Chap1 : Équations, inéquations polynômiales et irrationnelles

# Chap1 : Équations, inéquations polynômiales et irrationnelles ## Équations et inéquations de degré deux dans ℝ Leçon 2 : Systèmes d’équations à deux inconnues se ramenant à une équation du second degré dans ℝ Leçon 3 : Polynômes de degré 3 ; Zéro ou racine d’un polynôme ; Factorisation, divisibilité par x − a ### Introduction Bienvenue dans cette leçon approfondie sur les équations et inéquations du second degré, les systèmes d'équations qui s'y ramènent, et l'exploration des polynômes de degré 3. Ces concepts sont fondamentaux en mathématiques et sont essentiels pour la résolution de nombreux problèmes en sciences et en ingénierie. Nous apprendrons à résoudre ces types d'équations et d'inéquations, à factoriser des polynômes et à comprendre la relation entre les racines et la divisibilité. ### Concepts Clés #### 1. Équations du second degré dans ℝ Une équation du second degré est une équation de la forme générale : \[ ax^2 + bx + c = 0 \] où \(a, b, c\) sont des coefficients réels et \(a \neq 0\). ##### Résolution par le discriminant (\( \Delta \)) Le discriminant est défini par la formule : \[ \Delta = b^2 - 4ac \] * **Cas 1 : \( \Delta > 0 \)** L'équation a deux solutions réelles distinctes : \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \] * **Cas 2 : \( \Delta = 0 \)** L'équation a une seule solution réelle (racine double) : \[ x_0 = \frac{-b}{2a} \] * **Cas 3 : \( \Delta < 0 \)** L'équation n'a pas de solution réelle. #### 2. Inéquations du second degré dans ℝ Pour résoudre une inéquation du second degré (ex: \(ax^2 + bx + c > 0\) ou \(ax^2 + bx + c \le 0\)), on procède en plusieurs étapes : 1. **Rechercher les racines** de l'équation \(ax^2 + bx + c = 0\). 2. **Étudier le signe du trinôme** \(ax^2 + bx + c\) en utilisant un tableau de signes. Le signe du trinôme est déterminé par le signe de \(a\) à l'extérieur des racines (si elles existent) et par le signe opposé de \(a\) entre les racines. #### 3. Systèmes d'équations à deux inconnues se ramenant à une équation du second degré dans ℝ Certains systèmes d'équations, bien qu'ayant initialement plusieurs inconnues, peuvent être résolus en les transformant en une seule équation du second degré. Les méthodes courantes incluent : * **Substitution :** Exprimer une inconnue en fonction de l'autre à partir d'une des équations, puis substituer cette expression dans l'autre équation. * **Cas particulier :** Les systèmes de la forme : \[ \begin{cases} x + y = S \\ xy = P \end{cases} \] où \(S\) est la somme et \(P\) le produit des deux inconnues \(x\) et \(y\). \(x\) et \(y\) sont alors les solutions de l'équation du second degré : \[ Z^2 - SZ + P = 0 \] #### 4. Polynômes de degré 3 Un polynôme de degré 3 est une expression de la forme : \[ P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \] où \(a, b, c, d\) sont des coefficients réels et \(a \neq 0\). ##### Zéro ou Racine d'un polynôme Un nombre réel \(r\) est un **zéro** ou une **racine** du polynôme \(P(x)\) si \(P(r) = 0\). ##### Factorisation et Divisibilité par \(x - a\) * **Théorème du facteur :** Si \(a\) est une racine du polynôme \(P(x)\), alors \(P(x)\) est divisible par \((x - a)\). Cela signifie qu'on peut écrire \(P(x) = (x - a)Q(x)\), où \(Q(x)\) est un polynôme de degré 2. * Pour trouver \(Q(x)\), on peut utiliser : * La **division euclidienne** des polynômes. * La **méthode des coefficients indéterminés** (en développant \((x - a)(Ax^2 + Bx + C)\) et en identifiant les coefficients avec ceux de \(P(x)\)). ### Vocabulaire * **Polynôme :** Expression mathématique composée d'une somme de termes, où chaque terme est le produit d'un coefficient par une variable élevée à une puissance entière non négative. * **Degré d'un polynôme :** La plus haute puissance de la variable dans le polynôme. * **Coefficient :** Le nombre qui multiplie une variable dans un terme d'un polynôme. * **Racine / Zéro d'un polynôme :** Une valeur de la variable pour laquelle le polynôme s'annule (égale à 0). * **Discriminant (\( \Delta \)) :** Valeur utilisée pour déterminer la nature et le nombre de solutions réelles d'une équation du second degré. * **Factorisation :** Opération qui consiste à écrire un polynôme comme un produit de polynômes de degrés inférieurs. * **Système d'équations :** Ensemble de plusieurs équations avec plusieurs inconnues que l'on cherche à résoudre simultanément. * **Inconnue :** Variable dont la valeur est recherchée dans une équation ou un système d'équations. ### Exemples #### Exemple 1 : Résolution d'une équation du second degré Résoudre l'équation : \(2x^2 - 5x + 2 = 0\) Ici, \(a=2, b=-5, c=2\). \[ \Delta = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 \] Puisque \( \Delta > 0 \), il y a deux solutions réelles : \[ x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \] Les solutions sont \(x = \frac{1}{2}\) et \(x = 2\). #### Exemple 2 : Résolution d'une inéquation du second degré Résoudre l'inéquation : \(x^2 - 3x - 4 < 0\) 1. Résolvons l'équation \(x^2 - 3x - 4 = 0\). \(a=1, b=-3, c=-4\). \( \Delta = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \). \( x_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \) \( x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \) 2. Tableau de signes : | \(x\) | \(-\infty\) | -1 | 4 | \(+\infty\) | |---|---|---|---|---| | \(x^2-3x-4\) | \(+\) | 0 | \(-\) | 0 | \(+\) | L'inéquation \(x^2 - 3x - 4 < 0\) est vérifiée lorsque le trinôme est négatif. L'ensemble des solutions est \( ]-1 ; 4[ \). #### Exemple 3 : Résolution d'un système se ramenant au second degré Résoudre le système : \[ \begin{cases} x + y = 7 \\ xy = 10 \end{cases} \] \(x\) et \(y\) sont les solutions de l'équation \(Z^2 - 7Z + 10 = 0\). \( \Delta = (-7)^2 - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9 \). \( Z_1 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2 \) \( Z_2 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5 \) Les solutions du système sont \((x,y) = (2,5)\) ou \((x,y) = (5,2)\). #### Exemple 4 : Factorisation d'un polynôme de degré 3 Soit \(P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\). 1. Cherchons une racine "évidente". Testons \(x=1\) : \(P(1) = 1^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0\). Donc \(x=1\) est une racine, et \(P(x)\) est divisible par \((x-1)\). 2. Factorisation par division euclidienne ou coefficients indéterminés : On cherche \(Q(x) = Ax^2 + Bx + C\) tel que \( (x-1)(Ax^2 + Bx + C) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \). En développant : \( Ax^3 + Bx^2 + Cx - Ax^2 - Bx - C = Ax^3 + (B-A)x^2 + (C-B)x - C \). Par identification des coefficients : * \(A = 1\) * \(B - A = -2 \Rightarrow B - 1 = -2 \Rightarrow B = -1\) * \(C - B = -5 \Rightarrow C - (-1) = -5 \Rightarrow C + 1 = -5 \Rightarrow C = -6\) * \(-C = 6 \Rightarrow C = -6\) (cohérent) Donc \(Q(x) = x^2 - x - 6\). 3. Factorisons \(Q(x)\) : \( \Delta = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \). \( x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2 \) \( x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3 \) Ainsi, \(Q(x) = (x - (-2))(x - 3) = (x + 2)(x - 3)\). 4. La factorisation complète de \(P(x)\) est : \( P(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3) \). ### Exercices 1. Résoudre les équations suivantes dans \( \mathbb{R} \) : a) \( 3x^2 + 7x + 2 = 0 \) b) \( x^2 - 10x + 25 = 0 \) c) \( -2x^2 + x - 1 = 0 \) 2. Résoudre les inéquations suivantes dans \( \mathbb{R} \) : a) \( x^2 + x - 6 \ge 0 \) b) \( -x^2 + 4x - 3 > 0 \) 3. Résoudre le système d'équations suivant : \[ \begin{cases} x - y = 3 \\ xy = 4 \end{cases} \] 4. Soit le polynôme \(P(x) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12\). a) Montrer que \(x = 2\) est une racine de \(P(x)\). b) En déduire une factorisation de \(P(x)\) sous la forme \((x-2)Q(x)\). c) Factoriser complètement \(P(x)\). ### Devoirs 1. Une planche rectangulaire a un périmètre de 28 mètres et une aire de 48 mètres carrés. Quelles sont ses dimensions ? (Poser un système d'équations). 2. Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles l'équation \( (m-1)x^2 + 2mx + m+3 = 0 \) admet exactement une solution réelle. 3. Factoriser le polynôme \(P(x) = 2x^3 + 5x^2 - x - 6\) sachant qu'il admet une racine entière entre -2 et 2. 4. Résoudre l'inéquation \( \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x - 3} \le 0 \). (Attention aux valeurs interdites !) ### Résumé Dans cette leçon, nous avons consolidé notre compréhension des équations et inéquations du second degré, en utilisant le discriminant et les tableaux de signes. Nous avons appris à résoudre des systèmes d'équations qui se ramènent au second degré, notamment ceux de type somme-produit. Enfin, nous avons exploré les polynômes de degré 3, compris la notion de racine, et maîtrisé la technique de factorisation par \((x-a)\) lorsqu'une racine est connue, ce qui nous permet de réduire un polynôme de degré 3 à un produit d'un polynôme de degré 1 et d'un polynôme de degré 2. Ces compétences sont cruciales pour la suite de votre parcours en mathématiques. ## Signe d’un polynôme de degré 3 Leçon 5 : Équations irrationnelles Leçon 6 : Inéquations irrationnelles ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur des concepts fondamentaux en algèbre. Nous allons explorer trois sujets importants qui vous aideront à mieux comprendre et à résoudre une variété de problèmes mathématiques. Tout d'abord, nous apprendrons à déterminer le signe d'un polynôme de degré 3, ce qui est essentiel pour analyser le comportement des fonctions. Ensuite, nous aborderons les équations irrationnelles, où l'inconnue se trouve sous un radical, en insistant sur la méthode de résolution et les pièges à éviter. Enfin, nous étendrons ces techniques aux inéquations irrationnelles, qui nécessitent une attention particulière aux domaines de définition et aux manipulations algébriques. ### Concepts Clés #### I. Signe d'un polynôme de degré 3 Un polynôme de degré 3 est une expression de la forme \( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) où \( a \neq 0 \). ##### A. Méthode pour déterminer le signe Pour étudier le signe d'un polynôme de degré 3, la stratégie consiste à le factoriser pour le transformer en un produit de facteurs de degré 1 et/ou de degré 2. 1. **Trouver les racines :** La première étape est de trouver les racines du polynôme, c'est-à-dire les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( P(x) = 0 \). * Souvent, on cherche une racine "évidente" (\( 0, 1, -1, 2, -2, rac{1}{2}, -rac{1}{2} \)). * Si \( x_0 \) est une racine, alors \( (x - x_0) \) est un facteur de \( P(x) \). On peut alors effectuer une division euclidienne (ou une identification de coefficients) pour trouver le facteur quadratique \( Q(x) \) tel que \( P(x) = (x - x_0)Q(x) \). * \( Q(x) \) est un polynôme de degré 2 dont on peut trouver les racines avec le discriminant \( \Delta \). 2. **Factorisation :** Une fois toutes les racines trouvées (réelles), on peut écrire le polynôme sous forme factorisée. Par exemple, si \( r_1, r_2, r_3 \) sont les racines, alors \( P(x) = a(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3) \). 3. **Tableau de signes :** Construire un tableau de signes en plaçant les racines sur la ligne des \( x \) dans l'ordre croissant. Pour chaque intervalle défini par les racines, déterminer le signe de chaque facteur et en déduire le signe du produit \( P(x) \). ##### B. Cas particulier Si \( Q(x) \) n'a pas de racines réelles (\( \Delta < 0 \)), alors \( Q(x) \) garde un signe constant (celui de son coefficient dominant \( a' \)). #### II. Équations irrationnelles Une équation irrationnelle est une équation où l'inconnue apparaît sous un signe radical (généralement une racine carrée). ##### A. Domaine de définition (Conditions d'existence) Avant toute résolution, il est crucial de déterminer le domaine de définition de l'équation. L'expression sous un radical de degré pair (comme \( \sqrt{} \)) doit toujours être positive ou nulle. Si l'expression est \( \sqrt{A(x)} \), il faut que \( A(x) \ge 0 \). ##### B. Méthode de résolution La méthode générale consiste à éliminer le radical en élevant les deux membres de l'équation à la puissance appropriée. 1. **Isoler le radical :** Si possible, arranger l'équation pour avoir le radical seul d'un côté de l'égalité. 2. **Conditions sur les membres :** Si vous avez une équation de la forme \( \sqrt{A(x)} = B(x) \): * Il faut que \( A(x) \ge 0 \) (domaine de définition). * De plus, un radical étant toujours positif ou nul, il faut que \( B(x) \ge 0 \). 3. **Élever au carré :** Élever les deux membres de l'équation au carré (si c'est une racine carrée) : \( (\sqrt{A(x)})^2 = (B(x))^2 \) ce qui donne \( A(x) = (B(x))^2 \). * **Attention :** Cette opération peut introduire des **solutions étrangères**. C'est pourquoi les étapes 2 et 4 sont primordiales. 4. **Résoudre l'équation obtenue :** L'équation \( A(x) = (B(x))^2 \) est une équation polynomiale (généralement de degré 1 ou 2) que vous savez résoudre. 5. **Vérifier les solutions :** Chaque solution trouvée doit être vérifiée par rapport aux conditions d'existence (étape 2). Seules les solutions qui satisfont toutes les conditions initiales sont valides. #### III. Inéquations irrationnelles Une inéquation irrationnelle est une inéquation où l'inconnue apparaît sous un signe radical. ##### A. Domaine de définition Comme pour les équations, la première étape est de déterminer le domaine de définition de l'inéquation en s'assurant que toutes les expressions sous les radicaux sont positives ou nulles. ##### B. Méthode de résolution La résolution des inéquations irrationnelles est plus complexe car l'élévation au carré n'est équivalente que si les deux membres sont de même signe. Il faut donc étudier plusieurs cas. Considérons une inéquation de la forme \( \sqrt{A(x)} < B(x) \) ou \( \sqrt{A(x)} > B(x) \). 1. **Conditions d'existence :** Toujours commencer par \( A(x) \ge 0 \). 2. **Cas 1 : \( \sqrt{A(x)} < B(x) \)** * Puisqu'un radical est toujours positif ou nul, il est nécessaire que \( B(x) \) soit strictement positif : \( B(x) > 0 \). * Si \( B(x) \le 0 \), il n'y a pas de solution (un nombre positif ne peut pas être inférieur ou égal à un nombre négatif ou nul). * Si \( B(x) > 0 \), alors nous pouvons élever au carré les deux membres sans changer le sens de l'inégalité : \( A(x) < (B(x))^2 \). * La solution est l'intersection des trois conditions : \( A(x) \ge 0 \), \( B(x) > 0 \) et \( A(x) < (B(x))^2 \). 3. **Cas 2 : \( \sqrt{A(x)} > B(x) \)** * **Sous-cas 2.1 : \( B(x) < 0 \)** * Dans ce cas, l'inéquation \( \sqrt{A(x)} > B(x) \) est toujours vraie puisque \( \sqrt{A(x)} \ge 0 \) et \( B(x) \) est négatif. Les solutions sont donc toutes les valeurs de \( x \) qui vérifient \( A(x) \ge 0 \) et \( B(x) < 0 \). * **Sous-cas 2.2 : \( B(x) ext{ et } B(x) \ge 0 \)** * Dans ce cas, nous pouvons élever au carré les deux membres sans changer le sens de l'inégalité : \( A(x) > (B(x))^2 \). * La solution est l'intersection des trois conditions : \( A(x) \ge 0 \), \( B(x) ext{ et } B(x) \ge 0 \) et \( A(x) > (B(x))^2 \). La solution finale de l'inéquation sera l'union des solutions trouvées dans chaque sous-cas. ### Vocabulaire * **Polynôme de degré 3 :** Expression mathématique de la forme \( ax^3 + bx^2 + cx + d \), où \( a \neq 0 \). * **Racine d'un polynôme :** Valeur de \( x \) pour laquelle \( P(x) = 0 \). * **Factorisation :** Processus qui consiste à écrire un polynôme comme un produit de facteurs (souvent des polynômes de degré inférieur). * **Équation irrationnelle :** Équation où l'inconnue apparaît sous un radical. * **Inéquation irrationnelle :** Inéquation où l'inconnue apparaît sous un radical. * **Radical :** Symbole \( \sqrt{} \) ou \( \sqrt[n]{} \) désignant une racine (carrée, cubique, etc.). * **Domaine de définition (ou Ensemble de validité) :** L'ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles une expression est définie (par exemple, ce qui est sous une racine carrée doit être \( \ge 0 \)). * **Solution étrangère :** Une solution obtenue lors de la résolution d'une équation mais qui ne vérifie pas les conditions initiales de l'équation ou de l'inéquation de départ (souvent introduite en élevant au carré). ### Exemples #### Exemple 1 : Signe d'un polynôme de degré 3 Déterminons le signe de \( P(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4 \). 1. **Recherche de racines évidentes :** * \( P(1) = 1 - 1 - 4 + 4 = 0 \). Donc \( x=1 \) est une racine, et \( (x-1) \) est un facteur. 2. **Factorisation :** On peut diviser \( P(x) \) par \( (x-1) \) : \( (x^3 - x^2 - 4x + 4) \div (x-1) = x^2 - 4 \). * Donc \( P(x) = (x-1)(x^2-4) = (x-1)(x-2)(x+2) \). 3. **Racines :** Les racines sont \( x=1, x=2, x=-2 \). 4. **Tableau de signes :** | \( x \) | \( -\infty \) | \( -2 \) | \( 1 \) | \( 2 \) | \( +\infty \) | | :----------- | :-------------: | :-------: | :------: | :-------: | :-------------: | | \( x+2 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | \( + \) | \( + \) | | \( x-1 \) | \( - \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | \( + \) | | \( x-2 \) | \( - \) | \( - \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | | \( P(x) \) | \( - \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( + \) | * Conclusion : \( P(x) < 0 \) pour \( x \in ]-\infty; -2[ \cup ]1; 2[ \), et \( P(x) > 0 \) pour \( x \in ]-2; 1[ \cup ]2; +\infty[ \). #### Exemple 2 : Équation irrationnelle Résoudre l'équation \( \sqrt{x+2} = x \). 1. **Domaine de définition :** * \( x+2 \ge 0 \implies x \ge -2 \). (Condition 1) * Puisque \( \sqrt{x+2} \ge 0 \), il faut que \( x \ge 0 \). (Condition 2) * L'intersection de (1) et (2) est \( x \in [0; +\infty[ \). 2. **Élever au carré :** * \( (\sqrt{x+2})^2 = x^2 \) * \( x+2 = x^2 \) * \( x^2 - x - 2 = 0 \) 3. **Résoudre l'équation quadratique :** * Discriminant \( \Delta = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \). * \( x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \) * \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \) 4. **Vérifier les solutions :** * Pour \( x_1 = -1 \) : Cette solution n'appartient pas au domaine de définition \( [0; +\infty[ \). Ce n'est pas une solution. * Pour \( x_2 = 2 \) : Cette solution appartient au domaine de définition \( [0; +\infty[ \). Vérifions dans l'équation originale : \( \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2 \). Et le membre de droite est \( 2 \). Donc \( 2=2 \). C'est une solution valide. * L'ensemble solution est \( S = \{2\} \). #### Exemple 3 : Inéquation irrationnelle Résoudre l'inéquation \( \sqrt{x+1} < 2 \). 1. **Domaine de définition :** \( x+1 \ge 0 \implies x \ge -1 \). Donc \( x \in [-1; +\infty[ \). 2. **Conditions sur le membre de droite :** Le membre de droite est \( 2 \), qui est strictement positif (\( 2 > 0 \)). Nous pouvons donc élever au carré. 3. **Élever au carré :** * \( (\sqrt{x+1})^2 < 2^2 \) * \( x+1 < 4 \) * \( x < 3 \) 4. **Intersection des conditions :** Nous devons combiner \( x \ge -1 \) et \( x < 3 \). * L'ensemble solution est \( S = [-1; 3[ \). ### Exercices 1. Déterminer le signe du polynôme \( P(x) = (x+3)(x-1)(x-4) \). 2. Trouver les racines de \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) et en déduire son signe. 3. Résoudre l'équation irrationnelle : \( \sqrt{3x-2} = 4 \). 4. Résoudre l'équation irrationnelle : \( \sqrt{x-1} = x-3 \). 5. Résoudre l'inéquation irrationnelle : \( \sqrt{2x-4} \le x-2 \). ### Devoirs 1. Déterminer le signe de \( P(x) = -x^3 + 5x^2 - 3x - 9 \) après avoir trouvé une racine évidente. 2. Résoudre l'équation irrationnelle : \( \sqrt{x^2+9} = x+1 \). 3. Résoudre l'inéquation irrationnelle : \( \sqrt{x+4} > x+2 \). 4. Résoudre l'inéquation irrationnelle : \( \sqrt{x^2-1} < x \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons couvert des techniques essentielles pour analyser et résoudre des problèmes algébriques variés : * **Signe d'un polynôme de degré 3 :** La clé est de factoriser le polynôme en facteurs de degré 1 (et/ou 2) pour ensuite utiliser un tableau de signes. La recherche de racines évidentes est souvent la première étape cruciale. * **Équations irrationnelles :** La méthode consiste à isoler le radical, puis à élever les deux membres au carré. **Il est impératif de toujours vérifier le domaine de définition de l'équation et de s'assurer que le membre sans radical est positif avant l'élévation au carré, puis de valider chaque solution trouvée par rapport à ces conditions afin d'éliminer les solutions étrangères.** * **Inéquations irrationnelles :** Elles sont plus délicates en raison de la conservation du sens de l'inégalité lors de l'élévation au carré. Il faut impérativement étudier le domaine de définition et distinguer les cas où le membre sans radical est positif ou négatif. L'intersection des conditions est fondamentale pour obtenir l'ensemble solution correct.