Suites numériques (suite)

# Suites numériques (suite) ## Etude de la congergence de certaines suite définie par Un+1=f(Un) ### Introduction Dans ce cours, nous allons approfondir l'étude des suites numériques, en nous concentrant sur les suites définies par une relation de récurrence de la forme \(U_{n+1}=f(U_n)\). Nous explorerons les méthodes pour déterminer si ces suites convergent et, si oui, vers quelle limite. Cette étude combine des notions d'analyse de fonctions et de suites. ### Key Concepts #### Rappels sur les suites récurrentes Une suite \((U_n))\) est dite récurrente si chacun de ses termes, à partir d'un certain rang, est calculé à partir du ou des termes précédents. Ici, nous nous intéressons spécifiquement aux suites définies par \(U_{n+1}=f(U_n)\) et un premier terme \(U_0\) donné. #### Le théorème du point fixe Si une suite \((U_n))\) définie par \(U_{n+1}=f(U_n)\) converge vers une limite finie \(L\), et si la fonction \(f\) est continue en \(L\), alors la limite \(L\) est nécessairement un point fixe de \(f\). C'est-à-dire que \(L\) vérifie l'équation \(L = f(L)\). * **Implication:** Pour trouver les limites possibles d'une suite convergente, il suffit de résoudre l'équation \(x = f(x)\). * **Attention:** Ce théorème ne garantit pas la convergence. Il donne seulement les candidats potentiels pour la limite si la suite converge. #### Interprétation graphique de la convergence La convergence d'une suite \(U_{n+1}=f(U_n)\) peut être visualisée graphiquement: 1. Tracez la courbe représentative de la fonction \(y=f(x)\). 2. Tracez la droite d'équation \(y=x\). Les points d'intersection de ces deux courbes sont les points fixes de \(f\). 3. Placez \(U_0\) sur l'axe des abscisses. 4. Pour obtenir \(U_1\): * Montez verticalement jusqu'à la courbe de \(f(x)\). L'ordonnée est \(U_1\). * Allez horizontalement jusqu'à la droite \(y=x\). L'abscisse de ce point est \(U_1\). * Descendez verticalement jusqu'à l'axe des abscisses pour marquer \(U_1\). 5. Répétez le processus pour \(U_2, U_3, \dots\). Le chemin tracé (en "escargot" ou "escalier") permet de visualiser si la suite s'approche d'un point fixe. #### Conditions de convergence Pour prouver qu'une suite \(U_{n+1}=f(U_n)\) converge, on utilise souvent le théorème de convergence monotone: * Toute suite croissante et majorée est convergente. * Toute suite décroissante et minorée est convergente. Pour appliquer ce théorème, il faut étudier la monotonie et le bornage de la suite. ##### Etude de la monotonie Pour étudier la monotonie d'une suite \((U_n))\), on peut : * **Comparer \(U_{n+1}\) et \(U_n\):** Calculer le signe de \(U_{n+1} - U_n\). * Si \(U_{n+1} - U_n > 0\) pour tout \(n\), la suite est croissante. * Si \(U_{n+1} - U_n < 0\) pour tout \(n\), la suite est décroissante. * **Utiliser la fonction \(f\):** * Si \(f\) est croissante sur un intervalle \(I\) et si \(U_0 \in I\) et \(U_1 \in I\), alors la monotonie de la suite dépend de la relation entre \(U_0\) et \(U_1\). * Si \(U_1 \geq U_0\), la suite est croissante. * Si \(U_1 \leq U_0\), la suite est décroissante. * Si \(f\) est décroissante, la suite peut ne pas être monotone (elle peut alterner). ##### Etude du bornage et des intervalles stables * Une suite est majorée si tous ses termes sont inférieurs à un certain nombre \(M\). * Une suite est minorée si tous ses termes sont supérieurs à un certain nombre \(m\). * **Intervalle stable:** Un intervalle \(I\) est dit stable par \(f\) si pour tout \(x \in I\), \(f(x) \in I\). * Si \(U_0 \in I\) et \(I\) est stable par \(f\), alors tous les termes de la suite \((U_n))\) restent dans \(I\). Cela peut être utile pour prouver le bornage. Souvent, on utilise une preuve par récurrence pour démontrer le bornage. #### Algorithme de recherche de limite (synthèse) Pour prouver la convergence d'une suite \(U_{n+1}=f(U_n)\) et trouver sa limite: 1. **Démontrer le bornage:** Souvent par récurrence, montrer que \(U_n \in [a, b]\) pour tout \(n\). L'intervalle \([a, b]\) doit être stable par \(f\). 2. **Démontrer la monotonie:** Etudier le signe de \(U_{n+1}-U_n\), ou utiliser les propriétés de \(f\). 3. **Conclure la convergence:** Appliquer le théorème de convergence monotone. 4. **Calculer la limite:** Résoudre l'équation \(L = f(L)\). La solution dans l'intervalle \([a, b]\) sera la limite de la suite. ### Vocabulary * **Suite récurrente:** Suite dont chaque terme est défini à partir du précédent par une relation. * **Point fixe:** Un nombre \(L\) tel que \(f(L) = L\). * **Convergence d'une suite:** Une suite converge si ses termes s'approchent d'une valeur unique à mesure que \(n\) tend vers l'infini. * **Suite majorée:** Une suite dont tous les termes sont inférieurs ou égaux à un certain nombre. * **Suite minorée:** Une suite dont tous les termes sont supérieurs ou égaux à un certain nombre. * **Suite monotone:** Une suite qui est soit toujours croissante, soit toujours décroissante. * **Intervalle stable:** Un intervalle \(I\) tel que \(f(I) \subseteq I\). ### Examples #### Exemple 1: Suite arithmético-géométrique Soit la suite \((U_n))\) définie par \(U_0 = 10\) et \(U_{n+1} = 0.5 U_n + 3\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 1. **Recherche de la limite potentielle:** Si la suite converge vers \(L\), alors \(L = 0.5L + 3\). \[ L - 0.5L = 3 \] \[ 0.5L = 3 \] \[ L = 6 \] La limite potentielle est 6. 2. **Etude de la monotonie:** Comparons \(U_{n+1} - U_n\) avec 0. \[ U_{n+1} - U_n = (0.5U_n + 3) - U_n = -0.5U_n + 3 \] Etudions la position de \(U_n\) par rapport à 6. * Calculons les premiers termes: \(U_0 = 10\), \(U_1 = 0.5(10)+3 = 8\), \(U_2 = 0.5(8)+3 = 7\). * Il semblerait que la suite soit décroissante et minorée par 6. 3. **Démontrer que la suite est minorée par 6 (par récurrence):** * **Initialisation:** Pour \(n=0\), \(U_0 = 10 \geq 6\). La propriété est vraie au rang 0. * **Hérédité:** Supposons que \(U_n \geq 6\) pour un certain rang \(n\). Alors \(0.5U_n \geq 0.5 \times 6 = 3\). Donc \(0.5U_n + 3 \geq 3 + 3 = 6\). Ainsi \(U_{n+1} \geq 6\). La propriété est héréditaire. * **Conclusion:** Par le principe de récurrence, \(U_n \geq 6\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). La suite est minorée par 6. 4. **Démontrer la monotonie:** Puisque \(U_n \geq 6\), alors \(-0.5U_n \leq -3\). Donc \(U_{n+1} - U_n = -0.5U_n + 3 \leq -3 + 3 = 0\). Ainsi \(U_{n+1} - U_n \leq 0\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). La suite est décroissante. 5. **Conclusion:** La suite \((U_n))\) est décroissante et minorée par 6, elle converge donc vers 6. #### Exemple 2: Suite avec racine carrée Soit la suite \((U_n))\) définie par \(U_0 = 0\) et \(U_{n+1} = \sqrt{U_n + 2}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). 1. **Recherche de la limite potentielle:** Si la suite converge vers \(L\), alors \(L = \sqrt{L+2}\). Puisque \(L = \sqrt{L+2}\), \(L\) doit être positif. \[ L^2 = L+2 \] \[ L^2 - L - 2 = 0 \] Résolvons l'équation quadratique: \(\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9\). Les solutions sont \(L = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}\). Donc \(L_1 = \frac{1-3}{2} = -1\) et \(L_2 = \frac{1+3}{2} = 2\). Puisque \(L = \sqrt{L+2}\) implique \(L \geq 0\), la seule limite potentielle est \(L=2\). 2. **Etude du bornage (par récurrence, montrons que \(0 \leq U_n \leq 2\)):** * **Initialisation:** Pour \(n=0\), \(U_0 = 0\), et \(0 \leq 0 \leq 2\). Vrai. * **Hérédité:** Supposons que \(0 \leq U_n \leq 2\) pour un certain rang \(n\). Alors \(0+2 \leq U_n+2 \leq 2+2\), soit \(2 \leq U_n+2 \leq 4\). Puisque la fonction racine carrée est croissante, \(\sqrt{2} \leq \sqrt{U_n+2} \leq \sqrt{4}\). Donc \(\sqrt{2} \leq U_{n+1} \leq 2\). Comme \(0 \leq \sqrt{2}\), on a bien \(0 \leq U_{n+1} \leq 2\). La propriété est héréditaire. * **Conclusion:** Par récurrence, \(0 \leq U_n \leq 2\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). La suite est bornée. 3. **Etude de la monotonie:** Comparons \(U_{n+1}\) et \(U_n\). Considérons la fonction \(f(x) = \sqrt{x+2}\). On a \(U_0 = 0\) et \(U_1 = \sqrt{0+2} = \sqrt{2} \approx 1.414\). Donc \(U_1 \geq U_0\). La suite semble croissante. Etudions le signe de \(f(x) - x\) sur \([0, 2]\). \(f(x) - x = \sqrt{x+2} - x\) Si \(x \in [0, 2]\), \(f(x) - x \geq 0\) équivaut à \(\sqrt{x+2} \geq x\). Comme les deux membres sont positifs sur cet intervalle, on peut élever au carré: \(x+2 \geq x^2\) \(x^2 - x - 2 \leq 0\) Les racines de \(x^2 - x - 2 = 0\) sont -1 et 2. Le trinôme est négatif entre ses racines. Donc \(x^2 - x - 2 \leq 0\) pour \(x \in [-1, 2]\). Puisque nous avons prouvé que \(U_n \in [0, 2]\), on a \(U_n^2 - U_n - 2 \leq 0\), ce qui implique \(\sqrt{U_n+2} \geq U_n\), donc \(U_{n+1} \geq U_n\). La suite est croissante. 4. **Conclusion:** La suite \((U_n))\) est croissante et majorée par 2, elle converge donc vers 2. ### Exercises 1. Soit la suite \((U_n))\) définie par \(U_0 = 4\) et \(U_{n+1} = \frac{1}{3}U_n + 2\). a. Déterminez la limite potentielle \(L\) de cette suite. b. Montrez par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(U_n \geq 3\). c. Démontrez que la suite est décroissante. d. Concluez sur la convergence de la suite et donnez sa limite. 2. Soit la suite \((U_n))\) définie par \(U_0 = 1\) et \(U_{n+1} = 2 - \frac{1}{U_n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). a. Déterminez les limites potentielles. b. Montrez par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(1 \leq U_n \leq 2\). c. Montrez que la fonction \(f(x) = 2 - \frac{1}{x}\) est croissante sur \([1, 2]\). d. En déduire la monotonie de la suite \((U_n))\). e. Concluez sur la convergence de la suite et donnez sa limite. 3. Représentez graphiquement les 4 premiers termes de la suite de l'Exercice 1 en traçant la courbe de \(f(x)=\frac{1}{3}x+2\) et la droite \(y=x\). ### Assignment 1. Soit la suite \((U_n))\) définie par \(U_0 = 0\) et \(U_{n+1} = \frac{U_n^2+1}{2}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). a. Déterminez les points fixes de la fonction \(f(x) = \frac{x^2+1}{2}\). b. Tracez graphiquement \(f(x)\) et la droite \(y=x\). Représentez les premiers termes de la suite. c. Montrez par récurrence que \(0 \leq U_n \leq 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). d. Etudiez la monotonie de la suite. e. Concluez sur la convergence de la suite et sa limite. 2. Soit la suite \((U_n))\) définie par \(U_0 = 5\) et \(U_{n+1} = \frac{4U_n-4}{U_n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). a. Déterminez la limite potentielle \(L\). b. Montrez par récurrence que \(U_n \geq 2\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). c. Etudiez la monotonie de la suite. d. Concluez sur la convergence de la suite. ### Summary Ce cours a exploré l'étude de la convergence des suites récurrentes de la forme \(U_{n+1}=f(U_n)\). Les points clés à retenir sont: * La **limite potentielle** \(L\) d'une suite convergente est un point fixe de \(f\), c'est-à-dire une solution de l'équation \(L=f(L)\). * L'**interprétation graphique** permet de visualiser le comportement de la suite et de pressentir sa convergence vers un point fixe. * Le **théorème de convergence monotone** est un outil puissant: une suite croissante majorée converge, et une suite décroissante minorée converge. * Pour appliquer ce théorème, il est essentiel d'étudier la **monotonie** (souvent par l'étude de \(U_{n+1}-U_n\)) et le **bornage** (souvent par récurrence ou par l'étude des intervalles stables) de la suite. ## Suite croissante majorée ou décroissante minorée ### Introduction Dans le monde des suites numériques, prédire leur comportement à long terme est crucial. Cette leçon vous introduira à un théorème fondamental qui permet de déterminer si une suite converge (c'est-à-dire si elle se rapproche d'une valeur spécifique) en examinant deux de ses propriétés : sa monotonie (si elle est toujours croissante ou toujours décroissante) et si elle est bornée (si ses valeurs ne dépassent jamais un certain seuil ou ne descendent jamais en dessous d'un certain seuil). Ce théorème est un outil puissant pour prouver l'existence d'une limite sans forcément la calculer. ### Concepts Clés #### Rappel : Suites monotones Une suite \( (u_n) \) est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante. * **Suite croissante :** Une suite \( (u_n) \) est croissante si, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} \geq u_n \). * **Suite strictement croissante :** Une suite \( (u_n) \) est strictement croissante si, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} > u_n \). * **Suite décroissante :** Une suite \( (u_n) \) est décroissante si, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} \leq u_n \). * **Suite strictement décroissante :** Une suite \( (u_n) \) est strictement décroissante si, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1} < u_n \). Pour étudier la monotonie, on peut souvent étudier le signe de la différence \( u_{n+1} - u_n \) ou, si les termes sont positifs, comparer le rapport \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \) à 1. #### Rappel : Suites majorées, minorées, bornées * **Suite majorée :** Une suite \( (u_n) \) est majorée s'il existe un nombre réel \( M \) tel que, pour tout entier naturel \( n \), \( u_n \leq M \). Le nombre \( M \) est appelé un majorant de la suite. * **Suite minorée :** Une suite \( (u_n) \) est minorée s'il existe un nombre réel \( m \) tel que, pour tout entier naturel \( n \), \( u_n \geq m \). Le nombre \( m \) est appelé un minorant de la suite. * **Suite bornée :** Une suite \( (u_n) \) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. #### Théorème de convergence des suites monotones C'est le cœur de cette leçon. Ce théorème établit des conditions suffisantes pour qu'une suite converge. * **Partie 1 :** Toute suite croissante et majorée converge vers une limite finie \( L \). * **Partie 2 :** Toute suite décroissante et minorée converge vers une limite finie \( L \). **Conséquences :** * Si une suite est croissante et non majorée, elle diverge vers \( +\infty \). * Si une suite est décroissante et non minorée, elle diverge vers \( -\infty \). #### Comment utiliser ce théorème ? Pour prouver la convergence d'une suite \( (u_n) \) en utilisant ce théorème, suivez ces étapes : 1. **Démontrez la monotonie :** Prouvez que la suite est soit croissante, soit décroissante (souvent par récurrence ou par l'étude de \( u_{n+1} - u_n \)). 2. **Démontrez qu'elle est bornée :** * Si la suite est croissante, prouvez qu'elle est majorée (souvent par récurrence). * Si la suite est décroissante, prouvez qu'elle est minorée (souvent par récurrence). 3. **Concluez à la convergence :** Appliquez le théorème pour affirmer que la suite converge. Attention, ce théorème ne vous donne pas la valeur de la limite, seulement son existence. ### Vocabulaire * **Monotone :** Qui ne change pas de sens de variation (toujours croissante ou toujours décroissante). * **Majorée :** Dont les termes ne dépassent jamais une certaine valeur. * **Minorée :** Dont les termes ne descendent jamais en dessous d'une certaine valeur. * **Bornée :** Qui est à la fois majorée et minorée. * **Converge :** Se dit d'une suite dont les termes se rapprochent indéfiniment d'une valeur fixe (sa limite) quand \( n \) tend vers \( +\infty \). * **Diverge :** Se dit d'une suite qui ne converge pas (soit elle tend vers \( +\infty \) ou \( -\infty \), soit elle n'a pas de limite). * **Limite :** La valeur vers laquelle les termes d'une suite convergente tendent. ### Exemples #### Exemple 1 : Suite croissante et majorée Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). 1. **Montrons que \( (u_n) \) est majorée par 6 (par récurrence) :** * **Initialisation :** \( u_0 = 1 \leq 6 \). La propriété est vraie pour \( n=0 \). * **Hérédité :** Supposons que \( u_k \leq 6 \) pour un certain \( k \in \mathbb{N} \). Alors \( \frac{1}{2}u_k \leq 3 \), donc \( \frac{1}{2}u_k + 3 \leq 3 + 3 \), ce qui signifie \( u_{k+1} \leq 6 \). La propriété est héréditaire. * **Conclusion :** Par le principe de récurrence, \( u_n \leq 6 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). 2. **Montrons que \( (u_n) \) est croissante :** Étudions le signe de \( u_{n+1} - u_n \): \( u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}u_n + 3 - u_n = 3 - \frac{1}{2}u_n = \frac{1}{2}(6 - u_n) \). Puisque \( u_n \leq 6 \), nous avons \( 6 - u_n \geq 0 \). Donc \( u_{n+1} - u_n \geq 0 \), ce qui signifie que la suite \( (u_n) \) est croissante. 3. **Conclusion :** La suite \( (u_n) \) est croissante et majorée par 6. D'après le théorème de convergence des suites monotones, la suite \( (u_n) \) converge vers une limite finie \( L \). (On peut vérifier que \( L=6 \) en résolvant \( L = \frac{1}{2}L + 3 \) à la limite.) #### Exemple 2 : Suite décroissante et minorée Soit la suite \( (v_n) \) définie pour \( n \geq 1 \) par \( v_n = 2 + \frac{1}{n} \). 1. **Montrons que \( (v_n) \) est minorée par 2 :** Pour tout \( n \geq 1 \), \( n > 0 \), donc \( \frac{1}{n} > 0 \). Par conséquent, \( v_n = 2 + \frac{1}{n} > 2 \). La suite est minorée par 2. 2. **Montrons que \( (v_n) \) est décroissante :** Étudions le signe de \( v_{n+1} - v_n \): \( v_{n+1} - v_n = (2 + \frac{1}{n+1}) - (2 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} \). Puisque \( n \geq 1 \), \( n(n+1) > 0 \). Donc \( \frac{-1}{n(n+1)} < 0 \), ce qui signifie que \( v_{n+1} - v_n < 0 \). La suite \( (v_n) \) est strictement décroissante. 3. **Conclusion :** La suite \( (v_n) \) est décroissante et minorée par 2. D'après le théorème de convergence des suites monotones, la suite \( (v_n) \) converge vers une limite finie \( L \). (On peut vérifier que \( L=2 \) en faisant tendre \( n \) vers l'infini : \( \lim_{n\to\infty} (2 + \frac{1}{n}) = 2 + 0 = 2 \)). ### Exercices #### Exercice 1 Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 0 \) et \( u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). a) Calculez \( u_1 \) et \( u_2 \). b) Montrez par récurrence que \( u_n \leq 3 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). c) Montrez par récurrence que la suite \( (u_n) \) est croissante. d) En déduire que la suite \( (u_n) \) converge. #### Exercice 2 Considérez la suite \( (w_n) \) définie pour \( n \geq 1 \) par \( w_n = 5 - \frac{1}{n} \). a) Montrez que la suite \( (w_n) \) est croissante. b) Montrez que la suite \( (w_n) \) est majorée. c) En déduire que la suite \( (w_n) \) converge. ### Devoir Maison #### Devoir 1 Soit la suite \( (a_n) \) définie par \( a_0 = 4 \) et \( a_{n+1} = \frac{a_n^2 + 10}{2a_n} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). a) Calculez \( a_1 \) et \( a_2 \). b) Montrez que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( a_n \geq \sqrt{10} \). (Indice : étudier la fonction \( f(x) = \frac{x^2+10}{2x} \) pour \( x > 0 \).) c) Montrez que la suite \( (a_n) \) est décroissante. (Indice : étudier \( a_{n+1} - a_n \).) d) En déduire que la suite \( (a_n) \) converge. #### Devoir 2 Soit la suite \( (b_n) \) définie pour \( n \geq 1 \) par \( b_n = \frac{2n+1}{n+1} \). a) Montrez que la suite \( (b_n) \) est croissante. b) Montrez que la suite \( (b_n) \) est majorée par 2. c) En déduire que la suite \( (b_n) \) converge. Quelle est sa limite ? ### Résumé Le théorème de convergence des suites monotones est un pilier pour l'étude des suites. Il stipule que : * Toute suite **croissante et majorée** converge. * Toute suite **décroissante et minorée** converge. Ce théorème est extrêmement utile car il permet de prouver qu'une suite admet une limite (c'est-à-dire qu'elle converge) sans avoir besoin de calculer explicitement cette limite. Pour l'appliquer, il suffit de démontrer la monotonie de la suite et qu'elle est bornée dans le bon sens (majorée si croissante, minorée si décroissante). C'est un outil puissant en analyse mathématique. ## Etude de la congergence de certaines suite définie par Un+1=f(Un) ### Introduction Bienvenue à cette nouvelle leçon sur les suites numériques ! Après avoir revu les bases des suites, nous allons cette fois-ci nous concentrer sur la détermination de la convergence des suites définies par une relation de récurrence de la forme \( U_{n+1}=f(U_n) \). Comprendre si une suite s'approche d'une valeur fixe (converge) ou non est fondamental en mathématiques. Nous utiliserons des outils graphiques et analytiques pour y parvenir. ### Concepts Clés #### Rappels sur la convergence d'une suite * **Définition:** Une suite numérique \( (U_n) \) est dite **convergente** si ses termes \( U_n \) s'approchent de plus en plus d'un nombre réel fixe \( L \) lorsque \( n \) devient très grand. On écrit alors \( \lim_{n \to \infty} U_n = L \). * **Théorème de convergence monotone:** * Toute suite croissante et majorée converge. * Toute suite décroissante et minorée converge. #### Suites définies par \( U_{n+1}=f(U_n) \) Ces suites sont définies par leur premier terme \( U_0 \) et une relation de récurrence où le terme suivant est l'image du terme actuel par une fonction \( f \). ##### Représentation graphique des termes La représentation graphique permet de visualiser le comportement de la suite : 1. Tracez la courbe représentative \( C_f \) de la fonction \( f \) dans un repère orthogonal. 2. Tracez la droite \( D \) d'équation \( y=x \). 3. Placez \( U_0 \) sur l'axe des abscisses. 4. Pour obtenir \( U_1 \) : * Montez verticalement de \( U_0 \) jusqu'à \( C_f \) (vous arrivez au point \( (U_0, f(U_0)) \) soit \( (U_0, U_1) \)). * Allez horizontalement de ce point jusqu'à la droite \( D: y=x \) (vous arrivez au point \( (U_1, U_1) \)). * La première coordonnée de ce point est \( U_1 \), reportée sur l'axe des abscisses. 5. Répétez l'opération pour obtenir \( U_2, U_3, \dots \) Cela forme un **diagramme en escalier** (si la suite est monotone) ou un **diagramme en spirale** (si elle ne l'est pas). ##### Points fixes et limite éventuelle * Si une suite \( (U_n) \) définie par \( U_{n+1}=f(U_n) \) converge vers une limite \( L \), et si la fonction \( f \) est continue en \( L \), alors la limite \( L \) est nécessairement un **point fixe** de \( f \). * Cela signifie que \( L \) doit vérifier l'équation \( L=f(L) \). * Graphiquement, les points fixes sont les abscisses des points d'intersection de la courbe \( C_f \) et de la droite \( D: y=x \). ##### Méthode pour étudier la convergence d'une suite \( U_{n+1}=f(U_n) \) Pour étudier la convergence d'une telle suite, on suit généralement ces étapes : 1. **Déterminer un intervalle stable :** Démontrer par récurrence que tous les termes de la suite \( U_n \) appartiennent à un certain intervalle \( I \) (par exemple \( [a,b] \)) qui est stable par \( f \), c'est-à-dire \( f(I) \subset I \). Cela garantit que la suite est bornée (majorée et/ou minorée). 2. **Étudier la monotonie :** Déterminer si la suite est croissante, décroissante ou ni l'un ni l'autre. * Cela se fait souvent en étudiant le signe de la différence \( U_{n+1}-U_n \) ou, ce qui est équivalent, le signe de \( f(x)-x \) sur l'intervalle \( I \). 3. **Conclure sur la convergence :** Si la suite est monotone (croissante ou décroissante) et bornée (majorée ou minorée), alors d'après le théorème de convergence monotone, la suite converge. 4. **Calculer la limite :** Si la suite converge vers \( L \) et si \( f \) est continue en \( L \), alors \( L \) est solution de l'équation \( L=f(L) \). Résolvez cette équation pour trouver la valeur de \( L \). ### Vocabulaire * **Suite convergente :** Suite dont les termes tendent vers une limite finie. * **Limite (d'une suite) :** La valeur vers laquelle les termes de la suite s'approchent indéfiniment. * **Point fixe (d'une fonction) :** Une valeur \( x \) telle que \( f(x)=x \). * **Fonction continue :** Une fonction dont la courbe peut être tracée sans lever le crayon. Essentiel pour que la limite \( L \) vérifie \( L=f(L) \). * **Intervalle stable :** Un intervalle \( I \) tel que pour tout \( x \in I \), \( f(x) \in I \). * **Monotonie :** Caractéristique d'une suite qui est soit toujours croissante, soit toujours décroissante. * **Bornée (suite) :** Une suite est bornée si elle est à la fois majorée (tous ses termes sont inférieurs à un certain nombre) et minorée (tous ses termes sont supérieurs à un certain nombre). * **Diagramme en escalier/spirale :** Représentation graphique des premiers termes d'une suite \( U_{n+1}=f(U_n) \). ### Exemples #### Exemple 1 Soit la suite \( (U_n) \) définie par \( U_0=1 \) et \( U_{n+1} = \sqrt{U_n+2} \). 1. **Intervalle stable :** On peut montrer par récurrence que \( U_n \in [0, 2] \) pour tout \( n \). * \( U_0=1 \in [0,2] \). * Supposons \( U_n \in [0,2] \). Alors \( 0 \le U_n \le 2 \), donc \( 2 \le U_n+2 \le 4 \). Par suite, \( \sqrt{2} \le \sqrt{U_n+2} \le \sqrt{4} \), c'est-à-dire \( \sqrt{2} \le U_{n+1} \le 2 \). Or \( \sqrt{2} \approx 1.414 \), donc \( U_{n+1} \in [0,2] \). * L'intervalle \( [0,2] \) est stable par \( f(x)=\sqrt{x+2} \). 2. **Monotonie :** Étudions le signe de \( U_{n+1}-U_n \). * \( U_{n+1}-U_n = \sqrt{U_n+2} - U_n \). Il est plus simple d'étudier \( f(x)-x \). * Soit \( f(x)-x = \sqrt{x+2}-x \). Les racines de \( f(x)=x \) sont \( x = \sqrt{x+2} \Rightarrow x^2 = x+2 \Rightarrow x^2-x-2=0 \). Les solutions sont \( x=-1 \) et \( x=2 \). Comme \( U_n \in [0,2] \), le point fixe pertinent est \( 2 \). * Sur \( [0,2] \), \( f(x)-x \ge 0 \). Donc \( U_{n+1} \ge U_n \). La suite est croissante. 3. **Convergence :** La suite \( (U_n) \) est croissante et majorée par \( 2 \), donc elle converge d'après le théorème de convergence monotone. 4. **Limite :** La limite \( L \) doit vérifier \( L=f(L) \), soit \( L=\sqrt{L+2} \). Puisque \( L \ge 0 \), on élève au carré : \( L^2=L+2 \Rightarrow L^2-L-2=0 \). Les solutions sont \( L=-1 \) (à rejeter car \( U_n \ge 0 \)) et \( L=2 \). * Donc, la suite \( (U_n) \) converge vers \( 2 \). #### Exemple 2 Soit la suite \( (U_n) \) définie par \( U_0=10 \) et \( U_{n+1} = \frac{1}{2}U_n + 3 \). 1. **Point fixe potentiel :** On résout \( L=\frac{1}{2}L+3 \). Cela donne \( \frac{1}{2}L=3 \), d'où \( L=6 \). 2. **Changement de variable (méthode de la suite arithmético-géométrique) :** * Posons \( V_n = U_n - L = U_n - 6 \). * Alors \( U_n = V_n + 6 \). * On substitue dans la relation de récurrence : \( V_{n+1}+6 = \frac{1}{2}(V_n+6) + 3 \). * \( V_{n+1}+6 = \frac{1}{2}V_n + 3 + 3 \). * \( V_{n+1}+6 = \frac{1}{2}V_n + 6 \). * \( V_{n+1} = \frac{1}{2}V_n \). 3. **Nature de \( (V_n) \) :** La suite \( (V_n) \) est une suite géométrique de raison \( q=\frac{1}{2} \) et de premier terme \( V_0 = U_0-6 = 10-6=4 \). 4. **Expression explicite :** \( V_n = V_0 \cdot q^n = 4 \left(\frac{1}{2}\right)^n \). 5. **Expression de \( U_n \) :** \( U_n = V_n+6 = 4 \left(\frac{1}{2}\right)^n + 6 \). 6. **Limite :** Comme \( -1 < \frac{1}{2} < 1 \), on a \( \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0 \). * Donc \( \lim_{n \to \infty} U_n = 4 \cdot 0 + 6 = 6 \). * La suite \( (U_n) \) converge vers \( 6 \). ### Exercices #### Exercice 1 Soit la suite \( (U_n) \) définie par \( U_0=0 \) et \( U_{n+1} = \frac{1}{3}U_n + 2 \). a) Calculez les premiers termes \( U_1 \) et \( U_2 \). b) Représentez graphiquement les premiers termes de la suite (diagramme en escalier). c) Montrez par récurrence que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( U_n < 3 \). d) Montrez que la suite \( (U_n) \) est croissante. e) Déduisez-en que la suite \( (U_n) \) converge et déterminez sa limite. #### Exercice 2 Soit la suite \( (U_n) \) définie par \( U_0=0 \) et \( U_{n+1} = \frac{2U_n + 1}{U_n + 2} \). a) Calculez les premiers termes \( U_1 \) et \( U_2 \). b) Montrez par récurrence que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( U_n \in [0, 1] \). c) Étudiez la monotonie de la suite \( (U_n) \). d) Déduisez-en que la suite \( (U_n) \) converge et déterminez sa limite. ### Devoir à la maison #### Devoir 1 Soit la suite \( (U_n) \) définie par \( U_0=2 \) et \( U_{n+1} = \frac{U_n}{2} + \frac{1}{U_n} \). a) Montrez que si la suite \( (U_n) \) converge vers une limite \( L > 0 \), alors \( L = \sqrt{2} \). b) Montrez par récurrence que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( U_n \ge \sqrt{2} \). c) Étudiez la monotonie de la suite \( (U_n) \). * Indication : étudiez le signe de \( U_{n+1}-U_n \). d) Concluez sur la convergence de la suite \( (U_n) \). #### Devoir 2 On considère la suite \( (U_n) \) définie par \( U_0=0 \) et \( U_{n+1} = 0.5 U_n + 1 \). a) Calculez les trois premiers termes de la suite. b) Représentez graphiquement les premiers termes de la suite ainsi que la droite \( y=x \). c) Déterminez un intervalle stable par la fonction \( f(x) = 0.5x+1 \). d) Démontrez la convergence de cette suite et calculez sa limite. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris à étudier la convergence des suites définies par une relation de récurrence \( U_{n+1}=f(U_n) \). Les étapes clés sont : 1. **Visualisation graphique** pour anticiper le comportement de la suite. 2. **Recherche des points fixes** de la fonction \( f \) en résolvant \( f(L)=L \), qui sont les limites potentielles. 3. **Démonstration du bornage** de la suite, souvent par récurrence, dans un intervalle stable par \( f \). 4. **Démonstration de la monotonie** de la suite (croissante ou décroissante) en étudiant le signe de \( U_{n+1}-U_n \) ou de \( f(x)-x \). 5. **Conclusion de la convergence** grâce au théorème de convergence monotone. 6. **Détermination de la limite** parmi les points fixes, en tenant compte du comportement de la suite. ## Suite croissante majorée ou décroissante minorée ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les suites numériques, où nous allons approfondir notre compréhension de leur comportement. Aujourd'hui, nous explorerons un théorème fondamental qui nous permet de prédire si une suite converge, c'est-à-dire si elle tend vers une valeur finie. Nous découvrirons que si une suite est "bien élevée" – c'est-à-dire à la fois croissante et majorée, ou décroissante et minorée – alors sa convergence est garantie. Ce concept est crucial pour l'étude avancée des suites et des séries. ### Concepts Clés #### Suites bornées Pour comprendre la convergence, il est essentiel de maîtriser les notions de suites majorées, minorées et bornées. ##### Définition d'une suite majorée Une suite \( (u_n) \) est dite **majorée** s'il existe un nombre réel \( M \) (appelé un majorant) tel que, pour tout entier naturel \( n \), tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à \( M \). Formellement: \[ \exists M \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, u_n \le M \] ##### Définition d'une suite minorée Une suite \( (u_n) \) est dite **minorée** s'il existe un nombre réel \( m \) (appelé un minorant) tel que, pour tout entier naturel \( n \), tous les termes de la suite sont supérieurs ou égaux à \( m \). Formellement: \[ \exists m \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, u_n \ge m \] ##### Définition d'une suite bornée Une suite \( (u_n) \) est dite **bornée** si elle est à la fois majorée et minorée. Cela signifie que tous ses termes sont compris entre deux nombres réels \( m \) et \( M \). Formellement: \[ \exists (m, M) \in \mathbb{R}^2, \forall n \in \mathbb{N}, m \le u_n \le M \] #### Théorème de convergence monotone Ce théorème est l'un des plus importants concernant la convergence des suites. ##### Suite croissante et majorée **Théorème:** Si une suite \( (u_n) \) est **croissante** et **majorée**, alors elle **converge** (c'est-à-dire qu'elle admet une limite finie). *Intuition:* Imaginez que vous montez une colline (suite croissante) mais qu'il y a un plafond que vous ne pouvez pas dépasser (suite majorée). Vous êtes forcé d'atteindre un certain point et de vous stabiliser. ##### Suite décroissante et minorée **Théorème:** Si une suite \( (u_n) \) est **décroissante** et **minorée**, alors elle **converge** (c'est-à-dire qu'elle admet une limite finie). *Intuition:* De même, si vous descendez une pente (suite décroissante) mais qu'il y a un plancher que vous ne pouvez pas traverser (suite minorée), vous atteindrez également un point de stabilisation. ##### Conséquences du théorème Le théorème de convergence monotone nous assure l'existence d'une limite finie pour la suite, mais il ne donne pas la valeur de cette limite. Pour trouver la limite \( L \) d'une suite convergente définie par une relation de récurrence \( u_{n+1} = f(u_n) \), on résout l'équation \( L = f(L) \). #### Méthodes pour appliquer le théorème Pour utiliser ce théorème, il faut généralement suivre ces étapes: 1. **Démontrer que la suite est majorée (ou minorée):** Souvent par récurrence, en montrant que \( u_n \le M \) (ou \( u_n \ge m \)) pour tout \( n \). 2. **Démontrer que la suite est croissante (ou décroissante):** Cela se fait en étudiant le signe de la différence \( u_{n+1} - u_n \) ou le rapport \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \) (si les termes sont positifs). 3. **Appliquer le théorème:** Conclure la convergence de la suite grâce au théorème de convergence monotone. 4. **Calculer la limite (si nécessaire):** Résoudre l'équation \( L = f(L) \) si la suite est définie par \( u_{n+1} = f(u_n) \). ### Vocabulaire * **Suite majorée:** Suite dont les termes sont tous inférieurs ou égaux à un certain nombre (un majorant). * **Majorant:** Nombre réel \( M \) tel que \( u_n \le M \) pour tout \( n \). * **Suite minorée:** Suite dont les termes sont tous supérieurs ou égaux à un certain nombre (un minorant). * **Minorant:** Nombre réel \( m \) tel que \( u_n \ge m \) pour tout \( n \). * **Suite bornée:** Suite qui est à la fois majorée et minorée. * **Suite croissante:** Suite telle que \( u_{n+1} \ge u_n \) pour tout \( n \). * **Suite décroissante:** Suite telle que \( u_{n+1} \le u_n \) pour tout \( n \). * **Convergence:** Propriété d'une suite qui admet une limite finie. * **Limite:** Valeur vers laquelle les termes d'une suite tendent lorsque \( n \) tend vers l'infini. ### Exemples #### Exemple 1: Suite croissante et majorée Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 0 \) et \( u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3 \). 1. **Montrer que \( (u_n) \) est majorée par 6.** * **Initialisation:** Pour \( n=0 \), \( u_0 = 0 \le 6 \). La propriété est vraie au rang 0. * **Hérédité:** Supposons que \( u_k \le 6 \) pour un certain entier \( k \ge 0 \). Montrons que \( u_{k+1} \le 6 \). \( u_{k+1} = \frac{1}{2}u_k + 3 \) Puisque \( u_k \le 6 \), alors \( \frac{1}{2}u_k \le \frac{1}{2}(6) = 3 \). Donc, \( \frac{1}{2}u_k + 3 \le 3 + 3 = 6 \). Ainsi, \( u_{k+1} \le 6 \). * **Conclusion:** Par récurrence, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( u_n \le 6 \). La suite est majorée par 6. 2. **Montrer que \( (u_n) \) est croissante.** Étudions le signe de \( u_{n+1} - u_n \): \( u_{n+1} - u_n = \left(\frac{1}{2}u_n + 3\right) - u_n = 3 - \frac{1}{2}u_n \) Nous savons que \( u_n \le 6 \), donc \( \frac{1}{2}u_n \le 3 \). Par conséquent, \( 3 - \frac{1}{2}u_n \ge 0 \). Donc \( u_{n+1} - u_n \ge 0 \), ce qui signifie que \( u_{n+1} \ge u_n \). La suite \( (u_n) \) est croissante. 3. **En déduire qu'elle converge.** La suite \( (u_n) \) est croissante et majorée par 6. D'après le théorème de convergence monotone, \( (u_n) \) converge vers une limite finie \( L \). 4. **Calculer sa limite.** Si \( (u_n) \) converge vers \( L \), alors \( L \) doit vérifier l'équation \( L = \frac{1}{2}L + 3 \). \( L - \frac{1}{2}L = 3 \) \( \frac{1}{2}L = 3 \) \( L = 6 \) La suite \( (u_n) \) converge vers 6. #### Exemple 2: Suite décroissante et minorée Soit la suite \( (v_n) \) définie par \( v_0 = 10 \) et \( v_{n+1} = \frac{1}{3}v_n + 2 \). 1. **Montrer que \( (v_n) \) est minorée par 3.** * **Initialisation:** Pour \( n=0 \), \( v_0 = 10 \ge 3 \). La propriété est vraie au rang 0. * **Hérédité:** Supposons que \( v_k \ge 3 \) pour un certain entier \( k \ge 0 \). Montrons que \( v_{k+1} \ge 3 \). \( v_{k+1} = \frac{1}{3}v_k + 2 \) Puisque \( v_k \ge 3 \), alors \( \frac{1}{3}v_k \ge \frac{1}{3}(3) = 1 \). Donc, \( \frac{1}{3}v_k + 2 \ge 1 + 2 = 3 \). Ainsi, \( v_{k+1} \ge 3 \). * **Conclusion:** Par récurrence, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( v_n \ge 3 \). La suite est minorée par 3. 2. **Montrer que \( (v_n) \) est décroissante.** Étudions le signe de \( v_{n+1} - v_n \): \( v_{n+1} - v_n = \left(\frac{1}{3}v_n + 2\right) - v_n = 2 - \frac{2}{3}v_n \) Nous savons que \( v_n \ge 3 \), donc \( \frac{2}{3}v_n \ge \frac{2}{3}(3) = 2 \). Par conséquent, \( 2 - \frac{2}{3}v_n \le 0 \). Donc \( v_{n+1} - v_n \le 0 \), ce qui signifie que \( v_{n+1} \le v_n \). La suite \( (v_n) \) est décroissante. 3. **En déduire qu'elle converge.** La suite \( (v_n) \) est décroissante et minorée par 3. D'après le théorème de convergence monotone, \( (v_n) \) converge vers une limite finie \( L \). 4. **Calculer sa limite.** Si \( (v_n) \) converge vers \( L \), alors \( L \) doit vérifier l'équation \( L = \frac{1}{3}L + 2 \). \( L - \frac{1}{3}L = 2 \) \( \frac{2}{3}L = 2 \) \( L = 3 \) La suite \( (v_n) \) converge vers 3. ### Exercices #### Exercice 1 Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3} \). a) Montrer par récurrence que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( 0 \le u_n \le 3 \). b) Montrer que \( (u_n) \) est croissante. c) En déduire que \( (u_n) \) converge et déterminer sa limite. #### Exercice 2 Soit la suite \( (v_n) \) définie par \( v_0 = 4 \) et \( v_{n+1} = \frac{5v_n - 4}{v_n + 1} \). a) Montrer par récurrence que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( v_n \ge 2 \). b) Étudier les variations de la suite \( (v_n) \). c) En déduire que la suite \( (v_n) \) converge et calculer sa limite. ### Devoir #### Devoir 1 Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 5 \) et \( u_{n+1} = \frac{1}{4}u_n + 3 \). 1. Montrer que la suite \( (u_n) \) est minorée par 4. 2. Montrer que la suite \( (u_n) \) est décroissante. 3. En déduire que \( (u_n) \) converge et déterminer sa limite. #### Devoir 2 Soit la suite \( (w_n) \) définie par \( w_0 = 1 \) et \( w_{n+1} = \frac{2w_n + 1}{w_n + 2} \). 1. Calculer \( w_1 \) et \( w_2 \). 2. Montrer par récurrence que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( 0 \le w_n \le 1 \). 3. Étudier les variations de la suite \( (w_n) \). 4. En déduire que la suite \( (w_n) \) converge et calculer sa limite. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré le comportement des suites numériques et en particulier les conditions sous lesquelles une suite est garantie de converger. Nous avons appris que: * Une suite est **majorée** si ses termes ne dépassent pas une certaine valeur \( M \). * Une suite est **minorée** si ses termes ne descendent pas en dessous d'une certaine valeur \( m \). * Le **théorème de convergence monotone** stipule qu'une suite **croissante et majorée** converge, et qu'une suite **décroissante et minorée** converge également. Ces concepts sont fondamentaux pour l'analyse des suites et vous permettent de prouver l'existence d'une limite sans forcément en connaître la valeur exacte au préalable. Pour démontrer ces propriétés, les outils comme la récurrence et l'étude du signe de \( u_{n+1} - u_n \) sont indispensables.