Chap8 : Dérivation

# Chap8 : Dérivation ## Dérivabilité d'une fonction en un réel Leçon 28: Opérations sur les fonctions dérivables en un réel ### Introduction Dans la leçon précédente, nous avons appris ce qu'est la dérivabilité d'une fonction en un point et comment calculer la dérivée d'une fonction simple. Cette leçon approfondira nos connaissances en étudiant comment les opérations arithmétiques (addition, multiplication, division) affectent la dérivabilité et comment calculer les dérivées de fonctions résultant de ces opérations. Ces règles sont fondamentales pour l'étude des fonctions et l'optimisation en mathématiques. ### Concepts Clés #### 1. Rappel: Fonctions dérivables Une fonction \( f \) est dite dérivable sur un intervalle \( I \) si elle est dérivable en tout point de cet intervalle. Si \( f \) est dérivable sur \( I \), alors sa dérivée \( f' \) est également une fonction définie sur \( I \). #### 2. Dérivée d'une somme de fonctions Si \( u \) et \( v \) sont deux fonctions dérivables sur un intervalle \( I \), alors leur somme \( u+v \) est également dérivable sur \( I \), et sa dérivée est la somme des dérivées de \( u \) et \( v \). **Formule:** \[ (u+v)' = u' + v' \] #### 3. Dérivée du produit d'une fonction par un réel (scalaire) Si \( u \) est une fonction dérivable sur un intervalle \( I \) et \( k \) est un nombre réel (une constante), alors la fonction \( ku \) est dérivable sur \( I \), et sa dérivée est le produit de \( k \) par la dérivée de \( u \). **Formule:** \[ (ku)' = ku' \] #### 4. Dérivée d'un produit de fonctions Si \( u \) et \( v \) sont deux fonctions dérivables sur un intervalle \( I \), alors leur produit \( uv \) est également dérivable sur \( I \), et sa dérivée est donnée par la formule suivante : **Formule:** \[ (uv)' = u'v + uv' \] #### 5. Dérivée de l'inverse d'une fonction Si \( v \) est une fonction dérivable sur un intervalle \( I \) et si \( v(x) \ne 0 \) pour tout \( x \in I \), alors la fonction \( \frac{1}{v} \) est dérivable sur \( I \), et sa dérivée est donnée par la formule : **Formule:** \[ \left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2} \] #### 6. Dérivée d'un quotient de fonctions Si \( u \) et \( v \) sont deux fonctions dérivables sur un intervalle \( I \) et si \( v(x) \ne 0 \) pour tout \( x \in I \), alors la fonction \( \frac{u}{v} \) est dérivable sur \( I \), et sa dérivée est donnée par la formule : **Formule:** \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] ### Vocabulaire * **Fonction dérivable:** Une fonction qui admet une dérivée en chaque point de son domaine de définition ou d'un intervalle donné. * **Dérivée (d'une fonction):** La fonction qui associe à chaque point la pente de la tangente à la courbe de la fonction en ce point. Notée \( f' \). * **Constante (ou scalaire):** Un nombre réel fixe qui ne dépend pas de la variable. ### Exemples #### Exemple 1: Dérivée d'une somme Soit \( f(x) = x^3 + 5x^2 - 2x + 7 \). Calculons sa dérivée. Soient \( u(x) = x^3 \), \( v(x) = 5x^2 \), \( w(x) = -2x \) et \( z(x) = 7 \). Alors \( u'(x) = 3x^2 \), \( v'(x) = 5 \times 2x = 10x \), \( w'(x) = -2 \) et \( z'(x) = 0 \). Donc \( f'(x) = u'(x) + v'(x) + w'(x) + z'(x) = 3x^2 + 10x - 2 \). #### Exemple 2: Dérivée d'un produit par un réel Soit \( f(x) = 4 an(x) \). Calculons sa dérivée. (On sait que \( ( an(x))' = 1 + an^2(x) = rac{1}{\cos^2(x)} \)) Ici \( k=4 \) et \( u(x) = an(x) \). Donc \( f'(x) = 4 imes ( an(x))' = 4(1 + an^2(x)) = rac{4}{\cos^2(x)} \). #### Exemple 3: Dérivée d'un produit de fonctions Soit \( f(x) = (3x-1)e^x \). Calculons sa dérivée. Posons \( u(x) = 3x-1 \) et \( v(x) = e^x \). Alors \( u'(x) = 3 \) et \( v'(x) = e^x \). En utilisant la formule \( (uv)' = u'v + uv' \) : \( f'(x) = 3e^x + (3x-1)e^x = e^x(3 + 3x - 1) = e^x(3x + 2) \). #### Exemple 4: Dérivée d'un quotient de fonctions Soit \( f(x) = \frac{2x+3}{x-1} \) pour \( x \ne 1 \). Calculons sa dérivée. Posons \( u(x) = 2x+3 \) et \( v(x) = x-1 \). Alors \( u'(x) = 2 \) et \( v'(x) = 1 \). En utilisant la formule \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \) : \( f'(x) = \frac{2(x-1) - (2x+3)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = \frac{-5}{(x-1)^2} \). ### Exercices 1. Calculez la dérivée des fonctions suivantes : a) \( f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x - 1 \) b) \( g(x) = (x^2+1)(2x-3) \) c) \( h(x) = \frac{e^x}{x} \) pour \( x \ne 0 \) d) \( k(x) = 7 an(x) - rac{1}{x^2} \) 2. Soit la fonction \( f(x) = (x^2+x)e^x \). a) Déterminez l'expression de \( f'(x) \). b) Déterminez l'équation de la tangente à la courbe de \( f \) au point d'abscisse \( x=0 \). ### Devoir 1. Déterminez la dérivée de chacune des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition : a) \( f(x) = (3x^2 - 5x + 1)^2 \) (Indice: développez ou utilisez la règle de chaîne si vous la connaissez, sinon considérez \( u \times u \)) b) \( g(x) = x oot{3}{x} \) (écrivez \( oot{3}{x} \) comme une puissance) c) \( h(x) = \frac{\sin(x)}{x^2+1} \) d) \( k(x) = 2x - \frac{3}{x} + 4\cos(x) \) 2. Soit la fonction \( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \). a) Calculez \( f'(x) \). b) Sous quelle condition \( f'(x) \) est-elle une constante non nulle ? ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris les règles essentielles pour calculer les dérivées de fonctions complexes obtenues par des opérations arithmétiques. Nous avons vu que si \( u \) et \( v \) sont des fonctions dérivables sur un intervalle \( I \) et \( k \) est un réel, alors : * La dérivée d'une somme est la somme des dérivées : \( (u+v)' = u' + v' \) * La dérivée d'un produit par un réel : \( (ku)' = ku' \) * La dérivée d'un produit est : \( (uv)' = u'v + uv' \) * La dérivée de l'inverse d'une fonction est : \( \left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2} \) * La dérivée d'un quotient est : \( \left(\frac{u}{v} ight)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \) Ces formules sont des outils puissants pour l'analyse des fonctions et la résolution de problèmes en mathématiques et dans d'autres sciences.