Orthogonalité dans l’espace (suite)

# Orthogonalité dans l’espace (suite) ## Plans orthogonaux dans l'espace ### Introduction Dans ce cours, nous allons étendre le concept de perpendicularité à l'espace en étudiant les plans orthogonaux. Vous avez déjà rencontré des droites orthogonales et des droites perpendiculaires à des plans. Aujourd'hui, nous allons définir ce que signifie que deux plans sont orthogonaux et comment le déterminer, notamment à l'aide des vecteurs normaux. Cette notion est fondamentale pour la compréhension de la géométrie des solides et de l'architecture. ### Concepts Clés #### Définition de plans orthogonaux Deux plans sont dits *orthogonaux* (ou perpendiculaires) si et seulement si l'un contient une droite qui est orthogonale à l'autre plan. Autrement dit, si un plan \( P_1 \) contient une droite \( d \) telle que \( d \) est orthogonale au plan \( P_2 \), alors \( P_1 \) et \( P_2 \) sont orthogonaux. #### Critère d'orthogonalité de deux plans Le critère le plus pratique pour déterminer si deux plans sont orthogonaux utilise leurs vecteurs normaux. Soient deux plans \( P_1 \) et \( P_2 \) d'équations respectives: * \( P_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0 \) * \( P_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 \) Le vecteur \( \vec{n_1}(a_1, b_1, c_1) \) est un vecteur normal au plan \( P_1 \). Le vecteur \( \vec{n_2}(a_2, b_2, c_2) \) est un vecteur normal au plan \( P_2 \). Les plans \( P_1 \) et \( P_2 \) sont orthogonaux si et seulement si leurs vecteurs normaux \( \vec{n_1} \) et \( \vec{n_2} \) sont orthogonaux. Cela se traduit par un produit scalaire nul: \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \] Pour des vecteurs \( \vec{n_1}(x_1, y_1, z_1) \) et \( \vec{n_2}(x_2, y_2, z_2) \), le produit scalaire est calculé comme suit: \[ x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0 \] #### Propriétés des plans orthogonaux * Si deux plans sont orthogonaux, toute droite contenue dans l'un et perpendiculaire à la droite d'intersection des deux plans est orthogonale au second plan. * Dans un repère orthonormal, les axes de coordonnées définissent des plans orthogonaux deux à deux (par exemple, le plan \( (Oxy) \) est orthogonal au plan \( (Oyz) \)). #### Identification et construction * **Identification:** Dans un pavé droit (parallélépipède rectangle) ou un cube, les faces adjacentes sont des plans orthogonaux. Par exemple, le plan formé par la face du bas est orthogonal au plan formé par une face latérale. * **Construction:** Pour construire un plan \( Q \) orthogonal à un plan donné \( P \) et passant par un point \( A \): 1. Trouvez un vecteur normal \( \vec{n_P} \) au plan \( P \). 2. Définissez une droite \( d \) passant par \( A \) et de vecteur directeur \( \vec{u} \) tel que \( \vec{u} \) est orthogonal à \( \vec{n_P} \) (c'est-à-dire \( \vec{u} \cdot \vec{n_P} = 0 \)). 3. Le plan \( Q \) contenant la droite \( d \) et dont le vecteur normal \( \vec{n_Q} \) est orthogonal à \( \vec{n_P} \) sera orthogonal à \( P \). Plus simplement, il suffit que \( Q \) contienne une droite orthogonale à \( P \). ### Vocabulaire * **Plan orthogonal:** Deux plans qui se coupent de manière à ce qu'une droite de l'un soit orthogonale à l'autre plan. * **Vecteur normal:** Un vecteur non nul qui est orthogonal à toutes les droites d'un plan. Il est directionnel pour le plan. * **Produit scalaire:** Une opération qui prend deux vecteurs et retourne un scalaire. Il est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux (non nuls). * **Perpendiculaire:** Terme souvent utilisé pour les droites. Pour les plans, on préfère "orthogonal". ### Exemples #### Exemple 1: Dans un cube Considérons un cube ABCDEFGH. * Le plan \( (ABC) \) (la face du bas) est orthogonal au plan \( (ABF) \) (une face latérale). * Le plan \( (ABC) \) est orthogonal au plan \( (BCG) \). * Le plan \( (ABF) \) est orthogonal au plan \( (FGH) \) (face du haut). #### Exemple 2: Utilisation des équations de plans Déterminons si les plans \( P_1: 2x - y + z - 3 = 0 \) et \( P_2: x + 2y - 0.5z + 1 = 0 \) sont orthogonaux. 1. Identifions les vecteurs normaux: * Pour \( P_1 \), \( \vec{n_1}(2, -1, 1) \). * Pour \( P_2 \), \( \vec{n_2}(1, 2, -0.5) \). 2. Calculons leur produit scalaire: \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(1) + (-1)(2) + (1)(-0.5) \] \[ = 2 - 2 - 0.5 \] \[ = -0.5 \] Puisque \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} \neq 0 \), les plans \( P_1 \) et \( P_2 \) ne sont PAS orthogonaux. #### Exemple 3: Construction d'un plan orthogonal Soit le plan \( P: x - 2y + 3z - 4 = 0 \) et le point \( A(1, 1, 0) \). Nous voulons trouver l'équation d'un plan \( Q \) passant par \( A \) et orthogonal à \( P \). 1. Le vecteur normal de \( P \) est \( \vec{n_P}(1, -2, 3) \). 2. Nous cherchons un plan \( Q \) dont le vecteur normal \( \vec{n_Q}(a, b, c) \) est orthogonal à \( \vec{n_P} \). Donc, \( \vec{n_Q} \cdot \vec{n_P} = a(1) + b(-2) + c(3) = 0 \). \( a - 2b + 3c = 0 \). 3. Nous pouvons choisir des valeurs pour \( a, b, c \) qui satisfont cette équation. Par exemple, si \( a=2, b=1 \), alors \( 2 - 2(1) + 3c = 0 \implies 3c = 0 \implies c=0 \). Donc, \( \vec{n_Q}(2, 1, 0) \) est un vecteur normal possible pour \( Q \). 4. L'équation du plan \( Q \) est de la forme \( 2x + 1y + 0z + d = 0 \), soit \( 2x + y + d = 0 \). 5. Puisque \( Q \) passe par \( A(1, 1, 0) \), nous substituons ces coordonnées dans l'équation: \( 2(1) + 1 + d = 0 \) \( 3 + d = 0 \implies d = -3 \). 6. L'équation du plan \( Q \) est donc \( 2x + y - 3 = 0 \). ### Exercices #### Exercice 1 Soit un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \). Les points \( A(1,0,0) \), \( B(0,1,0) \), \( C(0,0,1) \) et \( D(1,1,1) \) sont donnés. 1. Déterminer un vecteur normal au plan \( (ABC) \). 2. Déterminer un vecteur normal au plan \( (ACD) \). 3. Les plans \( (ABC) \) et \( (ACD) \) sont-ils orthogonaux? Justifiez votre réponse. #### Exercice 2 Les plans \( P_1 \) et \( P_2 \) ont pour équations respectives: \( P_1: 3x + y - 2z + 4 = 0 \) \( P_2: x - 5y - z + 1 = 0 \) Sont-ils orthogonaux? #### Exercice 3 Déterminer l'équation d'un plan \( Q \) passant par le point \( M(2, -1, 3) \) et orthogonal au plan \( P: x + 4y - 2z + 7 = 0 \). Donnez au moins une solution possible. ### Devoirs #### Devoir 1 Dans un cube ABCDEFGH, donner la liste de tous les plans orthogonaux au plan \( (EFG) \) et justifier votre choix. #### Devoir 2 Soit le plan \( P \) d'équation \( x + y - z = 0 \). Soit le plan \( Q \) d'équation \( 2x - y + z = 1 \). 1. Les plans \( P \) et \( Q \) sont-ils orthogonaux? 2. Donner l'équation d'un plan \( R \) passant par l'origine \( O(0,0,0) \) et orthogonal à la fois à \( P \) et à \( Q \). #### Devoir 3 Démontrer que si un plan \( P \) est orthogonal à un plan \( Q \), et qu'une droite \( d \) est perpendiculaire à \( P \), alors \( d \) est parallèle ou contenue dans \( Q \). ### Résumé * Deux plans sont *orthogonaux* si l'un contient une droite orthogonale à l'autre. * Le critère le plus important pour l'orthogonalité de deux plans \( P_1 \) et \( P_2 \) est que leurs vecteurs normaux \( \vec{n_1} \) et \( \vec{n_2} \) soient orthogonaux, c'est-à-dire que leur produit scalaire soit nul: \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \]. * Dans la pratique, il suffit de connaître les équations des plans pour identifier leurs vecteurs normaux et calculer leur produit scalaire. * Cette notion est essentielle pour comprendre les propriétés géométriques des solides en trois dimensions. ## Droites et plans orthogonaux dans l'espace ### Introduction Dans le monde qui nous entoure, de nombreux objets se croisent, se rencontrent ou sont parallèles. Mais certains éléments présentent une relation particulière : ils sont "perpendiculaires" ou "orthogonaux". En géométrie plane, une droite perpendiculaire à une autre forme un angle droit. Dans l'espace en trois dimensions, cette notion s'étend et se complexifie légèrement. Cette leçon va explorer comment définir et caractériser l'orthogonalité entre une droite et un plan, un concept fondamental pour la compréhension de l'espace. ### Concepts Clés #### Rappel : Droites orthogonales dans l'espace Deux droites \(d_1\) et \(d_2\) sont dites **orthogonales** si leurs directions sont perpendiculaires. Cela signifie que si l'on déplace l'une des droites (ou les deux) de manière à ce qu'elles se coupent en un point, elles formeront alors un angle droit de 90°. Il est important de noter que des droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes (elles peuvent être non coplanaires). * **Exemple :** Dans un cube, l'arête \([AB]\) et l'arête \([CG]\) sont orthogonales, même si elles ne se coupent pas. Si on prolonge \([AB]\) et si on translate \([CG]\) jusqu'à ce que \(C\) coïncide avec \(B\), alors les deux droites seront perpendiculaires. #### Droite orthogonale à un plan ##### Définition Une droite \(d\) est **orthogonale à un plan \(\mathcal{P}\)** si elle est orthogonale à *toutes* les droites du plan \(\mathcal{P}\). * **Notation :** On note \(d \perp \mathcal{P}\). ##### Théorème Fondamental Pour qu'une droite \(d\) soit orthogonale à un plan \(\mathcal{P}\), il suffit qu'elle soit orthogonale à **deux droites sécantes** de ce plan \(\mathcal{P}\). * **Formulation :** Soit \(d_1\) et \(d_2\) deux droites du plan \(\mathcal{P}\) qui se coupent en un point \(A\). Si la droite \(d\) est orthogonale à \(d_1\) (\(d \perp d_1\)) et si la droite \(d\) est orthogonale à \(d_2\) (\(d \perp d_2\)), alors la droite \(d\) est orthogonale au plan \(\mathcal{P}\) (\(d \perp \mathcal{P}\)). ##### Propriétés des droites et plans orthogonaux 1. Par un point donné \(A\) de l'espace, il existe un plan unique orthogonal à une droite donnée \(d\). 2. Par un point donné \(A\) de l'espace, il existe une droite unique orthogonale à un plan donné \(\mathcal{P}\). 3. Si deux plans sont parallèles, et si une droite est orthogonale à l'un, alors elle est orthogonale à l'autre. 4. Si deux droites sont parallèles, et si un plan est orthogonal à l'une, alors il est orthogonal à l'autre. ### Vocabulaire * **Orthogonal :** Qui forme un angle droit (90°) avec une autre direction, même sans se couper (dans l'espace). * **Perpendiculaire :** Qui forme un angle droit (90°) avec une autre droite et qui la coupe (dans le plan ou si les droites sont sécantes dans l'espace). * **Plan :** Surface plane, illimitée, en deux dimensions. * **Droite :** Ligne droite, illimitée, en une dimension. * **Sécantes :** Se dit de deux droites qui se coupent en un unique point. * **Non coplanaires :** Se dit de droites qui n'appartiennent pas au même plan. ### Exemples #### Exemple 1 : Le cas du cube Considérons un cube \(ABCDEFGH\). Montrons que l'arête \([AE]\) est orthogonale au plan \((ABC)\). 1. L'arête \([AE]\) est perpendiculaire à l'arête \([AB]\) (car c'est un carré \(ABFE\)). Donc \(AE \perp AB\). 2. L'arête \([AE]\) est perpendiculaire à l'arête \([AD]\) (car c'est un carré \(ADHE\)). Donc \(AE \perp AD\). 3. Les droites \((AB)\) et \((AD)\) sont deux droites sécantes du plan \((ABC)\) (elles se coupent en \(A\)). 4. D'après le théorème fondamental, puisque \(AE\) est orthogonale à deux droites sécantes du plan \((ABC)\), alors la droite \((AE)\) est orthogonale au plan \((ABC)\). #### Exemple 2 : Construction d'une droite orthogonale à un plan Soit un plan \(\mathcal{P}\) et un point \(M\) n'appartenant pas à \(\mathcal{P}\). Construire la droite \(d\) passant par \(M\) et orthogonale à \(\mathcal{P}\). 1. Choisissez un point \(A\) dans le plan \(\mathcal{P}\). 2. Tracez une droite \(d_1\) dans \(\mathcal{P}\) passant par \(A\). 3. Construisez la droite \(d'\) passant par \(M\) et perpendiculaire à \(d_1\) (dans le plan formé par \(M\) et \(d_1\)). Soit \(H_1\) leur point d'intersection. 4. Tracez une droite \(d_2\) dans \(\mathcal{P}\) passant par \(A\) et distincte de \(d_1\). 5. Construisez la droite \(d''\) passant par \(M\) et perpendiculaire à \(d_2\) (dans le plan formé par \(M\) et \(d_2\)). Soit \(H_2\) leur point d'intersection. 6. La droite \(d\) qui passe par \(M\) et qui est parallèle à la droite perpendiculaire au plan \(\mathcal{P}\) passant par \(A\) sera la droite recherchée. Plus simplement, si on peut trouver un point \(P\) dans \(\mathcal{P}\) tel que \((MP)\) soit orthogonale à deux droites sécantes de \(\mathcal{P}\) passant par \(P\), alors \((MP)\) est la droite recherchée. Il est souvent plus facile d'utiliser la projection orthogonale. ### Exercices 1. **Vrai ou Faux :** a. Deux droites orthogonales sont toujours sécantes. \( \square \) Vrai \( \square \) Faux b. Si une droite est orthogonale à une droite d'un plan, alors elle est orthogonale à ce plan. \( \square \) Vrai \( \square \) Faux c. Dans un pavé droit \(ABCDEFGH\), la droite \((DH)\) est orthogonale au plan \((ABC))\). \( \square \) Vrai \( \square \) Faux d. Si une droite \(d_1\) est parallèle à une droite \(d_2\), et si \(d_2\) est orthogonale à un plan \(\mathcal{P}\), alors \(d_1\) est orthogonale à \(\mathcal{P}\). \( \square \) Vrai \( \square \) Faux 2. Dans un tétraèdre \(ABCD\), on suppose que l'arête \([DA]\) est orthogonale au plan \((ABC))\). Que peut-on dire des triangles \(DAB\), \(DAC\) et \(DBC\) ? Justifiez vos réponses. 3. Soient un plan \(\mathcal{P}\) et une droite \(d\) qui lui est orthogonale en un point \(O\). Soit \(A\) un point de \(d\) et \(B\) un point de \(\mathcal{P}\). Démontrez que le triangle \(AOB\) est rectangle en \(O\). ### Devoir à la maison 1. Considérons une pyramide régulière à base carrée \(SABCD\), où \(O\) est le centre du carré \(ABCD\). Démontrez que la droite \((SO)\) est orthogonale au plan \((ABC))\). (Indice : Utiliser les propriétés d'une pyramide régulière et le théorème fondamental). 2. Soit un point \(P\) et un plan \(\mathcal{P}\). On appelle projection orthogonale de \(P\) sur \(\mathcal{P}\) le point \(H\) de \(\mathcal{P}\) tel que la droite \((PH)\) soit orthogonale à \(\mathcal{P}\). a. Démontrez que pour tout point \(M\) de \(\mathcal{P}\) distinct de \(H\), on a \(PM > PH\). (Le point \(H\) est le point du plan \(\mathcal{P}\) le plus proche de \(P\)). b. Dans un repère orthonormé de l'espace, le plan \(\mathcal{P}\) a pour équation \(z=0\). Donnez les coordonnées de la projection orthogonale du point \(P(x_P, y_P, z_P)\) sur ce plan. Quelle est la distance de \(P\) au plan \(\mathcal{P}\) ? ### Résumé Dans cette leçon, nous avons approfondi la notion d'orthogonalité dans l'espace. Nous avons rappelé que des droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes. Le point clé à retenir est la définition d'une droite orthogonale à un plan : elle est orthogonale à *toutes* les droites de ce plan. Cependant, le **théorème fondamental** nous simplifie la tâche : il suffit de montrer qu'une droite est orthogonale à **deux droites sécantes** du plan pour qu'elle soit orthogonale à tout le plan. Cette propriété est essentielle pour résoudre de nombreux problèmes de géométrie dans l'espace et pour comprendre la position relative des objets dans un environnement tridimensionnel.