Chap2 : Dénombrement

# Chap2 : Dénombrement ## Nombre d'éléments du produit cartésien de deux ensembles finis Leçon 6: Nombre de permutations d'un ensemble à n éléments Leçon 6: Nombre de permutations d'un ensemble à n éléments #### Introduction Bonjour à toutes et à tous! Aujourd'hui, nous allons approfondir nos connaissances en dénombrement en explorant les permutations. Une permutation est une manière d'ordonner tous les éléments d'un ensemble fini. C'est un concept fondamental en probabilités et en combinatoire. Nous allons découvrir comment calculer le nombre de ces arrangements ordonnés. #### Key Concepts ### Qu'est-ce qu'une permutation? * Une permutation d'un ensemble à \( n \) éléments distincts est un arrangement ordonné de ces \( n \) éléments. * Cela signifie que l'ordre des éléments est important et que chaque élément est utilisé exactement une fois. * **Exemple:** Les permutations des lettres A, B, C sont : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Il y en a 6. ### La notation factorielle * Pour faciliter le calcul du nombre de permutations, nous utilisons la notation factorielle, notée \( n! \) (se lit "n factorielle"). * La factorielle d'un entier naturel non nul \( n \) est le produit de tous les entiers positifs de 1 à \( n \). * Définition: \[ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1 \] * Par convention, nous définissons \( 0! = 1 \). * **Quelques exemples:** * \( 1! = 1 \) * \( 2! = 2 \times 1 = 2 \) * \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \) * \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) * \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \) ### Nombre de permutations d'un ensemble à n éléments * Le nombre de permutations d'un ensemble de \( n \) éléments distincts est donné par \( n! \). * **Théorème:** Le nombre de permutations d'un ensemble à \( n \) éléments distincts est \( n! \). * **Preuve intuitive:** * Pour la première position, il y a \( n \) choix possibles. * Pour la deuxième position, comme un élément a déjà été choisi, il reste \( n-1 \) choix. * Pour la troisième position, il reste \( n-2 \) choix, et ainsi de suite. * Jusqu'à la dernière position où il ne reste plus qu'un seul choix. * En multipliant le nombre de choix pour chaque position, on obtient: \[ n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1 = n! \] * **Notation:** On peut aussi noter \( P_n = n! \) le nombre de permutations de \( n \) éléments. #### Vocabulary * **Permutation:** Un arrangement ordonné de tous les éléments distincts d'un ensemble. L'ordre des éléments est crucial. * **Factorielle (n!):** Le produit de tous les entiers positifs de 1 à \( n \). Utilisée pour calculer le nombre de permutations. * **Dénombrement:** Branche des mathématiques qui consiste à compter le nombre d'éléments dans un ensemble ou le nombre de façons de réaliser une opération. #### Examples 1. **Ordonner des lettres:** * De combien de manières différentes peut-on arranger les lettres du mot "ROSE" ? * Le mot "ROSE" a 4 lettres distinctes. * Le nombre de permutations est \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \). * Il y a 24 façons différentes d'arranger les lettres du mot "ROSE". 2. **Ordre d'arrivée:** * Dans une course de 6 athlètes où tous les athlètes franchissent la ligne d'arrivée, combien d'ordres d'arrivée différents sont possibles ? * Il y a 6 athlètes distincts. * Le nombre d'ordres d'arrivée est \( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \). * Il y a 720 ordres d'arrivée différents possibles. 3. **Organisation d'objets:** * Vous avez 7 livres différents. De combien de façons différentes pouvez-vous les ranger sur une étagère ? * Il y a 7 livres distincts. * Le nombre de façons de les ranger est \( 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \). * Vous pouvez les ranger de 5040 façons différentes. #### Exercises 1. Calculez la valeur de \( 5! \), \( 8! \) et \( 10! \). 2. Un groupe de 4 amis (Alice, Bob, Chloé, David) veut s'asseoir sur un banc pour une photo. De combien de manières différentes peuvent-ils s'asseoir ? 3. De combien de façons différentes peut-on organiser les 5 lettres du mot "CHIEN" ? 4. Si vous avez 3 couleurs de peinture différentes (rouge, bleu, vert) et que vous voulez les utiliser toutes pour peindre 3 sections d'un mur, en utilisant chaque couleur une seule fois et en peignant une section par couleur. Combien de séquences de couleurs différentes sont possibles ? #### Assignment 1. Calculez la valeur de \( \frac{9!}{6!} \). 2. Une équipe de football a 11 joueurs sur le terrain. De combien de façons différentes le coach peut-il les aligner pour la photo officielle, si l'ordre des joueurs compte ? 3. Vous avez une playlist de 10 chansons différentes que vous voulez écouter en mode aléatoire. Si chaque chanson est jouée une seule fois avant que la playlist ne se répète, combien de séquences d'écoute différentes sont possibles ? (Il s'agit du nombre de permutations des 10 chansons). #### Summary * Aujourd'hui, nous avons appris qu'une **permutation** est un arrangement ordonné de tous les éléments distincts d'un ensemble. * L'ordre est essentiel dans une permutation. * Pour calculer le nombre de permutations d'un ensemble à \( n \) éléments, nous utilisons la **factorielle**, notée \( n! \). * La formule est : \[ \text{Nombre de permutations} = n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1 \] * La factorielle \( 0! \) est définie comme étant égale à 1. * Ce concept est un outil puissant pour le dénombrement dans de nombreuses situations réelles. ## Produit cartésien ### Introduction Bienvenue à ce chapitre sur le dénombrement ! Aujourd'hui, nous allons explorer le concept fondamental du produit cartésien. Il s'agit d'un outil puissant en mathématiques, particulièrement utile en combinatoire pour compter le nombre de façons d'associer des éléments de plusieurs ensembles. Que ce soit pour choisir des options de menu, créer des codes ou organiser des données, le produit cartésien nous offre une méthode systématique pour énumérer toutes les possibilités. ### Concepts Clés #### 1. Couple ordonné et n-uplet Avant de définir le produit cartésien, il est essentiel de comprendre ce qu'est un couple ordonné. * **Couple ordonné (ou paire ordonnée) :** Un couple ordonné, noté \( (a, b) \), est une collection de deux éléments où l'ordre de ces éléments est important. C'est-à-dire, \( (a, b) \) est différent de \( (b, a) \) si \( a \neq b \). * **Exemple :** Si nous avons les nombres 2 et 3, le couple \( (2, 3) \) est différent de \( (3, 2) \). * **n-uplet :** Plus généralement, un n-uplet est une séquence ordonnée de \( n \) éléments. Un couple ordonné est un 2-uplet, un triplet est un 3-uplet, etc. * **Exemple :** \( (a, b, c) \) est un triplet (ou 3-uplet). #### 2. Définition du Produit Cartésien Le produit cartésien est une opération qui combine des ensembles pour former un nouvel ensemble de tuples ordonnés. * **Produit cartésien de deux ensembles :** Soient \( A \) et \( B \) deux ensembles. Le produit cartésien de \( A \) par \( B \), noté \( A \times B \) (se lit "A croix B"), est l'ensemble de tous les couples ordonnés \( (a, b) \) où \( a \) est un élément de \( A \) et \( b \) est un élément de \( B \). \[ A \times B = \{ (a, b) \mid a \in A \text{ et } b \in B \} \] * **Exemple :** Si \( A = \{1, 2\} \) et \( B = \{a, b, c\} \), alors : \( A \times B = \{ (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c) \} \) Notez que \( B \times A \) serait différent : \( B \times A = \{ (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2) \} \) * **Produit cartésien de n ensembles :** On peut généraliser cette définition à \( n \) ensembles \( A_1, A_2, \dots, A_n \). Leur produit cartésien est l'ensemble de tous les n-uplets \( (a_1, a_2, \dots, a_n) \) tels que \( a_i \in A_i \) pour tout \( i \) de 1 à \( n \). \[ A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n = \{ (a_1, a_2, \dots, a_n) \mid a_i \in A_i \text{ pour } 1 \leq i \leq n \} \] * **Cas particulier :** Si tous les ensembles sont identiques, par exemple \( A \times A \times A \), on peut le noter \( A^3 \) (et de manière générale \( A^n \) pour \( n \) ensembles \( A \)). * **Exemple :** \( \mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) représente l'ensemble de tous les points du plan cartésien \( (x,y) \). #### 3. Cardinalité du Produit Cartésien Le cardinal d'un ensemble (noté \( |E| \)) est le nombre d'éléments qu'il contient. Pour le produit cartésien, il existe une règle simple pour trouver son cardinal. * **Pour deux ensembles :** Si \( A \) et \( B \) sont des ensembles finis, le cardinal de leur produit cartésien est le produit de leurs cardinaux respectifs. \[ |A \times B| = |A| \times |B| \] * **Pour n ensembles :** Généralisant, pour \( n \) ensembles finis \( A_1, A_2, \dots, A_n \), le cardinal de leur produit cartésien est : \[ |A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n| = |A_1| \times |A_2| \times \dots \times |A_n| \] * **Cas particulier \( A^n \) :** Le cardinal de \( A^n \) est \( |A|^n \). * **Exemple :** Si \( A = \{1, 2\} \) et \( B = \{a, b, c\} \). \( |A| = 2 \) et \( |B| = 3 \). \( |A \times B| = 2 \times 3 = 6 \). (C'est bien le nombre d'éléments listés dans l'exemple précédent). Cette règle est une application directe du **principe multiplicatif** en dénombrement : si une tâche peut être accomplie de \( n_1 \) façons, et une deuxième tâche de \( n_2 \) façons, alors il y a \( n_1 \times n_2 \) façons d'accomplir les deux tâches successivement. ### Vocabulaire * **Ensemble :** Une collection d'objets distincts. (Ex: \( \{1, 2, 3\} \)) * **Élément :** Un des objets qui compose un ensemble. (Ex: 1 est un élément de \( \{1, 2, 3\} \)) * **Couple ordonné :** Une paire d'éléments où l'ordre est important, noté \( (a,b) \). * **n-uplet :** Une séquence ordonnée de \( n \) éléments. (Ex: \( (a,b,c) \) est un 3-uplet). * **Produit cartésien :** L'ensemble de tous les couples (ou n-uplets) ordonnés formés en prenant un élément de chaque ensemble impliqué. * **Cardinal :** Le nombre d'éléments dans un ensemble fini, noté \( |E| \). ### Exemples #### Exemple 1 : Choix de repas Un restaurant propose un menu avec : * Entrées (E) : Salade, Soupe (\( |E|=2 \)) * Plats (P) : Poisson, Viande, Végétarien (\( |P|=3 \)) * Desserts (D) : Gâteau, Fruits (\( |D|=2 \)) Combien de repas différents (entrée, plat, dessert) peut-on composer ? Le choix d'un repas est un triplet \( (e, p, d) \) où \( e \in E, p \in P, d \in D \). C'est donc un élément du produit cartésien \( E \times P \times D \). Le nombre total de repas est le cardinal de ce produit cartésien : \[ |E \times P \times D| = |E| \times |P| \times |D| = 2 \times 3 \times 2 = 12 \] Il y a 12 repas différents possibles. Un exemple de repas serait (Salade, Poisson, Gâteau). #### Exemple 2 : Résultats de dés On lance deux dés à six faces numérotées de 1 à 6. Combien de résultats différents peut-on obtenir ? Soit \( D = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) l'ensemble des résultats possibles pour un dé. Un lancer de deux dés peut être représenté par un couple ordonné \( (d_1, d_2) \) où \( d_1 \) est le résultat du premier dé et \( d_2 \) celui du second. Ceci correspond au produit cartésien \( D \times D = D^2 \). Le nombre de résultats différents est son cardinal : \[ |D^2| = |D| \times |D| = 6 \times 6 = 36 \] Il y a 36 résultats possibles. Par exemple, \( (1,1), (1,2), \dots, (6,6) \). #### Exemple 3 : Codes de sécurité Un code PIN est composé de 4 chiffres. Combien de codes différents peut-on former si les chiffres peuvent se répéter ? Soit \( C = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) l'ensemble des chiffres possibles. Le cardinal de \( C \) est \( |C| = 10 \). Un code PIN est un 4-uplet \( (c_1, c_2, c_3, c_4) \) où chaque \( c_i \in C \). C'est un élément de \( C \times C \times C \times C = C^4 \). Le nombre de codes PIN possibles est : \[ |C^4| = |C| \times |C| \times |C| \times |C| = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10 000 \] Il y a 10 000 codes PIN différents possibles. ### Exercices 1. Soient les ensembles \( A = \{\text{bleu, jaune}\} \) et \( B = \{\text{petit, moyen, grand}\} \). a. Listez tous les éléments du produit cartésien \( A \times B \). b. Quel est le cardinal de \( A \times B \) ? 2. Une plaque d'immatriculation simplifiée est constituée de 2 lettres de l'alphabet (26 lettres) suivies de 3 chiffres (de 0 à 9). Combien de plaques d'immatriculation différentes peut-on créer ? (Les répétitions sont autorisées pour les lettres et les chiffres). 3. Un élève a 3 chemises, 2 pantalons et 4 paires de chaussures. Combien de tenues différentes (composées d'une chemise, un pantalon et une paire de chaussures) peut-il créer ? ### Devoirs 1. Soit l'ensemble \( E = \{a, b, c\} \). a. Listez tous les éléments de \( E^2 \). b. Quel est le cardinal de \( E^3 \) ? 2. Un mot de passe est formé de 3 caractères. Le premier est une lettre majuscule (26 possibilités), le second est un chiffre (10 possibilités), et le troisième est un des symboles spéciaux suivants : \( \{\$, \&, \%\} \). Combien de mots de passe différents peut-on créer ? 3. Expliquez avec vos propres mots pourquoi l'ordre est important dans un couple ordonné \( (a,b) \) mais pas dans un ensemble \( \{a,b\} \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons découvert le produit cartésien, un concept essentiel en dénombrement. Nous avons appris que : * Un **couple ordonné** (ou **n-uplet**) est une séquence d'éléments où l'ordre est primordial. * Le **produit cartésien** de deux ensembles \( A \) et \( B \), noté \( A \times B \), est l'ensemble de tous les couples ordonnés \( (a,b) \) où \( a \in A \) et \( b \in B \). * Sa généralisation à \( n \) ensembles produit des **n-uplets**. * Le **cardinal** d'un produit cartésien d'ensembles finis est le produit des cardinaux de chaque ensemble : \( |A_1 \times \dots \times A_n| = |A_1| \times \dots \times |A_n| \). * Ceci est une application directe du **principe multiplicatif** et nous permet de compter facilement le nombre de combinaisons possibles dans diverses situations. La maîtrise du produit cartésien est une étape clé pour aborder des concepts plus avancés en probabilités et en combinatoire. ## Nombre d'éléments du produit cartésien de deux ensembles finis Leçon 5: Nombre de permutations d'un ensemble à n éléments ### Introduction Dans les leçons précédentes, nous avons exploré différentes manières de compter les éléments d'un ensemble et les combinaisons possibles. Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur un type particulier d'arrangement : les permutations. Une permutation est une façon d'ordonner tous les éléments d'un ensemble donné. Comprendre les permutations est essentiel pour résoudre des problèmes où l'ordre des éléments est important et où tous les éléments sont utilisés. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une permutation ? Une **permutation** d'un ensemble fini est un arrangement ordonné de *tous* les éléments de cet ensemble. Si vous avez un ensemble de \( n \) objets distincts, une permutation est une manière de les disposer dans un certain ordre. * **Exemple :** Si vous avez les lettres {A, B, C}, les permutations possibles sont: * ABC * ACB * BAC * BCA * CAB * CBA #### La factorielle d'un entier Pour calculer le nombre de permutations d'un ensemble, nous utilisons une opération mathématique appelée la **factorielle**. La factorielle d'un entier naturel \( n \), notée \( n! \), est le produit de tous les entiers positifs de 1 à \( n \). * **Définition :** \[ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1 \] * **Cas particuliers :** * \( 0! = 1 \) (par convention, très important pour la cohérence des formules) * \( 1! = 1 \) * **Exemples de calculs de factorielles :** * \( 2! = 2 \times 1 = 2 \) * \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \) * \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) * \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \) #### Nombre de permutations d'un ensemble à n éléments Le nombre de permutations distinctes d'un ensemble de \( n \) éléments distincts est donné par \( n! \). * **Formule :** \[ P_n = n! \] Où \( P_n \) représente le nombre de permutations d'un ensemble à \( n \) éléments. * **Raisonnement :** * Pour le premier emplacement, vous avez \( n \) choix possibles. * Pour le deuxième emplacement, il reste \( n-1 \) choix possibles (puisqu'un élément a déjà été choisi). * Pour le troisième emplacement, il reste \( n-2 \) choix possibles. * ...ainsi de suite, jusqu'au dernier emplacement où il ne reste qu'un seul choix. * En utilisant le principe multiplicatif, le nombre total de façons est \( n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1 \), ce qui est \( n! \). ### Vocabulaire * **Permutation :** Un arrangement ordonné de tous les éléments d'un ensemble donné. * **Ensemble fini :** Un ensemble qui contient un nombre limité d'éléments. * **Distinct :** Se dit d'éléments qui sont tous différents les uns des autres. * **Factorielle ( \( n! \) ) :** Le produit de tous les entiers positifs de 1 à \( n \). * **Ordre :** La séquence ou la disposition des éléments ; dans une permutation, l'ordre est important. ### Exemples #### Exemple 1: Ordre de passage Quatre amis, Alice, Bob, Clara et David, doivent passer un examen oral l'un après l'autre. De combien de façons différentes peuvent-ils se présenter ? **Solution :** Il s'agit d'ordonner 4 personnes distinctes. Le nombre de façons est le nombre de permutations de 4 éléments. \[ P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \] Il y a 24 façons différentes pour les quatre amis de se présenter. #### Exemple 2: Mots cachés (Anagrammes) Combien d'anagrammes peut-on former avec les lettres du mot "MATH" ? (Toutes les lettres sont distinctes). **Solution :** Le mot "MATH" a 4 lettres distinctes. Une anagramme est une permutation de ces 4 lettres. \[ P_4 = 4! = 24 \] On peut former 24 anagrammes différentes avec les lettres du mot "MATH". #### Exemple 3: Disposer des livres Un bibliothécaire doit disposer 6 livres différents sur une étagère. De combien de façons différentes peut-il les organiser ? **Solution :** Il s'agit d'ordonner 6 livres distincts. Le nombre de façons est le nombre de permutations de 6 éléments. \[ P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \] Le bibliothécaire peut organiser les livres de 720 façons différentes. ### Exercices 1. Calculez la valeur de \( 7! \). 2. De combien de façons différentes peut-on organiser une course avec 5 athlètes, sachant qu'aucun n'arrive à égalité ? 3. Combien d'anagrammes peut-on former avec les lettres du mot "TABLE" ? 4. Une famille de 3 personnes (un père, une mère et un enfant) veut prendre une photo de groupe en se plaçant côte à côte. Combien d'ordres différents sont possibles pour la photo ? 5. Simplifiez l'expression \( \frac{10!}{8!} \). ### Devoirs 1. Calculez \( 8! \) et \( 9! \). Que remarquez-vous sur la relation entre \( 9! \) et \( 8! \) ? 2. Une serrure à combinaison est constituée de 4 roues, chacune affichant un chiffre de 0 à 9. Si la combinaison est une permutation de quatre chiffres *distincts*, combien de combinaisons différentes sont possibles ? (Attention : une permutation de chiffres distincts signifie que le même chiffre ne peut pas apparaître deux fois). 3. Un groupe de 7 amis va au cinéma. Ils ont 7 sièges consécutifs dans la même rangée. De combien de façons différentes peuvent-ils s'asseoir ? 4. Combien d'anagrammes peut-on former avec les lettres du mot "PARIS" ? Listez au moins 5 de ces anagrammes. 5. Un professeur dispose de 10 questions différentes pour un examen et doit en choisir 10 pour former l'examen, en les plaçant dans un ordre spécifique. Combien de versions différentes de l'examen peut-il créer ? ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris que les permutations concernent l'ordonnancement de *tous* les éléments d'un ensemble. Le nombre de permutations d'un ensemble de \( n \) éléments distincts est donné par la **factorielle de \( n \)**, notée \( n! \). La factorielle \( n! \) est le produit de tous les entiers de 1 à \( n \), avec la convention \( 0! = 1 \). Cette notion est fondamentale pour résoudre des problèmes de dénombrement où l'ordre des éléments est crucial. ## Permutations # Permutations\n\n## Introduction\nBienvenue dans ce chapitre sur le dénombrement ! Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur un concept fondamental : les permutations. Le dénombrement est l'art de compter le nombre de façons d'organiser ou de sélectionner des objets. Les permutations sont un cas particulier qui nous aide à comprendre combien il y a de manières d'ordonner un ensemble d'éléments distincts.\n\n## Concepts Clés\n\n### Définition d'une Permutation\nUne permutation est une disposition ordonnée d'un ensemble d'objets distincts. Lorsque nous parlons de permutations, l'ordre dans lequel les objets sont arrangés est très important, et tous les objets de l'ensemble sont utilisés.\n\n* **Exemple :** Si vous avez trois objets distincts A, B, C, les permutations possibles sont : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Il y en a 6.\n\n### La Factorielle (Notation et Calcul)\nPour calculer le nombre de permutations, nous utilisons une opération appelée la factorielle. La factorielle d'un entier naturel \( n \), notée \( n! \), est le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à \( n \).\n\n* **Formule :**\n \[ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1 \]\n* **Cas particuliers :**\n * \( 0! = 1 \) (par convention)\n * \( 1! = 1 \)\n* **Exemples de calcul :**\n * \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)\n * \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)\n * \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)\n\n### Nombre de Permutations de \( n \) objets distincts\nLe nombre de façons d'ordonner \( n \) objets distincts est donné par \( n! \).\nCeci peut être compris en pensant aux choix successifs :\n* Pour la première position, il y a \( n \) choix possibles.\n* Pour la deuxième position, il reste \( (n-1) \) choix possibles (car un objet a déjà été placé).\n* Pour la troisième position, il reste \( (n-2) \) choix possibles.\n* ...\n* Pour la dernière position, il ne reste qu'un seul choix.\nLe produit de ces choix donne \( n! \).\n\n## Vocabulaire\n* **Dénombrement :** Domaine des mathématiques qui consiste à compter le nombre d'éléments dans un ensemble ou le nombre de façons d'effectuer une tâche.\n* **Permutation :** Une disposition ordonnée d'un ensemble d'éléments distincts. L'ordre est important et tous les éléments sont utilisés.\n* **Factorielle (\( n! \)) :** Le produit de tous les entiers positifs de 1 à \( n \).\n* **Ordre :** L'agencement ou la séquence dans laquelle les éléments sont placés.\n\n## Exemples\n### Exemple 1 : Livres sur une étagère\nDe combien de façons différentes peut-on aligner 5 livres distincts sur une étagère ?\n* **Solution :** Il s'agit d'une permutation de 5 objets distincts. Le nombre de façons est \( 5! \).\n \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)\n Il y a 120 façons différentes d'aligner les livres.\n\n### Exemple 2 : Classement d'une course\nLors d'une course de 6 athlètes, combien y a-t-il de classements possibles pour les 6 premières places, en supposant qu'il n'y a pas d'ex æquo ?\n* **Solution :** Nous devons ordonner 6 athlètes distincts. Le nombre de classements possibles est \( 6! \).\n \( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \)\n Il y a 720 classements possibles.\n\n### Exemple 3 : Mots de quatre lettres\nCombien de "mots" de quatre lettres distinctes peut-on former avec les lettres A, B, C, D ? (Ces "mots" n'ont pas besoin d'avoir de sens).\n* **Solution :** Nous arrangeons 4 lettres distinctes. Le nombre de "mots" est \( 4! \).\n \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)\n On peut former 24 "mots" différents.\n\n## Exercices\n1. Calculez la valeur de \( 7! \).\n2. Dans un groupe de 8 amis, de combien de façons différentes peuvent-ils s'asseoir sur un banc de 8 places ?\n3. Combien d'anagrammes peut-on former avec le mot "MATH" ? (Une anagramme est un mot formé en réarrangeant les lettres d'un autre mot).\n\n## Devoir\n1. Un comité de 5 personnes doit élire un président, un vice-président, un secrétaire, un trésorier et un membre simple. De combien de façons différentes peuvent-ils attribuer ces 5 postes si chaque personne ne peut occuper qu'un seul poste ?\n2. Si vous avez 9 cartes numérotées de 1 à 9, de combien de façons différentes pouvez-vous les disposer en ligne ?\n3. Simplifiez l'expression suivante :\n \[ \frac{(n+1)!}{n!} \]\n\n## Résumé\n* Une **permutation** est une manière d'ordonner des objets distincts, où l'ordre est crucial et tous les objets sont utilisés.\n* La **factorielle** d'un nombre entier \( n \), notée \( n! \), est le produit de tous les entiers positifs de 1 à \( n \). Elle est fondamentale pour le calcul des permutations.\n* Le nombre de permutations de \( n \) objets distincts est \( n! \).\nCe concept est essentiel pour comprendre les bases du dénombrement et a de nombreuses applications dans des domaines variés comme les probabilités, la cryptographie ou l'informatique. ## Nombre d'arrangements d'ordre p de n éléments d'un ensemble à n éléments Leçon 7 : Nombre de sous-ensemble à p éléments d'un ensemble à n éléments ### Introduction Bienvenue dans cette leçon dédiée au dénombrement, une branche des mathématiques qui nous permet de compter le nombre de façons dont un événement peut se produire. Nous avons déjà abordé les arrangements, où l'ordre des éléments est crucial. Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur une notion fondamentale et très utilisée : les **combinaisons** ou **sous-ensembles**. Contrairement aux arrangements, dans les combinaisons, l'ordre des éléments n'a aucune importance. Apprendre à distinguer ces deux concepts et à appliquer la formule appropriée est essentiel pour résoudre de nombreux problèmes de dénombrement. ### Concepts Clés #### Rappel : Les Arrangements d'ordre p de n éléments Un arrangement d'ordre \(p\) d'un ensemble de \(n\) éléments est une sélection ordonnée de \(p\) éléments distincts parmi \(n\). L'ordre dans lequel les éléments sont choisis est important. * **Notation :** \( A_n^p \) * **Formule :** Le nombre d'arrangements est donné par : \[ A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} \] où \( n! \) (lire "\(n\) factorielle") est le produit de tous les entiers positifs de 1 à \(n\) (\(n! = n \times (n-1) \times ... \times 2 \times 1\)), et par convention, \(0! = 1\). #### Les Sous-ensembles (ou Combinaisons) à p éléments d'un ensemble à n éléments Un sous-ensemble à \(p\) éléments d'un ensemble à \(n\) éléments est une sélection de \(p\) éléments distincts parmi \(n\), **où l'ordre de sélection n'a pas d'importance**. On parle aussi de **combinaisons sans répétition**. * **Exemple :** Choisir 3 amis pour un goûter parmi un groupe de 5. Que vous choisissiez Alice, puis Bob, puis Chloé, ou Chloé, puis Alice, puis Bob, le groupe d'amis est le même. * **Relation avec les arrangements :** Chaque combinaison de \(p\) éléments peut être arrangée de \(p!\) façons différentes. Donc, le nombre de combinaisons est le nombre d'arrangements divisé par \(p!\). * **Notation :** On note le nombre de combinaisons de \(p\) éléments parmi \(n\) par \( C_n^p \) ou \( \binom{n}{p} \) (appelé "coefficient binomial"). * **Formule :** Le nombre de sous-ensembles à \(p\) éléments est donné par : \[ C_n^p = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!} \] avec \( 0 \le p \le n \). #### Propriétés des Combinaisons * \( C_n^0 = 1 \) (Il n'y a qu'une seule façon de choisir 0 élément : ne rien choisir). * \( C_n^n = 1 \) (Il n'y a qu'une seule façon de choisir \(n\) éléments parmi \(n\) : tous les choisir). * \( C_n^1 = n \) (Il y a \(n\) façons de choisir 1 élément parmi \(n\)). * **Symétrie :** \( C_n^p = C_n^{n-p} \) * *Interprétation :* Choisir \(p\) éléments, c'est comme choisir les \(n-p\) éléments que l'on ne prend pas. * *Exemple :* \( C_5^2 = C_5^3 \) car \( \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = 10 \) et \( \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = 10 \). * **Relation de Pascal :** Pour \( 1 \le p \le n-1 \), \[ C_n^p = C_{n-1}^{p-1} + C_{n-1}^p \] Cette relation est fondamentale et permet de construire le Triangle de Pascal, qui est une disposition des coefficients binomiaux. ### Vocabulaire * **Arrangement :** Sélection ordonnée de \(p\) éléments parmi \(n\). * **Combinaison (ou sous-ensemble) :** Sélection non ordonnée de \(p\) éléments parmi \(n\). * **Factorielle (\(n!\)) :** Produit de tous les entiers positifs de 1 à \(n\). Par exemple, \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \). * **Coefficient binomial (\( \binom{n}{p} \) ou \( C_n^p \)) :** Terme désignant le nombre de combinaisons de \(p\) éléments parmi \(n\). * **Dénombrement :** Discipline mathématique qui étudie les méthodes de comptage. ### Exemples #### Exemple 1 : Comité de lecture Une classe de 25 élèves doit élire un comité de lecture composé de 3 élèves. Combien de comités différents peut-on former ? * **Analyse :** L'ordre dans lequel les 3 élèves sont choisis n'a pas d'importance pour former le comité. Il s'agit donc d'une combinaison. * **Calcul :** On cherche \( C_{25}^3 \). \[ C_{25}^3 = \frac{25!}{3!(25-3)!} = \frac{25!}{3!22!} = \frac{25 \times 24 \times 23}{3 \times 2 \times 1} = 25 \times 4 \times 23 = 2300 \] Il y a 2300 comités de lecture différents possibles. #### Exemple 2 : Loto Au Loto, il faut choisir 6 numéros parmi 49. Combien de grilles différentes peut-on jouer ? * **Analyse :** L'ordre dans lequel les numéros sont tirés n'a pas d'importance. C'est une combinaison. * **Calcul :** On cherche \( C_{49}^6 \). \[ C_{49}^6 = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!} = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 13983816 \] Il y a 13 983 816 grilles différentes possibles. #### Exemple 3 : Composition d'un groupe (Combinaisons multiples) Dans un groupe de 10 garçons et 8 filles, combien de façons différentes y a-t-il de former une équipe de 3 garçons et 2 filles ? * **Analyse :** Nous devons choisir les garçons *et* choisir les filles. L'ordre n'a pas d'importance pour chaque sélection. Nous allons donc multiplier le nombre de combinaisons pour les garçons par le nombre de combinaisons pour les filles. * **Calcul :** * Nombre de façons de choisir 3 garçons parmi 10 : \( C_{10}^3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120 \) * Nombre de façons de choisir 2 filles parmi 8 : \( C_8^2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \) * Nombre total d'équipes : \( C_{10}^3 \times C_8^2 = 120 \times 28 = 3360 \) Il y a 3360 façons différentes de former une telle équipe. ### Exercices 1. Calculez les valeurs suivantes : a. \( C_6^2 \) b. \( C_7^4 \) c. \( C_9^0 \) d. \( C_{11}^1 \) e. \( C_{10}^{10} \) 2. Une pièce de théâtre doit choisir 4 acteurs parmi 15 candidats. Combien de groupes d'acteurs différents peuvent être formés ? 3. Dans une urne, il y a 5 boules rouges et 7 boules bleues. On tire simultanément 3 boules de l'urne. Combien de tirages différents contiennent : a. 3 boules rouges ? b. 2 boules rouges et 1 boule bleue ? c. Au moins 2 boules bleues ? 4. Combien de diagonales peut-on tracer dans un polygone à 8 sommets ? (Une diagonale relie deux sommets non adjacents). ### Devoirs 1. Comparez \( C_{12}^5 \) et \( C_{12}^7 \). Expliquez pourquoi ils sont égaux en utilisant la propriété de symétrie. 2. Un restaurateur propose un menu avec 6 entrées, 8 plats principaux et 5 desserts. Un client choisit 1 entrée, 1 plat principal et 1 dessert. Combien de menus différents peut-il composer ? (Ceci est un rappel, mais permet de bien distinguer). 3. Une association compte 12 membres. Elle doit élire un président, un secrétaire et un trésorier. Combien y a-t-il de façons différentes d'attribuer ces postes ? Est-ce un arrangement ou une combinaison ? 4. De la même association de 12 membres, on veut former une commission de 3 personnes. Combien de commissions différentes peuvent être formées ? Est-ce un arrangement ou une combinaison ? Quelle est la différence avec la question précédente ? 5. Développez le coefficient binomial \( C_n^2 \) et simplifiez l'expression. À quoi cela correspond-il concrètement ? ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les **sous-ensembles** ou **combinaisons**, des sélections d'éléments où l'ordre n'est pas pris en compte. Nous avons vu que le nombre de combinaisons de \(p\) éléments parmi \(n\) est donné par la formule : \[ C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!} \] Nous avons également rappelé les **arrangements**, où l'ordre est important, et mis en évidence la relation entre arrangements et combinaisons. Il est crucial de bien comprendre quand utiliser l'une ou l'autre de ces méthodes de dénombrement pour résoudre correctement les problèmes. Les propriétés comme la symétrie \( C_n^p = C_n^{n-p} \) et la relation de Pascal \( C_n^p = C_{n-1}^{p-1} + C_{n-1}^p \) sont des outils puissants pour simplifier les calculs et approfondir la compréhension des coefficients binomiaux. ## Nombre d'arrangements d'ordre p de n éléments d'un ensemble à n éléments Leçon 8 : Nombre de sous-ensemble à p éléments d'un ensemble à n éléments ### Introduction Dans la leçon précédente, nous avons exploré les *arrangements*, où l'ordre des éléments choisis a une importance. Aujourd'hui, nous allons aborder une notion fondamentale du dénombrement : les *combinaisons*. Contrairement aux arrangements, l'ordre des éléments n'a aucune importance lorsque nous formons un sous-ensemble. Pensez à choisir un groupe de personnes pour un comité : peu importe dans quel ordre vous choisissez les membres, le comité reste le même. Cette leçon vous apprendra à calculer le nombre de ces sous-ensembles. ### Concepts Clés #### Définition d'une Combinaison Une **combinaison de \( p \) éléments parmi \( n \) éléments** est un sous-ensemble de \( p \) éléments distincts choisis parmi un ensemble de \( n \) éléments, sans tenir compte de l'ordre. Les éléments sont distincts, et l'ordre de sélection n'importe pas. #### Notation Le nombre de combinaisons de \( p \) éléments parmi \( n \) est noté \( C_n^p \) ou \( \binom{n}{p} \). On lit "p parmi n". #### Formule de Calcul des Combinaisons Rappelons que le nombre d'arrangements de \( p \) éléments parmi \( n \) est \( A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} \). Lorsqu'on choisit \( p \) éléments, il y a \( p! \) façons de les ordonner. Puisque l'ordre n'importe pas dans une combinaison, nous devons diviser le nombre d'arrangements par le nombre de permutations possibles de ces \( p \) éléments. Ainsi, la formule pour calculer le nombre de combinaisons est : \[ C_n^p = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!} \] où \( n \) est le nombre total d'éléments, \( p \) est le nombre d'éléments à choisir, et \( 0 \le p \le n \). Par convention, \( 0! = 1 \). #### Propriétés des Combinaisons * **Choix de 0 éléments :** \( C_n^0 = 1 \) Il n'y a qu'une seule façon de ne choisir aucun élément (le sous-ensemble vide). * **Choix de n éléments :** \( C_n^n = 1 \) Il n'y a qu'une seule façon de choisir tous les éléments de l'ensemble. * **Choix d'un élément :** \( C_n^1 = n \) Il y a \( n \) façons de choisir un seul élément. * **Symétrie :** \( C_n^p = C_n^{n-p} \) Choisir \( p \) éléments, c'est équivalent à ne pas choisir \( n-p \) éléments. *Exemple :* Choisir 2 personnes parmi 5, c'est la même chose que de choisir les 3 personnes qui *ne seront pas* choisies. \[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] \[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] * **Relation de Pascal :** \( C_n^p = C_{n-1}^{p-1} + C_{n-1}^p \) Cette relation est fondamentale pour construire le Triangle de Pascal, un outil puissant pour visualiser et calculer les coefficients binomiaux. ### Vocabulaire * **Combinaison :** Un sous-ensemble d'éléments où l'ordre de sélection n'est pas pris en compte. * **Arrangement :** Une sélection d'éléments où l'ordre de sélection est important. * **Coefficient binomial :** Le nom donné au nombre \( C_n^p \), souvent utilisé dans le développement du binôme de Newton. * **Factorielle (\( n! \)) :** Le produit de tous les entiers positifs de 1 à \( n \). Par exemple, \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \). ### Exemples #### Exemple 1 : Sélection d'un comité Une classe compte 20 élèves. Combien de comités de 3 élèves peut-on former ? Ici, l'ordre des élèves dans le comité n'a pas d'importance. Il s'agit donc d'une combinaison. \( n = 20 \), \( p = 3 \). \[ C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3!17!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 19 \times 6 = 1140 \] On peut former 1140 comités différents de 3 élèves. #### Exemple 2 : Tirage de cartes Dans un jeu de 32 cartes, on tire simultanément 5 cartes. Combien de mains différentes peut-on obtenir ? Le fait de tirer les cartes "simultanément" indique que l'ordre n'a pas d'importance. \( n = 32 \), \( p = 5 \). \[ C_{32}^5 = \frac{32!}{5!(32-5)!} = \frac{32!}{5!27!} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \] \[ C_{32}^5 = 32 \times 31 \times \frac{30}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 29 \times 28 = 32 \times 31 \times \frac{30}{120} \times 29 \times 28 \] \[ C_{32}^5 = 32 \times 31 \times \frac{1}{4} \times 29 \times 28 = 8 \times 31 \times 29 \times 28 = 201376 \] Il y a 201 376 mains différentes de 5 cartes. #### Exemple 3 : Choix de saveurs de glace Un glacier propose 15 saveurs différentes. Marc veut acheter une glace avec 3 boules de saveurs différentes. Combien de combinaisons de saveurs Marc peut-il choisir ? L'ordre des boules sur la glace n'a pas d'importance. \( n = 15 \), \( p = 3 \). \[ C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455 \] Marc peut choisir 455 combinaisons de saveurs. ### Exercices 1. Calculez les valeurs suivantes : a. \( C_8^3 \) b. \( C_6^6 \) c. \( C_7^0 \) d. \( C_{10}^8 \) (Utilisez la propriété de symétrie pour simplifier le calcul !) 2. Une équipe de football est composée de 11 joueurs. Le coach doit choisir 3 joueurs parmi les 5 remplaçants pour les faire entrer en jeu. De combien de façons différentes peut-il choisir ces 3 joueurs ? 3. Une classe de Première compte 12 filles et 8 garçons. On doit former une délégation de 4 élèves pour représenter la classe. a. Combien de délégations différentes peut-on former ? b. Combien de délégations comprenant exactement 2 filles et 2 garçons peut-on former ? ### Devoirs 1. Déterminez le nombre de diagonales dans un polygone régulier à 10 côtés. (Indice : Chaque diagonale relie deux sommets non consécutifs.) 2. Un jeu de loto consiste à choisir 5 numéros parmi 49. Combien y a-t-il de grilles possibles ? 3. Vérifiez la relation de Pascal pour \( n = 5 \) et \( p = 3 \) : \( C_5^3 = C_4^2 + C_4^3 \) 4. Démontrez la propriété de symétrie \( C_n^p = C_n^{n-p} \) en utilisant la formule de calcul des combinaisons. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris que les **combinaisons** sont des sous-ensembles d'éléments où l'ordre de sélection n'a pas d'importance. C'est la différence clé avec les arrangements. Le nombre de combinaisons de \( p \) éléments parmi \( n \) est donné par la formule : \[ C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!} \] Nous avons également exploré des propriétés importantes comme \( C_n^0 = 1 \), \( C_n^n = 1 \), \( C_n^1 = n \), la propriété de symétrie \( C_n^p = C_n^{n-p} \) et la relation de Pascal. Ces concepts sont fondamentaux en probabilités et en statistiques, et sont largement utilisés pour résoudre des problèmes de dénombrement dans divers contextes. ## Arrangements ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur le dénombrement, une branche des mathématiques qui consiste à compter le nombre de façons d'organiser ou de sélectionner des objets. Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur les **arrangements**. Les arrangements sont une manière spécifique de compter des groupements d'éléments où l'ordre des éléments est important et où chaque élément est distinct. Nous distinguerons les arrangements sans répétition de ceux avec répétition, et nous apprendrons à calculer leur nombre à l'aide de formules spécifiques. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un Arrangement ? Un arrangement est une sélection ordonnée de \( k \) éléments parmi \( n \) éléments distincts. La caractéristique fondamentale d'un arrangement est que l'**ordre des éléments est crucial**. Si l'on change l'ordre des éléments sélectionnés, on obtient un arrangement différent. #### Arrangements sans Répétition Dans un arrangement sans répétition, chaque élément ne peut être utilisé qu'une seule fois dans la sélection. Imaginez que vous piochez des boules d'une urne sans les remettre. * **Définition :** Un arrangement sans répétition de \( k \) éléments parmi \( n \) est une liste ordonnée de \( k \) éléments distincts pris parmi \( n \) éléments. On parle aussi de \( k \)-liste sans répétition. * **Notation :** Le nombre d'arrangements de \( k \) éléments parmi \( n \) est noté \( A_n^k \). * **Formule :** La formule pour calculer le nombre d'arrangements sans répétition est : \[ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \] Où : * \( n \) est le nombre total d'éléments disponibles. * \( k \) est le nombre d'éléments que l'on sélectionne. * \( n! \) (lire "factorielle n") est le produit de tous les entiers positifs de 1 à \( n \). Par exemple, \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \). Par convention, \( 0! = 1 \). * **Conditions :** Il faut que \( 0 \le k \le n \). #### Arrangements avec Répétition Dans un arrangement avec répétition, chaque élément peut être utilisé plusieurs fois dans la sélection. Imaginez que vous piochez des boules d'une urne et que vous les remettez après chaque tirage. * **Définition :** Un arrangement avec répétition de \( k \) éléments parmi \( n \) est une liste ordonnée de \( k \) éléments pris parmi \( n \) éléments, où les répétitions sont autorisées. * **Formule :** La formule pour calculer le nombre d'arrangements avec répétition est : \[ n^k \] Où : * \( n \) est le nombre total d'éléments disponibles. * \( k \) est le nombre d'éléments que l'on sélectionne. #### Cas Particulier : Les Permutations Lorsque \( k = n \), un arrangement sans répétition devient une **permutation**. Une permutation est un arrangement de tous les éléments d'un ensemble. L'ordre est toujours important. * **Formule des Permutations :** \( P_n = A_n^n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = n! \) ### Vocabulaire * **Dénombrement :** Branche des mathématiques qui étudie les méthodes de comptage des configurations d'objets. * **Arrangement :** Sélection ordonnée de \( k \) éléments parmi \( n \) distincts, où l'ordre est important. * **Arrangement sans répétition :** Chaque élément ne peut être choisi qu'une seule fois. * **Arrangement avec répétition :** Un élément peut être choisi plusieurs fois. * **Permutation :** Arrangement de tous les \( n \) éléments disponibles (cas où \( k=n \)). * **Combinaison :** Sélection de \( k \) éléments parmi \( n \) où l'ordre n'est PAS important (sera vu dans un autre chapitre). * **Factorielle (n!) :** Produit de tous les entiers positifs de 1 à \( n \). * **Ordre :** Fait que la position des éléments dans la sélection est significative. ### Exemples #### Exemple 1 : Arrangement sans Répétition Un club de 10 membres doit élire un président, un vice-président et un secrétaire. Chaque personne ne peut occuper qu'un seul poste. Combien y a-t-il de façons différentes d'attribuer ces postes ? * \( n = 10 \) (nombre total de membres) * \( k = 3 \) (nombre de postes à attribuer) * L'ordre est important (président \( \ne \) vice-président \( \ne \) secrétaire). * Il n'y a pas de répétition (une personne un poste). C'est un arrangement sans répétition : \( A_{10}^3 \) Calcul : \( A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720 \) Il y a 720 façons différentes d'attribuer les postes. #### Exemple 2 : Arrangement avec Répétition Combien de numéros de téléphone à 4 chiffres peut-on former si chaque chiffre peut être un entier de 0 à 9, et les chiffres peuvent se répéter ? * \( n = 10 \) (les chiffres possibles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) * \( k = 4 \) (nombre de chiffres dans le numéro de téléphone) * L'ordre est important (1234 est différent de 4321). * Les chiffres peuvent se répéter. C'est un arrangement avec répétition : \( n^k \) Calcul : \( 10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10 000 \) Il y a 10 000 numéros de téléphone à 4 chiffres possibles. #### Exemple 3 : Permutation De combien de façons différentes peut-on organiser 5 livres distincts sur une étagère ? * \( n = 5 \) (nombre total de livres) * \( k = 5 \) (on organise tous les livres) * L'ordre est important (changer la place d'un livre change l'arrangement). * Les livres sont distincts et ne se répètent pas. C'est une permutation de 5 éléments : \( P_5 \) Calcul : \( P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \) Il y a 120 façons différentes d'organiser les 5 livres. ### Exercices 1. Un mot de passe est composé de 3 lettres distinctes choisies parmi les 26 lettres de l'alphabet. Combien de mots de passe différents peut-on former ? 2. Une serrure à combinaison a 3 molettes, et chaque molette a 10 chiffres (0 à 9). Combien de combinaisons (séquences ordonnées) différentes sont possibles si les chiffres peuvent être répétés ? 3. De combien de façons différentes 4 personnes peuvent-elles s'asseoir sur 4 chaises alignées ? 4. Combien de nombres à 3 chiffres (de 100 à 999) peut-on former avec les chiffres 1, 2, 3, 4, 5 si les chiffres ne peuvent pas être répétés ? ### Devoir à la Maison 1. Vous disposez de 6 couleurs différentes pour peindre 3 cases adjacentes, de telle sorte que chaque case ait une couleur différente. Combien de façons différentes de peindre ces cases existent-il ? 2. Un code PIN est composé de 4 chiffres. Chaque chiffre peut être n'importe quel nombre de 0 à 9. Combien de codes PIN sont possibles si les chiffres peuvent être répétés ? 3. Un professeur veut choisir un groupe de 3 étudiants pour une présentation parmi une classe de 12 élèves. Il doit attribuer des rôles spécifiques : présentateur principal, assistant et technicien. Combien de façons différentes y a-t-il de former ce groupe ? 4. En utilisant les lettres du mot "MATHS", combien de "mots" (ayant ou non un sens) de 5 lettres distinctes peut-on former ? ### Résumé Dans ce cours, nous avons exploré les **arrangements**, un concept fondamental du dénombrement. Nous avons appris que les arrangements concernent les sélections ordonnées d'éléments. * **Arrangement sans répétition** (\( A_n^k \)) : L'ordre est important et les éléments ne peuvent être utilisés qu'une fois. La formule est \( \frac{n!}{(n-k)!} \). * **Arrangement avec répétition** (\( n^k \)) : L'ordre est important et les éléments peuvent être utilisés plusieurs fois. La formule est \( n^k \). * Les **permutations** sont un cas particulier d'arrangements sans répétition où l'on utilise tous les éléments disponibles (\( k=n \)), avec la formule \( n! \). La clé pour résoudre les problèmes d'arrangements est de déterminer si l'ordre est important et si la répétition des éléments est autorisée. ## Combinaisons ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur le dénombrement, où nous allons explorer les combinaisons. Après avoir étudié les arrangements, où l'ordre des éléments est crucial, nous allons maintenant nous intéresser aux situations où l'ordre n'a aucune importance. Les combinaisons nous permettent de calculer le nombre de façons de choisir un certain nombre d'éléments parmi un ensemble plus grand, sans tenir compte de l'ordre de sélection. C'est un concept fondamental en probabilités et en statistiques. ### Concepts Clés #### Définition d'une Combinaison Une combinaison de \(k\) éléments parmi \(n\) éléments est un choix de \(k\) éléments distincts parmi ces \(n\) éléments, **sans que l'ordre des éléments choisis n'ait d'importance**. Si l'ordre importait, on parlerait d'arrangement. #### Formule des Combinaisons Le nombre de combinaisons de \(k\) éléments parmi \(n\) est noté \(C_n^k\), \(\binom{n}{k}\) ou parfois \(nCk\). Il se calcule à l'aide de la formule : \[ C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Où : * \(n\) est le nombre total d'éléments disponibles. * \(k\) est le nombre d'éléments que l'on souhaite choisir. * \(k!\) (lu "k factorielle") est le produit de tous les entiers positifs de 1 à \(k\). Par exemple, \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\). Par convention, \(0! = 1\). **Conditions :** On doit toujours avoir \(0 \le k \le n\). #### Propriétés des Combinaisons (Coefficients Binomiaux) Les coefficients binomiaux \(\binom{n}{k}\) possèdent plusieurs propriétés intéressantes : * **Combinaison de 0 élément :** Il n'y a qu'une seule façon de choisir 0 élément parmi \(n\) : ne rien choisir. \[ C_n^0 = \binom{n}{0} = 1 \] * **Combinaison de \(n\) éléments :** Il n'y a qu'une seule façon de choisir \(n\) éléments parmi \(n\) : choisir tous les éléments. \[ C_n^n = \binom{n}{n} = 1 \] * **Combinaison de 1 élément :** Il y a \(n\) façons de choisir 1 élément parmi \(n\). \[ C_n^1 = \binom{n}{1} = n \] * **Symétrie :** Choisir \(k\) éléments parmi \(n\) est équivalent à ne pas choisir \(n-k\) éléments parmi \(n\). \[ C_n^k = C_n^{n-k} \quad \text{ou} \quad \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \] * **Relation de Pascal :** Cette propriété permet de construire le triangle de Pascal, qui est une table des coefficients binomiaux. \[ C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k \quad \text{ou} \quad \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} \] ### Vocabulaire * **Combinaison :** Choix d'éléments d'un ensemble où l'ordre n'importe pas. * **Coefficient binomial :** Le nombre \(C_n^k\), aussi appelé combinaison de \(k\) parmi \(n\). * **Factorielle (n!) :** Le produit de tous les entiers positifs de 1 à \(n\). * **Dénombrement :** L'art de compter le nombre d'éléments dans un ensemble ou le nombre de possibilités dans une situation donnée. * **Arrangement :** Choix d'éléments d'un ensemble où l'ordre des éléments est important. ### Exemples #### Exemple 1 : Choix d'une équipe Un entraîneur doit choisir 3 joueurs parmi une équipe de 10 joueurs pour commencer un match. Combien de façons différentes y a-t-il de choisir ces 3 joueurs ? **Solution :** L'ordre dans lequel les joueurs sont choisis n'a pas d'importance, car une équipe {A, B, C} est la même que {B, A, C}. Il s'agit donc d'une combinaison. \(n = 10\) (nombre total de joueurs) \(k = 3\) (nombre de joueurs à choisir) \[ C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{ (3 \times 2 \times 1) \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120 \] Il y a 120 façons différentes de choisir les 3 joueurs. #### Exemple 2 : Tirage de loto Au loto, on tire 6 numéros parmi 49. Combien y a-t-il de combinaisons possibles ? (L'ordre des numéros tirés n'importe pas). **Solution :** \(n = 49\) (nombre total de numéros) \(k = 6\) (nombre de numéros à choisir) \[ C_{49}^6 = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!} = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \] \[ C_{49}^6 = 13 \,983 \,816 \] Il y a presque 14 millions de combinaisons possibles au loto. #### Exemple 3 : Propriété de symétrie Calculer \(C_7^2\) et \(C_7^5\). **Solution :** \[ C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \] \[ C_7^5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \] On constate bien que \(C_7^2 = C_7^5\), ce qui illustre la propriété de symétrie \(C_n^k = C_n^{n-k}\). ### Exercices 1. Une classe de Première compte 25 élèves. On souhaite former un comité de 4 élèves pour organiser une fête. Combien de comités différents peut-on former ? 2. Dans un jeu de cartes standard de 52 cartes, combien y a-t-il de mains de 5 cartes différentes ? 3. Calculer les valeurs suivantes : a. \(C_8^3\) b. \(C_5^0\) c. \(C_6^6\) d. \(C_9^1\) 4. Vrai ou Faux : \(C_{10}^4 = C_{10}^6\)? Justifiez votre réponse. ### Devoir Maison 1. Un restaurant propose 8 desserts différents. Un client choisit 3 desserts pour sa table. Combien de combinaisons de desserts le client peut-il choisir ? 2. Parmi un groupe de 12 amis, 5 sont choisis pour partir en voyage. Combien de groupes différents peuvent être formés ? 3. Utilisez la relation de Pascal pour vérifier que \(C_5^2 = C_4^1 + C_4^2\). 4. Résolvez l'équation suivante pour \(n\) : \(C_n^2 = 28\). Indice : \(C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}\). ### Résumé Les combinaisons sont un outil essentiel en dénombrement pour compter le nombre de façons de choisir des éléments sans tenir compte de leur ordre. La formule clé à retenir est : \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] N'oubliez pas les propriétés des coefficients binomiaux, notamment la symétrie \(C_n^k = C_n^{n-k}\), qui peut simplifier les calculs. Maîtriser les combinaisons est crucial pour aborder les probabilités de manière rigoureuse.