Chap3: Statistiques à deux variables

# Chap3: Statistiques à deux variables ## Tableaux à double entrée ### Introduction Dans ce chapitre de statistiques, nous allons découvrir comment organiser et analyser des données impliquant deux variables simultanément. Les tableaux à double entrée sont un outil fondamental pour visualiser les relations entre ces variables, calculer des fréquences et prendre des décisions éclairées. Ils sont couramment utilisés dans de nombreux domaines, de la sociologie à la biologie en passant par le marketing. ### Concepts clés #### Qu'est-ce qu'un tableau à double entrée ? Un tableau à double entrée est une méthode de présentation des données qui permet de croiser deux variables qualitatives ou quantitatives discrètes. Les modalités de la première variable sont généralement placées en lignes et celles de la seconde en colonnes. Chaque cellule du tableau contient l'effectif (ou la fréquence) correspondant à l'intersection d'une modalité de la première variable et d'une modalité de la seconde variable. #### Effectifs, fréquences et pourcentages ##### Effectifs * L'effectif d'une cellule représente le nombre d'individus ou d'observations qui possèdent simultanément les caractéristiques des modalités de la ligne et de la colonne correspondantes. * L'effectif total est la somme de tous les effectifs des cellules, ou la somme des effectifs marginaux de lignes, ou la somme des effectifs marginaux de colonnes. ##### Fréquences marginales * Les fréquences marginales de lignes (ou de colonnes) sont les fréquences des modalités de la variable correspondant aux lignes (ou aux colonnes) indépendamment de l'autre variable. Elles sont calculées en divisant l'effectif marginal par l'effectif total. * Formule: \( f_{\text{ligne } i} = \frac{N_{\text{ligne } i}}{N_{\text{total}}} \) ou \( f_{\text{colonne } j} = \frac{N_{\text{colonne } j}}{N_{\text{total}}} \). ##### Fréquences conditionnelles * Les fréquences conditionnelles permettent de répondre à des questions du type 'Quelle est la fréquence de A sachant B ?'. Elles sont calculées en divisant l'effectif de la cellule par l'effectif marginal de la condition. * Fréquence de A sachant B: \( f(A|B) = \frac{\text{Effectif}(A \cap B)}{\text{Effectif}(B)} \) * Fréquence de B sachant A: \( f(B|A) = \frac{\text{Effectif}(A \cap B)}{\text{Effectif}(A)} \) #### Construction et lecture d'un tableau * **Structure:** Le tableau est généralement construit avec une variable en ligne et une en colonne, et les totaux marginaux pour chaque variable, ainsi que le total général. * **Lecture:** Il est essentiel de comprendre ce que représente chaque cellule, chaque total de ligne, chaque total de colonne et le total général. ### Vocabulaire * **Tableau à double entrée:** Tableau permettant de croiser les données de deux variables différentes. * **Variable:** Caractéristique étudiée pour laquelle on recueille des données (ex: sexe, couleur préférée, niveau scolaire). * **Modalité:** Chaque valeur ou catégorie possible d'une variable (ex: pour la variable 'sexe', les modalités sont 'homme' et 'femme'). * **Effectif:** Nombre d'observations (individus) pour une modalité ou une combinaison de modalités donnée. * **Effectif total:** Nombre total d'observations dans l'étude. * **Effectif marginal:** Effectif total pour une modalité d'une variable, sans tenir compte de l'autre variable (somme d'une ligne ou d'une colonne). * **Fréquence:** Proportion d'un effectif par rapport à l'effectif total, souvent exprimée en pourcentage. \( f = \frac{\text{Effectif}}{\text{Effectif total}} \) * **Fréquence marginale:** Fréquence d'une modalité d'une variable, indépendamment de l'autre. * **Fréquence conditionnelle:** Fréquence d'une modalité d'une variable sachant que l'autre variable prend une certaine modalité. ### Exemples #### Exemple 1: Sondage sur les préférences cinématographiques Une enquête a été menée auprès de 200 élèves de Terminale pour connaître leur genre de film préféré (Action, Comédie, Science-fiction) et leur sexe (Garçon, Fille). | Genre \ Sexe | Garçon | Fille | Total | |---------------|--------|-------|-------| | Action | 50 | 20 | 70 | | Comédie | 30 | 60 | 90 | | Science-fiction | 25 | 15 | 40 | | **Total** | **105**| **95**| **200**| * **Lecture:** Il y a 50 garçons qui préfèrent les films d'Action. Il y a 95 filles au total. * **Calcul d'effectif marginal:** L'effectif marginal des garçons est 105. * **Calcul de fréquence marginale:** La fréquence des filles est \( \frac{95}{200} = 0.475 = 47.5\% \). * **Calcul de fréquence conditionnelle:** * Quelle est la fréquence de 'Action' sachant que l'élève est un garçon ? \( f(\text{Action}|\text{Garçon}) = \frac{50}{105} \approx 0.476 = 47.6\% \) * Quelle est la fréquence de 'Garçon' sachant que l'élève préfère la Comédie ? \( f(\text{Garçon}|\text{Comédie}) = \frac{30}{90} \approx 0.333 = 33.3\% \) ### Exercices #### Exercice 1 Un lycée a enregistré le nombre d'élèves pratiquant un sport (Football, Basket) en fonction de leur niveau (Seconde, Première, Terminale). | Sport \ Niveau | Seconde | Première | Terminale | Total | |----------------|---------|----------|-----------|-------| | Football | 40 | 35 | 25 | 100 | | Basket | 30 | 20 | 50 | 100 | | **Total** | **70** | **55** | **75** | **200**| 1. Combien d'élèves de Première pratiquent le Football ? 2. Quel est l'effectif total des élèves de Terminale ? 3. Quelle est la fréquence (en pourcentage) des élèves qui pratiquent le Basket ? 4. Parmi les élèves de Seconde, quelle est la fréquence (en pourcentage) de ceux qui jouent au Football ? 5. Parmi les élèves qui jouent au Basket, quelle est la fréquence (en pourcentage) de ceux qui sont en Terminale ? ### Devoir maison Une étude a été menée sur 300 automobilistes concernant le type de carburant utilisé (Essence, Diesel, Électrique) et leur zone de résidence (Urbaine, Rurale). | Carburant \ Zone | Urbaine | Rurale | Total | |------------------|---------|--------|-------| | Essence | 80 | 50 | 130 | | Diesel | 60 | 70 | 130 | | Électrique | 30 | 10 | 40 | | **Total** | **170** | **130**| **300**| 1. Recopiez et complétez ce tableau si nécessaire. 2. Calculez la fréquence marginale (en pourcentage) des automobilistes résidant en zone rurale. 3. Quelle est la fréquence (en pourcentage) des automobilistes qui utilisent un véhicule électrique ET résident en zone urbaine ? 4. Parmi les automobilistes utilisant un véhicule Diesel, quelle est la fréquence (en pourcentage) de ceux qui résident en zone rurale ? 5. Parmi les automobilistes résidant en zone urbaine, quelle est la fréquence (en pourcentage) de ceux qui utilisent un véhicule électrique ? 6. Un des objectifs de l'étude est de déterminer s'il existe un lien entre le type de carburant et la zone de résidence. En vous basant sur les fréquences conditionnelles calculées, que pouvez-vous conclure ? ### Résumé Les tableaux à double entrée sont un outil essentiel pour organiser et analyser les données de deux variables simultanément. Ils permettent de visualiser les effectifs et de calculer différentes sortes de fréquences: marginales (pour une variable seule) et conditionnelles (pour une variable sachant l'autre). Maîtriser leur lecture et leur construction est fondamental pour l'interprétation statistique des phénomènes croisés.