limite de \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \) lorsque \( x \to \pm \infty \), on considère les termes de plus haut degré de \( P(x) \) et \( Q(x) \). Si \( P(x) = a_n x^n + \dots \) et \( Q(x) = b_m x^m + \dots \), alors \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{P(x)}{Q(x)} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{a_n x^n}{b_m x^m} \] Plusieurs cas se présentent : * Si \( n < m \) (degré du numérateur inférieur à celui du dénominateur), alors \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 \). * Si \( n = m \) (degrés égaux), alors \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \frac{a_n}{b_m} \) (rapport des coefficients des termes de plus haut degré). * Si \( n > m \) (degré du numérateur supérieur à celui du dénominateur), alors \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty \) (le signe dépend des signes de \( a_n \), \( b_m \) et de la parité de \( n-m \)). * **Limites aux valeurs interdites** Si \( a \) est une valeur interdite (c'est-à-dire \( Q(a)=0 \) ), on calcule la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \to a \). Si \( P(a) \neq 0 \) et \( Q(a)=0 \), alors la limite sera \( \pm \infty \). Il faut étudier le signe de \( Q(x) \) autour de \( a \) pour déterminer si la limite est \( +\infty \) ou \( -\infty \). #### Asymptotes Les asymptotes sont des droites dont la courbe de la fonction s'approche indéfiniment sans jamais l'atteindre. * #### Asymptote verticale (AV) Il y a une asymptote verticale d'équation \( x=a \) si \( \lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty \). Cela se produit généralement aux valeurs interdites de l'ensemble de définition. * #### Asymptote horizontale (AH) Il y a une asymptote horizontale d'équation \( y=L \) si \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L \), où \( L \) est un nombre réel fini. * #### Asymptote oblique (AO) Il y a une asymptote oblique d'équation \( y=ax+b \) si \( \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - (ax+b)] = 0 \). Cela se produit lorsque le degré du numérateur est supérieur d'exactement 1 au degré du dénominateur (i.e. \( n = m+1 \)). Pour trouver \( a \) et \( b \), on peut effectuer la division euclidienne de \( P(x) \) par \( Q(x) \) : \( P(x) = (ax+b)Q(x) + R(x) \), où \( deg(R) < deg(Q) \). Alors, \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = ax+b + \frac{R(x)}{Q(x)} \). Puisque \( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{R(x)}{Q(x)} = 0 \), la droite \( y=ax+b \) est une asymptote oblique. #### Dérivation d'une fonction rationnelle La dérivée d'une fonction rationnelle permet d'étudier les variations de la fonction (croissance et décroissance). Si \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \), où \( u(x) \) et \( v(x) \) sont des fonctions dérivables et \( v(x) \neq 0 \), alors sa dérivée \( f'(x) \) est donnée par la formule : \[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \] #### Tableau de variation Après avoir calculé \( f'(x) \): 1. Déterminer le signe de \( f'(x) \) sur l'ensemble de définition. 2. Si \( f'(x) > 0 \), la fonction \( f \) est strictement croissante. 3. Si \( f'(x) < 0 \), la fonction \( f \) est strictement décroissante. 4. Si \( f'(x) = 0 \), la fonction \( f \) admet un extremum local (maximum ou minimum) à cette valeur de \( x \). 5. Organiser ces informations dans un tableau de variation en incluant les limites aux bornes de l'ensemble de définition et les valeurs des extrémums. #### Tracé de la courbe Pour tracer la courbe représentative \( C_f \) de \( f(x) \), on rassemble toutes les informations obtenues : * L'ensemble de définition (pour marquer les éventuelles asymptotes verticales). * Les asymptotes (horizontales, verticales, obliques). * Le tableau de variation (pour la direction de la courbe et les points extrêmes). * Quelques points remarquables (intersections avec les axes, points d'inflexion si étudiés). ### Vocabulaire * **Fonction rationnelle :** Fonction s'écrivant comme un quotient de deux polynômes. * **Polynôme :** Fonction de la forme \( a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \), où les \( a_i \) sont des constantes et \( n \) est un entier non négatif. * **Ensemble de définition (Domaine) :** L'ensemble de toutes les valeurs de \( x \) pour lesquelles la fonction est définie. * **Valeur interdite :** Une valeur de \( x \) qui annule le dénominateur d'une fonction rationnelle et pour laquelle la fonction n'est pas définie. * **Asymptote :** Droite dont la courbe d'une fonction se rapproche infiniment sans jamais la couper. On distingue les asymptotes verticales, horizontales et obliques. * **Division euclidienne (de polynômes) :** Algorithme permettant de diviser un polynôme par un autre, résultant en un quotient et un reste. * **Dérivée :** Mesure du taux de variation d'une fonction, indiquant sa pente en un point donné. Elle est notée \( f'(x) \). * **Tableau de variation :** Tableau récapitulatif du signe de la dérivée et des variations (croissance/décroissance) de la fonction. ### Exemples #### Exemple 1 : Etude de \( f(x) = \frac{2x+1}{x-3} \) 1. **Ensemble de définition :** Le dénominateur \( x-3 \) ne doit pas être nul, donc \( x \neq 3 \). \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\} = ]-\infty; 3[ \cup ]3; +\infty[ \). 2. **Limites :** * En \( \pm \infty \) : Degré du numérateur (1) = Degré du dénominateur (1). \( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x+1}{x-3} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x}{x} = 2 \). Il y a une **asymptote horizontale d'équation \( y=2 \)**. * En \( x=3 \) : \( \lim_{x \to 3^-} \frac{2x+1}{x-3} \). Le numérateur tend vers \( 2(3)+1 = 7 \). Le dénominateur tend vers \( 0^- \). Donc, \( \lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty \). \( \lim_{x \to 3^+} \frac{2x+1}{x-3} \). Le numérateur tend vers \( 7 \). Le dénominateur tend vers \( 0^+ \). Donc, \( \lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty \). Il y a une **asymptote verticale d'équation \( x=3 \)**. 3. **Dérivée :** Posons \( u(x) = 2x+1 \) et \( v(x) = x-3 \). Alors \( u'(x) = 2 \) et \( v'(x) = 1 \). \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2(x-3) - (2x+1)(1)}{(x-3)^2} = \frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2} \] 4. **Tableau de variation :** Pour tout \( x \in D_f \), \( (x-3)^2 > 0 \), donc \( f'(x) = \frac{-7}{(x-3)^2} < 0 \). La fonction est strictement décroissante sur \( ]-\infty; 3[ \) et sur \( ]3; +\infty[ \). | \(x\) | \( -\infty \) | \( 3 \) | \( +\infty \) | | :----: | :----: | :----: | :----: | | \(f'(x)\) | \( - \) | \( || \) | \( - \) | | \(f(x)\) | \( 2 \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | \( 2 \) | #### Exemple 2 : Fonction avec asymptote oblique \( g(x) = \frac{x^2-x-2}{x+2} \) 1. **Ensemble de définition :** \( x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \). \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2\} \). 2. **Limites :** * En \( \pm \infty \) : \( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2-x-2}{x+2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} x = \pm \infty \). Pas d'AH. * En \( x=-2 \) : \( g(x) = \frac{(x-2)(x+1)}{x+2} \) (après factorisation du numérateur, car -2 est une racine). Le numérateur est \( (-2)^2 - (-2) - 2 = 4+2-2 = 4 \). Le dénominateur tend vers \( 0 \). Donc, il y a une **asymptote verticale d'équation \( x=-2 \)**. (En fait, attention, si on avait \( x^2-4 \) au numérateur, on aurait pu simplifier par \( x+2 \), et il n'y aurait pas d'AV mais un trou. Ici, \( x^2-x-2 \) n'est pas nul en \( x=-2 \)). 3. **Asymptote oblique :** Le degré du numérateur (2) est supérieur de 1 au degré du dénominateur (1). On effectue la division euclidienne : \( x^2-x-2 = (x+2)(x-3) + 4 \) Donc, \( g(x) = \frac{(x+2)(x-3) + 4}{x+2} = x-3 + \frac{4}{x+2} \). Puisque \( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{4}{x+2} = 0 \), la droite **\( y=x-3 \) est une asymptote oblique**. ### Exercices 1. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : a) \( f(x) = \frac{3x-5}{x+4} \) b) \( g(x) = \frac{x^2+1}{2x-6} \) c) \( h(x) = \frac{x-1}{x^2-4} \) 2. Calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition pour \( f(x) = \frac{x}{x-2} \). En déduire les équations des asymptotes (si elles existent). 3. Calculer la dérivée de \( f(x) = \frac{x-1}{2x+3} \). 4. On considère la fonction \( f(x) = \frac{x^2}{x-1} \). a) Déterminer son ensemble de définition. b) Calculer les limites aux bornes de \( D_f \). c) Montrer que la droite d'équation \( y=x+1 \) est une asymptote oblique à \( C_f \) en \( \pm \infty \). ### Devoir à la maison Etudier complètement la fonction \( f(x) = \frac{x^2+3x+2}{x-1} \) : 1. Déterminer son ensemble de définition. 2. Calculer les limites aux bornes de son ensemble de définition. 3. Déterminer les équations des asymptotes éventuelles (verticale, horizontale, oblique). 4. Calculer la dérivée \( f'(x) \). 5. Etudier le signe de \( f'(x) \) et en déduire le tableau de variation de \( f \). 6. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe de \( f \) avec les axes de coordonnées. 7. Esquisser la courbe représentative de \( f \) en plaçant les asymptotes et les points remarquables. ### Résumé Pour étudier une fonction rationnelle \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \), suivez ces étapes clés : 1. **Ensemble de définition :** Excluez les valeurs qui annulent \( Q(x) \). 2. **Limites :** Calculez les limites en \( \pm \infty \) et aux valeurs interdites. 3. **Asymptotes :** Identifiez les asymptotes verticales (aux valeurs interdites), horizontales (si \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L \)), et obliques (si \( deg(P) = deg(Q)+1 \) via division euclidienne). 4. **Dérivée :** Utilisez la formule \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \) pour trouver \( f'(x) \). 5. **Variations :** Etudiez le signe de \( f'(x) \) pour construire le tableau de variation, incluant les extrémums et les limites. 6. **Tracé de la courbe :** Utilisez toutes ces informations pour esquisser la représentation graphique de la fonction. Maîtriser ces étapes vous permettra de comprendre en profondeur le comportement de toute fonction rationnelle. ## Fonctions logarithme népérien ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre dédié aux fonctions logarithme népérien. Après avoir étudié la fonction exponentielle, nous allons découvrir sa fonction réciproque, le logarithme népérien, notée \( \ln \). Cette fonction est fondamentale en mathématiques et trouve de nombreuses applications en physique, biologie et économie pour modéliser des phénomènes de croissance ou de décroissance. Nous explorerons sa définition, ses propriétés algébriques, sa dérivée, et comment l'utiliser pour résoudre des équations et inéquations. ### Concepts Clés #### 1. Définition et Propriétés Fondamentales * **Définition:** La fonction logarithme népérien est la réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur \( ]0; +\infty[ \) et à valeurs dans \( \mathbb{R} \). Pour tout \( x > 0 \) et tout réel \( y \): \( y = \ln(x) \) équivaut à \( x = e^y \) * **Conséquences directes de la définition:** * Pour tout \( x > 0 \), \( e^{\ln(x)} = x \). * Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( \ln(e^x) = x \). * \( \ln(1) = 0 \) car \( e^0 = 1 \). * \( \ln(e) = 1 \) car \( e^1 = e \). * **Propriétés algébriques:** Pour tous réels \( a > 0 \) et \( b > 0 \), et pour tout entier relatif \( n \): * **Produit:** \( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \) * **Quotient:** \( \ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b) \) * **Inverse:** \( \ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a) \) * **Puissance:** \( \ln(a^n) = n \ln(a) \) * **Racine carrée:** \( \ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln(a) \) #### 2. Dérivée et Primitives * **Dérivée de \( \ln(x) \):** La fonction \( x \mapsto \ln(x) \) est dérivable sur \( ]0; +\infty[ \), et sa dérivée est: \[ (\ln(x))' = \frac{1}{x} \] * **Dérivée de \( \ln(u(x)) \):** Si \( u \) est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle, alors la fonction \( \ln(u) \) est dérivable sur cet intervalle et sa dérivée est: \[ (\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)} \] * **Primitives:** Une primitive de la fonction \( x \mapsto \frac{1}{x} \) sur \( ]0; +\infty[ \) est \( x \mapsto \ln(x) \). Plus généralement, si \( u \) est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle, alors une primitive de \( \frac{u'(x)}{u(x)} \) est \( \ln(u(x)) \). #### 3. Étude de la fonction \( x \mapsto \ln(x) \) * **Sens de variation:** La fonction \( \ln \) est strictement croissante sur \( ]0; +\infty[ \) car sa dérivée \( \frac{1}{x} \) est strictement positive sur cet intervalle. * **Limites aux bornes:** * En \( 0 \) (par valeurs supérieures): \[ \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \] * En \( +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \] * **Croissances comparées:** À l'infini, la fonction \( \ln(x) \) croît plus lentement que toute fonction puissance \( x^n \) (avec \( n > 0 \)). * \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \] * Plus généralement, pour tout \( n > 0 \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \] En \( 0 \) (par valeurs supérieures), la fonction \( \ln(x) \) tend vers \( -\infty \) plus lentement que \( \frac{1}{x^n} \) (avec \( n > 0 \)). * \[ \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0 \] * Plus généralement, pour tout \( n > 0 \): \[ \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \] #### 4. Résolution d'Équations et Inéquations Pour résoudre des équations ou inéquations impliquant \( \ln(x) \), il est crucial de toujours commencer par déterminer le domaine de validité de l'expression (où les arguments du logarithme sont strictement positifs). * **Équations:** * \( \ln(A) = B \iff A = e^B \) (avec \( A > 0 \)) * \( \ln(A) = \ln(B) \iff A = B \) (avec \( A > 0 \) et \( B > 0 \)) * **Inéquations:** (Attention au sens de l'inégalité car \( \ln \) est croissante) * \( \ln(A) > B \iff A > e^B \) (avec \( A > 0 \)) * \( \ln(A) < B \iff 0 < A < e^B \) (avec \( A > 0 \)) * \( \ln(A) > \ln(B) \iff A > B \) (avec \( A > 0 \) et \( B > 0 \)) * \( \ln(A) < \ln(B) \iff 0 < A < B \) (avec \( A > 0 \) et \( B > 0 \)) ### Vocabulaire * **Logarithme népérien:** Fonction réciproque de la fonction exponentielle, notée \( \ln \). Son ensemble de définition est \( ]0; +\infty[ \). * **Fonction réciproque:** Fonction qui "annule" l'effet d'une autre fonction. Si \( f(a)=b \), alors la réciproque \( f^{-1}(b)=a \). * **Domaine de définition:** L'ensemble des valeurs pour lesquelles une fonction est définie. Pour \( \ln(x) \), c'est \( ]0; +\infty[ \). * **Dérivée:** Mesure le taux de variation d'une fonction. La dérivée de \( \ln(x) \) est \( 1/x \). * **Primitive:** Fonction dont la dérivée est la fonction donnée. * **Croissance comparée:** Étude de la façon dont deux fonctions se comportent l'une par rapport à l'autre lorsque la variable tend vers l'infini (ou zéro). ### Exemples #### Exemple 1: Simplification d'expressions Simplifier \( A = \ln(e^3) + \ln(\frac{1}{e}) + \ln(8) - 3\ln(2) \). \( A = 3 + \ln(e^{-1}) + \ln(2^3) - 3\ln(2) \) \( A = 3 - 1 + 3\ln(2) - 3\ln(2) \) \( A = 2 \) #### Exemple 2: Résolution d'équation Résoudre l'équation \( \ln(2x-1) = 3 \). 1. **Domaine de validité:** On doit avoir \( 2x-1 > 0 \), donc \( 2x > 1 \), soit \( x > \frac{1}{2} \). 2. **Résolution:** \( 2x-1 = e^3 \) \( 2x = 1 + e^3 \) \( x = \frac{1 + e^3}{2} \) Comme \( e^3 \approx 20,08 \), \( x \approx 10,54 \), ce qui est bien supérieur à \( 0,5 \). L'ensemble solution est \( S = \left\{ \frac{1 + e^3}{2} \right\} \). #### Exemple 3: Calcul de dérivée Calculer la dérivée de \( f(x) = x^2 \ln(x) \) sur \( ]0; +\infty[ \). On utilise la formule de dérivation d'un produit \( (uv)' = u'v + uv' \). Ici, \( u(x) = x^2 \) et \( v(x) = \ln(x) \). Donc \( u'(x) = 2x \) et \( v'(x) = \frac{1}{x} \). \( f'(x) = 2x \cdot \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} \) \( f'(x) = 2x \ln(x) + x \) \( f'(x) = x(2\ln(x) + 1) \) ### Exercices 1. **Simplification:** Simplifier les expressions suivantes : a) \( \ln(e^5) - \ln(\sqrt{e}) + \ln(\frac{1}{e^2}) \) b) \( \ln(12) - \ln(3) + \ln(e^4) \) c) \( 2\ln(x) + \ln(x^3) - 5\ln(x) \) pour \( x > 0 \) 2. **Résolution d'équations:** Résoudre les équations suivantes, en précisant le domaine de validité : a) \( \ln(3x+2) = 0 \) b) \( \ln(x^2+1) = \ln(5) \) c) \( (\ln x)^2 - \ln x - 2 = 0 \) (poser \( X = \ln x \)) 3. **Calcul de dérivées:** Calculer la dérivée des fonctions suivantes : a) \( f(x) = 5\ln(x) - x \) sur \( ]0; +\infty[ \) b) \( g(x) = (\ln x)^2 \) sur \( ]0; +\infty[ \) c) \( h(x) = \ln(x^2+x+1) \) sur \( \mathbb{R} \) (vérifier que \( x^2+x+1 > 0 \) pour tout \( x \)) ### Devoirs 1. **Inéquations:** Résoudre les inéquations suivantes, en précisant le domaine de validité : a) \( \ln(4-x) < 1 \) b) \( \ln(x+3) \ge \ln(2x-1) \) 2. **Étude de fonction:** Soit la fonction \( f \) définie sur \( ]0; +\infty[ \) par \( f(x) = x - \ln(x) \). a) Calculer la dérivée \( f'(x) \). b) Étudier le signe de \( f'(x) \) et en déduire les variations de \( f \). c) Calculer les limites de \( f \) aux bornes de son domaine de définition. d) Dresser le tableau de variations de \( f \). e) Montrer que pour tout \( x > 0 \), \( x - \ln(x) \ge 1 \). 3. **Équation plus complexe:** Résoudre l'équation \( \ln(x) + \ln(x+2) = \ln(3) \). ### Résumé La fonction logarithme népérien, notée \( \ln \), est la fonction réciproque de l'exponentielle, définie sur \( ]0; +\infty[ \) et à valeurs dans \( \mathbb{R} \). Ses propriétés clés incluent: * **Réciprocité:** \( e^{\ln(x)} = x \) et \( \ln(e^x) = x \). * **Valeurs particulières:** \( \ln(1)=0 \) et \( \ln(e)=1 \). * **Propriétés algébriques:** \( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \), \( \ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b) \), \( \ln(a^n) = n \ln(a) \). * **Dérivée:** \( (\ln(x))' = \frac{1}{x} \) et \( (\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)} \). * **Variations:** La fonction \( \ln \) est strictement croissante sur son domaine de définition. * **Limites:** \( \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \) et \( \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \). * **Résolution:** Toujours déterminer le domaine de validité (arguments positifs) avant de transformer l'équation ou l'inéquation en utilisant les propriétés et la réciprocité avec l'exponentielle. Maîtriser ces concepts est essentiel pour aborder de nombreux problèmes mathématiques et scientifiques en Terminale et dans l'enseignement supérieur. ## Fonctions exponentielles népériennes ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre dédié aux fonctions exponentielles népériennes. Après avoir exploré la fonction logarithme népérien, nous allons découvrir sa fonction réciproque, la fonction exponentielle. Cette fonction est d'une importance capitale en mathématiques, en physique, en biologie et en économie, notamment pour modéliser des phénomènes de croissance ou de décroissance exponentielle. Nous allons définir cette fonction, étudier ses propriétés algébriques, sa dérivée, ses limites et sa représentation graphique. ### Concepts Clés #### 1. Définition de la fonction exponentielle La fonction exponentielle, notée \( \exp \) ou plus couramment \( x \mapsto e^x \), est l'unique fonction qui est solution de l'équation différentielle \( y' = y \) avec la condition initiale \( y(0) = 1 \). Alternativement, c'est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien \( \ln \). * Pour tout réel \( x \), il existe un unique réel \( y > 0 \) tel que \( \ln(y) = x \). Ce réel \( y \) est noté \( e^x \). * Le domaine de définition de la fonction exponentielle est \( ]-\infty; +\infty[ \) (tout \( \mathbb{R} \)). * Son ensemble image est \( ]0; +\infty[ \). * Par définition : \( e^0 = 1 \) et \( e^1 = e \) (où \( e \) est la constante de Néper, environ \( 2.718 \)). #### 2. Propriétés algébriques Pour tous réels \( a \) et \( b \) : * \( e^{a+b} = e^a \times e^b \) * \( e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b} \) * \( e^{na} = (e^a)^n \) pour tout entier relatif \( n \). * \( e^{-a} = \frac{1}{e^a} \) * Pour tout \( x \in \mathbb{R} \) et tout \( y > 0 \) : * \( \ln(e^x) = x \) * \( e^{\ln(y)} = y \) * \( e^x > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \). #### 3. Dérivée de la fonction exponentielle La fonction exponentielle est indéfiniment dérivable sur \( \mathbb{R} \). * Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( (e^x)' = e^x \). * Si \( u \) est une fonction dérivable sur un intervalle \( I \), alors la fonction \( e^{u(x)} \) est dérivable sur \( I \) et sa dérivée est donnée par : \[ (e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)} \] #### 4. Limites de la fonction exponentielle * En \( +\infty \) : \[ \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \] * En \( -\infty \) : \[ \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \] * Croissances comparées (utile pour les formes indéterminées) : * Pour tout entier naturel \( n \) : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \] * Pour tout entier naturel \( n \) : \[ \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 \] * Limite remarquable en 0 : \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \] #### 5. Représentation graphique et Sens de variation * La fonction exponentielle est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \). * Sa courbe représentative passe par les points \( (0, 1) \) et \( (1, e) \). * L'axe des abscisses (la droite d'équation \( y=0 \)) est une asymptote horizontale à la courbe en \( -\infty \). * La courbe est toujours au-dessus de l'axe des abscisses (car \( e^x > 0 \)). * La fonction exponentielle est convexe sur \( \mathbb{R} \). #### 6. Équations et inéquations avec l'exponentielle Grâce à la stricte croissance de la fonction exponentielle sur \( \mathbb{R} \) : * Pour tous réels \( a \) et \( b \) : * \( e^a = e^b \iff a = b \) * \( e^a < e^b \iff a < b \) * \( e^a > e^b \iff a > b \) * Pour résoudre une équation du type \( e^{f(x)} = k \) : * Si \( k \le 0 \), il n'y a pas de solution (car \( e^{f(x)} > 0 \)). * Si \( k > 0 \), on applique le logarithme népérien aux deux membres : \( \ln(e^{f(x)}) = \ln(k) \iff f(x) = \ln(k) \). * Pour résoudre une inéquation du type \( e^{f(x)} < k \) : * Si \( k \le 0 \), l'ensemble des solutions est l'ensemble vide. * Si \( k > 0 \), on applique le logarithme népérien : \( f(x) < \ln(k) \). ### Vocabulaire * **Fonction exponentielle népérienne :** Fonction réciproque de la fonction logarithme népérien, notée \( e^x \) ou \( \exp(x) \). C'est l'unique fonction \( f \) telle que \( f'(x) = f(x) \) et \( f(0) = 1 \). * **Nombre \( e \) :** Constante mathématique fondamentale, base du logarithme népérien et de la fonction exponentielle, dont la valeur approximative est \( 2.71828 \). * **Croissances comparées :** Théorèmes permettant de comparer les comportements asymptotiques de fonctions exponentielles, puissances et logarithmes, notamment pour lever des formes indéterminées de limites. * **Équation différentielle :** Équation faisant intervenir une fonction et ses dérivées. L'équation \( y' = y \) est l'équation caractéristique de la fonction exponentielle. ### Exemples #### Exemple 1 : Simplification d'expressions Simplifier l'expression \( A = \frac{e^{2x} \times e^{1-x}}{e^{x+3}} \). \( A = e^{2x + (1-x) - (x+3)} = e^{2x + 1 - x - x - 3} = e^{-2} = \frac{1}{e^2} \). #### Exemple 2 : Résolution d'une équation Résoudre l'équation \( e^{2x-1} = e^{3} \). Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante, \( e^a = e^b \iff a = b \). Donc \( 2x-1 = 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \). L'ensemble des solutions est \( \{2\} \). #### Exemple 3 : Résolution d'une inéquation Résoudre l'inéquation \( e^x > 5 \). Puisque \( 5 > 0 \), on peut appliquer \( \ln \) aux deux membres : \( \ln(e^x) > \ln(5) \Rightarrow x > \ln(5) \). L'ensemble des solutions est \( ]\ln(5); +\infty[ \). #### Exemple 4 : Calcul de dérivée Soit la fonction \( f(x) = e^{x^2+3x-2} \). Calculer \( f'(x) \). Nous avons \( f(x) = e^{u(x)} \) avec \( u(x) = x^2+3x-2 \). Alors \( u'(x) = 2x+3 \). Donc \( f'(x) = u'(x)e^{u(x)} = (2x+3)e^{x^2+3x-2} \). #### Exemple 5 : Calcul de limite (croissance comparée) Calculer la limite suivante : \( \lim_{x \to +\infty} (e^x - x^3) \). Cette limite est une forme indéterminée \( +\infty - \infty \). On factorise par le terme dominant (l'exponentielle) : \( \lim_{x \to +\infty} e^x \left( 1 - \frac{x^3}{e^x} \right) \). D'après les croissances comparées, \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^3} = +\infty \), donc \( \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{e^x} = 0 \). Ainsi, \( \lim_{x \to +\infty} e^x \left( 1 - \frac{x^3}{e^x} \right) = (+\infty) \times (1-0) = +\infty \). ### Exercices 1. **Simplification :** Simplifier les expressions suivantes : a) \( (e^x)^3 \times e^{1-2x} \) b) \( \frac{e^{5x+1}}{e^{2x} \times e^{-x}} \) 2. **Résolution d'équations :** Résoudre les équations suivantes dans \( \mathbb{R} \) : a) \( e^{4x+2} = e^{x-1} \) b) \( e^{x^2-x} = e^2 \) c) \( e^x = 10 \) d) \( e^{2x} - 3e^x + 2 = 0 \) (Poser \( Y = e^x \)) 3. **Résolution d'inéquations :** Résoudre les inéquations suivantes dans \( \mathbb{R} \) : a) \( e^{3x-5} < e^{x+1} \) b) \( e^x \ge 3 \) c) \( e^{x^2} > e^{x+2} \) 4. **Calcul de dérivées :** Calculer la dérivée des fonctions suivantes : a) \( f(x) = e^{5x-3} \) b) \( g(x) = xe^x \) c) \( h(x) = (x^2+1)e^{-x} \) d) \( k(x) = \frac{e^x+1}{e^x-1} \) 5. **Limites :** Calculer les limites suivantes : a) \( \lim_{x \to +\infty} (e^{2x} - x) \) b) \( \lim_{x \to -\infty} (x^2e^x) \) c) \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x+1} \) d) \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-1}{x} \) ### Devoirs 1. **Étude de fonction :** Soit la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = (2x-1)e^{-x} \). a) Calculer \( f'(x) \). b) Étudier le signe de \( f'(x) \) et en déduire les variations de \( f \). c) Calculer les limites de \( f \) en \( +\infty \) et en \( -\infty \). d) Dresser le tableau de variations de \( f \). 2. **Problème de modélisation :** La population d'une colonie de bactéries est modélisée par la fonction \( P(t) = 1000e^{0.1t} \), où \( t \) est le temps en heures et \( P(t) \) est le nombre de bactéries. a) Quelle est la population initiale de la colonie ? b) Au bout de combien de temps la population aura-t-elle doublé ? (Donner la valeur exacte puis arrondie à l'heure près). c) Calculer la vitesse d'accroissement de la population à \( t = 5 \) heures (c'est-à-dire \( P'(5) \)). 3. **Pour aller plus loin :** Résoudre l'équation \( e^{2x} - 5e^x + 6 = 0 \). ### Résumé * La fonction exponentielle \( e^x \) est la réciproque de la fonction \( \ln(x) \). Elle est définie sur \( \mathbb{R} \) et prend des valeurs strictement positives. * Ses propriétés algébriques sont similaires à celles des puissances (ex: \( e^{a+b} = e^a \times e^b \)). * Sa dérivée est elle-même : \( (e^x)' = e^x \). Plus généralement, \( (e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)} \). * Elle est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \). * Ses limites sont \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \) et \( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \). * Les croissances comparées aident à gérer les formes indéterminées de limites impliquant \( e^x \) et des polynômes. * La résolution d'équations et d'inéquations exploitent sa stricte monotonie et la relation \( \ln(e^x) = x \) et \( e^{\ln(y)} = y \). La maîtrise de la fonction exponentielle est fondamentale pour les concepts futurs en analyse et pour de nombreuses applications concrètes. ## Equations faisant intervenir ln ou exp ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons apprendre à résoudre des équations où les inconnues se trouvent à l'intérieur de fonctions logarithme népérien (\( \ln \)) ou exponentielle (\( \exp \)). Ces deux fonctions sont fondamentales en mathématiques et sont des réciproques l'une de l'autre, ce qui est la clé pour résoudre ces équations. Il est crucial de bien maîtriser leurs propriétés et, pour la fonction \( \ln \), de toujours prendre en compte son domaine de définition. ### Concepts clés #### Rappels sur les fonctions \( \ln \) et \( \exp \) * **Fonction exponentielle (\( x \mapsto e^x \)):** * Définie sur \( \mathbb{R} \). * Ses valeurs sont toujours strictement positives : \( e^x > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \). * \( e^0 = 1 \). * **Propriétés algébriques :** * \( e^{a+b} = e^a e^b \) * \( e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b} \) * \( (e^a)^n = e^{na} \) pour \( n \in \mathbb{Z} \) * **Fonction logarithme népérien (\( x \mapsto \ln(x) \)):** * Définie uniquement sur \( ]0; +\infty[ \) (son argument doit être strictement positif). * Ses valeurs sont dans \( \mathbb{R} \). * \( \ln(1) = 0 \). * **Propriétés algébriques :** * \( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \) pour \( a,b > 0 \) * \( \ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b) \) pour \( a,b > 0 \) * \( \ln(a^n) = n \ln(a) \) pour \( a > 0 \) et \( n \in \mathbb{Z} \) * **Relations réciproques :** * \( \ln(e^x) = x \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \) * \( e^{\ln(x)} = x \) pour tout \( x > 0 \) #### Résolution d'équations avec le logarithme népérien (\( \ln \)) La résolution d'équations impliquant \( \ln \) se base sur l'injectivité de la fonction \( \ln \) et sur sa réciprocité avec la fonction \( \exp \). * **Principe général :** * Pour résoudre \( \ln(A) = \ln(B) \), on commence par s'assurer que \( A > 0 \) et \( B > 0 \). Ensuite, grâce à l'injectivité de \( \ln \), on peut écrire \( A = B \). * Pour résoudre \( \ln(A) = c \) (où \( c \) est une constante ou une expression), on s'assure que \( A > 0 \). Ensuite, on applique la fonction exponentielle aux deux membres : \( A = e^c \). * **Étapes de résolution :** 1. **Domaine de définition :** Déterminer les valeurs de l'inconnue \( x \) pour lesquelles toutes les expressions à l'intérieur des \( \ln \) sont strictement positives. C'est le domaine de validité de l'équation. Toute solution trouvée devra appartenir à ce domaine. 2. **Simplification :** Utiliser les propriétés du logarithme pour regrouper les termes \( \ln \) si nécessaire. 3. **Application de la réciproque :** * Si l'équation est de la forme \( \ln(A) = \ln(B) \), alors \( A = B \). * Si l'équation est de la forme \( \ln(A) = c \), alors \( A = e^c \). 4. **Résolution :** Résoudre l'équation algébrique obtenue. 5. **Vérification :** S'assurer que les solutions trouvées appartiennent bien au domaine de définition déterminé à l'étape 1. #### Résolution d'équations avec la fonction exponentielle (\( \exp \)) La résolution d'équations impliquant \( \exp \) se base sur l'injectivité de la fonction \( \exp \) et sur sa réciprocité avec la fonction \( \ln \). * **Principe général :** * Pour résoudre \( e^A = e^B \), grâce à l'injectivité de \( \exp \), on peut écrire \( A = B \). * Pour résoudre \( e^A = c \) : * Si \( c \le 0 \), l'équation n'a pas de solution, car \( e^A \) est toujours strictement positif. * Si \( c > 0 \), on applique la fonction logarithme népérien aux deux membres : \( A = \ln(c) \). * **Étapes de résolution :** 1. **Simplification :** Utiliser les propriétés de l'exponentielle pour regrouper les termes \( \exp \) si nécessaire. 2. **Application de la réciproque :** * Si l'équation est de la forme \( e^A = e^B \), alors \( A = B \). * Si l'équation est de la forme \( e^A = c \) avec \( c > 0 \), alors \( A = \ln(c) \). 3. **Résolution :** Résoudre l'équation algébrique obtenue. #### Equations avec changement de variable Certaines équations plus complexes peuvent être ramenées à des formes plus simples, souvent polynomiales (du second degré), en effectuant un changement de variable. Cela est fréquent avec des termes comme \( e^{2x} \) et \( e^x \), ou \( (\ln x)^2 \) et \( \ln x \). * **Exemple :** Pour une équation de la forme \( ae^{2x} + be^x + c = 0 \), on peut poser \( X = e^x \). L'équation devient alors \( aX^2 + bX + c = 0 \). Une fois \( X \) trouvé, on résout \( e^x = X \) pour trouver \( x \). * **Exemple :** Pour une équation de la forme \( a(\ln x)^2 + b\ln x + c = 0 \), on peut poser \( X = \ln x \). L'équation devient alors \( aX^2 + bX + c = 0 \). Une fois \( X \) trouvé, on résout \( \ln x = X \) pour trouver \( x \). ### Vocabulaire * **Fonction exponentielle :** La fonction \( x \mapsto e^x \) qui est l'inverse de la fonction \( \ln \). * **Fonction logarithme népérien :** La fonction \( x \mapsto \ln(x) \) qui est l'inverse de la fonction \( \exp \). * **Domaine de définition :** L'ensemble des valeurs pour lesquelles une fonction ou une expression est définie. Pour \( \ln(f(x)) \), il faut que \( f(x) > 0 \). * **Injectivité :** Une propriété d'une fonction \( f \) telle que si \( f(a) = f(b) \), alors \( a = b \). Les fonctions \( \ln \) et \( \exp \) sont injectives. * **Réciproque :** Deux fonctions \( f \) et \( g \) sont réciproques si \( f(g(x)) = x \) et \( g(f(x)) = x \). * **Changement de variable :** Technique consistant à remplacer une partie d'une expression par une nouvelle variable pour simplifier la résolution d'une équation. ### Exemples #### Exemples d'équations avec \( \ln \) **Exemple 1 :** Résoudre \( \ln(2x-1) = \ln(x+3) \) 1. **Domaine :** \( 2x-1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2} \) et \( x+3 > 0 \Rightarrow x > -3 \). Le domaine de validité est \( ]\frac{1}{2}; +\infty[ \). 2. **Résolution :** Puisque \( \ln \) est injective, \( 2x-1 = x+3 \). \( x = 4 \). 3. **Vérification :** La solution \( x=4 \) appartient bien au domaine \( ]\frac{1}{2}; +\infty[ \). L'ensemble des solutions est \( S = \{4\} \). **Exemple 2 :** Résoudre \( \ln(x^2-x) = \ln(2) \) 1. **Domaine :** \( x^2-x > 0 \Rightarrow x(x-1) > 0 \). Le domaine de validité est \( ]-\infty; 0[ \cup ]1; +\infty[ \). 2. **Résolution :** Puisque \( \ln \) est injective, \( x^2-x = 2 \). \( x^2-x-2 = 0 \). Calcul du discriminant : \( \Delta = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \). Les solutions de cette équation du second degré sont : \( x_1 = \frac{1-\sqrt{9}}{2} = \frac{1-3}{2} = -1 \) \( x_2 = \frac{1+\sqrt{9}}{2} = \frac{1+3}{2} = 2 \) 3. **Vérification :** \( x_1 = -1 \) est dans \( ]-\infty; 0[ \). \( x_2 = 2 \) est dans \( ]1; +\infty[ \). Les deux solutions sont valides. L'ensemble des solutions est \( S = \{-1; 2\} \). #### Exemples d'équations avec \( \exp \) **Exemple 3 :** Résoudre \( e^{2x+1} = e^{x-3} \) 1. **Résolution :** Puisque \( \exp \) est injective, \( 2x+1 = x-3 \). \( x = -4 \). L'ensemble des solutions est \( S = \{-4\} \). **Exemple 4 :** Résoudre \( e^{3x-2} = 5 \) 1. **Résolution :** Puisque \( 5 > 0 \), on peut appliquer \( \ln \) des deux côtés : \( 3x-2 = \ln(5) \) \( 3x = 2 + \ln(5) \) \( x = \frac{2+\ln(5)}{3} \). L'ensemble des solutions est \( S = \left\{\frac{2+\ln(5)}{3}\right\} \). #### Exemple d'équation avec changement de variable **Exemple 5 :** Résoudre \( e^{2x} - 5e^x + 6 = 0 \) 1. **Changement de variable :** Posons \( X = e^x \). Puisque \( e^{2x} = (e^x)^2 = X^2 \), l'équation devient : \( X^2 - 5X + 6 = 0 \). 2. **Résolution de l'équation en \( X \) :** Calcul du discriminant : \( \Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \). Les solutions en \( X \) sont : \( X_1 = \frac{5-\sqrt{1}}{2} = \frac{5-1}{2} = 2 \) \( X_2 = \frac{5+\sqrt{1}}{2} = \frac{5+1}{2} = 3 \) 3. **Retour à \( x \) :** * Si \( X = 2 \), alors \( e^x = 2 \). On applique \( \ln \) : \( x = \ln(2) \). * Si \( X = 3 \), alors \( e^x = 3 \). On applique \( \ln \) : \( x = \ln(3) \). L'ensemble des solutions est \( S = \{\ln(2); \ln(3)\} \). ### Exercices Résolvez les équations suivantes : 1. \( \ln(x+5) = \ln(2x-1) \) 2. \( \ln(x^2+3x) = \ln(4) \) 3. \( \ln(3x-2) = 0 \) 4. \( e^{4x-2} = e^{x+7} \) 5. \( e^{x+1} = 2 \) 6. \( e^{2x} - 7e^x + 10 = 0 \) ### Devoir Résolvez les équations suivantes en justifiant chaque étape et en vérifiant les domaines de définition si nécessaire : 1. \( \ln(x+2) + \ln(x-3) = \ln(6) \) 2. \( (\ln(x))^2 - 4\ln(x) + 3 = 0 \) 3. \( e^{3x} - 2e^{2x} - e^x + 2 = 0 \) 4. \( \ln(x) - \frac{6}{\ln(x)} = 1 \) ### Résumé Pour résoudre des équations impliquant les fonctions \( \ln \) ou \( \exp \) : * **Priorité au domaine de définition :** Pour les équations avec \( \ln(f(x)) \), il est impératif de déterminer l'ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) > 0 \). * **Utilisez les propriétés :** Simplifiez l'équation en utilisant les propriétés algébriques de \( \ln \) ou \( \exp \). * **Appliquez la fonction réciproque ou l'injectivité :** * Si \( \ln(A) = \ln(B) \), alors \( A=B \) (après avoir vérifié le domaine). * Si \( \ln(A) = c \), alors \( A=e^c \) (après avoir vérifié le domaine). * Si \( e^A = e^B \), alors \( A=B \). * Si \( e^A = c \) : * Si \( c \le 0 \), pas de solution. * Si \( c > 0 \), alors \( A=\ln(c) \). * **Pensez au changement de variable :** Pour des équations de la forme \( ae^{2x} + be^x + c = 0 \) ou \( a(\ln x)^2 + b\ln x + c = 0 \), un changement de variable peut les ramener à des équations polynomiales classiques. * **Vérifiez vos solutions :** Assurez-vous toujours que les solutions obtenues sont compatibles avec le domaine de définition de l'équation originale, surtout pour les équations avec \( \ln \). ## Inéquations faisant intervenir ln ou exp ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre dédié aux inéquations impliquant les fonctions logarithme népérien (\( \ln \)) et exponentielle (\( \exp \)). Ces fonctions sont fondamentales en Terminale et leur maîtrise est essentielle pour résoudre de nombreux problèmes en mathématiques, mais aussi en physique, en biologie ou en économie. Nous allons revoir leurs propriétés clés et apprendre à manipuler ces fonctions pour résoudre des inéquations complexes de manière méthodique. ### Concepts Clés #### 1. Rappels sur les fonctions \( \ln \) et \( \exp \) * **Fonction logarithme népérien (\( \ln \))**: * Définition: C'est la primitive de la fonction \( x \mapsto \frac{1}{x} \) qui s'annule en 1. On la note \( \ln(x) \). * Domaine de définition: La fonction \( \ln \) est définie sur \( \left]0, +\infty\right[ \). * Valeurs particulières: \( \ln(1) = 0 \) et \( \ln(e) = 1 \). * Sens de variation: La fonction \( \ln \) est strictement croissante sur son domaine de définition. * **Fonction exponentielle (\( \exp \))**: * Définition: C'est l'unique fonction \( f \) dérivable sur \( \mathbb{R} \) telle que \( f' = f \) et \( f(0) = 1 \). On la note \( \exp(x) \) ou \( e^x \). * Domaine de définition: La fonction \( \exp \) est définie sur \( \mathbb{R} \). * Valeurs particulières: \( e^0 = 1 \) et \( e^1 = e \). * Sens de variation: La fonction \( \exp \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \). * Propriété fondamentale: Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( e^x > 0 \). * **Relations réciproques**: * Pour tout \( x > 0 \), \( \exp(\ln x) = x \). * Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( \ln(\exp x) = x \). #### 2. Propriétés utiles pour les inéquations Ces propriétés sont cruciales pour simplifier et résoudre les inéquations. * **Propriétés du logarithme népérien** (pour \( a > 0 \) et \( b > 0 \), et \( n \in \mathbb{Z} \)): * \( \ln(ab) = \ln a + \ln b \) * \( \ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b \) * \( \ln(a^n) = n \ln a \) * \( \ln(\frac{1}{a}) = -\ln a \) * **Propriétés de l'exponentielle** (pour \( a \in \mathbb{R} \) et \( b \in \mathbb{R} \), et \( n \in \mathbb{Z} \)): * \( e^{a+b} = e^a \cdot e^b \) * \( e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b} \) * \( (e^a)^n = e^{na} \) * \( e^{-a} = \frac{1}{e^a} \) * **Propriétés d'ordre (sens de variation)**: Puisque les fonctions \( \ln \) et \( \exp \) sont strictement croissantes: * Pour \( x, y > 0 \): \( \ln x < \ln y \Leftrightarrow x < y \) \( \ln x > \ln y \Leftrightarrow x > y \) \( \ln x = \ln y \Leftrightarrow x = y \) * Pour \( x, y \in \mathbb{R} \): \( e^x < e^y \Leftrightarrow x < y \) \( e^x > e^y \Leftrightarrow x > y \) \( e^x = e^y \Leftrightarrow x = y \) #### 3. Méthodologie de résolution d'inéquations avec \( \ln \) La résolution d'une inéquation avec \( \ln \) se fait en plusieurs étapes cruciales: 1. **Domaine de définition (D.D.)**: C'est l'étape la plus importante. Déterminer les valeurs de \( x \) pour lesquelles toutes les expressions sous le logarithme sont strictement positives. L'ensemble des solutions devra être un sous-ensemble de ce D.D. 2. **Isoler ou regrouper**: Utiliser les propriétés du \( \ln \) pour isoler un terme \( \ln(\text{expression}) \) ou pour regrouper plusieurs termes sous la forme \( \ln(A) < \ln(B) \). 3. **Appliquer la réciproque ou la propriété d'ordre**: * Si l'inéquation est de la forme \( \ln(f(x)) < k \), transformer \( k \) en \( \ln(e^k) \). L'inéquation devient \( \ln(f(x)) < \ln(e^k) \). * En utilisant la stricte croissance de \( \ln \), on peut passer à \( f(x) < e^k \) (ou \( f(x) < g(x) \) si c'était \( \ln(f(x)) < \ln(g(x)) \)). 4. **Résoudre l'inéquation algébrique**: L'inéquation obtenue est généralement polynomiale ou rationnelle, à résoudre avec les méthodes habituelles. 5. **Intersection avec le D.D.**: L'ensemble des solutions de l'inéquation est l'intersection des solutions trouvées à l'étape 4 et du domaine de définition déterminé à l'étape 1. #### 4. Méthodologie de résolution d'inéquations avec \( \exp \) La résolution d'une inéquation avec \( \exp \) suit une démarche similaire: 1. **Domaine de définition (D.D.)**: La fonction \( \exp \) est définie sur \( \mathbb{R} \), donc le D.D. est souvent \( \mathbb{R} \), à moins que l'expression en exposant ne limite le domaine. 2. **Isoler ou regrouper**: Utiliser les propriétés de \( \exp \) pour isoler un terme \( e^{\text{expression}} \) ou pour regrouper plusieurs termes sous la forme \( e^{f(x)} < e^{g(x)} \). 3. **Appliquer la réciproque ou la propriété d'ordre**: * Si l'inéquation est de la forme \( e^{f(x)} < k \), plusieurs cas se présentent: * Si \( k \le 0 \), il n'y a pas de solution car \( e^{f(x)} > 0 \) toujours. * Si \( k > 0 \), transformer \( k \) en \( e^{\ln k} \). L'inéquation devient \( e^{f(x)} < e^{\ln k} \). * En utilisant la stricte croissance de \( \exp \), on peut passer à \( f(x) < \ln k \) (ou \( f(x) < g(x) \) si c'était \( e^{f(x)} < e^{g(x)} \)). 4. **Résoudre l'inéquation algébrique**: L'inéquation obtenue est généralement polynomiale ou linéaire, à résoudre avec les méthodes habituelles. 5. **Intersection avec le D.D.**: L'ensemble des solutions de l'inéquation est l'intersection des solutions trouvées à l'étape 4 et du domaine de définition déterminé à l'étape 1. ### Vocabulaire * **Logarithme népérien (\( \ln \))**: Fonction réciproque de l'exponentielle, définie pour les nombres strictement positifs. * **Exponentielle (\( \exp \) ou \( e^x \))**: Fonction égale à sa propre dérivée, dont la valeur en 0 est 1, définie sur \( \mathbb{R} \). * **Inéquation**: Une inégalité qui contient une ou plusieurs variables. * **Domaine de définition**: L'ensemble des valeurs pour lesquelles une fonction ou une expression est définie. * **Strictement croissante**: Une fonction est strictement croissante si, pour toutes valeurs \( x_1 < x_2 \) de son domaine, on a \( f(x_1) < f(x_2) \). * **Ensemble de solutions**: L'ensemble de toutes les valeurs qui vérifient une inéquation. ### Exemples #### Exemple 1: Inéquation avec \( \ln \) Résoudre l'inéquation: \( \ln(x+1) < 2 \) 1. **Domaine de définition**: \( x+1 > 0 \) \( \Leftrightarrow \) \( x > -1 \). Donc \( D = \left]-1, +\infty\right[ \). 2. **Isoler et transformer**: L'inéquation est déjà sous la forme souhaitée. On transforme 2 en \( \ln(e^2) \): \[ \ln(x+1) < \ln(e^2) \] 3. **Appliquer la propriété d'ordre**: Puisque \( \ln \) est strictement croissante: \[ x+1 < e^2 \] 4. **Résoudre l'inéquation algébrique**: \[ x < e^2 - 1 \] 5. **Intersection avec le D.D.**: Nous avons \( x > -1 \) et \( x < e^2 - 1 \). L'ensemble solution est donc: \[ S = \left]-1, e^2 - 1\right[ \] #### Exemple 2: Inéquation avec \( \ln \) et propriétés Résoudre l'inéquation: \( \ln(x) + \ln(x-1) > \ln(2) \) 1. **Domaine de définition**: Il faut que \( x > 0 \) ET \( x-1 > 0 \) (soit \( x > 1 \)). Donc \( D = \left]1, +\infty\right[ \). 2. **Regrouper**: Utiliser la propriété \( \ln a + \ln b = \ln(ab) \): \[ \ln(x(x-1)) > \ln(2) \] \[ \ln(x^2 - x) > \ln(2) \] 3. **Appliquer la propriété d'ordre**: Puisque \( \ln \) est strictement croissante: \[ x^2 - x > 2 \] 4. **Résoudre l'inéquation algébrique**: \[ x^2 - x - 2 > 0 \] Cherchons les racines du trinôme \( x^2 - x - 2 = 0 \). Le discriminant est \( \Delta = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \). Les racines sont: \( x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1-3}{2} = -1 \) \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1+3}{2} = 2 \) Le trinôme est positif à l'extérieur des racines, donc \( x < -1 \) ou \( x > 2 \). 5. **Intersection avec le D.D.**: Nous avons \( x \in \left]1, +\infty\right[ \) et \( x \in \left]-\infty, -1\right[ \cup \left]2, +\infty\right[ \). L'intersection donne: \[ S = \left]2, +\infty\right[ \] #### Exemple 3: Inéquation avec \( \exp \) Résoudre l'inéquation: \( e^{2x-1} \ge 3 \) 1. **Domaine de définition**: L'exponentielle est définie sur \( \mathbb{R} \), donc \( D = \mathbb{R} \). 2. **Isoler et transformer**: L'inéquation est déjà sous la forme souhaitée. Puisque \( 3 > 0 \), on peut utiliser \( \ln \): \[ e^{2x-1} \ge e^{\ln 3} \] 3. **Appliquer la propriété d'ordre**: Puisque \( \exp \) est strictement croissante: \[ 2x-1 \ge \ln 3 \] 4. **Résoudre l'inéquation algébrique**: \( 2x \ge 1 + \ln 3 \) \( x \ge \frac{1 + \ln 3}{2} \) 5. **Intersection avec le D.D.**: Le D.D. est \( \mathbb{R} \), donc l'ensemble solution est directement: \[ S = \left[\frac{1 + \ln 3}{2}, +\infty\right[ \] #### Exemple 4: Inéquation avec \( \exp \) et changement de variable Résoudre l'inéquation: \( e^{2x} - 3e^x + 2 < 0 \) 1. **Domaine de définition**: \( D = \mathbb{R} \). 2. **Changement de variable**: On pose \( Y = e^x \). Puisque \( e^x > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \), alors \( Y > 0 \). L'inéquation devient: \[ Y^2 - 3Y + 2 < 0 \] 3. **Résoudre l'inéquation algébrique (avec Y)**: Cherchons les racines du trinôme \( Y^2 - 3Y + 2 = 0 \). Le discriminant est \( \Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 \). Les racines sont: \( Y_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3-1}{2} = 1 \) \( Y_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3+1}{2} = 2 \) Le trinôme est négatif entre ses racines, donc \( 1 < Y < 2 \). 4. **Revenons à \( x \)**: Nous avons \( 1 < e^x < 2 \). On décompose en deux inéquations: * \( e^x > 1 \) \( \Leftrightarrow \) \( e^x > e^0 \) \( \Leftrightarrow \) \( x > 0 \) (car \( \exp \) est strictement croissante). * \( e^x < 2 \) \( \Leftrightarrow \) \( e^x < e^{\ln 2} \) \( \Leftrightarrow \) \( x < \ln 2 \) (car \( \exp \) est strictement croissante). 5. **Intersection avec le D.D.**: L'ensemble solution est l'intersection de \( x > 0 \) et \( x < \ln 2 \), soit: \[ S = \left]0, \ln 2\right[ \] ### Exercices Résolvez les inéquations suivantes en détaillant toutes les étapes: 1. \( \ln(2x-3) \le 0 \) 2. \( \ln(x^2+x) > \ln(2) \) 3. \( e^{x+4} < 1 \) 4. \( e^{2x} - e^x - 6 > 0 \) ### Devoir Résolvez les inéquations suivantes. Soyez particulièrement attentifs aux domaines de définition et aux changements de variable si nécessaire. 1. \( \ln(x^2 - 4) \ge \ln(3x) \) 2. \( e^{3x+1} - 5e^{2x+1} + 6e^{x+1} \le 0 \) (Indice: factoriser \( e^{x+1} \) avant de poser un changement de variable) ### Résumé Pour résoudre une inéquation impliquant les fonctions \( \ln \) ou \( \exp \), il est crucial de suivre une méthode rigoureuse: 1. **Déterminer le domaine de définition (D.D.)** de l'inéquation. C'est la première étape indispensable, surtout pour les fonctions \( \ln \) où l'argument doit être strictement positif. 2. **Utiliser les propriétés** des fonctions \( \ln \) et \( \exp \) pour simplifier l'expression et, si possible, l'écrire sous la forme \( \ln(A) < \ln(B) \) ou \( e^A < e^B \). 3. **Appliquer la stricte croissance** de \( \ln \) et \( \exp \) pour transformer l'inéquation en une inéquation algébrique sans logarithme ni exponentielle (par exemple, \( A < B \)). 4. **Résoudre l'inéquation algébrique** obtenue. 5. **Intersecter les solutions** avec le domaine de définition initial pour obtenir l'ensemble solution final. Des changements de variable peuvent être utiles pour les inéquations de type polynomial. ## Primitives des fonctions homographiques ### Introduction Bienvenue dans ce cours sur les primitives des fonctions homographiques ! Après avoir exploré les notions de dérivation et de primitives pour des fonctions plus simples, nous allons maintenant aborder un type de fonction particulier : les fonctions homographiques. Savoir trouver la primitive d'une fonction est une compétence fondamentale en mathématiques, essentielle pour la résolution de problèmes en physique, en ingénierie et dans d'autres sciences. Ce cours vous guidera étape par étape pour maîtriser cette technique. ### Concepts Clés #### Rappel : Qu'est-ce qu'une primitive ? Une fonction \( F \) est une primitive d'une fonction \( f \) sur un intervalle \( I \) si, pour tout \( x \) dans \( I \), la dérivée de \( F \) est égale à \( f \), c'est-à-dire \( F'(x) = f(x) \). Si \( F \) est une primitive de \( f \), alors toutes les primitives de \( f \) sont de la forme \( F(x) + C \), où \( C \) est une constante réelle arbitraire appelée **constante d'intégration**. #### Fonctions homographiques Une fonction homographique est une fonction rationnelle de la forme : \[ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \] où \( a, b, c, d \) sont des nombres réels, avec \( c \neq 0 \) (sinon ce serait une fonction affine) et \( ad-bc \neq 0 \) (sinon ce serait une fonction constante ou ayant une droite comme graphe, après simplification). L'ensemble de définition d'une fonction homographique est \( D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{d}{c}\right\} \). #### Méthode de calcul des primitives La stratégie principale pour trouver la primitive d'une fonction homographique consiste à la transformer en une somme de fonctions dont les primitives sont connues. ##### Étape 1 : Décomposition de la fonction Nous allons réécrire la fonction \( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \) sous la forme \( A + \frac{B}{cx+d} \), où \( A \) et \( B \) sont des constantes à déterminer. Pour ce faire, on peut utiliser la division euclidienne du numérateur par le dénominateur ou l'identification des coefficients : \[ \frac{ax+b}{cx+d} = \frac{\frac{a}{c}(cx+d) - \frac{ad}{c} + b}{cx+d} = \frac{a}{c} + \frac{b - \frac{ad}{c}}{cx+d} \] Donc, \( A = \frac{a}{c} \) et \( B = b - \frac{ad}{c} = \frac{bc-ad}{c} \). La fonction devient : \( f(x) = \frac{a}{c} + \frac{\frac{bc-ad}{c}}{cx+d} \). ##### Étape 2 : Intégration des termes Maintenant que la fonction est décomposée, nous pouvons trouver la primitive de chaque terme séparément. * La primitive de la constante \( \frac{a}{c} \) est \( \frac{a}{c}x \). * Pour le deuxième terme, \( \frac{\frac{bc-ad}{c}}{cx+d} \), on utilise la formule de primitive de \( \frac{u'(x)}{u(x)} \) qui est \( \ln|u(x)| \). Ici, \( u(x) = cx+d \), et donc \( u'(x) = c \). Pour que le numérateur soit \( u'(x) \), il faut ajuster le coefficient. Soit \( K = \frac{bc-ad}{c} \). Le terme est \( \frac{K}{cx+d} \). On peut l'écrire comme \( \frac{K}{c} \cdot \frac{c}{cx+d} \). Ainsi, la primitive de \( \frac{K}{cx+d} \) est \( \frac{K}{c} \ln|cx+d| \). En remplaçant \( K \) par sa valeur, la primitive du deuxième terme est \( \frac{bc-ad}{c^2} \ln|cx+d| \). ##### Étape 3 : Combinaison En combinant les primitives de chaque terme, on obtient la primitive générale de la fonction homographique : \[ F(x) = \frac{a}{c}x + \frac{bc-ad}{c^2} \ln|cx+d| + C \] Il est crucial de se rappeler d'ajouter la constante d'intégration \( C \). ### Vocabulaire * **Primitive** : Fonction dont la dérivée est la fonction donnée. Aussi appelée **antidérivée**. * **Fonction homographique** : Fonction de la forme \( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \). * **Logarithme népérien (\( \ln \))** : Fonction réciproque de la fonction exponentielle, définie pour les nombres réels strictement positifs. Sa dérivée est \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \). * **Constante d'intégration (\( C \))** : Une constante réelle arbitraire ajoutée à une primitive. Elle reflète le fait qu'une fonction a une infinité de primitives. * **Valeur absolue (\( |x| \))** : Le \( \ln \) n'est défini que pour des arguments positifs, d'où l'utilisation de la valeur absolue \( |cx+d| \) dans la primitive de \( \frac{1}{cx+d} \). ### Exemples #### Exemple 1 : Calculer une primitive de \( f(x) = \frac{2x+5}{x+1} \) 1. **Identification des coefficients** : \( a=2, b=5, c=1, d=1 \). 2. **Décomposition de la fonction** : Nous cherchons \( A + \frac{B}{x+1} \). Méthode par division euclidienne ou astuce : \( f(x) = \frac{2x+5}{x+1} = \frac{2(x+1) + 3}{x+1} = \frac{2(x+1)}{x+1} + \frac{3}{x+1} = 2 + \frac{3}{x+1} \). Donc \( A=2 \) et \( B=3 \). 3. **Intégration** : * Primitive de \( 2 \) est \( 2x \). * Primitive de \( \frac{3}{x+1} \) est \( 3 \ln|x+1| \) (car la dérivée de \( x+1 \) est \( 1 \)). 4. **Combinaison** : Une primitive de \( f(x) \) est \( F(x) = 2x + 3\ln|x+1| + C \). #### Exemple 2 : Calculer une primitive de \( g(x) = \frac{3x-1}{2x-4} \) 1. **Identification des coefficients** : \( a=3, b=-1, c=2, d=-4 \). 2. **Décomposition de la fonction** : Nous cherchons \( A + \frac{B}{2x-4} \). \( A = \frac{a}{c} = \frac{3}{2} \). \( B = \frac{bc-ad}{c} = \frac{(-1)(2) - (3)(-4)}{2} = \frac{-2 + 12}{2} = \frac{10}{2} = 5 \). Donc \( g(x) = \frac{3}{2} + \frac{5}{2x-4} \). 3. **Intégration** : * Primitive de \( \frac{3}{2} \) est \( \frac{3}{2}x \). * Pour \( \frac{5}{2x-4} \), on utilise \( \int \frac{k}{ux+v} dx = \frac{k}{u} \ln|ux+v| \). Ici \( k=5, u=2, v=-4 \). La primitive est \( \frac{5}{2} \ln|2x-4| \). 4. **Combinaison** : Une primitive de \( g(x) \) est \( G(x) = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}\ln|2x-4| + C \). ### Exercices Calculez une primitive pour chacune des fonctions suivantes : 1. \( f(x) = \frac{x+3}{x-2} \) 2. \( g(x) = \frac{4x+1}{2x+3} \) 3. \( h(x) = \frac{-x+5}{3x+6} \) ### Devoir 1. Déterminez une primitive de \( k(x) = \frac{6x-7}{3x-1} \). 2. Trouvez la primitive \( F \) de la fonction \( p(x) = \frac{x}{x+1} \) telle que \( F(0) = 1 \). ### Résumé Dans ce chapitre, nous avons appris à calculer les primitives des fonctions homographiques. La méthode repose sur une décomposition astucieuse de la fonction de la forme \( \frac{ax+b}{cx+d} \) en une somme d'une constante et d'un terme de la forme \( \frac{K}{cx+d} \). Une fois cette décomposition effectuée, il suffit d'appliquer les règles de primitives connues : * La primitive d'une constante \( A \) est \( Ax \). * La primitive de \( \frac{K}{cx+d} \) est \( \frac{K}{c} \ln|cx+d| \). N'oubliez jamais la constante d'intégration \( C \) ! Maîtriser cette technique est essentiel pour les applications futures en analyse. Entraînez-vous régulièrement avec les exercices pour solidifier vos acquis. ## Etude des fonctions qui à x associe ln(ax+b) ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons approfondir notre compréhension des fonctions logarithmes népériens en étudiant spécifiquement les fonctions de la forme \(f(x) = \ln(ax+b)\), où \(a\) et \(b\) sont des constantes réelles et \(a \ne 0\). Vous avez déjà étudié la fonction \(x \mapsto \ln(x)\) et ses propriétés fondamentales. Nous allons maintenant voir comment les paramètres \(a\) et \(b\) influencent le domaine de définition, la dérivée, le sens de variation et la représentation graphique de ces fonctions transformées. ### Concepts Clés #### Rappel sur la fonction logarithme népérien \(x \mapsto \ln(x)\) * **Domaine de définition**: \(D_{\ln} = ]0; +\infty[ * **Dérivée**: Pour \(x > 0\), \( (\ln(x))' = \frac{1}{x} \) * **Sens de variation**: La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur son domaine. * **Limites**: * \( \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \) * \( \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \) * **Valeurs remarquables**: \(\ln(1) = 0\) et \(\ln(e) = 1\). #### Domaine de définition de \(f(x) = \ln(ax+b)\) Pour que la fonction \(f(x) = \ln(ax+b)\) soit définie, l'argument du logarithme doit être strictement positif. C'est-à-dire : \[ ax+b > 0 \] Pour trouver le domaine de définition \(D_f\), il faut résoudre cette inéquation : * Si \(a > 0\) : \(ax > -b \implies x > -\frac{b}{a}\). Donc \(D_f = ]-\frac{b}{a}; +\infty[\) * Si \(a < 0\) : \(ax > -b \implies x < -\frac{b}{a}\). Donc \(D_f = ]-\infty; -\frac{b}{a}[\) #### Dérivée de \(f(x) = \ln(ax+b)\) La fonction \(f(x)\) est de la forme \(\ln(u(x))\) avec \(u(x) = ax+b\). La dérivée d'une fonction composée \(\ln(u(x))\) est \(\frac{u'(x)}{u(x)}\). Ici, \(u'(x) = a\). Donc, pour \(x \in D_f\) : \[ f'(x) = \frac{a}{ax+b} \] #### Sens de variation de \(f(x) = \ln(ax+b)\) Le sens de variation de \(f\) est donné par le signe de sa dérivée \(f'(x) = \frac{a}{ax+b}\). Puisque \(ax+b > 0\) sur le domaine de définition, le signe de \(f'(x)\) est celui de \(a\). * Si \(a > 0\) : Alors \(f'(x) > 0\) sur \(D_f\). La fonction \(f\) est **strictement croissante**. * Si \(a < 0\) : Alors \(f'(x) < 0\) sur \(D_f\). La fonction \(f\) est **strictement décroissante**. #### Asymptote verticale Pour la fonction \(f(x) = \ln(ax+b)\), nous avons une asymptote verticale lorsque \(ax+b \to 0^+\). Ceci se produit à la valeur \(x = -\frac{b}{a}\). * Si \(a > 0\) : \( \lim_{x \to (-b/a)^+} \ln(ax+b) = -\infty \) * Si \(a < 0\) : \( \lim_{x \to (-b/a)^-} \ln(ax+b) = -\infty \) Dans les deux cas, la droite d'équation \(x = -\frac{b}{a}\) est une asymptote verticale à la courbe représentative de \(f\). ### Vocabulaire * **Logarithme népérien**: Fonction réciproque de la fonction exponentielle, notée \(\ln(x)\). * **Domaine de définition**: L'ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles la fonction est définie. * **Dérivée**: Mesure le taux de variation d'une fonction et donne la pente de la tangente à la courbe en un point. * **Sens de variation**: Indique si une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle. * **Asymptote verticale**: Droite verticale vers laquelle la courbe d'une fonction s'approche indéfiniment lorsque \(x\) tend vers une certaine valeur. ### Exemples #### Exemple 1: Déterminer le domaine de définition et la dérivée de \(f(x) = \ln(2x-4)\) 1. **Domaine de définition**: Il faut que \(2x-4 > 0\). \(2x > 4 \implies x > 2\). Donc \(D_f = ]2; +\infty[\). 2. **Dérivée**: Ici \(a=2\) et \(b=-4\). \(f'(x) = \frac{a}{ax+b} = \frac{2}{2x-4}\). #### Exemple 2: Etudier les variations de \(g(x) = \ln(-3x+6)\) 1. **Domaine de définition**: Il faut que \(-3x+6 > 0\). \(-3x > -6 \implies x < 2\) (attention au changement de sens de l'inégalité car on divise par un nombre négatif). Donc \(D_g = ]-\infty; 2[\). 2. **Dérivée**: Ici \(a=-3\) et \(b=6\). \(g'(x) = \frac{-3}{-3x+6}\). 3. **Sens de variation**: Puisque \(a=-3 < 0\), la fonction \(g\) est **strictement décroissante** sur \(D_g\). 4. **Asymptote verticale**: La droite d'équation \(x=2\) est une asymptote verticale, car \( \lim_{x \to 2^-} \ln(-3x+6) = -\infty \). ### Exercices Pour chaque fonction, déterminez son domaine de définition, calculez sa dérivée et précisez son sens de variation : 1. \(f(x) = \ln(5x+10)\) 2. \(g(x) = \ln(1-x)\) 3. \(h(x) = \ln(\frac{x}{2} + 3)\) 4. \(k(x) = \ln(-4x-8)\) ### Devoir à la maison Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \ln(2x+6)\). 1. Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\). 2. Calculer la dérivée \(f'(x)\) de \(f\). 3. Etudier le sens de variation de \(f\) sur \(D_f\). 4. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de son domaine de définition. 5. En déduire les équations des éventuelles asymptotes à la courbe représentative de \(f\). 6. Résoudre l'équation \(f(x) = 0\). ### Résumé Pour étudier une fonction de la forme \(f(x) = \ln(ax+b)\) : * **Domaine de définition**: Résoudre l'inéquation \(ax+b > 0\). * **Dérivée**: \(f'(x) = \frac{a}{ax+b}\). * **Sens de variation**: Le signe de \(f'(x)\) est celui de \(a\). * Si \(a > 0\), \(f\) est strictement croissante. * Si \(a < 0\), \(f\) est strictement décroissante. * **Asymptote verticale**: La droite d'équation \(x = -\frac{b}{a}\) est une asymptote verticale. ## Etude des fonctions qui à x associe exp(ax+b) ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons approfondir notre compréhension de la fonction exponentielle en étudiant des fonctions de la forme \( f(x) = e^{ax+b} \), où \( a \) et \( b \) sont des constantes réelles. Ces fonctions sont omniprésentes en sciences et en ingénierie pour modéliser des phénomènes de croissance ou de décroissance exponentielle. Nous allons apprendre à les dériver, à analyser leurs variations et à calculer leurs limites. ### Concepts Clés #### Rappels sur la fonction exponentielle \( x \mapsto e^x \) La fonction exponentielle est une fonction fondamentale en mathématiques. * **Définition:** La fonction exponentielle, notée \( ext{exp}(x) \) ou \( e^x \), est l'unique fonction dérivable sur \( \mathbb{R} \) telle que \( f'(x) = f(x) \) et \( f(0) = 1 \). * **Propriétés algébriques importantes:** Pour tous réels \( x \) et \( y \): * \( e^x > 0 \) * \( e^0 = 1 \) * \( e^1 = e \) * \( e^{x+y} = e^x e^y \) * \( e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y} \) * \( (e^x)^n = e^{nx} \) pour tout entier \( n \) * **Dérivée:** La dérivée de \( e^x \) est elle-même: \[ (e^x)' = e^x \] * **Variations:** La fonction \( x \mapsto e^x \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \). * **Limites:** * \( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \) * \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \) #### Dérivation des fonctions de la forme \( f(x) = e^{ax+b} \) Pour dériver une fonction de la forme \( e^{u(x)} \), on utilise la règle de dérivation des fonctions composées. * **Règle générale:** Si \( f(x) = e^{u(x)} \), alors sa dérivée est \[ f'(x) = u'(x)e^{u(x)} \] * **Application à \( e^{ax+b} \):** Ici, \( u(x) = ax+b \). La dérivée de \( u(x) \) est \( u'(x) = a \). Par conséquent, la dérivée de \( f(x) = e^{ax+b} \) est: \[ (e^{ax+b})' = a e^{ax+b} \] #### Variations des fonctions de la forme \( f(x) = e^{ax+b} \) Les variations de \( f(x) = e^{ax+b} \) dépendent du signe de sa dérivée \( f'(x) = a e^{ax+b} \). * Puisque \( e^{ax+b} \) est toujours strictement positif, le signe de \( f'(x) \) est le même que le signe de la constante \( a \). * Si \( a > 0 \), alors \( f'(x) > 0 \) et la fonction \( f \) est **strictement croissante** sur \( \mathbb{R} \). * Si \( a < 0 \), alors \( f'(x) < 0 \) et la fonction \( f \) est **strictement décroissante** sur \( \mathbb{R} \). * Si \( a = 0 \), la fonction est \( f(x) = e^b \), qui est une fonction constante. #### Limites des fonctions de la forme \( f(x) = e^{ax+b} \) Pour calculer les limites, nous étudions le comportement de l'exposant \( ax+b \). * **Quand \( x \to +\infty \):** * Si \( a > 0 \), alors \( ax+b \to +\infty \). Donc, \( \lim_{x \to +\infty} e^{ax+b} = +\infty \). * Si \( a < 0 \), alors \( ax+b \to -\infty \). Donc, \( \lim_{x \to +\infty} e^{ax+b} = 0 \). * **Quand \( x \to -\infty \):** * Si \( a > 0 \), alors \( ax+b \to -\infty \). Donc, \( \lim_{x \to -\infty} e^{ax+b} = 0 \). * Si \( a < 0 \), alors \( ax+b \to +\infty \). Donc, \( \lim_{x \to -\infty} e^{ax+b} = +\infty \). ### Vocabulaire * **Fonction exponentielle:** Fonction \( x \mapsto e^x \) dont la dérivée est elle-même. * **Dérivée:** Taux de variation d'une fonction, indiquant sa pente. * **Variations:** Le sens de variation d'une fonction (croissante, décroissante, constante). * **Limites:** La valeur vers laquelle une fonction tend lorsque sa variable s'approche d'une certaine valeur (finie ou infinie). * **Constante:** Valeur fixe, non variable (ici \( a \) et \( b \)). * **Argument de l'exponentielle:** L'expression \( ax+b \) qui est élevée à la puissance \( e \). ### Exemples #### Exemple 1: Etude de \( f(x) = e^{2x-1} \) Ici, \( a=2 \) et \( b=-1 \). * **Dérivée:** \( f'(x) = 2e^{2x-1} \). * **Variations:** Puisque \( a=2 > 0 \), \( f'(x) > 0 \), donc \( f(x) \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \). * **Limites:** * \( \lim_{x \to -\infty} (2x-1) = -\infty \), donc \( \lim_{x \to -\infty} e^{2x-1} = 0 \). * \( \lim_{x \to +\infty} (2x-1) = +\infty \), donc \( \lim_{x \to +\infty} e^{2x-1} = +\infty \). #### Exemple 2: Etude de \( g(x) = e^{-3x+4} \) Ici, \( a=-3 \) et \( b=4 \). * **Dérivée:** \( g'(x) = -3e^{-3x+4} \). * **Variations:** Puisque \( a=-3 < 0 \), \( g'(x) < 0 \), donc \( g(x) \) est strictement décroissante sur \( \mathbb{R} \). * **Limites:** * \( \lim_{x \to -\infty} (-3x+4) = +\infty \), donc \( \lim_{x \to -\infty} e^{-3x+4} = +\infty \). * \( \lim_{x \to +\infty} (-3x+4) = -\infty \), donc \( \lim_{x \to +\infty} e^{-3x+4} = 0 \). #### Exemple 3: Résolution d'équation Résoudre l'équation \( e^{3x-2} = 5 \). * On prend le logarithme népérien des deux côtés: \( \ln(e^{3x-2}) = \ln(5) \). * Ce qui simplifie en: \( 3x-2 = \ln(5) \). * On isole \( x \): \( 3x = \ln(5) + 2 \), d'où \( x = \frac{\ln(5) + 2}{3} \). ### Exercices 1. **Dérivation:** Calculer la dérivée des fonctions suivantes: a. \( f(x) = e^{5x} \) b. \( g(x) = e^{-x+7} \) c. \( h(x) = 4e^{0.5x-2} \) 2. **Variations et limites:** Pour chaque fonction de l'exercice 1, déterminer son sens de variation et calculer ses limites en \( +\infty \) et \( -\infty \). 3. **Tableau de variation:** Dresser le tableau de variation complet de la fonction \( k(x) = e^{-2x+3} \). 4. **Résolution d'équation:** Résoudre les équations suivantes: a. \( e^{x+1} = 1 \) b. \( e^{4x-3} = e^5 \) c. \( e^{2x} = 7 \) ### Devoir Maison 1. **Etude complète:** Soit la fonction \( f(x) = (3x-1)e^{-x} \). a. Calculer \( f'(x) \). b. Étudier le signe de \( f'(x) \) et en déduire le tableau de variation de \( f \). c. Calculer les limites de \( f \) en \( +\infty \) et en \( -\infty \). 2. **Tangente:** Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction \( g(x) = e^{2x-4} \) au point d'abscisse \( x=2 \). 3. **Problème d'optimisation:** Une quantité de substance radioactive décroît selon la formule \( Q(t) = 100e^{-0.05t} \), où \( Q(t) \) est la quantité en grammes et \( t \) le temps en jours. a. Quelle est la quantité initiale de substance ? b. Combien de temps faudra-t-il pour que la quantité soit réduite de moitié ? ### Résumé Les fonctions de la forme \( f(x) = e^{ax+b} \) sont des extensions directes de la fonction exponentielle \( e^x \). * **Dérivée:** \( (e^{ax+b})' = a e^{ax+b} \). * **Variations:** * Si \( a > 0 \), la fonction est strictement croissante. * Si \( a < 0 \), la fonction est strictement décroissante. * **Limites:** Le comportement aux infinis dépend du signe de \( a \) et suit les règles des limites de \( e^X \) avec \( X = ax+b \). La compréhension de ces propriétés est cruciale pour analyser des modèles mathématiques dans divers domaines.