Chap7: Fonctions logarithmes népérien

# Chap7: Fonctions logarithmes népérien ## Présentation; propriétés ### Introduction Bienvenue à ce chapitre fondamental sur les fonctions logarithmes népériens. Après avoir étudié la fonction exponentielle, nous allons découvrir sa fonction réciproque : la fonction logarithme népérien, souvent notée \( \ln \). Cette fonction est omniprésente en mathématiques, en physique, en biologie et en économie pour modéliser des phénomènes variés. Nous allons explorer sa définition, ses propriétés algébriques et ses caractéristiques graphiques et analytiques. ### Concepts Clés #### 1. Définition de la fonction logarithme népérien La fonction exponentielle \( x \mapsto e^x \) est continue et strictement croissante sur \( \mathbb{R} \), et ses valeurs sont dans \( ]0, +\infty[ \). Elle réalise donc une bijection de \( \mathbb{R} \) vers \( ]0, +\infty[ \). Sa fonction réciproque est appelée fonction logarithme népérien. * **Définition Formelle :** Pour tout réel \( x > 0 \), \( y = \ln(x) \) est le seul nombre réel tel que \( e^y = x \). * **Domaine de Définition :** La fonction \( \ln \) est définie sur l'intervalle \( ]0, +\infty[ \). * **Conséquences Directes :** * \( e^{\ln(x)} = x \) pour tout \( x > 0 \). * \( \ln(e^x) = x \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \). * **Valeurs Particulières :** * \( \ln(1) = 0 \) car \( e^0 = 1 \). * \( \ln(e) = 1 \) car \( e^1 = e \). * **Interprétation Géométrique :** La courbe de la fonction \( \ln \) est la symétrique de la courbe de la fonction exponentielle par rapport à la droite d'équation \( y=x \). #### 2. Propriétés Algébriques Fondamentales Soient \( a \) et \( b \) des réels strictement positifs, et \( n \) un entier relatif. * **Logarithme d'un produit :** \( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \) * **Logarithme d'un quotient :** \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) \) * **Logarithme d'une puissance :** \( \ln(a^n) = n \ln(a) \) * **Logarithme de l'inverse :** \( \ln\left(\frac{1}{a}\right) = - \ln(a) \) * **Logarithme d'une racine carrée :** \( \ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln(a) \) #### 3. Étude de la fonction \( \ln(x) \) * **Dérivée :** La fonction \( \ln \) est dérivable sur \( ]0, +\infty[ \) et sa dérivée est : \[ (\ln(x))' = \frac{1}{x} \] Plus généralement, si \( u \) est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle \( I \), alors la fonction \( \ln(u) \) est dérivable sur \( I \) et sa dérivée est : \[ (\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)} \] * **Sens de variation :** Puisque pour \( x > 0 \), \( \frac{1}{x} > 0 \), la fonction \( \ln \) est **strictement croissante** sur \( ]0, +\infty[ \). * **Limites aux bornes du domaine de définition :** * En \( 0^+ \) : \[ \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \] La droite d'équation \( x=0 \) (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe de \( \ln \). * En \( +\infty \) : \[ \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \] * **Limites de référence (croissances comparées) :** * En \( +\infty \), la fonction \( \ln \) croît moins vite que toute puissance de \( x \) : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \] pour tout \( n > 0 \). En particulier pour \( n=1 \) : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \] * En \( 0^+ \), la fonction \( \ln \) tend vers \( -\infty \) moins vite que \( \frac{1}{x^n} \) : \[ \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \] pour tout \( n > 0 \). En particulier pour \( n=1 \) : \[ \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0 \] * Taux d'accroissement en \( x=1 \) : \[ \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1 \] Ceci peut aussi être vu comme la dérivée de \( \ln(x) \) en \( x=1 \). ### Vocabulaire * **Fonction logarithme népérien :** La fonction réciproque de la fonction exponentielle, notée \( \ln \), définie sur \( ]0, +\infty[ \). * **Logarithme :** Nom général donné à des fonctions qui transforment un produit en somme (comme \( \ln \)). * **Exponentielle :** La fonction \( x \mapsto e^x \), qui est la réciproque de la fonction logarithme népérien. * **Domaine de définition :** L'ensemble des valeurs pour lesquelles une fonction est définie. * **Primitive :** Une fonction dont la dérivée est la fonction donnée. La fonction \( \ln(x) \) est la primitive de \( \frac{1}{x} \) qui s'annule en 1. * **Dérivée :** Le taux de variation instantané d'une fonction. * **Strictement croissante :** Une fonction dont les valeurs augmentent strictement lorsque la variable augmente. * **Asymptote verticale :** Une droite verticale à laquelle la courbe d'une fonction se rapproche infiniment sans jamais la toucher. ### Exemples #### Exemple 1: Calculs utilisant les propriétés Sachant que \( \ln(2) \approx 0,69 \) et \( \ln(3) \approx 1,10 \), calculez : 1. \( \ln(6) \) * \( \ln(6) = \ln(2 \times 3) = \ln(2) + \ln(3) \approx 0,69 + 1,10 = 1,79 \) 2. \( \ln(0,5) \) * \( \ln(0,5) = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2) \approx -0,69 \) 3. \( \ln(8) \) * \( \ln(8) = \ln(2^3) = 3 \ln(2) \approx 3 \times 0,69 = 2,07 \) #### Exemple 2: Résolution d'équations et d'inéquations 1. Résoudre l'équation \( \ln(x) = 2 \). * \( \ln(x) = 2 \iff x = e^2 \) * La solution est \( e^2 \). 2. Résoudre l'inéquation \( \ln(x+1) < 0 \). * D'abord, le domaine de définition : \( x+1 > 0 \iff x > -1 \). * \( \ln(x+1) < 0 \iff \ln(x+1) < \ln(1) \) * Puisque \( \ln \) est strictement croissante, \( x+1 < 1 \iff x < 0 \). * En combinant avec le domaine de définition, la solution est \( x \in ]-1, 0[ \). #### Exemple 3: Calcul de dérivées 1. Dériver la fonction \( f(x) = \ln(x^2+1) \). * Ici \( u(x) = x^2+1 \), donc \( u'(x) = 2x \). * \( f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{2x}{x^2+1} \). 2. Dériver la fonction \( g(x) = x \ln(x) - x \) pour \( x > 0 \). * Utilisons la règle du produit pour \( x \ln(x) \) : \( (x \ln(x))' = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1 \). * \( g'(x) = (\ln(x) + 1) - 1 = \ln(x) \). ### Exercices 1. **Simplification d'expressions :** Simplifiez les expressions suivantes : a. \( A = \ln(e^5) + \ln\left(\frac{1}{e^2}\right) \) b. \( B = \ln(4) + 2 \ln(3) - \ln(36) \) c. \( C = \ln(\sqrt{e^3}) \) 2. **Résolution d'équations :** Résolvez les équations suivantes dans \( \mathbb{R} \) : a. \( \ln(2x-1) = 0 \) b. \( \ln(x^2) = 4 \) c. \( (\ln(x))^2 - 3 \ln(x) + 2 = 0 \) (poser \( X = \ln(x) \)) 3. **Résolution d'inéquations :** Résolvez les inéquations suivantes dans \( \mathbb{R} \) : a. \( \ln(x-3) > 1 \) b. \( \ln(x) \le \ln(5-x) \) 4. **Calcul de dérivées :** Calculez la dérivée de chaque fonction sur son domaine de définition : a. \( f(x) = \ln(3x-5) \) b. \( g(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) c. \( h(x) = x \ln(x^2) \) ### Devoir à la Maison 1. **Étude de fonction :** Soit la fonction \( f \) définie sur \( ]0, +\infty[ \) par \( f(x) = x - 1 - \ln(x) \). a. Calculez \( f'(x) \) et étudiez le sens de variation de \( f \). b. Calculez la limite de \( f(x) \) quand \( x \to 0^+ \) et quand \( x \to +\infty \). c. Dressez le tableau de variation complet de \( f \). d. En déduire le signe de \( f(x) \) sur \( ]0, +\infty[ \). 2. **Problème de synthèse :** On considère la fonction \( g \) définie sur \( ]0, +\infty[ \) par \( g(x) = (\ln x)^2 \). a. Déterminez les limites de \( g(x) \) en \( 0^+ \) et en \( +\infty \). b. Calculez \( g'(x) \) et étudiez le sens de variation de \( g \). c. Dressez le tableau de variation de \( g \). d. Déterminez l'équation de la tangente à la courbe de \( g \) au point d'abscisse \( e \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons introduit la fonction logarithme népérien \( \ln(x) \) comme la réciproque de la fonction exponentielle \( e^x \). Nous avons vu qu'elle est définie sur \( ]0, +\infty[ \) et vérifie les propriétés fondamentales : \( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \) et \( \ln(a^n) = n \ln(a) \). Sa dérivée est \( \frac{1}{x} \), ce qui implique qu'elle est strictement croissante. Nous avons également exploré ses limites en \( 0^+ \) (vers \( -\infty \)) et en \( +\infty \) (vers \( +\infty \)), ainsi que ses croissances comparées avec les fonctions puissances, montrant une croissance relativement lente. ## Limites faisant intervenir ln ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les limites impliquant la fonction logarithme népérien. Vous avez déjà étudié la fonction \( \ln(x) \) et les concepts de limites de fonctions. Dans ce chapitre, nous allons approfondir l'étude des limites lorsque des expressions contiennent le logarithme népérien, en particulier les limites usuelles et les méthodes pour lever les formes indéterminées. Comprendre comment la fonction \( \ln(x) \) se comporte aux bornes de son domaine de définition (près de 0 et vers \( +\infty \)) est crucial pour l'analyse de fonctions plus complexes et pour la résolution de problèmes en mathématiques et dans d'autres sciences. ### Concepts Clés #### Limites usuelles de la fonction logarithme népérien Pour la fonction \( f(x) = \ln(x) \): * Quand \( x \) s'approche de \( 0 \) par valeurs positives (\( 0^+ \)), la fonction tend vers \( -\infty \). \[ \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \] * Quand \( x \) s'approche de \( +\infty \), la fonction tend vers \( +\infty \). \[ \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \] #### Limites usuelles par croissances comparées Ces limites sont fondamentales pour résoudre les formes indéterminées. * La fonction \( \ln(x) \) "croît moins vite" que toute puissance positive de \( x \) lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \). Pour tout entier \( n > 0 \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \] Un cas particulier souvent utilisé est quand \( n=1 \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \] * La fonction \( \ln(x) \) "tend moins vite" vers \( -\infty \) que \( x^n \) tend vers \( 0 \) lorsque \( x \) tend vers \( 0^+ \). Pour tout entier \( n > 0 \): \[ \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \] Un cas particulier important est quand \( n=1 \): \[ \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0 \] #### Autres limites remarquables * Cette limite peut être interprétée comme le nombre dérivé de \( \ln(x) \) en \( x=1 \). \[ \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1 \] * Une autre forme équivalente, en posant \( h = x-1 \) donc \( x = 1+h \), est: \[ \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h} = 1 \] #### Formes Indéterminées (FI) Lors du calcul de limites, vous rencontrerez des situations où l'application directe des règles d'opérations sur les limites mène à une expression qui ne donne pas d'information sur la limite réelle de la fonction. Ces expressions sont appelées formes indéterminées : * \( \frac{0}{0} \) * \( \frac{\infty}{\infty} \) * \( 0 \times \infty \) * \( +\infty - \infty \) #### Techniques pour lever les Formes Indéterminées Pour lever une FI, on peut utiliser plusieurs stratégies : * **Factorisation :** Mettre en facteur le terme "dominant" (souvent \( x \) ou \( \ln(x) \)) pour faire apparaître une limite usuelle ou une croissance comparée. * **Changement de variable :** Parfois, un changement de variable peut transformer la limite en une forme plus simple ou en une limite usuelle connue. * **Utilisation des croissances comparées :** Appliquer directement les limites usuelles de croissances comparées. * **Manipulation algébrique :** Transformer l'expression (par exemple, regrouper des \( \ln \) en utilisant \( \ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b}) \)). * **Utilisation des limites remarquables :** Reconnaitre et appliquer \( \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1 \) ou \( \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h} = 1 \). ### Vocabulaire * **Limite :** Valeur vers laquelle une fonction tend lorsque sa variable s'approche d'un certain point ou de l'infini. * **Logarithme népérien (\( \ln \)) :** La fonction réciproque de la fonction exponentielle \( e^x \). Elle est définie pour \( x > 0 \). * **Forme indéterminée (FI) :** Une expression résultant d'un calcul de limite qui ne permet pas de conclure directement sur la valeur de la limite (ex: \( \frac{0}{0} \), \( \frac{\infty}{\infty} \), \( 0 \times \infty \), \( +\infty - \infty \)). * **Croissances comparées :** Théorèmes qui décrivent le comportement relatif des fonctions usuelles (polynômes, exponentielles, logarithmes) à l'infini ou en 0. * **Asymptote :** Une droite vers laquelle la courbe d'une fonction tend à se rapprocher indéfiniment sans jamais l'atteindre. Les limites peuvent révéler des asymptotes (verticales, horizontales ou obliques). * **Changement de variable :** Technique qui consiste à remplacer une partie de l'expression de la fonction par une nouvelle variable pour simplifier le calcul de la limite. ### Exemples #### Exemple 1 : Forme \( +\infty - \infty \) Calculer \[ \lim_{x \to +\infty} (x - \ln(x)) \] On factorise \( x \) : \[ \lim_{x \to +\infty} x \left(1 - \frac{\ln(x)}{x}\right) \] On sait que \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \] par croissances comparées. Donc, \[ \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{\ln(x)}{x}\right) = 1 - 0 = 1 \] Et \[ \lim_{x \to +\infty} x = +\infty \] Par conséquent, \[ \lim_{x \to +\infty} (x - \ln(x)) = +\infty \times 1 = +\infty \] #### Exemple 2 : Forme \( 0 \times \infty \) Calculer \[ \lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x) \] C'est une application directe de la croissance comparée. Pour \( n=2 \): On sait que \[ \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \] pour \( n>0 \). Donc, \[ \lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x) = 0 \] #### Exemple 3 : Limite avec changement de variable ou manipulation Calculer \[ \lim_{x \to + ext{inf}} \frac{\ln(x^2+1)}{x} \] On a une FI de type \( \frac{\infty}{\infty} \). On peut écrire \( \ln(x^2+1) = \ln(x^2(1+\frac{1}{x^2})) = \ln(x^2) + \ln(1+\frac{1}{x^2}) = 2\ln(x) + \ln(1+\frac{1}{x^2}) \). Alors, \[ \frac{\ln(x^2+1)}{x} = \frac{2\ln(x)}{x} + \frac{\ln(1+\frac{1}{x^2})}{x} \] On sait que \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \], donc \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2\ln(x)}{x} = 0 \]. Pour le second terme : quand \( x \to +\infty \), \( \frac{1}{x^2} \to 0 \), donc \( \ln(1+\frac{1}{x^2}) \to \ln(1) = 0 \). Le numérateur tend vers 0 et le dénominateur tend vers \( +\infty \). Donc \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(1+\frac{1}{x^2})}{x} = 0 \]. Par conséquent, \[ \lim_{x \to + ext{inf}} \frac{\ln(x^2+1)}{x} = 0 + 0 = 0 \] #### Exemple 4 : Utilisation de \( \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h} = 1 \) Calculer \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+3x)}{x} \] C'est une FI de type \( \frac{0}{0} \). Posons \( h = 3x \). Alors si \( x \to 0 \), \( h \to 0 \). L'expression devient \[ \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h/3} = \lim_{h \to 0} 3 \frac{\ln(1+h)}{h} \] Comme \[ \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h} = 1 \], on a \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+3x)}{x} = 3 \times 1 = 3 \] ### Exercices Calculez les limites suivantes : 1. \[ \lim_{x \to +\infty} (5x - 2\ln(x)) \] 2. \[ \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{x} \ln(x)) \] 3. \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x) + 3x}{x^2} \] 4. \[ \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x^2-x} \] 5. \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x)}{x} \] ### Devoir Calculez les limites suivantes : 1. \[ \lim_{x \to +\infty} (\ln(2x+1) - \ln(x)) \] 2. \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{e^{\frac{1}{x}}} \] (Indication: On peut utiliser un changement de variable \( u = \frac{1}{x} \) et les croissances comparées) 3. \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(e^x+x)}{x} \] 4. \[ \lim_{x \to 0^+} (x^2 \ln(\sqrt{x})) \] 5. \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{x} \] ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les limites des fonctions impliquant le logarithme népérien. Il est essentiel de retenir les limites usuelles de \( \ln(x) \) en \( 0^+ \) (vers \( -\infty \)) et en \( +\infty \) (vers \( +\infty \)). Les théorèmes de **croissances comparées** sont des outils puissants pour lever les formes indéterminées \( \frac{\infty}{\infty} \) et \( 0 \times \infty \), nous indiquant que les fonctions puissances \( x^n \) l'emportent sur \( \ln(x) \) à l'infini et que \( x^n \) l'emporte sur \( \ln(x) \) en \( 0^+ \). N'oubliez pas non plus les limites remarquables \[ \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1 \] et \[ \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h} = 1 \]. La maîtrise de ces techniques est fondamentale pour l'analyse de fonctions et la résolution de problèmes en Terminale. ## Dérivée des fonction définies à l'aide de ln # Dérivée des fonctions définies à l'aide de ln\n\n## Introduction\nBienvenue dans ce chapitre sur les fonctions logarithmes népériens ! Après avoir découvert les propriétés fondamentales de la fonction \( \ln \) et sa dérivée simple \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \), nous allons maintenant étendre cette connaissance au calcul des dérivées de fonctions plus complexes, qui sont construites à l'aide de \( \ln \). Comprendre ces règles est essentiel pour l'étude de fonctions en Terminale et pour la résolution de problèmes divers.\n\n## Concepts Clés\n\n### Rappel sur la fonction logarithme népérien (ln)\n* **Définition:** La fonction logarithme népérien, notée \( \ln \), est la fonction réciproque de la fonction exponentielle \( x \mapsto e^x \). Elle est définie pour tout \( x > 0 \).\n* **Domaine de définition:** \( D_{\ln} = ]0; +\infty[ \).\n* **Dérivée simple:** La dérivée de la fonction \( x \mapsto \ln x \) est \( x \mapsto \frac{1}{x} \) pour tout \( x > 0 \).\n* **Propriétés algébriques:** Pour \( a, b > 0 \) et \( n \in \mathbb{Z} \):\n * \( \ln(ab) = \ln a + \ln b \)\n * \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b \)\n * \( \ln(a^n) = n \ln a \)\n * \( \ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln a \)\n\n### Dérivée de \( \ln(u(x)) \)\nC'est la règle fondamentale de ce chapitre. Si \( u \) est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle \( I \), alors la fonction \( f(x) = \ln(u(x)) \) est dérivable sur cet intervalle \( I \) et sa dérivée est donnée par la formule:\n\[ (\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)} \]\n**Conditions d'application :**\n* La fonction \( u(x) \) doit être dérivable sur l'intervalle considéré.\n* La fonction \( u(x) \) doit être strictement positive sur cet intervalle (c'est-à-dire \( u(x) > 0 \)).\n\n### Cas particuliers et combinaisons\n* **Produit de fonctions:** Si \( f(x) = v(x) \ln(u(x)) \), on utilise la formule de dérivation d'un produit: \( f'(x) = v'(x)\ln(u(x)) + v(x)\frac{u'(x)}{u(x)} \).\n* **Quotient de fonctions:** Si \( f(x) = \frac{\ln(u(x))}{v(x)} \), on utilise la formule de dérivation d'un quotient: \( f'(x) = \frac{u'(x)/u(x) \cdot v(x) - \ln(u(x)) \cdot v'(x)}{v(x)^2} \).\n* **Fonction affine:** Si \( f(x) = \ln(ax+b) \) avec \( ax+b > 0 \), alors \( f'(x) = \frac{a}{ax+b} \).\n\n### Utilisation de la dérivée pour l'étude de fonctions\nComme pour toute fonction, la dérivée de \( f(x) = \ln(u(x)) \) permet d'étudier son sens de variation :\n* Si \( f'(x) > 0 \), la fonction \( f \) est croissante.\n* Si \( f'(x) < 0 \), la fonction \( f \) est décroissante.\n* Si \( f'(x) = 0 \) et change de signe, il y a un extremum (maximum ou minimum local).\n\n## Vocabulaire\n* **Logarithme népérien:** Fonction \( \ln \), réciproque de l'exponentielle.\n* **Fonction composée:** Fonction obtenue en appliquant une fonction à la sortie d'une autre fonction (ex: \( \ln(u(x)) \)).\n* **Dérivée:** Taux de variation instantané d'une fonction.\n* **Domaine de définition:** Ensemble des valeurs pour lesquelles une fonction est définie.\n* **Strictement positive:** Qui est toujours supérieure à zéro (\( > 0 \)).\n\n## Exemples\n\n### Exemple 1\nSoit \( f(x) = \ln(x^2+1) \).\n* **Domaine de définition:** \( x^2+1 > 0 \) est toujours vrai pour tout \( x \in \mathbb{R} \). Donc \( D_f = \mathbb{R} \).\n* **Dérivée:** Posons \( u(x) = x^2+1 \). Alors \( u'(x) = 2x \).\n En appliquant la formule \( (\ln(u))' = \frac{u'}{u} \):\n \[ f'(x) = \frac{2x}{x^2+1} \]\n\n### Exemple 2\nSoit \( g(x) = x \ln(x) \).\n* **Domaine de définition:** \( x > 0 \). Donc \( D_g = ]0; +\infty[ \).\n* **Dérivée:** C'est un produit de fonctions \( v(x) = x \) et \( w(x) = \ln(x) \).\n \( v'(x) = 1 \) et \( w'(x) = \frac{1}{x} \).\n En appliquant la formule \( (vw)' = v'w + vw' \):\n \[ g'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1 \]\n\n### Exemple 3\nSoit \( h(x) = \ln(3x-2) \).\n* **Domaine de définition:** \( 3x-2 > 0 \implies 3x > 2 \implies x > \frac{2}{3} \). Donc \( D_h = ]\frac{2}{3}; +\infty[ \).\n* **Dérivée:** Posons \( u(x) = 3x-2 \). Alors \( u'(x) = 3 \).\n \[ h'(x) = \frac{3}{3x-2} \]\n\n## Exercices\nCalculez la dérivée de chacune des fonctions suivantes, en précisant leur domaine de définition:\n\n1. \( f(x) = \ln(x^2+x+1) \)\n2. \( g(x) = (2x+1)\ln(x) \)\n3. \( h(x) = \ln\left(\frac{1}{x}\right) \) (Indice: simplifiez l'expression de \( h(x) \) avant de dériver)\n4. \( k(x) = \frac{\ln(x^2)}{x} \)\n5. \( m(x) = x^2 - 3x + 2\ln(x) \)\n\n## Devoirs\n\n1. **Étude complète de fonction:**\n Soit la fonction \( f \) définie par \( f(x) = x - \ln(x) \).\n a. Déterminez le domaine de définition de \( f \).\n b. Calculez la dérivée \( f'(x) \).\n c. Étudiez le signe de \( f'(x) \) et déduisez le sens de variation de \( f \).\n d. Déterminez les éventuels extrema locaux de \( f \).\n\n2. **Calculs de dérivées avancés:**\n Calculez la dérivée des fonctions suivantes:\n a. \( f(x) = \ln(\sqrt{x^2+1}) \) (Indice: \( \sqrt{A} = A^{1/2} \), donc \( \ln(\sqrt{A}) = \frac{1}{2}\ln(A) \))\n b. \( g(x) = \ln\left(\frac{2x-1}{x+3}\right) \) (Indice: utilisez la propriété \( \ln(A/B) = \ln A - \ln B \) pour simplifier avant de dériver)\n c. \( h(x) = (\ln x)^2 \)\n\n## Résumé\nDans cette leçon, nous avons approfondi le calcul des dérivées des fonctions impliquant le logarithme népérien. Le point clé à retenir est la formule de dérivation d'une fonction composée \( \ln(u(x)) \):\n\[ (\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)} \]\nIl est crucial de toujours vérifier que la fonction \( u(x) \) est strictement positive sur l'intervalle de dérivation. Cette compétence est fondamentale pour l'étude de fonctions et la résolution de problèmes en Terminale. Continuez à pratiquer pour maîtriser ces techniques !