Fonctions usuelles (suite)

# Fonctions usuelles (suite) ## Fonctions polynômes de degré 2 ou 3. ### Introduction Les fonctions polynômes sont des outils mathématiques fondamentaux utilisés pour modéliser une grande variété de phénomènes dans la science, l'ingénierie et l'économie. Après avoir étudié les fonctions affines (polynômes de degré 1), nous allons maintenant explorer les fonctions polynômes de degré 2 (aussi appelées fonctions quadratiques ou trinômes du second degré) et de degré 3 (fonctions cubiques). Nous allons découvrir leurs propriétés caractéristiques, leurs représentations graphiques, ainsi que les méthodes pour analyser leurs variations et résoudre les équations associées. ### Concepts Clés #### Fonctions polynômes de degré 2 (Fonctions quadratiques) Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) qui peut s'écrire sous la forme : \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] où \( a, b, c \) sont des nombres réels, et \( a \neq 0 \). * **Représentation graphique : la parabole** * La courbe représentative d'une fonction de degré 2 est une **parabole**. * Si \( a > 0 \), la parabole est "ouverte vers le haut" (elle a un minimum). * Si \( a < 0 \), la parabole est "ouverte vers le bas" (elle a un maximum). * **Forme canonique** Toute fonction polynôme de degré 2 peut être écrite sous la forme canonique : \[ f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \] où le point \( S(\alpha, \beta) \) est le **sommet** de la parabole. Les coordonnées du sommet sont données par : * \( \alpha = -\frac{b}{2a} \) * \( \beta = f(\alpha) = -\frac{\Delta}{4a} \), avec \( \Delta = b^2 - 4ac \) (le discriminant). * **Axe de symétrie** La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation \( x = \alpha \). * **Tableau de variations** Le sommet \( S(\alpha, \beta) \) est un extremum (minimum ou maximum) de la fonction. * Si \( a > 0 \): | \( x \) | \( - \infty \) | \( \alpha \) | \( + \infty \) | | :-----------: | :------------: | :----------: | :------------: | | \( f(x) \) | \( \searrow \) | \( \beta \) | \( \nearrow \) | * Si \( a < 0 \): | \( x \) | \( - \infty \) | \( \alpha \) | \( + \infty \) | | :-----------: | :------------: | :----------: | :------------: | | \( f(x) \) | \( \nearrow \) | \( \beta \) | \( \searrow \) | * **Résolution des équations du second degré** Pour résoudre l'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \), on calcule le **discriminant** \( \Delta \) : \[ \Delta = b^2 - 4ac \] * **Si \( \Delta > 0 \)** : L'équation a deux solutions réelles distinctes (deux **racines**) : \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \] Le trinôme peut être factorisé : \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \). * **Si \( \Delta = 0 \)** : L'équation a une unique solution réelle (une racine double) : \[ x_0 = \frac{-b}{2a} \] Le trinôme peut être factorisé : \( ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2 \). * **Si \( \Delta < 0 \)** : L'équation n'a aucune solution réelle. Le trinôme ne peut pas être factorisé dans \( \mathbb{R} \). * **Signe du trinôme \( ax^2 + bx + c \)** Le signe du trinôme dépend du signe de \( a \) et des racines, s'il y en a. * **Si \( \Delta < 0 \)** : Le trinôme a toujours le même signe que \( a \). * **Si \( \Delta = 0 \)** : Le trinôme a le même signe que \( a \) pour tout \( x \neq x_0 \) et est nul en \( x_0 \). * **Si \( \Delta > 0 \)** : * Le trinôme a le signe de \( a \) à l'"extérieur" des racines (pour \( x < x_1 \) ou \( x > x_2 \)). * Le trinôme a le signe opposé de \( a \) à l'"intérieur" des racines (pour \( x_1 < x < x_2 \)). #### Fonctions polynômes de degré 3 (Fonctions cubiques) Une fonction polynôme de degré 3 est une fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) qui peut s'écrire sous la forme : \[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \] où \( a, b, c, d \) sont des nombres réels, et \( a \neq 0 \). * **Exemples simples : la fonction cube** * La fonction \( f(x) = x^3 \) est l'exemple le plus simple d'une fonction cubique. * Elle est définie sur \( \mathbb{R} \). * Elle est impaire, c'est-à-dire \( f(-x) = -f(x) \). Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine \( (0,0) \). * Elle est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \). * **Comportement global (limites)** Le comportement d'une fonction polynôme de degré 3 aux bornes de son ensemble de définition (quand \( x \to -\infty \) ou \( x \to +\infty \)) est déterminé par le terme de plus haut degré, \( ax^3 \). * **Si \( a > 0 \)** : * \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \) * \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \) * **Si \( a < 0 \)** : * \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \) * \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty \) * **Variations des fonctions cubiques** * Les fonctions de degré 3 sont plus complexes que celles de degré 2. Leur tableau de variations peut contenir des **extrema locaux** (maximums ou minimums). Elles peuvent changer de sens de variation jusqu'à deux fois. * L'étude approfondie des variations nécessite l'utilisation de la dérivée, une notion que vous approfondirez prochainement. Pour l'instant, on se base sur des études de cas simples, la factorisation pour trouver les racines, et le comportement global pour esquisser la courbe. ### Vocabulaire * **Polynôme de degré 2 (Trinôme du second degré / Fonction quadratique) :** Fonction de la forme \( ax^2+bx+c \) avec \( a \ne 0 \). * **Parabole :** Représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2. * **Sommet :** Point le plus haut (maximum) ou le plus bas (minimum) de la parabole. C'est l'extremum de la fonction. * **Axe de symétrie :** Droite verticale qui divise la parabole en deux parties symétriques. * **Forme canonique :** Écriture d'un polynôme de degré 2 sous la forme \( a(x-\alpha)^2+\beta \), qui met en évidence le sommet de la parabole. * **Discriminant (\( \Delta \)) :** Valeur \( b^2-4ac \) qui détermine le nombre de solutions réelles d'une équation du second degré. * **Racine (d'un polynôme) :** Valeur de \( x \) pour laquelle \( f(x) = 0 \). Ce sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses. * **Polynôme de degré 3 (Fonction cubique) :** Fonction de la forme \( ax^3+bx^2+cx+d \) avec \( a \ne 0 \). * **Comportement global :** Tendance de la fonction lorsque \( x \) prend des valeurs très grandes (positives ou négatives). * **Extremum local :** Maximum ou minimum d'une fonction sur un intervalle donné, qui n'est pas nécessairement un maximum ou minimum absolu. ### Exemples #### Exemple 1 : Étude d'une fonction quadratique Soit la fonction \( f(x) = x^2 - 6x + 5 \). * **Coordonnées du sommet** : \( a=1, b=-6, c=5 \). \( \alpha = -\frac{-6}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3 \). \( \beta = f(3) = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \). Le sommet est \( S(3, -4) \). * **Tableau de variations** : Puisque \( a=1 > 0 \), la parabole est ouverte vers le haut. La fonction est décroissante jusqu'à \( \alpha \) et croissante après. | \( x \) | \( - \infty \) | \( 3 \) | \( + \infty \) | | :-----------: | :------------: | :-----: | :------------: | | \( f(x) \) | \( \searrow \) | \( -4 \) | \( \nearrow \) | * **Résolution de l'équation \( f(x) = 0 \)** : \( x^2 - 6x + 5 = 0 \). \( \Delta = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16 \). Puisque \( \Delta > 0 \), il y a deux solutions : \( x_1 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \). \( x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \). Les racines sont 1 et 5. * **Tableau de signes** : Puisque \( a=1 > 0 \), le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines. | \( x \) | \( - \infty \) | \( 1 \) | \( 5 \) | \( + \infty \) | | :-----------: | :------------: | :-----: | :-----: | :------------: | | \( f(x) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | #### Exemple 2 : Application d'une fonction cubique Soit la fonction \( g(x) = -2x^3 + 8x \). * **Comportement global** : Le coefficient de \( x^3 \) est \( a = -2 \), qui est négatif. Donc, \( \lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty \) et \( \lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty \). * **Racines** : Pour trouver les racines, on résout \( g(x) = 0 \). \( -2x^3 + 8x = 0 \) \( -2x(x^2 - 4) = 0 \) \( -2x(x - 2)(x + 2) = 0 \) Les racines sont \( x = 0 \), \( x = 2 \) et \( x = -2 \). ### Exercices 1. Considérons la fonction \( h(x) = -x^2 + 4x - 3 \). * a) Déterminer les coordonnées de son sommet. * b) Donner son tableau de variations. * c) Résoudre l'équation \( h(x) = 0 \). * d) Donner le tableau de signes de \( h(x) \). 2. Un fabricant de boîtes souhaite construire une boîte ouverte avec une base carrée. Si la somme du côté de la base \( x \) (en cm) et de la hauteur \( h \) (en cm) doit être de 10 cm (c'est-à-dire \( x+h=10 \)), exprimer le volume \( V(x) \) de la boîte en fonction de \( x \) seulement. Quel est le degré de cette fonction \( V(x) \)? (Rappel: Le volume d'une boîte à base carrée est \( V = x^2h \)). 3. Sans calculer de dérivée, décrivez le comportement global de la fonction \( f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 1 \) lorsque \( x \) tend vers \( -\infty \) et lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \). 4. Vrai ou Faux : Si le discriminant d'un trinôme du second degré est négatif, alors l'équation \( ax^2+bx+c=0 \) n'a pas de solution. Justifiez votre réponse. ### Devoir à la maison 1. Mettre la fonction \( f(x) = 2x^2 + 8x - 10 \) sous forme canonique. En déduire les coordonnées du sommet et l'axe de symétrie. 2. Pour quelles valeurs du paramètre réel \( m \) l'équation \( x^2 - (m+1)x + (m+4) = 0 \) admet-elle exactement une solution réelle? 3. Soit la fonction \( P(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3 \). * a) Vérifier que \( x=1 \) est une racine de \( P(x) \). * b) En déduire que \( P(x) \) peut être factorisé sous la forme \( (x-1)(ax^2+bx+c) \). Déterminer \( a, b, c \). * c) Trouver toutes les racines de \( P(x) \) et esquisser l'allure de sa courbe représentative en utilisant ces racines et le comportement global. ### Résumé * Les **fonctions polynômes de degré 2** s'écrivent \( f(x) = ax^2+bx+c \) et sont représentées par des **paraboles**. * Le **sommet** \( S(\alpha, \beta) \) de la parabole, où \( \alpha = -\frac{b}{2a} \), est le point où la fonction atteint son extremum (minimum si \( a > 0 \), maximum si \( a < 0 \)). * La **forme canonique** \( a(x-\alpha)^2+\beta \) facilite l'identification du sommet et des variations. * Les **équations du second degré** \( ax^2+bx+c=0 \) se résolvent en utilisant le **discriminant** \( \Delta = b^2-4ac \). Le nombre de solutions (racines) dépend du signe de \( \Delta \). * Les **fonctions polynômes de degré 3** s'écrivent \( f(x) = ax^3+bx^2+cx+d \). * Le **comportement global** des fonctions de degré 3 (vers \( +\infty \) ou \( -\infty \)) est déterminé par le signe du coefficient \( a \) du terme \( x^3 \). * Les fonctions de degré 3 peuvent présenter des **extrema locaux**, rendant leur étude de variations plus complexe et nécessitant parfois des outils comme la dérivée (à venir). ## Fonctions polynômes du second degré. ### Introduction Bienvenue dans ce cours sur les fonctions polynômes du second degré, également appelées fonctions quadratiques. Ces fonctions sont fondamentales en mathématiques et apparaissent dans de nombreux domaines tels que la physique (trajectoires de projectiles), l'économie (modélisation de coûts ou de bénéfices) ou encore l'ingénierie. Comprendre leurs propriétés nous permettra de résoudre des problèmes variés et d'analyser des situations réelles. ### Concepts Clés #### 1. Définition et formes d'une fonction polynôme du second degré Une fonction polynôme du second degré est une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) qui peut s'écrire sous la forme : ##### a) Forme développée (ou générale) \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] où \(a, b, c\) sont des nombres réels, et \(a \neq 0\). * \(a\) est le coefficient du terme en \(x^2\). * \(b\) est le coefficient du terme en \(x\). * \(c\) est le terme constant. ##### b) Forme canonique \[ f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \] Cette forme met en évidence les coordonnées du sommet de la parabole (voir section 2). Les valeurs de \(\alpha\) et \(\beta\) sont données par : * \( \alpha = -\frac{b}{2a} \) * \( \beta = f(\alpha) = -\frac{\Delta}{4a} \) (où \(\Delta\) est le discriminant, voir section 4). ##### c) Forme factorisée Si la fonction a des racines (voir section 4), elle peut s'écrire sous la forme : \[ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \] où \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de la fonction. #### 2. Représentation graphique : La parabole La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est une courbe appelée **parabole**. * **Sommet de la parabole :** Le point le plus haut ou le plus bas de la parabole. Ses coordonnées sont \(S(\alpha, \beta)\). * **Axe de symétrie :** La droite verticale passant par le sommet. Son équation est \(x = \alpha\). * **Orientation de la parabole :** * Si \(a > 0\), la parabole est "ouverte vers le haut" (branches dirigées vers le haut). Le sommet est un minimum. * Si \(a < 0\), la parabole est "ouverte vers le bas" (branches dirigées vers le bas). Le sommet est un maximum. #### 3. Sens de variation Le sens de variation d'une fonction du second degré dépend du signe de \(a\) et des coordonnées du sommet. * **Si \(a > 0\) :** * La fonction est décroissante sur l'intervalle \(]-\infty, \alpha]\). * La fonction est croissante sur l'intervalle \([\alpha, +\infty[\). * Elle admet un minimum en \(x = \alpha\), la valeur de ce minimum étant \(\beta\). * **Si \(a < 0\) :** * La fonction est croissante sur l'intervalle \(]-\infty, \alpha]\). * La fonction est décroissante sur l'intervalle \([\alpha, +\infty[\). * Elle admet un maximum en \(x = \alpha\), la valeur de ce maximum étant \(\beta\). #### 4. Résolution d'équations du second degré Résoudre une équation du second degré \(ax^2 + bx + c = 0\) revient à trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles la fonction s'annule (les racines). On utilise le **discriminant** \(\Delta\), calculé par la formule : \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Trois cas sont possibles : * **Cas 1 : \(\Delta > 0\)** L'équation admet **deux racines réelles distinctes** : \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \] et \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \] * **Cas 2 : \(\Delta = 0\)** L'équation admet **une unique racine réelle double** : \[ x_0 = \frac{-b}{2a} \] * **Cas 3 : \(\Delta < 0\)** L'équation n'admet **aucune racine réelle**. La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses. #### 5. Signe d'une fonction polynôme du second degré Le signe de \(f(x) = ax^2 + bx + c\) dépend des racines (si elles existent) et du signe de \(a\). * **Si \(\Delta > 0\) (deux racines \(x_1\) et \(x_2\), avec \(x_1 < x_2\)) :** * \(f(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines (pour \(x < x_1\) ou \(x > x_2\)). * \(f(x)\) est du signe opposé à celui de \(a\) entre les racines (pour \(x_1 < x < x_2\)). * \(f(x) = 0\) pour \(x = x_1\) et \(x = x_2\). * **Si \(\Delta = 0\) (une racine double \(x_0\)) :** * \(f(x)\) est toujours du signe de \(a\) pour tout \(x \neq x_0\). * \(f(x) = 0\) pour \(x = x_0\). * **Si \(\Delta < 0\) (aucune racine réelle) :** * \(f(x)\) est toujours du signe de \(a\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). ### Vocabulaire * **Fonction polynôme du second degré (ou quadratique) :** Fonction de la forme \(f(x) = ax^2 + bx + c\). * **Coefficients :** Les nombres \(a, b, c\) dans l'expression de la fonction. * **Parabole :** La courbe représentative d'une fonction du second degré. * **Sommet :** Le point extrême de la parabole (minimum ou maximum). * **Axe de symétrie :** Droite verticale passant par le sommet, divisant la parabole en deux parties symétriques. * **Racine d'une fonction :** Valeur de \(x\) pour laquelle \(f(x) = 0\). * **Discriminant (\(\Delta\)) :** Expression \(b^2 - 4ac\) qui détermine le nombre de racines réelles d'une équation du second degré. * **Forme canonique :** Forme \(a(x - \alpha)^2 + \beta\) mettant en évidence le sommet. * **Forme factorisée :** Forme \(a(x - x_1)(x - x_2)\) mettant en évidence les racines. * **Minimum / Maximum :** Valeur la plus petite / la plus grande atteinte par la fonction. ### Exemples #### Exemple 1 : Identification des formes et tracé Soit la fonction \(f(x) = 2x^2 - 8x + 6\). 1. **Forme développée :** \(a=2, b=-8, c=6\). 2. **Calcul de \(\alpha\) et \(\beta\) (sommet) :** \(\alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2\). \(\beta = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 2(4) - 16 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2\). Le sommet est \(S(2, -2)\). 3. **Forme canonique :** \(f(x) = 2(x - 2)^2 - 2\). 4. **Racines (forme factorisée) :** Calculons \(\Delta = (-8)^2 - 4(2)(6) = 64 - 48 = 16\). \(\Delta > 0\), donc deux racines : \(x_1 = \frac{-(-8) - \sqrt{16}}{2(2)} = \frac{8 - 4}{4} = \frac{4}{4} = 1\). \(x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{16}}{2(2)} = \frac{8 + 4}{4} = \frac{12}{4} = 3\). **Forme factorisée :** \(f(x) = 2(x - 1)(x - 3)\). 5. **Tracé :** La parabole est ouverte vers le haut (car \(a=2 > 0\)), de sommet \(S(2, -2)\), et coupe l'axe des abscisses en \(x=1\) et \(x=3\). #### Exemple 2 : Résolution d'équation Résoudre l'équation \(-x^2 + 5x - 6 = 0\). Ici, \(a=-1, b=5, c=-6\). \(\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(-1)(-6) = 25 - 24 = 1\). Comme \(\Delta > 0\), il y a deux racines distinctes : \(x_1 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2(-1)} = \frac{-5 - 1}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3\). \(x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2(-1)} = \frac{-5 + 1}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2\). L'ensemble des solutions est \(\{2, 3\}\). #### Exemple 3 : Détermination du signe Déterminer le signe de la fonction \(g(x) = -x^2 + 4x - 5\). Ici, \(a=-1, b=4, c=-5\). \(\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(-1)(-5) = 16 - 20 = -4\). Comme \(\Delta < 0\), la fonction n'a pas de racines réelles. Puisque \(a=-1 < 0\), la fonction \(g(x)\) est **toujours négative** pour tout \(x \in \mathbb{R}\). ### Exercices 1. Pour chaque fonction, déterminez les valeurs de \(a, b, c\), puis calculez \(\alpha\) et \(\beta\). a) \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) b) \(g(x) = -3x^2 + 12x - 9\) c) \(h(x) = 2x^2 - 8\) 2. Résolvez les équations suivantes : a) \(x^2 - 7x + 10 = 0\) b) \(2x^2 + 4x + 2 = 0\) c) \(x^2 + x + 1 = 0\) 3. Déterminez le sens de variation et le signe des fonctions de l'exercice 1. 4. Écrivez \(f(x) = x^2 + 4x - 5\) sous forme canonique puis sous forme factorisée. ### Devoir à la maison 1. Soit la fonction \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\). a) Déterminez la forme canonique de \(f(x)\). b) Calculez les racines de \(f(x)\) et déduisez-en la forme factorisée. c) Tracez un tableau de variation et un tableau de signes pour \(f(x)\). d) Représentez graphiquement la fonction sur un repère orthonormé (n'oubliez pas de marquer le sommet et les racines). 2. Un projectile est lancé en l'air. Sa hauteur \(h(t)\) (en mètres) en fonction du temps \(t\) (en secondes) est donnée par la formule \(h(t) = -5t^2 + 20t + 25\). a) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le projectile ? À quel moment est-elle atteinte ? b) Au bout de combien de temps le projectile retombe-t-il au sol ? c) À quels instants le projectile se trouve-t-il à une hauteur de 40 mètres ? ### Résumé Les fonctions polynômes du second degré, \(f(x) = ax^2 + bx + c\), sont essentielles en mathématiques. Leur représentation graphique est une **parabole** dont l'orientation dépend du signe de \(a\) (vers le haut si \(a > 0\), vers le bas si \(a < 0\)). Le **sommet** de la parabole a pour coordonnées \((\alpha, \beta)\) où \(\alpha = -b/(2a)\) et \(\beta = f(\alpha)\). Le sens de variation est lié à ce sommet. La résolution des équations \(ax^2 + bx + c = 0\) se fait grâce au **discriminant** \(\Delta = b^2 - 4ac\), qui détermine le nombre de racines. Le signe de la fonction dépend du signe de \(a\) et de l'existence de racines. ## Fonctions homographiques ### Introduction Dans cette leçon, nous allons explorer une classe de fonctions très importantes en mathématiques : les fonctions homographiques. Ces fonctions, qui sont des quotients de fonctions affines, ont des propriétés graphiques et analytiques particulières qui les distinguent des autres types de fonctions que nous avons déjà étudiées. Nous verrons comment les définir, déterminer leur ensemble de définition, tracer leur représentation graphique et étudier leurs variations. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une fonction homographique Une fonction homographique est une fonction \( f \) définie sur un ensemble \( D_f \) et qui s'écrit sous la forme : \[ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \] où \( a, b, c, d \) sont des nombres réels, avec la condition essentielle que : * \( c \neq 0 \) (sinon, ce serait une fonction affine, \( f(x) = \frac{a}{d}x + \frac{b}{d} \)) * \( ad-bc \neq 0 \) (sinon, la fonction serait constante, ce que nous allons voir avec la dérivée). #### 2. Ensemble de définition L'ensemble de définition \( D_f \) d'une fonction homographique est l'ensemble des réels \( x \) pour lesquels le dénominateur ne s'annule pas. Autrement dit : \[ cx+d \neq 0 \] \[ cx \neq -d \] \[ x \neq -\frac{d}{c} \] Donc, l'ensemble de définition est \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-\frac{d}{c}\} \). #### 3. Représentation graphique : l'hyperbole et ses asymptotes La représentation graphique d'une fonction homographique est une **hyperbole**. Cette hyperbole possède deux droites remarquables appelées **asymptotes**, vers lesquelles la courbe tend sans jamais les atteindre. * **Asymptote verticale** : C'est la droite d'équation \( x = -\frac{d}{c} \). Elle correspond à la valeur interdite de l'ensemble de définition. * **Asymptote horizontale** : C'est la droite d'équation \( y = \frac{a}{c} \). La courbe s'approche de cette droite lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \) ou \( -\infty \). Le point d'intersection de ces deux asymptotes, \( \Omega(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c}) \), est le **centre de symétrie** de l'hyperbole. #### 4. Sens de variation et dérivée Pour étudier le sens de variation d'une fonction homographique, nous calculons sa dérivée. La formule de la dérivée d'un quotient \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \) donne : \[ f'(x) = \frac{a(cx+d) - c(ax+b)}{(cx+d)^2} \] \[ f'(x) = \frac{acx+ad - acx-bc}{(cx+d)^2} \] \[ f'(x) = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2} \] Le signe de \( f'(x) \) dépend uniquement du signe du numérateur \( ad-bc \), car le dénominateur \( (cx+d)^2 \) est toujours strictement positif sur \( D_f \). * Si \( ad-bc > 0 \), alors \( f'(x) > 0 \) et la fonction \( f \) est strictement croissante sur chaque intervalle de son ensemble de définition. * Si \( ad-bc < 0 \), alors \( f'(x) < 0 \) et la fonction \( f \) est strictement décroissante sur chaque intervalle de son ensemble de définition. * Si \( ad-bc = 0 \), alors \( f'(x) = 0 \) et la fonction \( f \) est constante (ce cas est exclu par la définition d'une fonction homographique). ##### Tableau de variations Le tableau de variations résume le comportement de la fonction. Il doit montrer la discontinuité au point \( -\frac{d}{c} \). Par exemple, si \( ad-bc > 0 \): | \( x \) | \( -\infty \) | \( -\frac{d}{c} \) | \( +\infty \) | |--------------------|--------------|--------------------|--------------| | Signe de \( f'(x) \)| \( + \) | \( || \) | \( + \) | | Variations de \( f \)| \( \nearrow \) | \( || \) | \( \nearrow \) | ### Vocabulaire * **Fonction homographique** : Fonction de la forme \( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \) avec \( c \neq 0 \) et \( ad-bc \neq 0 \). * **Hyperbole** : Nom de la courbe représentative d'une fonction homographique. * **Asymptote verticale** : Droite d'équation \( x = x_0 \) que la courbe ne coupe jamais et vers laquelle elle tend lorsque \( x \) s'approche de \( x_0 \). * **Asymptote horizontale** : Droite d'équation \( y = y_0 \) que la courbe ne coupe jamais et vers laquelle elle tend lorsque \( x \) s'approche de \( \pm\infty \). * **Ensemble de définition** : L'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie (où le dénominateur n'est pas nul). * **Dérivée** : Outil permettant d'étudier le sens de variation d'une fonction. * **Centre de symétrie** : Point par lequel une figure est invariante par une rotation de 180 degrés. ### Exemples #### Exemple 1 : Analyse complète d'une fonction Soit la fonction \( f(x) = \frac{2x+1}{x-3} \). 1. **Identifier \( a, b, c, d \)** : Ici, \( a=2, b=1, c=1, d=-3 \). 2. **Ensemble de définition** : Le dénominateur est \( x-3 \). Il ne doit pas être nul, donc \( x-3 \neq 0 \implies x \neq 3 \). \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\} \). 3. **Asymptotes** : * Asymptote verticale : \( x = -\frac{d}{c} = -\frac{-3}{1} = 3 \). La droite d'équation \( x=3 \). * Asymptote horizontale : \( y = \frac{a}{c} = \frac{2}{1} = 2 \). La droite d'équation \( y=2 \). 4. **Sens de variation** : Calculons \( ad-bc \) : \( ad-bc = (2)(-3) - (1)(1) = -6 - 1 = -7 \). Puisque \( ad-bc = -7 < 0 \), la fonction \( f \) est strictement décroissante sur chaque intervalle de son ensemble de définition (\( ]-\infty, 3[ \) et \( ]3, +\infty[ \)). 5. **Tableau de variations** : | \( x \) | \( -\infty \) | \( 3 \) | \( +\infty \) | |--------------------|--------------|----------|--------------| | Signe de \( f'(x) \)| \( - \) | \( || \) | \( - \) | | Variations de \( f \)| \( \searrow \) | \( || \) | \( \searrow \) | #### Exemple 2 : Calcul de points Reprenons \( f(x) = \frac{2x+1}{x-3} \). * Calculez \( f(0) \) : \( f(0) = \frac{2(0)+1}{0-3} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \). * Calculez \( f(5) \) : \( f(5) = \frac{2(5)+1}{5-3} = \frac{10+1}{2} = \frac{11}{2} = 5.5 \). Ces points peuvent être utilisés pour placer quelques points de la courbe lors du tracé. ### Exercices Pour chacune des fonctions homographiques suivantes, déterminez : 1. Les coefficients \( a, b, c, d \). 2. L'ensemble de définition. 3. Les équations des asymptotes (verticale et horizontale). 4. Le sens de variation. 5. Construisez un tableau de variations. * **Exercice 1** : \( f(x) = \frac{3x-2}{x+4} \) * **Exercice 2** : \( g(x) = \frac{-x+5}{2x-1} \) * **Exercice 3** : \( h(x) = \frac{x}{1-x} \) ### Devoir à la maison 1. **Exercice 1** : Soit la fonction \( k(x) = \frac{2x+m}{x-1} \). * Pour quelle valeur de \( m \) le point \( (2, 5) \) appartient-il à la courbe représentative de \( k \) ? * Pour cette valeur de \( m \), étudiez complètement la fonction \( k \) (ensemble de définition, asymptotes, variations). 2. **Exercice 2** : La fonction \( f(x) = \frac{2x-3}{x-1} \) modélise la concentration (en mg/L) d'un médicament dans le sang en fonction du temps \( x \) (en heures) après l'administration. \( x \) est défini sur \( ]1, +\infty[ \). * Quelle est la concentration initiale (lorsque \( x \) est proche de 1) ? * Comment évolue la concentration à long terme (lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \)) ? * Tracez l'allure de la courbe de concentration. Justifiez votre réponse à l'aide du sens de variation. ### Résumé Les fonctions homographiques sont de la forme \( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \) avec \( c \neq 0 \) et \( ad-bc \neq 0 \). * Leur **ensemble de définition** est \( \mathbb{R} \setminus \{-\frac{d}{c}\} \). * Leur **représentation graphique** est une hyperbole avec : * Une **asymptote verticale** d'équation \( x = -\frac{d}{c} \). * Une **asymptote horizontale** d'équation \( y = \frac{a}{c} \). * Leur **sens de variation** est déterminé par le signe de \( ad-bc \) : * Si \( ad-bc > 0 \), la fonction est strictement croissante. * Si \( ad-bc < 0 \), la fonction est strictement décroissante. Ces propriétés permettent une analyse complète et une compréhension approfondie de ces fonctions importantes. ## Fonctions polynômes de degré 2 ou 3. # Fonctions polynômes de degré 2 ou 3.\n\n## Introduction\nBienvenue à cette leçon sur les fonctions polynômes de degré 2 et 3. Après avoir étudié les fonctions affines (polynômes de degré 1), nous allons maintenant nous intéresser à des fonctions plus complexes dont les courbes représentent de nombreuses situations en sciences, en économie ou en ingénierie. Comprendre ces fonctions est crucial pour analyser des phénomènes variés, allant de la trajectoire d'un projectile au comportement de certains systèmes physiques.\n\n## Concepts Clés\n\n### 1. Fonctions Polynômes en Général\nUne fonction polynôme est une fonction qui peut être écrite sous la forme d'une somme de termes, chacun étant le produit d'un coefficient par une puissance entière non négative de la variable \(x\). Le degré d'un polynôme est la plus haute puissance de \(x\) dont le coefficient est non nul.\nExemple: \(f(x) = 5x^4 - 2x^2 + 7x - 1\) est un polynôme de degré 4.\n\n### 2. Fonctions Polynômes de Degré 2 (Fonctions Quadratiques)\nCes fonctions sont de la forme générale :\n\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]\noù \(a, b, c\) sont des nombres réels et \(a \neq 0\).\n\n#### a. Représentation Graphique : La Parabole\nLa courbe représentative d'une fonction quadratique est une parabole. Elle est symétrique par rapport à un axe vertical.\n\n#### b. Sommet de la Parabole\nLe sommet \(S\) de la parabole est le point où la fonction atteint son minimum (si \(a > 0\)) ou son maximum (si \(a < 0\)). Ses coordonnées sont :\n\[ x_S = -\frac{b}{2a} \]\net \(y_S = f(x_S)\).\n\n#### c. Sens de Variation\n* Si \(a > 0\) : La parabole est ouverte vers le haut. La fonction est décroissante jusqu'au sommet, puis croissante.\n* Si \(a < 0\) : La parabole est ouverte vers le bas. La fonction est croissante jusqu'au sommet, puis décroissante.\n\n#### d. Racines (Zéros) de la Fonction Quadratique\nLes racines sont les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x) = 0\). Elles correspondent aux points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses. On les trouve en calculant le discriminant \(\Delta\) :\n\[ \Delta = b^2 - 4ac \]\n* Si \(\Delta > 0\) : Il y a deux racines réelles distinctes :\n \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \]\n* Si \(\Delta = 0\) : Il y a une seule racine réelle (double) :\n \[ x_0 = -\frac{b}{2a} \]\n* Si \(\Delta < 0\) : Il n'y a pas de racines réelles.\n\n### 3. Fonctions Polynômes de Degré 3 (Fonctions Cubiques)\nCes fonctions sont de la forme générale :\n\[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \]\noù \(a, b, c, d\) sont des nombres réels et \(a \neq 0\).\n\n#### a. Représentation Graphique\nLa courbe représentative d'une fonction cubique est une cubique. Contrairement à la parabole, elle n'est pas nécessairement symétrique. Elle peut présenter un ou deux points d'inflexion.\n\n#### b. Racines\nUne fonction cubique a toujours au moins une racine réelle et au maximum trois racines réelles distinctes.\nTrouver les racines d'une fonction cubique peut être plus complexe. Souvent, on cherche une racine évidente, puis on factorise le polynôme pour réduire le problème à une équation quadratique. Si \(x_0\) est une racine, alors \((x - x_0)\) est un facteur du polynôme.\n\n#### c. Dérivée (pour l'étude des variations - programme de Première)\nL'étude des variations d'une fonction cubique passe par l'étude du signe de sa dérivée première. Si \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), alors sa dérivée est une fonction quadratique :\n\[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]\nEn étudiant le signe de \(f'(x)\), on peut déterminer les intervalles où \(f(x)\) est croissante ou décroissante, et identifier les extremums locaux.\n\n## Vocabulaire\n* **Polynôme :** Expression algébrique composée d'une somme de termes, chacun étant le produit d'un coefficient et d'une puissance de la variable.\n* **Degré d'un polynôme :** La puissance la plus élevée de la variable dans un polynôme, dont le coefficient est non nul.\n* **Fonction quadratique :** Fonction polynôme de degré 2 (forme \(ax^2+bx+c\)).\n* **Parabole :** Courbe représentative d'une fonction quadratique.\n* **Sommet :** Le point le plus haut ou le plus bas d'une parabole.\n* **Racine (ou Zéro) :** Valeur de \(x\) pour laquelle \(f(x)=0\).\n* **Discriminant (\(\Delta\)) :** Valeur utilisée pour déterminer le nombre de racines d'une équation quadratique.\n* **Fonction cubique :** Fonction polynôme de degré 3 (forme \(ax^3+bx^2+cx+d\)).\n* **Coefficient :** Le nombre qui multiplie une variable élevée à une certaine puissance dans un terme d'un polynôme.\n\n## Exemples\n\n### Exemple 1 : Fonction quadratique\nSoit la fonction \(f(x) = x^2 - 6x + 5\).\n1. **Identifier les coefficients :** \(a=1, b=-6, c=5\).\n2. **Coordonnées du sommet :**\n \(x_S = -\frac{-6}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3\)\n \(y_S = f(3) = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4\)\n Le sommet est \(S(3, -4)\).\n3. **Sens de variation :** Puisque \(a=1 > 0\), la parabole est ouverte vers le haut. \(f\) est décroissante sur \(]-\infty, 3]\) et croissante sur \([3, +\infty[\).\n4. **Racines :**\n \(\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16\)\n Puisque \(\Delta > 0\), il y a deux racines :\n \(x_1 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\)\n \(x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5\)\n Les racines sont \(x=1\) et \(x=5\).\n\n### Exemple 2 : Fonction cubique\nSoit la fonction \(g(x) = x^3 - 4x\).\n1. **Calculer l'image de \(x=2\) :**\n \(g(2) = (2)^3 - 4(2) = 8 - 8 = 0\)\n Donc \(x=2\) est une racine de \(g(x)\).\n2. **Factorisation :**\n Puisque \(g(2)=0\), on sait que \((x-2)\) est un facteur de \(g(x)\). On peut aussi factoriser \(x\) directement :\n \(g(x) = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2)\).\n3. **Racines :** Les racines sont \(x=0, x=2, x=-2\).\n\n## Exercices\n\n1. Pour la fonction \(h(x) = -2x^2 + 8x - 6\) :\n a. Déterminez les coordonnées de son sommet.\n b. Quel est son sens de variation ? Justifiez.\n c. Calculez ses racines, si elles existent.\n\n2. Trouvez le degré des polynômes suivants :\n a. \(P(x) = 3x^5 - 7x^3 + x - 10\)\n b. \(Q(x) = (x^2 + 1)(x - 2)^2\)\n c. \(R(x) = 4x + 9\)\n\n3. Soit la fonction \(k(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6\). Vérifiez que \(x=-1\) est une racine de \(k(x)\).\n\n## Devoirs\n\n1. Un projectile est lancé et sa hauteur \(h(t)\) (en mètres) en fonction du temps \(t\) (en secondes) est donnée par \(h(t) = -5t^2 + 30t + 20\).\n a. À quelle hauteur maximale le projectile atteint-il ? À quel instant \(t\) ?\n b. À quel instant le projectile retombe-t-il au sol (\(h(t)=0\)) ? (Arrondissez à 2 décimales si nécessaire).\n\n2. On considère la fonction \(f(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8\).\n a. Montrez que \(x=2\) est une racine de \(f(x)\).\n b. Déduisez-en une factorisation de \(f(x)\) sous la forme \((x-2)(ax^2+bx+c)\).\n c. Trouvez toutes les racines de \(f(x)\).\n\n## Résumé\nNous avons exploré les fonctions polynômes de degré 2 (quadratiques) et de degré 3 (cubiques). Les fonctions quadratiques sont représentées par des paraboles, dont le sommet et le sens de variation sont déterminés par les coefficients \(a, b, c\). Le discriminant nous aide à trouver leurs racines. Les fonctions cubiques sont plus complexes, mais peuvent avoir jusqu'à trois racines réelles. L'étude de leur dérivée permet d'analyser leurs variations. La compréhension de ces fonctions est fondamentale pour de nombreuses applications en sciences et en ingénierie. ## Fonctions homographiques ### Introduction Dans cette leçon, nous allons explorer une famille de fonctions particulières appelées fonctions homographiques. Ces fonctions se distinguent par leur forme et leur représentation graphique unique, l'hyperbole. Comprendre les fonctions homographiques est essentiel pour approfondir vos connaissances sur les fonctions usuelles et leurs comportements. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une fonction homographique Une fonction \( f \) est dite homographique si elle peut s'écrire sous la forme : \[ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \] où \( a, b, c, d \) sont des nombres réels, avec la condition essentielle que \( c \neq 0 \) et \( ad-bc \neq 0 \). * Si \( c=0 \), la fonction devient \( f(x) = \frac{ax+b}{d} \), qui est une fonction affine (de la forme \( mx+p \)). * Si \( ad-bc=0 \), cela signifie que \( a/c = b/d \) (si \( c,d \ne 0 \)), ce qui rend le numérateur proportionnel au dénominateur, et la fonction serait constante après simplification (par exemple, \( rac{2x+4}{x+2} = 2 \)). #### 2. Ensemble de définition Pour qu'une fonction \( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \) soit définie, il faut que son dénominateur ne soit pas nul. Par conséquent : \[ cx+d \neq 0 \implies cx \neq -d \implies x \neq -\frac{d}{c} \] La valeur \( -\frac{d}{c} \) est appelée la **valeur interdite**. L'ensemble de définition de \( f \) est donc \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{ -\frac{d}{c} \} \). #### 3. Forme réduite Toute fonction homographique \( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \) peut être réécrite sous la forme réduite suivante : \[ f(x) = k + \frac{m}{x-x_0} \] ou, plus précisément, en effectuant une division euclidienne du numérateur par le dénominateur : \[ f(x) = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c(cx+d)} \] Cette forme est utile pour l'étude des asymptotes et du centre de symétrie. Par exemple, pour \( f(x) = \frac{2x+5}{x+2} \) : \( f(x) = \frac{2(x+2)+1}{x+2} = 2 + \frac{1}{x+2} \). #### 4. Représentation graphique : l'hyperbole La courbe représentative d'une fonction homographique est une **hyperbole**. Une hyperbole possède deux droites remarquables appelées **asymptotes**, que la courbe approche sans jamais les atteindre. * **Asymptote verticale** : C'est la droite d'équation \( x = -\frac{d}{c} \). Elle correspond à la valeur interdite. * **Asymptote horizontale** : C'est la droite d'équation \( y = \frac{a}{c} \). Elle est obtenue en considérant la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \) ou \( -\infty \). Le point d'intersection de ces deux asymptotes, de coordonnées \( (-\frac{d}{c} ; \frac{a}{c}) \), est le **centre de symétrie** de l'hyperbole. #### 5. Variations de la fonction Pour étudier les variations d'une fonction homographique, on calcule sa dérivée. Pour \( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \) : \[ f'(x) = \frac{a(cx+d) - c(ax+b)}{(cx+d)^2} = \frac{acx+ad-acx-bc}{(cx+d)^2} = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2} \] Le signe de \( f'(x) \) dépend uniquement du signe de \( ad-bc \), car \( (cx+d)^2 \) est toujours positif (non nul) sur le domaine de définition. * Si \( ad-bc > 0 \) : \( f'(x) > 0 \), donc \( f \) est strictement croissante sur chacun des intervalles de son ensemble de définition. * Si \( ad-bc < 0 \) : \( f'(x) < 0 \), donc \( f \) est strictement décroissante sur chacun des intervalles de son ensemble de définition. #### 6. Étude du signe d'une fonction homographique Pour étudier le signe de \( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \), il faut étudier séparément le signe du numérateur \( ax+b \) et du dénominateur \( cx+d \), puis construire un tableau de signes. N'oubliez pas que la valeur interdite correspond à une double barre dans le tableau de signes. #### 7. Résolution d'équations et inéquations Pour résoudre des équations de type \( \frac{ax+b}{cx+d} = k \) ou des inéquations de type \( \frac{ax+b}{cx+d} > k \) : 1. **Identifier la valeur interdite.** 2. Pour une équation : \( ax+b = k(cx+d) \) (après avoir exclu la valeur interdite) puis résoudre l'équation linéaire. 3. Pour une inéquation : Ramener tous les termes d'un seul côté pour obtenir une expression de la forme \( \frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \) ou \( \frac{P(x)}{Q(x)} < 0 \), puis utiliser un tableau de signes. ### Vocabulaire * **Fonction homographique** : Fonction de la forme \( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \) avec \( c \neq 0 \) et \( ad-bc \neq 0 \). * **Hyperbole** : Nom de la courbe représentative d'une fonction homographique. * **Asymptote verticale** : Droite d'équation \( x = -\frac{d}{c} \) que la courbe approche verticalement. * **Asymptote horizontale** : Droite d'équation \( y = \frac{a}{c} \) que la courbe approche horizontalement. * **Valeur interdite** : Valeur de \( x \) pour laquelle le dénominateur de la fonction s'annule, rendant la fonction non définie. * **Ensemble de définition** : L'ensemble de toutes les valeurs de \( x \) pour lesquelles la fonction est définie. * **Centre de symétrie** : Point d'intersection des asymptotes, centre de symétrie de l'hyperbole. ### Exemples #### Exemple 1 : Étude complète de \( f(x) = \frac{2x-1}{x+3} \) 1. **Ensemble de définition** : \( x+3 \neq 0 \implies x \neq -3 \). Donc \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\} \). 2. **Asymptotes** : * Verticale : \( x = -3 \). * Horizontale : \( y = \frac{2}{1} = 2 \). 3. **Variations** : On calcule \( ad-bc = 2(3) - 1(-1) = 6 + 1 = 7 \). Puisque \( ad-bc = 7 > 0 \), la fonction est strictement croissante sur \( ]-\infty, -3[ \) et sur \( ]-3, +\infty[ \). Tableau de variations : | \( x \) | \( -\infty \) | \( -3 \) | \( +\infty \) | | :-------------- | :----------- | :------------ | :----------- | | \( f'(x) \) | \( + \) | \( || \) | \( + \) | | \( f(x) \) | Croissante | \( || \) | Croissante | | (Limite) | \( 2 \) | \( -\infty/+\infty \) | \( 2 \) | #### Exemple 2 : Résoudre l'équation \( \frac{3x+1}{x-2} = 2 \) 1. **Valeur interdite** : \( x-2 \neq 0 \implies x \neq 2 \). 2. Résolution : Pour \( x \neq 2 \), \( 3x+1 = 2(x-2) \) \( 3x+1 = 2x-4 \) \( 3x-2x = -4-1 \) \( x = -5 \) La solution est \( x = -5 \) (qui n'est pas la valeur interdite). #### Exemple 3 : Résoudre l'inéquation \( \frac{x+4}{2x-1} > 1 \) 1. **Valeur interdite** : \( 2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2} \). 2. On ramène à une seule fraction : \( \frac{x+4}{2x-1} - 1 > 0 \) \( \frac{x+4 - (2x-1)}{2x-1} > 0 \) \( \frac{x+4-2x+1}{2x-1} > 0 \) \( \frac{-x+5}{2x-1} > 0 \) 3. **Tableau de signes** : * Signe de \( -x+5 \) : \( -x+5 > 0 \implies -x > -5 \implies x < 5 \) * Signe de \( 2x-1 \) : \( 2x-1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > \frac{1}{2} \) | \( x \) | \( -\infty \) | \( 1/2 \) | \( 5 \) | \( +\infty \) | | :-------------- | :----------- | :------------ | :------------ | :----------- | | \( -x+5 \) | \( + \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | | \( 2x-1 \) | \( - \) | \( 0 || \) | \( + \) | \( + \) | | \( \frac{-x+5}{2x-1} \) | \( - \) | \( || \) | \( 0 \) | \( - \) | L'inéquation \( \frac{-x+5}{2x-1} > 0 \) est vérifiée lorsque le quotient est positif. La solution est \( S = ]\frac{1}{2}, 5[ \). ### Exercices #### Exercice 1 Soit la fonction \( f(x) = \frac{-x+5}{3x-6} \). Déterminer son ensemble de définition, les équations de ses asymptotes et ses variations. #### Exercice 2 Résoudre l'équation suivante : \( \frac{4x-1}{x+2} = 3 \). #### Exercice 3 Résoudre l'inéquation suivante : \( \frac{x-3}{x+1} \le 0 \). ### Devoir #### Devoir 1 Soit la fonction \( g(x) = \frac{x+1}{2x+3} \). 1. Déterminer l'ensemble de définition de \( g \). 2. Calculer \( g'(x) \) et en déduire les variations de \( g \). 3. Donner les équations des asymptotes de la courbe représentative de \( g \). 4. Esquisser la courbe représentative de \( g \) en plaçant les asymptotes et le centre de symétrie. #### Devoir 2 Résoudre l'inéquation suivante : \( \frac{2x+5}{x-1} \ge 3 \). ### Résumé Les fonctions homographiques, de la forme \( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \), sont caractérisées par leur ensemble de définition \( \mathbb{R} \setminus \{ -\frac{d}{c} \} \) et leur représentation graphique, une hyperbole. Cette hyperbole possède deux asymptotes, une verticale d'équation \( x = -\frac{d}{c} \) et une horizontale d'équation \( y = \frac{a}{c} \). Les variations de la fonction dépendent du signe de \( ad-bc \). La résolution d'équations et d'inéquations implique la recherche de la valeur interdite et l'utilisation de tableaux de signes. La compréhension de ces concepts est fondamentale pour analyser ces fonctions complexes. ## Fonctions homographiques ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les fonctions homographiques ! En mathématiques, après avoir étudié les fonctions linéaires, affines, carrées, et inverses, nous allons explorer une autre famille de fonctions très courantes : les fonctions homographiques. Ces fonctions ont une forme particulière, impliquant un rapport de deux fonctions linéaires. Leurs représentations graphiques sont des hyperboles, que l'on retrouve dans de nombreux contextes scientifiques et techniques. Nous allons apprendre à les identifier, à déterminer leur domaine de définition, à étudier leurs variations et à tracer leurs courbes représentatives. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une fonction homographique Une fonction \( f \) est dite homographique si elle peut s'écrire sous la forme : \[ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \] où \( a, b, c, d \) sont des nombres réels, avec deux conditions essentielles : * \( c \neq 0 \) (sinon, la fonction serait affine, de la forme \( rac{a}{d}x + rac{b}{d} \) si \( d eq 0 \)) * \( ad-bc \neq 0 \) (sinon, la fonction serait constante ou indéfinie partout) #### 2. Domaine de définition Le domaine de définition d'une fonction homographique est l'ensemble de tous les nombres réels \( x \) pour lesquels le dénominateur n'est pas nul. Autrement dit, \( cx+d \neq 0 \). Donc, \( cx \neq -d \), ce qui implique \( x \neq -rac{d}{c} \). Le domaine de définition est \( D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ -rac{d}{c} \right\} \). #### 3. Représentation graphique : l'hyperbole La courbe représentative d'une fonction homographique est une **hyperbole**. Une hyperbole possède des **asymptotes**, des droites dont la courbe se rapproche indéfiniment sans jamais les atteindre. * **Asymptote verticale** : La droite d'équation \( x = -rac{d}{c} \). C'est la valeur exclue du domaine de définition. * **Asymptote horizontale** : La droite d'équation \( y = rac{a}{c} \). La courbe tend vers cette valeur lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \) ou \( -\infty \). * **Centre de symétrie** : L'hyperbole est symétrique par rapport au point d'intersection de ses asymptotes, soit le point de coordonnées \( box[orange]{\left(-rac{d}{c}, rac{a}{c} ight)} \). #### 4. Variations d'une fonction homographique Pour étudier les variations d'une fonction, on utilise sa dérivée. Soit \( f(x) = rac{ax+b}{cx+d} \). La dérivée \( f'(x) \) est donnée par la formule de la dérivée d'un quotient \( rac{u}{v} \) : \( rac{u'v - uv'}{v^2} \). Pour \( u(x) = ax+b \) et \( v(x) = cx+d \) : * \( u'(x) = a \) * \( v'(x) = c \) Donc : \[ f'(x) = \frac{a(cx+d) - (ax+b)c}{(cx+d)^2} = \frac{acx+ad-acx-bc}{(cx+d)^2} = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2} \] Le signe de \( f'(x) \) est déterminé par le numérateur \( ad-bc \) car le dénominateur \( (cx+d)^2 \) est toujours positif (quand il est défini). * Si \( ad-bc > 0 \), alors \( f'(x) > 0 \). La fonction \( f \) est strictement croissante sur chaque intervalle de son domaine de définition. * Si \( ad-bc < 0 \), alors \( f'(x) < 0 \). La fonction \( f \) est strictement décroissante sur chaque intervalle de son domaine de définition. Il est important de noter que la fonction n'est pas monotone sur l'ensemble de son domaine, mais sur *chaque* intervalle séparé par l'asymptote verticale. #### 5. Forme réduite (ou forme canonique) Une fonction homographique peut être réécrite sous la forme : \[ f(x) = \frac{k}{x-x_0} + y_0 \] où \( x_0 = -rac{d}{c} \) et \( y_0 = rac{a}{c} \). Le paramètre \( k = rac{ad-bc}{c^2} \). Cette forme met en évidence que l'hyperbole est la transformée d'une hyperbole de référence \( y = rac{k}{x} \) par une translation de vecteur \( (x_0, y_0) \). ### Vocabulaire * **Fonction homographique** : Fonction de la forme \( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \) avec \( c eq 0 \) et \( ad-bc eq 0 \). * **Hyperbole** : La courbe représentative d'une fonction homographique. * **Asymptote verticale** : Droite verticale \( x = x_0 \) dont la courbe s'approche indéfiniment. * **Asymptote horizontale** : Droite horizontale \( y = y_0 \) dont la courbe s'approche indéfiniment. * **Centre de symétrie** : Point d'intersection des asymptotes d'une hyperbole. * **Domaine de définition** : L'ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles la fonction est définie. * **Dérivée** : Outil permettant d'étudier les variations d'une fonction. ### Exemples Considérons la fonction \( f(x) = rac{3x+1}{x-2} \). #### Exemple 1 : Identification et Domaine de définition 1. **Identifier a, b, c, d** : Ici, \( a=3, b=1, c=1, d=-2 \). 2. **Vérifier les conditions** : \( c=1 eq 0 \) et \( ad-bc = (3)(-2) - (1)(1) = -6 - 1 = -7 \neq 0 \). C'est bien une fonction homographique. 3. **Déterminer le domaine de définition** : Le dénominateur \( x-2 \) doit être non nul, donc \( x eq 2 \). \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\} \). #### Exemple 2 : Asymptotes et Centre de symétrie Pour \( f(x) = rac{3x+1}{x-2} \) : 1. **Asymptote verticale** : \( x = -rac{d}{c} = -rac{-2}{1} = 2 \). 2. **Asymptote horizontale** : \( y = rac{a}{c} = rac{3}{1} = 3 \). 3. **Centre de symétrie** : Le point \( (2, 3) \). #### Exemple 3 : Tableau de variations Pour \( f(x) = rac{3x+1}{x-2} \) : 1. **Calculer la dérivée** : \( f'(x) = rac{ad-bc}{(cx+d)^2} = rac{-7}{(x-2)^2} \). 2. **Étudier le signe de la dérivée** : Puisque \( -7 < 0 \) et \( (x-2)^2 > 0 \) pour tout \( x eq 2 \), alors \( f'(x) < 0 \). 3. **Conclusion sur les variations** : La fonction \( f \) est strictement décroissante sur \( ]-\infty, 2[ \) et sur \( ]2, +\infty[ \). 4. **Tableau de variations** : | \( x \) | \( -\infty \) | \( 2 \) | \( +\infty \) | | :---------------- | :------------------ | :------------------- | :------------------ | | Signe de \( f'(x) \) | \( - \) | \( || \) | \( - \) | | Variations de \( f \) | \( \searrow \) (vers 3) | \( || \) (indéfini) | \( \searrow \) (vers 3) | (Les flèches indiquent la décroissance, tendant vers l'asymptote horizontale \( y=3 \) aux infinis et s'éloignant vers \( \pm\infty \) près de l'asymptote verticale \( x=2 \).) #### Exemple 4 : Esquisse de la courbe Pour esquisser la courbe de \( f(x) = rac{3x+1}{x-2} \) : 1. Tracez les asymptotes \( x=2 \) et \( y=3 \). 2. Calculez quelques points : \( f(0) = -rac{1}{2} \), \( f(1) = -4 \), \( f(3) = 10 \), \( f(4) = rac{13}{2} = 6.5 \). 3. Placez ces points et dessinez les deux branches de l'hyperbole, en vous rapprochant des asymptotes. ### Exercices 1. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminez si elle est homographique. Si oui, donnez son domaine de définition, les équations de ses asymptotes et les coordonnées de son centre de symétrie. a. \( g(x) = rac{x+5}{x-1} \) b. \( h(x) = rac{2x^2+3}{x-4} \) c. \( k(x) = rac{4-2x}{x+3} \) d. \( l(x) = rac{6x-3}{2x-1} \) 2. Soit la fonction \( m(x) = rac{5x-2}{x+3} \). a. Calculez la dérivée \( m'(x) \). b. Déduisez le tableau de variations de la fonction \( m \). 3. Réécrivez la fonction \( f(x) = rac{2x+5}{x+1} \) sous la forme \( f(x) = rac{k}{x-x_0} + y_0 \). ### Devoir Soit la fonction \( f(x) = rac{4x-7}{2x+6} \). 1. Donnez l'ensemble de définition de \( f \). 2. Calculez la dérivée \( f'(x) \) et étudiez les variations de la fonction \( f \). Dressez son tableau de variations. 3. Déterminez les équations des asymptotes et les coordonnées du centre de symétrie de la courbe représentative de \( f \). 4. En utilisant les informations précédentes et quelques points judicieusement choisis, esquissez la courbe représentative de \( f \) dans un repère orthogonal. ### Résumé Les fonctions homographiques, de la forme \( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \) avec \( c \neq 0 \) et \( ad-bc \neq 0 \), sont caractérisées par : * Un **domaine de définition** \( \mathbb{R} \setminus \left\{ -rac{d}{c} \right\} \). * Une **courbe représentative** qui est une hyperbole. * Deux **asymptotes** : une verticale \( x = -rac{d}{c} \) et une horizontale \( y = rac{a}{c} \). * Un **centre de symétrie** \( \left(-rac{d}{c}, rac{a}{c} ight) \). * Des **variations** qui dépendent du signe de \( ad-bc \) sur chaque intervalle de leur domaine. Si \( ad-bc > 0 \), la fonction est croissante ; si \( ad-bc < 0 \), elle est décroissante.