Motion

# Motion ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Distinguer distance et déplacement, vitesse et vitesse moyenne, accélération et quantité de mouvement linéaire. - Interpréter et tracer des graphes du mouvement (position-temps, vitesse-temps, accélération-temps). - Appliquer les équations du mouvement uniformément accéléré pour résoudre des problèmes numériques. - Expliquer le phénomène de chute libre et déterminer expérimentalement l'accélération due à la gravité \( g \). - Réaliser des calculs simples liés au mouvement linéaire avec rigueur et unités correctes. **Prérequis** : Notions de base en algèbre (équations du premier degré, racines carrées), système international d'unités (SI), concepts de référentiel et de référentiel galiléen. --- ## I. Linear motion: Distance, displacement, Speed, velocity, linear momentum and acceleration ### Distance and displacement > **Distance** est la longueur totale du parcours effectué par un objet, indépendamment de sa direction. C'est une grandeur scalaire, toujours positive ou nulle. > **Déplacement** est le changement de position d'un objet entre son point initial et son point final. C'est une grandeur vectorielle, dirigée du point initial au point final, et peut être nulle même si la distance parcourue est non nulle. **Exemple résolu** : Un élève marche 10 m vers l'est, puis 6 m vers l'ouest. - Distance totale parcourue : \( 10 + 6 = 16 \, \text{m} \) - Déplacement net : \( 10 - 6 = 4 \, \text{m} \) vers l'est **Exercice d'application** : Une voiture se déplace de 5 km vers le nord, puis 3 km vers le sud, puis 2 km vers le nord. **Correction** : Distance = \( 5 + 3 + 2 = 10 \, \text{km} \) Déplacement = \( 5 - 3 + 2 = 4 \, \text{km} \) vers le nord ### Speed and velocity > **Vitesse** (speed) est le taux de variation de la distance par rapport au temps. C'est une grandeur scalaire : \( v = \frac{\text{distance}}{\Delta t} \). > **Vitesse moyenne** (average velocity) est le taux de variation du déplacement par rapport au temps : \( \vec{v}_{\text{moy}} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} \). C'est une grandeur vectorielle. > La vitesse instantanée est la limite de la vitesse moyenne lorsque \( \Delta t \to 0 \). **Exemple résolu** : Un cycliste parcourt 300 m en 60 s en ligne droite vers l'est. - Vitesse moyenne : \( \frac{300}{60} = 5 \, \text{m/s} \) - Vitesse moyenne (vectorielle) : \( 5 \, \text{m/s} \) vers l'est **Exercice d'application** : Un objet se déplace de 200 m vers l'ouest en 25 s, puis revient sur ses pas en 15 s. **Correction** : Première partie : vitesse = \( \frac{200}{25} = 8 \, \text{m/s} \) ouest Deuxième partie : vitesse = \( \frac{200}{15} \approx 13.3 \, \text{m/s} \) est Vitesse moyenne sur le trajet total : Déplacement net = \( 200 - 200 = 0 \) → vitesse moyenne = \( 0 \, \text{m/s} \) Vitesse moyenne (scalaire) = \( \frac{200 + 200}{25 + 15} = \frac{400}{40} = 10 \, \text{m/s} \) ### Linear momentum > **Quantité de mouvement linéaire** (linear momentum) d'un objet est le produit de sa masse par sa vitesse instantanée : \( \vec{p} = m \vec{v} \). C'est une grandeur vectorielle, dirigée dans le sens de la vitesse. Son unité SI est \( \text{kg} \cdot \text{m/s} \). **Exemple résolu** : Une balle de masse 0,15 kg se déplace à 20 m/s vers le haut. \( \vec{p} = 0,15 \times 20 = 3,0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \) vers le haut **Exercice d'application** : Un camion de masse 2000 kg roule à 15 m/s vers le sud. Quelle est sa quantité de mouvement ? **Correction** : \( \vec{p} = 2000 \times 15 = 30\,000 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \) vers le sud ### Acceleration > **Accélération** est le taux de variation de la vitesse par rapport au temps : \( \vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \). C'est une grandeur vectorielle. Son unité SI est \( \text{m/s}^2 \). > Si l'accélération est constante, on parle de mouvement uniformément accéléré. **Exemple résolu** : Une voiture passe de 10 m/s à 30 m/s en 5 s. \( a = \frac{30 - 10}{5} = \frac{20}{5} = 4 \, \text{m/s}^2 \) dans le sens du mouvement **Exercice d'application** : Un objet ralentit de 25 m/s à 5 m/s en 4 s. Quelle est son accélération ? **Correction** : \( a = \frac{5 - 25}{4} = \frac{-20}{4} = -5 \, \text{m/s}^2 \) → décélération de \( 5 \, \text{m/s}^2 \) --- ## II. Motion graphs and their interpretations ### Position-time graph (s-t) > Sur un graphe position-temps, la pente (dérivée) représente la vitesse instantanée. > Une ligne droite indique une vitesse constante (mouvement rectiligne uniforme). > Une courbe indique une accélération non nulle. **Exemple résolu** : Un graphe s-t montre une ligne droite passant par (0,0) et (4 s, 20 m). Pente = \( \frac{20 - 0}{4 - 0} = 5 \, \text{m/s} \) → vitesse constante de 5 m/s **Exercice d'application** : Sur un graphe s-t, un objet est en repos de t=0 à t=2 s, puis se déplace uniformément de 0 à 12 m entre t=2 s et t=6 s. **Correction** : De t=0 à t=2 s : pente = 0 → vitesse = 0 De t=2 s à t=6 s : pente = \( \frac{12 - 0}{6 - 2} = \frac{12}{4} = 3 \, \text{m/s} \) → vitesse constante de 3 m/s ### Velocity-time graph (v-t) > Sur un graphe vitesse-temps, la pente représente l'accélération instantanée. > L'aire sous la courbe représente le déplacement pendant l'intervalle de temps considéré. > Une ligne horizontale indique une vitesse constante (accélération nulle). > Une ligne droite inclinée indique une accélération constante. **Exemple résolu** : Un graphe v-t montre une ligne droite de (0,0) à (5 s, 25 m/s). Pente = \( \frac{25 - 0}{5 - 0} = 5 \, \text{m/s}^2 \) → accélération constante de 5 m/s² Aire sous la courbe (triangle) = \( \frac{1}{2} \times 5 \times 25 = 62,5 \, \text{m} \) → déplacement = 62,5 m **Exercice d'application** : Un graphe v-t montre : - De t=0 à t=3 s : v = 10 m/s (constante) - De t=3 s à t=7 s : v diminue linéairement de 10 m/s à -2 m/s Calculer l'accélération entre t=3 s et t=7 s, et le déplacement total de t=0 à t=7 s. **Correction** : Accélération : \( a = \frac{-2 - 10}{7 - 3} = \frac{-12}{4} = -3 \, \text{m/s}^2 \) Déplacement : - t=0 à 3 s : aire = rectangle = \( 3 \times 10 = 30 \, \text{m} \) - t=3 à 7 s : aire = trapèze = \( \frac{(10 + (-2))}{2} \times 4 = \frac{8}{2} \times 4 = 4 \times 4 = 16 \, \text{m} \) Déplacement total = \( 30 + 16 = 46 \, \text{m} \) ### Acceleration-time graph (a-t) > Sur un graphe accélération-temps, l'aire sous la courbe représente la variation de vitesse (\( \Delta v \)) pendant l'intervalle de temps. > Une ligne horizontale indique une accélération constante. **Exemple résolu** : Un graphe a-t montre une ligne constante à \( a = 2 \, \text{m/s}^2 \) de t=0 à t=4 s. Variation de vitesse = aire = \( 2 \times 4 = 8 \, \text{m/s} \) Si la vitesse initiale est 5 m/s, alors vitesse finale = \( 5 + 8 = 13 \, \text{m/s} \) **Exercice d'application** : Un objet subit une accélération de \( -4 \, \text{m/s}^2 \) de t=0 à t=2 s, puis 0 de t=2 à t=5 s. Si sa vitesse initiale est 20 m/s, quelle est sa vitesse finale ? **Correction** : Variation de vitesse de t=0 à 2 s : \( (-4) \times 2 = -8 \, \text{m/s} \) Variation de vitesse de t=2 à 5 s : \( 0 \times 3 = 0 \) Variation totale = \( -8 \, \text{m/s} \) Vitesse finale = \( 20 + (-8) = 12 \, \text{m/s} \) --- ## III. Uniform motion: uniformly accelerated linear motion and its equations. Simple calculations > Les trois équations du mouvement uniformément accéléré (MUA) sont valables lorsque l'accélération \( \vec{a} \) est constante en module et en direction : > 1. \( v = u + at \) > 2. \( s = ut + \frac{1}{2}at^2 \) > 3. \( v^2 = u^2 + 2as \) > Où : > - \( u \) = vitesse initiale (m/s) > - \( v \) = vitesse finale (m/s) > - \( a \) = accélération constante (m/s²) > - \( t \) = temps (s) > - \( s \) = déplacement (m) > Toutes les grandeurs sont algébriques : signe selon la direction choisie comme positive. **Exemple résolu 1** : Une particule part du repos (\( u = 0 \)) et accélère uniformément à \( 2 \, \text{m/s}^2 \) pendant 5 s. Trouver sa vitesse finale et la distance parcourue. **Correction** : 1. \( v = u + at = 0 + 2 \times 5 = 10 \, \text{m/s} \) 2. \( s = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times 25 = 25 \, \text{m} \) Vérification avec équation 3 : \( v^2 = 0 + 2 \times 2 \times 25 = 100 \) → \( v = 10 \, \text{m/s} \) ✓ **Exemple résolu 2** : Une voiture freine de 20 m/s à l'arrêt en 4 s. Trouver l'accélération et la distance de freinage. **Correction** : 1. \( v = u + at \) → \( 0 = 20 + a \times 4 \) → \( a = -\frac{20}{4} = -5 \, \text{m/s}^2 \) 2. \( s = ut + \frac{1}{2}at^2 = 20 \times 4 + \frac{1}{2} \times (-5) \times 16 = 80 - 40 = 40 \, \text{m} \) Vérification : \( v^2 = u^2 + 2as \) → \( 0 = 400 + 2 \times (-5) \times s \) → \( 10s = 400 \) → \( s = 40 \, \text{m} \) ✓ **Exercice d'application 1** : Un objet est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 25 m/s. En négligeant la résistance de l'air, calculer : (a) La hauteur maximale atteinte (b) Le temps pour atteindre cette hauteur (c) Le temps total de vol jusqu'au retour au point de lancement **Correction** : On prend le haut comme direction positive → \( a = -g = -9,8 \, \text{m/s}^2 \) (a) Au sommet, \( v = 0 \) \( v^2 = u^2 + 2as \) → \( 0 = 25^2 + 2(-9,8)s \) → \( 19,6s = 625 \) → \( s = \frac{625}{19,6} \approx 31,9 \, \text{m} \) (b) \( v = u + at \) → \( 0 = 25 - 9,8t \) → \( t = \frac{25}{9,8} \approx 2,55 \, \text{s} \) (c) Temps de montée = temps de descente (symétrie) → temps total = \( 2 \times 2,55 = 5,10 \, \text{s} \) Vérification : \( s = ut + \frac{1}{2}at^2 \) pour tout le trajet : \( s = 0 \) (retour au départ) \( 0 = 25t - \frac{1}{2} \times 9,8 t^2 \) → \( t(25 - 4,9t) = 0 \) → \( t=0 \) ou \( t = \frac{25}{4,9} \approx 5,10 \, \text{s} \) ✓ **Exercice d'application 2** : Un objet tombe librement d'une hauteur de 80 m. Calculer : (a) Le temps de chute (b) La vitesse juste avant l'impact **Correction** : On prend le bas comme direction positive → \( u = 0 \), \( a = g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \), \( s = 80 \, \text{m} \) (a) \( s = ut + \frac{1}{2}at^2 \) → \( 80 = 0 + \frac{1}{2} \times 9,8 \times t^2 \) → \( 4,9t^2 = 80 \) → \( t^2 = \frac{80}{4,9} \approx 16,33 \) → \( t \approx \sqrt{16,33} \approx 4,04 \, \text{s} \) (b) \( v^2 = u^2 + 2as \) → \( v^2 = 0 + 2 \times 9,8 \times 80 = 1568 \) → \( v = \sqrt{1568} \approx 39,6 \, \text{m/s} \) Vérification : \( v = u + at = 0 + 9,8 \times 4,04 \approx 39,6 \, \text{m/s} \) ✓ --- ## IV. Free fall and gravity and Experiment to determine g, by free fall > **Chute libre** est le mouvement d'un objet sous l'influence exclusive de la gravité (négligeant la résistance de l'air). Près de la surface terrestre, l'accélération due à la gravité \( g \) est approximativement constante et dirigée vers le bas. Sa valeur moyenne est \( g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \). > Dans le vide, tous les corps tombent avec la même accélération \( g \), indépendamment de leur masse, de leur forme ou de leur composition (principe d'équivalence). **Exemple résolu** : Sur la Lune, \( g \approx 1,6 \, \text{m/s}^2 \). Un objet tombe librement d'une hauteur de 5,0 m. Quel est le temps de chute ? **Correction** : \( s = \frac{1}{2}gt^2 \) → \( 5,0 = \frac{1}{2} \times 1,6 \times t^2 \) → \( 0,8t^2 = 5,0 \) → \( t^2 = 6,25 \) → \( t = 2,5 \, \text{s} \) **Expérience pour déterminer g par chute libre** : On mesure le temps \( t \) qu'un objet met pour tomber une distance connue \( h \) depuis le repos. En utilisant \( h = \frac{1}{2}gt^2 \), on obtient : $$ g = \frac{2h}{t^2} $$ Pour améliorer la précision : - Utiliser une hauteur suffisamment grande (ex. 2,0 m ou plus) pour réduire l'erreur relative sur \( t \). - Mesurer \( t \) avec un chronomètre électronique déclenché par la libération et arrêté par l'impact (porte électromagnétique + plaque conductrice ou faisceau laser). - Répéter l'expérience plusieurs fois et prendre la moyenne des valeurs de \( t \). - Tracer un graphe de \( h \) en fonction de \( t^2 \) : la pente est \( \frac{g}{2} \), donc \( g = 2 \times \text{pente} \). Cette méthode minimise l'effet des erreurs systématiques. **Exemple résolu d'expérience** : Dans une expérience, on laisse tomber une bille d'acier depuis différentes hauteurs : | h (m) | t (s) | t² (s²) | |-------|-------|---------| | 0,50 | 0,32 | 0,1024 | | 1,00 | 0,45 | 0,2025 | | 1,50 | 0,55 | 0,3025 | | 2,00 | 0,64 | 0,4096 | On trace h vs t². La pente moyenne du meilleur droit est calculée : En utilisant les deux points extrêmes : Pente = \( \frac{2,00 - 0,50}{0,4096 - 0,1024} = \frac{1,50}{0,3072} \approx 4,88 \, \text{m/s}^2 \) Puis \( g = 2 \times \text{pente} = 2 \times 4,88 = 9,76 \, \text{m/s}^2 \) Valeur très proche de 9,8 m/s² → expérimentation valide. **Exercice d'application** : Une expérience de chute libre donne les mesures suivantes : hauteur = 1,80 m, temps moyen = 0,61 s. Calculer g. **Correction** : \( g = \frac{2h}{t^2} = \frac{2 \times 1,80}{(0,61)^2} = \frac{3,60}{0,3721} \approx 9,68 \, \text{m/s}^2 \) Erreur relative par rapport à 9,8 : \( \frac{|9,68 - 9,8|}{9,8} \times 100 \approx 1,2\% \) → acceptable pour une expérience de lycée. --- ## Synthèse du chapitre - **Distance** : longueur totale du chemin (scalaire, ≥ 0). - **Déplacement** : variation de position (vectoriel, peut être nul). - **Vitesse** : taux de variation de la distance (scalaire). - **Vitesse moyenne** : taux de variation du déplacement (vectoriel). - **Quantité de mouvement** : \( \vec{p} = m\vec{v} \), vectorielle, unité kg·m/s. - **Accélération** : taux de variation de la vitesse (vectoriel), unité m/s². - **Mouvement uniformément accéléré** : accélération constante → trois équations clés : \( v = u + at \), \( s = ut + \frac{1}{2}at^2 \), \( v^2 = u^2 + 2as \). - **Graphes du mouvement** : - s-t : pente = vitesse - v-t : pente = accélération, aire = déplacement - a-t : aire = variation de vitesse - **Chute libre** : mouvement sous gravité seule, \( g \approx 9,8 \, \text{m/s}^2 \) vers le bas. - **Expérience de g** : \( g = \frac{2h}{t^2} \), améliorée par tracé h vs t² (pente = g/2). - Toutes les grandeurs sont algébriques : choisir une direction positive et respecter les signes. --- ## Glossaire - **Distance** : Longueur totale du parcours effectué, grandeur scalaire. - **Déplacement** : Changement de position du point initial au point final, grandeur vectorielle. - **Vitesse** : Taux de variation de la distance par rapport au temps, grandeur scalaire. - **Vitesse moyenne** : Taux de variation du déplacement par rapport au temps, grandeur vectorielle. - **Accélération** : Taux de variation de la vitesse par rapport au temps, grandeur vectorielle. - **Quantité de mouvement** : Produit de la masse par la vitesse instantanée, \( \vec{p} = m\vec{v} \). - **Chute libre** : Mouvement sous l'influence exclusive de la gravité, résistance de l'air négligée. - **Accélération due à la gravité (g)** : Accélération subie par un corps en chute libre près de la Terre, \( g \approx 9,8 \, \text{m/s}^2 \). - **Mouvement uniformément accéléré (MUA)** : Mouvement rectiligne avec accélération constante en module et en direction. - **Graphe position-temps (s-t)** : Représentation de la position en fonction du temps, pente = vitesse. - **Graphe vitesse-temps (v-t)** : Représentation de la vitesse en fonction du temps, pente = accélération, aire = déplacement. - **Graphe accélération-temps (a-t)** : Représentation de l'accélération en fonction du temps, aire = variation de vitesse.