Chap7: Fonctions usuelles

# Chap7: Fonctions usuelles ## Représentation des fonctions associées ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons explorer comment la représentation graphique d'une fonction peut être transformée en appliquant diverses opérations algébriques à son expression. Comprendre ces transformations nous permettra de visualiser rapidement le graphe de fonctions complexes en partant de fonctions de référence plus simples. Nous apprendrons à identifier les effets de la translation, de la symétrie et de la dilatation/compression sur les courbes représentatives. ### Concepts Clés #### 1. Fonctions de Référence Nous travaillerons souvent avec des fonctions de base dont nous connaissons bien les graphes : * **Fonction affine :** \( f(x) = x \) * **Fonction carré :** \( f(x) = x^2 \) * **Fonction cube :** \( f(x) = x^3 \) * **Fonction inverse :** \( f(x) = rac{1}{x} \) * **Fonction racine carrée :** \( f(x) = \sqrt{x} \) #### 2. Transformations Graphiques Soit \( C_f \) la courbe représentative d'une fonction \( f \). ##### 2.1. Translation Verticale * **Forme :** \( g(x) = f(x) + k \) * **Effet :** La courbe \( C_g \) est obtenue en translatant \( C_f \) de \( k \) unités verticalement. * Si \( k > 0 \), la translation est vers le haut. * Si \( k < 0 \), la translation est vers le bas. ##### 2.2. Translation Horizontale * **Forme :** \( g(x) = f(x - k) \) * **Effet :** La courbe \( C_g \) est obtenue en translatant \( C_f \) de \( k \) unités horizontalement. * Si \( k > 0 \), la translation est vers la droite. * Si \( k < 0 \), la translation est vers la gauche. * Attention au signe ! Pour \( f(x+k) \), la translation est de \( -k \) (vers la gauche). ##### 2.3. Symétrie par Rapport à l'Axe des Abscisses (x-axis) * **Forme :** \( g(x) = -f(x) \) * **Effet :** La courbe \( C_g \) est le symétrique de \( C_f \) par rapport à l'axe des abscisses. Les points \( (x, y) \) de \( C_f \) deviennent \( (x, -y) \) sur \( C_g \). ##### 2.4. Symétrie par Rapport à l'Axe des Ordonnées (y-axis) * **Forme :** \( g(x) = f(-x) \) * **Effet :** La courbe \( C_g \) est le symétrique de \( C_f \) par rapport à l'axe des ordonnées. Les points \( (x, y) \) de \( C_f \) deviennent \( (-x, y) \) sur \( C_g \). ##### 2.5. Dilatation/Compression Verticale * **Forme :** \( g(x) = a imes f(x) \) * **Effet :** La courbe \( C_g \) est obtenue en étirant ou compressant \( C_f \) verticalement. * Si \( |a| > 1 \), c'est une dilatation (étirement) verticale. * Si \( 0 < |a| < 1 \), c'est une compression verticale. * Si \( a < 0 \), il y a aussi une symétrie par rapport à l'axe des abscisses (comme \( -f(x) \)). ##### 2.6. Dilatation/Compression Horizontale * **Forme :** \( g(x) = f(ax) \) * **Effet :** La courbe \( C_g \) est obtenue en étirant ou compressant \( C_f \) horizontalement. * Si \( |a| > 1 \), c'est une compression horizontale par un facteur de \( rac{1}{|a|} \). * Si \( 0 < |a| < 1 \), c'est une dilatation (étirement) horizontale par un facteur de \( rac{1}{|a|} \). * Si \( a < 0 \), il y a aussi une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées (comme \( f(-x) \)). #### 3. Combinaison de Transformations Il est possible de combiner plusieurs transformations. L'ordre des transformations est important. Par exemple, pour \( g(x) = a f(x-h) + k \): 1. Translation horizontale de \( h \) unités (\( f(x-h) \)). 2. Dilatation/compression verticale et/ou symétrie par rapport à l'axe des abscisses (\( a f(x-h) \)). 3. Translation verticale de \( k \) unités (\( a f(x-h) + k \)). ### Vocabulaire * **Fonction de référence :** Une fonction de base simple (ex: \( x^2 \), \( \sqrt{x} \)) dont le graphe est connu et sert de point de départ pour d'autres fonctions. * **Transformation graphique :** Une modification de l'équation d'une fonction qui entraîne un changement prévisible de la forme, de la position ou de l'orientation de son graphe. * **Translation :** Un déplacement du graphe sans changer sa forme ou son orientation (déplacement horizontal ou vertical). * **Symétrie :** Une transformation qui produit une image miroir du graphe par rapport à un axe (axe des abscisses ou des ordonnées). * **Dilatation :** Un étirement du graphe, le rendant plus large ou plus haut. * **Compression :** Un rétrécissement du graphe, le rendant plus étroit ou plus bas. * **Courbe représentative :** L'ensemble des points \( (x, f(x)) \) dans un repère, formant le graphe d'une fonction. ### Exemples Soit la fonction de référence \( f(x) = x^2 \). 1. **Translation Verticale :** \( g(x) = x^2 + 3 \) Le graphe de \( g(x) \) est le graphe de \( f(x) = x^2 \) translaté de 3 unités vers le haut. 2. **Translation Horizontale :** \( h(x) = (x - 2)^2 \) Le graphe de \( h(x) \) est le graphe de \( f(x) = x^2 \) translaté de 2 unités vers la droite. 3. **Symétrie par Rapport à l'Axe des Abscisses :** \( k(x) = -x^2 \) Le graphe de \( k(x) \) est le symétrique de \( f(x) = x^2 \) par rapport à l'axe des abscisses. 4. **Dilatation Verticale :** \( m(x) = 2x^2 \) Le graphe de \( m(x) \) est le graphe de \( f(x) = x^2 \) étiré verticalement par un facteur de 2. 5. **Combinaison :** \( p(x) = -2(x+1)^2 - 4 \) * Partir de \( f(x) = x^2 \). * Translation de 1 unité vers la gauche : \( (x+1)^2 \). * Dilatation verticale par 2 et symétrie par rapport à l'axe des abscisses : \( -2(x+1)^2 \). * Translation de 4 unités vers le bas : \( -2(x+1)^2 - 4 \). ### Exercices 1. Décrivez comment le graphe de chaque fonction peut être obtenu à partir de la fonction de référence \( f(x) = x^2 \). a. \( g(x) = x^2 - 5 \) b. \( h(x) = (x + 3)^2 \) c. \( k(x) = 4x^2 \) d. \( m(x) = -(x - 1)^2 + 2 \) 2. Soit la fonction de référence \( f(x) = \sqrt{x} \). Écrivez l'équation de la fonction \( g(x) \) dont le graphe est obtenu en : a. Translatant \( f(x) \) de 2 unités vers la droite et 1 unité vers le bas. b. Faisant une symétrie par rapport à l'axe des abscisses puis une translation de 3 unités vers le haut. c. Compressant verticalement par un facteur de 0.5, puis translatant de 4 unités vers la gauche. 3. Tracez le graphe de \( y = (x-2)^3 + 1 \) en utilisant la fonction de référence \( y = x^3 \). ### Devoirs 1. Décrivez la séquence de transformations nécessaires pour obtenir le graphe de \( y = -\frac{1}{2}|x+3| - 1 \) à partir du graphe de \( y = |x| \). 2. Soit \( f(x) = \frac{1}{x} \). Esquissez le graphe des fonctions suivantes : a. \( g(x) = \frac{1}{x-2} + 3 \) b. \( h(x) = -\frac{1}{x} - 1 \) 3. La fonction \( g(x) \) est obtenue à partir de \( f(x) = x^2 \) par une translation de 3 unités vers la gauche, une dilatation verticale par un facteur de 2, et une translation de 5 unités vers le haut. Écrivez l'équation de \( g(x) \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris à reconnaître et à appliquer les transformations graphiques des fonctions. Nous avons vu comment les translations (verticales \( f(x)+k \) et horizontales \( f(x-k) \)), les symétries (par rapport à l'axe des abscisses \( -f(x) \) et à l'axe des ordonnées \( f(-x) \)), et les dilatations/compressions (verticales \( a f(x) \) et horizontales \( f(ax) \)) modifient l'allure d'une courbe représentative. La compréhension de ces principes est fondamentale pour analyser et interpréter les fonctions visuellement, et elle permet de construire le graphe de fonctions complexes à partir de fonctions de référence simples. ## Représentation des fonctions associées ### Représentation des fonctions associées #### Introduction Dans ce chapitre, nous allons explorer comment la modification de l'expression algébrique d'une fonction \(f(x)\) affecte la forme et la position de sa représentation graphique. Comprendre ces transformations est essentiel pour analyser rapidement le comportement de nouvelles fonctions à partir de fonctions de référence connues. #### Concepts Clés ##### 1. Fonctions de Référence Avant d'étudier les transformations, il est important de se familiariser avec les graphes de base: * **Fonction carrée:** \(f(x) = x^2\) (une parabole) * **Fonction racine carrée:** \(f(x) = \sqrt{x}\) (définie pour \(x \ge 0\)) * **Fonction inverse:** \(f(x) = \frac{1}{x}\) (une hyperbole, définie pour \(x \ne 0\)) * **Fonction cube:** \(f(x) = x^3\) ##### 2. Translations Les translations déplacent le graphe de la fonction sans modifier sa forme. ###### a. Translation Verticale La représentation graphique de la fonction \(g(x) = f(x) + k\) est obtenue en translatant la courbe de \(f(x)\): * Vers le **haut** de \(k\) unités si \(k > 0\). * Vers le **bas** de \(-k\) unités si \(k < 0\). ###### b. Translation Horizontale La représentation graphique de la fonction \(g(x) = f(x - k)\) est obtenue en translatant la courbe de \(f(x)\): * Vers la **droite** de \(k\) unités si \(k > 0\). * Vers la **gauche** de \(-k\) unités si \(k < 0\). ##### 3. Symétries Les symétries reflètent le graphe d'une fonction par rapport à un axe. ###### a. Symétrie par rapport à l'axe des abscisses (axe des x) La représentation graphique de la fonction \(g(x) = -f(x)\) est le symétrique de la courbe de \(f(x)\) par rapport à l'axe des abscisses. ###### b. Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées (axe des y) La représentation graphique de la fonction \(g(x) = f(-x)\) est le symétrique de la courbe de \(f(x)\) par rapport à l'axe des ordonnées. ##### 4. Dilatation et Compression Verticale La représentation graphique de la fonction \(g(x) = a \cdot f(x)\) avec \(a > 0\) est obtenue en dilatant ou compressant verticalement la courbe de \(f(x)\): * **Dilatation verticale:** Si \(a > 1\) (le graphe est étiré verticalement). * **Compression verticale:** Si \(0 < a < 1\) (le graphe est compressé verticalement). ##### 5. Fonction Valeur Absolue La représentation graphique de la fonction \(g(x) = |f(x)|\) est obtenue à partir de la courbe de \(f(x)\) en conservant la partie située au-dessus de l'axe des abscisses et en effectuant une symétrie par rapport à l'axe des abscisses pour la partie située en-dessous de cet axe. #### Vocabulaire Clé * **Fonction associée:** Une fonction dont l'expression est dérivée d'une autre fonction par des transformations (e.g., \(g(x) = f(x) + k\) est associée à \(f(x)\)). * **Translation:** Déplacement d'une figure sans rotation ni déformation. * **Dilatation:** Étirement d'une figure (ici, verticalement). * **Compression:** Resserrement d'une figure (ici, verticalement). * **Symétrie axiale:** Transformation géométrique où chaque point d'une figure est remplacé par un point image tel que le segment joignant le point et son image est perpendiculaire à l'axe de symétrie et coupé en son milieu par cet axe. * **Représentation graphique:** Le tracé d'une fonction dans un plan cartésien. * **Abscisse:** Coordonnée d'un point sur l'axe horizontal (axe des x). * **Ordonnée:** Coordonnée d'un point sur l'axe vertical (axe des y). #### Exemples Soit la fonction de référence \(f(x) = x^2\). 1. **Translation Verticale:** Soit \(g(x) = x^2 + 3\). Le graphe de \(g(x)\) est le graphe de \(f(x) = x^2\) translaté de 3 unités vers le haut. Le sommet de la parabole passe de \((0,0)\) à \((0,3)\). 2. **Translation Horizontale:** Soit \(h(x) = (x - 2)^2\). Le graphe de \(h(x)\) est le graphe de \(f(x) = x^2\) translaté de 2 unités vers la droite. Le sommet de la parabole passe de \((0,0)\) à \((2,0)\). 3. **Symétrie par rapport à l'axe des abscisses:** Soit \(k(x) = -x^2\). Le graphe de \(k(x)\) est le symétrique du graphe de \(f(x) = x^2\) par rapport à l'axe des abscisses. La parabole est ouverte vers le bas. 4. **Dilatation Verticale:** Soit \(l(x) = 2x^2\). Le graphe de \(l(x)\) est obtenu en étirant verticalement le graphe de \(f(x) = x^2\). La parabole est plus "étroite". Par exemple, pour \(x=1\), \(f(1)=1\) et \(l(1)=2\). 5. **Combinaison:** Soit \(m(x) = -(x + 1)^2 + 4\). Le graphe de \(m(x)\) est obtenu à partir de \(f(x) = x^2\) par: * Translation horizontale de 1 unité vers la gauche (à cause de \(x+1 = x - (-1)\)). * Symétrie par rapport à l'axe des abscisses (à cause du signe moins devant la parenthèse). * Translation verticale de 4 unités vers le haut. Le sommet de la parabole se trouve à \((-1, 4)\) et elle est ouverte vers le bas. #### Exercices 1. **Décrire les transformations:** Décrivez les transformations qui permettent de passer du graphe de \(f(x)\) au graphe de \(g(x)\) pour chaque cas: a. \(f(x) = x^2\), \(g(x) = (x - 3)^2 + 1\) b. \(f(x) = \sqrt{x}\), \(g(x) = -\sqrt{x + 2}\) c. \(f(x) = \frac{1}{x}\), \(g(x) = \frac{1}{x} - 5\) 2. **Tracer les graphes:** À partir du graphe de \(f(x) = x^2\), esquissez le graphe de \(g(x) = -\frac{1}{2}(x - 1)^2\). 3. **Formuler une fonction:** La courbe d'une fonction \(g(x)\) est obtenue en translatant la courbe de \(f(x) = x^3\) de 2 unités vers la droite et de 3 unités vers le bas. Donnez l'expression de \(g(x)\). #### Devoir à la Maison 1. Soit la fonction \(f(x) = \sqrt{x}\). Représentez graphiquement sur un même repère orthonormal les fonctions suivantes en expliquant les transformations: a. \(g(x) = \sqrt{x - 4}\) b. \(h(x) = \sqrt{x} + 2\) c. \(k(x) = -2\sqrt{x}\) d. \(l(x) = |\sqrt{x} - 1|\) 2. Déterminez l'expression de la fonction dont la courbe est obtenue à partir de celle de \(f(x) = \frac{1}{x}\) par une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, puis une translation de 1 unité vers la droite et 4 unités vers le haut. 3. Expliquez comment le graphe de \(g(x) = (x + 3)^2\) se compare au graphe de \(f(x) = x^2\). Quel est le sommet de la parabole pour \(g(x)\)? #### Résumé Ce chapitre nous a permis de comprendre comment différentes transformations sur l'expression algébrique d'une fonction affectent sa représentation graphique. Nous avons étudié les **translations** (horizontales et verticales), les **symétries** (par rapport aux axes), la **dilatation/compression verticale** et la **fonction valeur absolue**. Maîtriser ces concepts permet de visualiser rapidement le comportement d'une fonction sans avoir à tracer systématiquement de nombreux points, en se basant sur la connaissance des fonctions de référence.