Chap2: Fonctions : Dérivée et primitives

# Chap2: Fonctions : Dérivée et primitives ## Dérivées usuelles ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre crucial des fonctions ! Comprendre les dérivées est essentiel pour analyser le comportement des fonctions, que ce soit pour déterminer leurs variations, leurs extremums ou la pente de leurs tangentes. Dans cette leçon, nous allons réviser et approfondir les formules de dérivation des fonctions les plus courantes, ainsi que les règles de dérivation pour les opérations sur les fonctions. Maîtriser ces outils vous permettra de résoudre de nombreux problèmes en mathématiques et dans d'autres sciences. ### Concepts Clés #### Rappel sur le Nombre Dérivé et la Fonction Dérivée Le nombre dérivé \( f'(a) \) d'une fonction \( f \) en un point \( a \) est la pente de la tangente à la courbe de \( f \) au point d'abscisse \( a \). La fonction dérivée \( f' \) associe à chaque \( x \) de l'intervalle où \( f \) est dérivable, le nombre dérivé de \( f \) en \( x \). #### Formules de Dérivation des Fonctions Usuelles Pour faciliter l'analyse des fonctions, il est fondamental de connaître par cœur les dérivées des fonctions de base : * **Fonction constante** : Si \( f(x) = c \) (où \( c \) est une constante réelle), alors \[ f'(x) = 0 \] * **Fonction puissance** : Si \( f(x) = x^n \) (où \( n \) est un entier relatif non nul), alors \[ f'(x) = nx^{n-1} \] *Exemples* : * \( (x^2)' = 2x \) * \( (x^3)' = 3x^2 \) * \( (x^1)' = 1x^0 = 1 \) (pour \( f(x)=x \)) * **Fonction inverse** : Si \( f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \) (pour \( x \neq 0 \)), alors \[ f'(x) = -\frac{1}{x^2} \] * **Fonction racine carrée** : Si \( f(x) = \sqrt{x} \) (pour \( x > 0 \)), alors \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] * **Fonction exponentielle** : Si \( f(x) = e^x \), alors \[ f'(x) = e^x \] * **Fonction logarithme népérien** : Si \( f(x) = \ln(x) \) (pour \( x > 0 \)), alors \[ f'(x) = \frac{1}{x} \] * **Fonctions trigonométriques** : * Si \( f(x) = \sin(x) \), alors \[ f'(x) = \cos(x) \] * Si \( f(x) = \cos(x) \), alors \[ f'(x) = -\sin(x) \] * Si \( f(x) = \tan(x) \) (pour \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \)), alors \[ f'(x) = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \] #### Opérations sur les Dérivées Lorsque des fonctions sont combinées par des opérations, leurs dérivées suivent des règles spécifiques. Soient \( u \) et \( v \) deux fonctions dérivables sur un intervalle \( I \), et \( k \) une constante réelle : * **Dérivée d'une somme ou d'une différence** : Si \( f(x) = u(x) + v(x) \) ou \( f(x) = u(x) - v(x) \), alors \[ f'(x) = u'(x) + v'(x) \] ou \[ f'(x) = u'(x) - v'(x) \] * **Dérivée du produit par une constante** : Si \( f(x) = k \cdot u(x) \), alors \[ f'(x) = k \cdot u'(x) \] * **Dérivée d'un produit** : Si \( f(x) = u(x) \cdot v(x) \), alors \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] * **Dérivée d'un quotient** : Si \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \) (où \( v(x) \neq 0 \)), alors \[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \] * **Dérivée d'une fonction composée (Règle de la chaîne)** : Si \( f(x) = g(u(x)) \), alors \( f'(x) = u'(x) \cdot g'(u(x)) \). Voici quelques cas particuliers importants : * \( (u^n)' = nu^{n-1}u' \) * \( (\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \) (pour \( u(x) > 0 \)) * \( (\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2} \) (pour \( u(x) \neq 0 \)) * \( (e^u)' = u'e^u \) * \( (\ln u)' = \frac{u'}{u} \) (pour \( u(x) > 0 \)) * \( (\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b) \) * \( (\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b) \) ### Vocabulaire * **Dérivée** : Mesure du taux de variation instantané d'une fonction. * **Nombre dérivé** : La pente de la tangente à la courbe d'une fonction en un point donné. C'est la valeur de la dérivée en ce point. * **Fonction dérivable** : Une fonction qui admet une dérivée en chaque point d'un intervalle. * **Tangente** : Une droite qui « touche » une courbe en un seul point et a la même pente que la courbe en ce point. * **Taux de variation** : Rapport entre la variation d'une fonction et la variation de sa variable. Pour une dérivée, c'est le taux de variation instantané. * **Primitive** : Une fonction \( F \) dont la dérivée est une fonction donnée \( f \) (c'est l'opération inverse de la dérivation). ### Exemples #### Exemple 1 : Dérivée d'un polynôme Soit la fonction \( f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 4 \). En appliquant les règles de la somme et du produit par une constante : \[ f'(x) = (5x^3)' - (2x^2)' + (7x)' - (4)' \] \[ f'(x) = 5(3x^{3-1}) - 2(2x^{2-1}) + 7(1) - 0 \] \[ f'(x) = 15x^2 - 4x + 7 \] #### Exemple 2 : Dérivée d'un produit Soit la fonction \( g(x) = (3x+1)e^x \). On pose \( u(x) = 3x+1 \) et \( v(x) = e^x \). Alors \( u'(x) = 3 \) et \( v'(x) = e^x \). En utilisant la formule \( (uv)' = u'v + uv' \) : \[ g'(x) = 3 \cdot e^x + (3x+1) \cdot e^x \] \[ g'(x) = e^x (3 + 3x + 1) \] \[ g'(x) = e^x (3x + 4) \] #### Exemple 3 : Dérivée d'un quotient Soit la fonction \( h(x) = \frac{2x-1}{x+3} \) pour \( x \neq -3 \). On pose \( u(x) = 2x-1 \) et \( v(x) = x+3 \). Alors \( u'(x) = 2 \) et \( v'(x) = 1 \). En utilisant la formule \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \) : \[ h'(x) = \frac{2(x+3) - (2x-1)(1)}{(x+3)^2} \] \[ h'(x) = \frac{2x+6 - 2x+1}{(x+3)^2} \] \[ h'(x) = \frac{7}{(x+3)^2} \] #### Exemple 4 : Dérivée d'une fonction composée Soit la fonction \( k(x) = \sqrt{x^2+4} \). On utilise la formule \( (\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \) avec \( u(x) = x^2+4 \). Alors \( u'(x) = 2x \). \[ k'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}} \] \[ k'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} \] ### Exercices Calculez la dérivée des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition : 1. \( f(x) = -7x^4 + 3x^2 - 10x + 1 \) 2. \( g(x) = (2x^2+5)(x-3) \) 3. \( h(x) = \frac{5x+2}{x^2+1} \) 4. \( i(x) = e^{4x-5} \) 5. \( j(x) = \ln(3x^2+x) \) 6. \( k(x) = x \sin(x) \) 7. \( l(x) = \cos(x^3) \) 8. \( m(x) = \sqrt{2x^2-x+1} \) ### Devoir 1. **Calcul de dérivées** : Dérivez les fonctions suivantes : a. \( f(x) = (x^3 - 2x)^4 \) b. \( g(x) = \frac{e^{2x}}{x-1} \) pour \( x \neq 1 \) c. \( h(x) = \sin(3x) \cos(2x) \) d. \( k(x) = x \ln(x) - x \) pour \( x > 0 \) 2. **Application à l'étude de fonction** : Soit la fonction \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \). a. Calculez la dérivée \( f'(x) \). b. Étudiez le signe de \( f'(x) \). c. Déduisez le tableau de variation de \( f \). 3. **Tangente** : Déterminez l'équation de la tangente à la courbe de la fonction \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \) au point d'abscisse \( x=3 \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les dérivées des fonctions usuelles et les règles de dérivation. Il est crucial de maîtriser ces formules : * Les dérivées des fonctions puissances (\( x^n \), \( \frac{1}{x} \), \( \sqrt{x} \)). * Les dérivées des fonctions exponentielles (\( e^x \)) et logarithmiques (\( \ln x \)). * Les dérivées des fonctions trigonométriques (\( \sin x \), \( \cos x \)). Nous avons également revu les règles de dérivation pour la somme, le produit par une constante, le produit, le quotient et les fonctions composées. Ces outils sont fondamentaux pour l'étude des variations de fonctions et la résolution de problèmes en Terminale et au-delà. Pratiquez régulièrement pour bien assimiler ces concepts ! ## Primitives des fonctions polynômes ### Introduction En mathématiques, après avoir étudié les dérivées, il est naturel de se poser la question inverse : comment retrouver une fonction si l'on connaît sa dérivée ? C'est ce que nous allons explorer avec la notion de primitive. Comprendre les primitives est essentiel car elles sont à la base du calcul intégral et de nombreuses applications en physique, en ingénierie et en économie. ### Concepts Clés #### Définition d'une primitive Une fonction \( F \) est appelée une **primitive** de la fonction \( f \) sur un intervalle \( I \) si et seulement si \( F \) est dérivable sur \( I \) et que pour tout \( x \) de \( I \), on a : \[ F'(x) = f(x) \] Par exemple, si \( f(x) = 2x \), alors \( F(x) = x^2 \) est une primitive de \( f \) car la dérivée de \( x^2 \) est \( 2x \). #### Famille de primitives Si \( F \) est une primitive de \( f \) sur un intervalle \( I \), alors toutes les primitives de \( f \) sur \( I \) sont de la forme \( F(x) + C \), où \( C \) est une constante réelle arbitraire. Cette constante \( C \) est appelée **constante d'intégration**. Cela signifie qu'une fonction admet une infinité de primitives, toutes décalées verticalement les unes par rapport aux autres. Par exemple, pour \( f(x) = 2x \) : * \( F_1(x) = x^2 \) * \( F_2(x) = x^2 + 5 \) * \( F_3(x) = x^2 - rac{1}{2} \) sont toutes des primitives de \( f \). Leurs dérivées sont toutes égales à \( 2x \). #### Primitives des fonctions usuelles (polynômes) Pour trouver les primitives des fonctions polynômes, nous utilisons des règles qui sont l'inverse des règles de dérivation que vous connaissez. * **Primitive d'une constante :** Si \( f(x) = k \) (où \( k \) est une constante réelle), alors une primitive est \( F(x) = kx + C \). *Exemple :* Une primitive de \( f(x) = 5 \) est \( F(x) = 5x + C \). * **Primitive de \( x^n \) :** Si \( f(x) = x^n \) (où \( n \) est un entier naturel), alors une primitive est \( F(x) = rac{1}{n+1} x^{n+1} + C \). *Exemple :* Une primitive de \( f(x) = x^3 \) est \( F(x) = rac{1}{3+1} x^{3+1} + C = rac{1}{4} x^4 + C \). * **Linéarité de la primitivation :** Si \( F \) est une primitive de \( f \) et \( G \) est une primitive de \( g \) sur un intervalle \( I \), et si \( a \) et \( b \) sont des constantes réelles, alors une primitive de la fonction \( h(x) = af(x) + bg(x) \) est \( H(x) = aF(x) + bG(x) + C \). Cette propriété est très utile car elle nous permet de trouver les primitives des fonctions polynômes terme par terme. #### Condition initiale Pour déterminer une primitive spécifique parmi toutes les primitives possibles, il nous faut une information supplémentaire, appelée **condition initiale**. Cette condition est généralement donnée sous la forme \( F(x_0) = y_0 \), ce qui signifie que la courbe représentative de la primitive recherchée doit passer par le point \( (x_0, y_0) \). *Procédure pour trouver une primitive spécifique :* 1. Trouvez la forme générale de la primitive de \( f(x) \) : \( F(x) = ext{expression} + C \). 2. Utilisez la condition initiale \( F(x_0) = y_0 \) en substituant \( x_0 \) dans \( F(x) \) et en égalisant à \( y_0 \). 3. Résolvez l'équation obtenue pour trouver la valeur numérique de la constante \( C \). 4. Écrivez l'expression de la primitive spécifique en remplaçant \( C \) par sa valeur. ### Vocabulaire * **Primitive :** Une fonction \( F \) dont la dérivée est une fonction donnée \( f \). On dit que \( F \) est une primitive de \( f \). * **Dérivée :** La fonction qui donne le taux de variation instantané d'une autre fonction. C'est l'opération inverse de la primitivation. * **Constante d'intégration (C) :** Le nombre réel arbitraire qui est ajouté à une primitive. Elle représente l'ensemble des primitives d'une fonction. * **Intervalle :** Un ensemble de nombres réels (par exemple, \( [a,b] \), \( ]a,b[ \), etc.) sur lequel la fonction est définie et pour lequel la primitivation est effectuée. * **Condition initiale :** Une valeur spécifique d'une primitive en un point donné (par exemple, \( F(x_0) = y_0 \)), utilisée pour déterminer la valeur unique de la constante d'intégration. ### Exemples #### Exemple 1 : Primitives d'une fonction polynôme Trouvez une primitive de la fonction \( f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x - 7 \). *Solution :* En utilisant les règles de primitivation terme par terme : * Primitive de \( 4x^3 \) est \( 4 imes rac{1}{3+1} x^{3+1} = 4 imes rac{1}{4} x^4 = x^4 \). * Primitive de \( -6x^2 \) est \( -6 imes rac{1}{2+1} x^{2+1} = -6 imes rac{1}{3} x^3 = -2x^3 \). * Primitive de \( 2x \) est \( 2 imes rac{1}{1+1} x^{1+1} = 2 imes rac{1}{2} x^2 = x^2 \). * Primitive de \( -7 \) est \( -7x \). Donc, l'ensemble des primitives est \( F(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - 7x + C \). #### Exemple 2 : Primitive avec condition initiale Trouvez la primitive \( F \) de la fonction \( f(x) = 3x^2 - 4x + 1 \) telle que \( F(2) = 5 \). *Solution :* 1. Trouvons la forme générale de la primitive de \( f(x) \) : * Primitive de \( 3x^2 \) est \( 3 imes rac{1}{3} x^3 = x^3 \). * Primitive de \( -4x \) est \( -4 imes rac{1}{2} x^2 = -2x^2 \). * Primitive de \( 1 \) est \( x \). Donc, \( F(x) = x^3 - 2x^2 + x + C \). 2. Utilisons la condition initiale \( F(2) = 5 \) pour trouver \( C \) : Substituons \( x=2 \) et \( F(2)=5 \) dans l'expression de \( F(x) \) : \( F(2) = (2)^3 - 2(2)^2 + 2 + C = 5 \) \( 8 - 2(4) + 2 + C = 5 \) \( 8 - 8 + 2 + C = 5 \) \( 2 + C = 5 \) \( C = 5 - 2 \) \( C = 3 \) 3. La primitive spécifique qui satisfait la condition est donc \( F(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 \). ### Exercices 1. Déterminez l'ensemble des primitives pour chacune des fonctions suivantes : * a) \( f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 6x - 1 \) * b) \( g(x) = x^5 + 2x^3 - 4 \) * c) \( h(x) = rac{1}{3}x^2 + 3x - rac{1}{2} \) 2. Trouvez la primitive \( F \) de la fonction \( f(x) = 2x + 3 \) qui vérifie la condition \( F(1) = 4 \). 3. Trouvez la primitive \( G \) de la fonction \( g(x) = -x^2 + 5x - 2 \) telle que la courbe de \( G \) passe par le point \( (0, 1) \). ### Devoirs 1. Trouvez la primitive \( F \) de la fonction \( f(x) = (x-2)^2 \) telle que \( F(2) = 0 \). *(Indice : Développez le polynôme avant de chercher la primitive.)* 2. Soit la fonction \( f \) définie par \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \). * a) Déterminez l'ensemble des primitives de \( f \). * b) Trouvez la primitive \( F \) de \( f \) dont la courbe représentative passe par le point \( (1, 3) \). 3. Une fonction \( f \) est définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = x^4 - 2x^3 + x - 5 \). * a) Soit \( F(x) = rac{1}{5}x^5 - rac{1}{2}x^4 + rac{1}{2}x^2 - 5x + 10 \). Calculez \( F'(x) \). Que remarquez-vous ? * b) Donnez une autre primitive de \( f \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré le concept fondamental de primitive, qui est l'opération inverse de la dérivation. Voici les points essentiels à retenir : * Une fonction \( F \) est une primitive de \( f \) si sa dérivée est \( f \), c'est-à-dire \( F'(x) = f(x) \). * Une fonction donnée possède une infinité de primitives, qui diffèrent toutes par une constante d'intégration \( C \) : si \( F \) est une primitive, alors \( F(x) + C \) représente toutes les primitives. * Nous avons appris les règles pour trouver les primitives des fonctions polynômes : * Pour une constante \( k \), une primitive est \( kx + C \). * Pour \( x^n \), une primitive est \( rac{1}{n+1} x^{n+1} + C \). * La propriété de linéarité permet de trouver les primitives des polynômes terme par terme. * Une **condition initiale** (par exemple, \( F(x_0) = y_0 \)) est nécessaire pour déterminer la valeur unique de la constante \( C \) et ainsi trouver une primitive spécifique parmi toutes celles possibles.