Chap5: Primitives d’une fonction continue sur un intervalle

# Chap5: Primitives d’une fonction continue sur un intervalle ## Primitives d’une fonction continues sur un intervalle: définition, exemple et détermination ### Introduction Bienvenue à ce chapitre sur les primitives! Vous avez déjà passé beaucoup de temps à calculer des dérivées de fonctions. Aujourd'hui, nous allons apprendre à faire le chemin inverse: étant donnée une fonction \(f\), nous allons chercher une fonction \(F\) dont la dérivée est \(f\). C'est ce qu'on appelle trouver une primitive. Ce concept est fondamental en mathématiques et trouve de nombreuses applications, notamment dans le calcul d'aires ou de volumes. Nous allons nous concentrer sur les fonctions continues sur un intervalle, car c'est dans ce cadre que les primitives sont toujours garanties d'exister. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une Primitive Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On dit qu'une fonction \(F\) est une **primitive** de \(f\) sur \(I\) si: * \(F\) est dérivable sur \(I\). * Pour tout \(x \in I\), \(F'(x) = f(x)\). **Exemple:** Si \(f(x) = 2x\), alors \(F(x) = x^2\) est une primitive de \(f\) car \(F'(x) = 2x\). Mais \(G(x) = x^2 + 5\) est aussi une primitive de \(f\) car \(G'(x) = 2x\). #### 2. Existence et Unicité d'une Primitive * **Théorème d'existence:** Toute fonction continue sur un intervalle \(I\) admet au moins une primitive sur cet intervalle. * **Théorème d'unicité (à une constante près):** Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), alors toutes les primitives de \(f\) sur \(I\) sont de la forme \(F(x) + C\), où \(C\) est une constante réelle. On appelle \(C\) la **constante d'intégration**. * Cela signifie qu'une fonction \(f\) n'a pas une seule primitive, mais une infinité de primitives, qui diffèrent toutes d'une constante. * **Conséquence:** S'il existe une primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(x_0) = y_0\) pour un point \((x_0, y_0)\) donné, alors cette primitive est unique. #### 3. Propriétés des Primitives Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur un intervalle \(I\), et \(k\) un réel. * Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors \(kF\) est une primitive de \(kf\). * Si \(F\) est une primitive de \(f\) et \(G\) est une primitive de \(g\), alors \(F+G\) est une primitive de \(f+g\). Ces propriétés sont directement héritées des propriétés de la dérivation (linéarité de la dérivation). #### 4. Tableau des Primitives des Fonctions Usuelles Connaître le tableau des dérivées est essentiel pour trouver les primitives. Voici un tableau récapitulatif des fonctions usuelles et de leurs primitives (avec \(C\) une constante réelle). | Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Conditions | |---|---|---| | \(k\) (constante) | \(kx + C\) | \(x \in \mathbb{R}\) | | \(x^n\) (\(n \in \mathbb{Z}\), \(n \neq -1\)) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) | \(x \in \mathbb{R}\) ou \(x \in \mathbb{R}^*\) selon \(n\) | | \(\frac{1}{x}\) | \(\ln|x| + C\) | \(x \in \mathbb{R}^*\) | | \(\frac{1}{x^2}\) | \(-\frac{1}{x} + C\) | \(x \in \mathbb{R}^*\) | | \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x} + C\) | \(x > 0\) | | \(e^x\) | \(e^x + C\) | \(x \in \mathbb{R}\) | | \(a^x\) (\(a > 0, a \neq 1\)) | \(\frac{a^x}{\ln(a)} + C\) | \(x \in \mathbb{R}\) | | \(\sin(x)\) | \(-\cos(x) + C\) | \(x \in \mathbb{R}\) | | \(\cos(x)\) | \(\sin(x) + C\) | \(x \in \mathbb{R}\) | | \(1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\) | \(\tan(x) + C\) | \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) | #### 5. Primitives de Fonctions Composées (Formes \(u'\ldots\)) Souvent, pour trouver une primitive, il faut reconnaître une forme \(u'\) multipliée par une fonction de \(u\). | Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Conditions | |---|---|---| | \(u'(x) [u(x)]^n\) (\(n \neq -1\)) | \(\frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1} + C\) | \(u(x)\) dérivable sur \(I\) | | \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) | \(\ln|u(x)| + C\) | \(u(x)\) dérivable sur \(I\) et \(u(x) \neq 0\) | | \(u'(x)e^{u(x)}\) | \(e^{u(x)} + C\) | \(u(x)\) dérivable sur \(I\) | | \(u'(x)\sin(u(x))\) | \(-\cos(u(x)) + C\) | \(u(x)\) dérivable sur \(I\) | | \(u'(x)\cos(u(x))\) | \(\sin(u(x)) + C\) | \(u(x)\) dérivable sur \(I\) | | \(\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\) | \(\sqrt{u(x)} + C\) | \(u(x)\) dérivable sur \(I\) et \(u(x) > 0\) | ### Vocabulaire * **Primitive:** Une fonction \(F\) dont la dérivée est une fonction donnée \(f\). * **Fonction continue:** Une fonction dont la courbe peut être tracée sans lever le crayon. Essentiel pour l'existence des primitives. * **Intervalle:** Un ensemble de nombres réels entre deux bornes (par exemple, \([a, b]\), \(]a, b[\), \([a, +\infty[\)). Le concept de primitive est défini sur un intervalle. * **Constante d'intégration:** La constante \(C\) qui apparaît lors du calcul d'une primitive, reflétant l'infinité de primitives possibles pour une fonction donnée. * **Dérivation:** L'opération qui consiste à trouver la pente d'une fonction en chaque point, l'inverse de la recherche de primitive. ### Exemples 1. **Trouver une primitive de \(f(x) = 3x^2 - 4x + 5\) sur \(\mathbb{R}\).** * Primitive de \(3x^2\) est \(3\frac{x^3}{3} = x^3\). * Primitive de \(-4x\) est \(-4\frac{x^2}{2} = -2x^2\). * Primitive de \(5\) est \(5x\). * Donc, \(F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + C\). 2. **Trouver la primitive de \(f(x) = e^{2x+1}\) sur \(\mathbb{R}\).** * On reconnaît la forme \(u'e^u\) avec \(u(x) = 2x+1\). Alors \(u'(x) = 2\). * \(f(x) = \frac{1}{2} \cdot 2e^{2x+1} = \frac{1}{2} u'(x)e^{u(x)}\). * Donc, \(F(x) = \frac{1}{2} e^{2x+1} + C\). 3. **Trouver la primitive de \(f(x) = \frac{2x+3}{x^2+3x+1}\) sur un intervalle où \(x^2+3x+1 > 0\).** * On reconnaît la forme \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) avec \(u(x) = x^2+3x+1\). Alors \(u'(x) = 2x+3\). * Donc, \(F(x) = \ln(x^2+3x+1) + C\). 4. **Trouver la primitive \(F\) de \(f(x) = \cos(x)\) telle que \(F(\pi) = 0\).** * Une primitive générale de \(f(x) = \cos(x)\) est \(F(x) = \sin(x) + C\). * On utilise la condition \(F(\pi) = 0\): \(\sin(\pi) + C = 0\). * Puisque \(\sin(\pi) = 0\), on a \(0 + C = 0\), donc \(C=0\). * La primitive recherchée est \(F(x) = \sin(x)\). ### Exercices Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle spécifié: 1. \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 7\) sur \(\mathbb{R}\) 2. \(f(x) = \frac{1}{x^3}\) sur \(]0, +\infty[\) 3. \(f(x) = 4\sin(x) - \cos(x)\) sur \(\mathbb{R}\) 4. \(f(x) = (3x-1)^2\) sur \(\mathbb{R}\) 5. \(f(x) = (2x+1)e^{x^2+x}\) sur \(\mathbb{R}\) 6. \(f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\) sur \(\mathbb{R}\) (Indice: pensez à \(\frac{u'}{2\sqrt{u}}\) ) ### Devoir Maison 1. Déterminer toutes les primitives de la fonction \(f(x) = x(x^2+3)^4\) sur \(\mathbb{R}\). 2. Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x) = \frac{1}{x} + e^{-x}\) sur \(]0, +\infty[\) telle que \(F(1) = 0\). 3. Soit \(f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\). Déterminer une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). 4. Vrai ou Faux? Justifier votre réponse. a. La fonction \(F(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2+1)\) est une primitive de \(f(x) = \frac{x}{x^2+1}\) sur \(\mathbb{R}\). b. Si \(F\) et \(G\) sont deux primitives de la même fonction \(f\), alors \(F(x) - G(x)\) est toujours une fonction constante. ### Résumé En résumé, une **primitive** d'une fonction \(f\) est une fonction \(F\) telle que \(F'(x) = f(x)\). Nous avons vu que: * Toute fonction continue sur un intervalle \(I\) admet des primitives sur \(I\). * Ces primitives sont uniques à une **constante d'intégration** près. Si \(F\) est une primitive, toutes les autres sont de la forme \(F(x) + C\). * La recherche de primitives est l'opération inverse de la dérivation. Il est donc crucial de bien maîtriser le tableau des dérivées et des formes de dérivation des fonctions composées. * Les propriétés de linéarité des dérivées s'appliquent également aux primitives. * Pour trouver une primitive, on utilise le tableau des primitives usuelles et on apprend à reconnaître les formes \(u'u^n\), \(u'/u\), \(u'e^u\), etc.