Physical quantities

# Physical quantities ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Distinguer clairement les grandeurs scalaires des grandeurs vectorielles. - Identifier les unités SI des grandeurs physiques courantes. - Effectuer des opérations de base sur les vecteurs (addition, soustraction, multiplication par un scalaire). - Représenter graphiquement et analytiquement des vecteurs dans un plan. - Résoudre des problèmes physiques impliquant des grandeurs scalaires et vectorielles. - Utiliser correctement la notation vectorielle et les conventions de signe. **Prérequis** : Maîtrise des notions de Form 3 sur : - Les grandeurs physiques et leurs unités (longueur, masse, temps, température, etc.). - Le système international d'unités (SI). - Les notions de base de la géométrie euclidienne (droites, angles, coordonnées cartésiennes). - La manipulation des expressions algébriques simples. --- ## Introduction En physique, pour décrire le monde qui nous entoure, nous devons mesurer et quantifier des phénomènes. Ces quantifications prennent la forme de **grandeurs physiques**. Certaines de ces grandeurs, comme la masse ou la température, sont complètement décrites par une valeur numérique et une unité : ce sont des **grandeurs scalaires**. D'autres, comme le déplacement, la vitesse ou la force, nécessitent, en plus de leur intensité (ou module), une indication de direction et de sens pour être entièrement caractérisées : ce sont des **grandeurs vectorielles**. La distinction entre ces deux types de grandeurs est fondamentale, car elle détermine les règles mathématiques auxquelles elles obéissent. L'oubli de la dimension vectorielle d'une grandeur conduit fréquemment à des erreurs conceptuelles et de calcul. Ce chapitre revisite d'abord les bases vues en Form 3 concernant les grandeurs physiques en général, puis introduit de manière rigoureuse le concept de vecteur, essentiel pour l'étude du mouvement, des forces et de nombreux autres phénomènes en physique. --- ## I. Physical quantities: Review of Form 3 ### A. Definition and classification of physical quantities Une **grandeur physique** est toute propriété d'un phénomène, d'un corps ou d'une substance qui peut être mesurée et exprimée par un nombre et une unité. Exemples : longueur, masse, temps, température, courant électrique, intensité lumineuse, quantité de matière. > **À retenir** : Une grandeur physique se caractérise par sa valeur numérique, son unité et, le cas échéant, sa direction (pour les vecteurs). Les grandeurs physiques peuvent être classées de différentes manières. Une classification fondamentale repose sur leur comportement par rapport aux changements de système de coordonnées : ce sont les **grandeurs scalaires** et les **grandeurs vectorielles**. Une autre classification utile distingue les **grandeurs de base** (ou fondamentales) des **grandeurs dérivées**. Dans le Système International d'Unités (SI), il y a sept grandeurs de base : le mètre (m) pour la longueur, le kilogramme (kg) pour la masse, la seconde (s) pour le temps, l'ampère (A) pour le courant électrique, le kelvin (K) pour la température, la mole (mol) pour la quantité de matière et le candela (cd) pour l'intensité lumineuse. Toutes les autres grandeurs physiques (vitesse, accélération, force, énergie, pression, etc.) sont des grandeurs dérivées, obtenues par combinaison algébrique des grandeurs de base. ### B. Units and dimensions L'unité est l'étalon de référence choisi pour mesurer une grandeur physique. Dans le SI, les unités sont liées entre elles de façon cohérente : par exemple, la vitesse, grandeur dérivée, s'exprime en mètres par seconde (m/s), qui provient directement de la définition de la vitesse comme déplacement par unité de temps (m/s). L'utilisation cohérente du SI évite les erreurs de conversion. > **À retenir** : Toujours vérifier l'homogénéité des unités dans une équation physique (principe de dimensionalité). La **dimension** d'une grandeur physique exprime sa dépendance aux grandeurs de base. Elle se note entre crochets [ ]. Par exemple : - [Longueur] = [L] - [Masse] = [M] - [Temps] = [T] - [Vitesse] = [L][T]⁻¹ - [Accélération] = [L][T]⁻² - [Force] = [M][L][T]⁻² (puisque F = ma) Vérifier la dimension d'une équation est un puissant outil pour détecter les erreurs de formulation. Si les dimensions des deux côtés d'une équation ne sont pas identiques, l'équation est forcément fausse. ### C. Measurement and significant figures La mesure d'une grandeur physique implique toujours une incertitude, liée à la précision de l'instrument utilisé. Le nombre de **chiffres significatifs** dans une mesure reflète cette précision. Lors de calculs, le résultat ne peut pas prétendre à une précision supérieure à celle de la mesure la moins précise utilisée. > **À retenir** : En multiplication ou division, le résultat doit avoir autant de chiffres significatifs que le facteur ayant le moins de chiffres significatifs. En addition ou soustraction, le résultat doit avoir autant de décimales que le terme ayant le moins de décimales. **Exemple résolu 1** : Un bloc a une masse mesurée de 2,5 kg (2 chiffres significatifs) et un volume de 1,23 L (3 chiffres significatifs). Quelle est sa densité ? - Densité ρ = m/V = 2,5 kg / 1,23 L - 2,5 a 2 chiffres significatifs, 1,23 en a 3 → le résultat doit en avoir 2. - 2,5 / 1,23 ≈ 2,0325... → arrondi à 2 chiffres significatifs : **2,0 kg/L** (ou équivalentement 2,0 g/cm³ après conversion, mais on garde l'unité utilisée dans le calcul pour la précision). **Exercice d'application 1** : Un coureur effectue un 100 m mesuré à 9,58 s (mesure considérée comme exacte pour cette exercise, mais on regarde les chiffres donnés). Le temps est mesuré à 9,58 s (3 chiffres significatifs). Quelle est sa vitesse moyenne ? - v = d/t = 100 m / 9,58 s - 100 a ambiguïté : si considéré comme mesure exacte (comme une distance définie), on prend la précision du temps. Dans ce contexte, on considère 100 comme ayant au moins 3 chiffres significatifs pour correspondre à la précision du temps (sinon, si 100 n'avait qu'1 chiffre significatif, la réponse serait limitée à 1 chiffre, ce qui est irréaliste ici). En physique de niveau secondaire, lorsqu'une valeur comme 100 m est donnée comme distance d'une course standard, on l'interprète généralement comme ayant la précision implicite du contexte ou on se fie au nombre donné avec le plus de certitude. Ici, 9,58 a 3 chiffres significatifs, donc on vise 3 chiffres pour la réponse. - 100 / 9,58 ≈ 10,4384... → arrondi à 3 chiffres significatifs : **10,4 m/s**. **Corrigé** : v = 100 m / 9,58 s ≈ 10,4 m/s (3 chiffres significatifs). --- ## II. Vectors and scalars ### A. Scalars: Definition and properties Un **scalaire** est une grandeur physique qui est complètement spécifiée par sa valeur numérique (son module ou sa magnitude) et son unité. Il n'a pas de direction associée. Les opérations sur les scalaires suivent les règles de l'algèbre ordinaire. > **À retenir** : Un scalaire possède une magnitude et une unité, mais pas de direction. **Exemples** : Masse (5 kg), température (25 °C), temps (10 s), énergie (50 J), travail, puissance, densité, pression (dans un fluide au repos), charge électrique, potentiel électrique. L'addition ou la soustraction de scalaires se fait simplement en ajoutant ou soustrayant leurs valeurs numériques (en veillant à ce qu'ils soient exprimés dans la même unité). Par exemple, 3 kg + 5 kg = 8 kg. 20 °C - 5 °C = 15 °C. ### B. Vectors: Definition and properties Un **vecteur** est une grandeur physique qui nécessite, pour être complètement spécifiée, non seulement sa magnitude (valeur numérique et unité) mais aussi sa direction et son sens. Le déplacement, la vitesse, l'accélération, la force, le champ électrique, le moment linéaire (quantité de mouvement) sont des vecteurs. > **À retenir** : Un vecteur possède une magnitude, une unité, une direction et un sens. La magnitude d'un vecteur est toujours une quantité positive ou nulle (elle est un scalaire). Elle représente l'intensité du vecteur. Le vecteur nul a une magnitude nulle et aucune direction définie (ou toute direction est possible par convention). ### C. Representation of vectors Un vecteur est généralement représenté par une **flèche**. La longueur de la flèche, choisie selon une échelle donnée, est proportionnelle à la magnitude du vecteur. La direction de la flèche indique la direction du vecteur. La pointe de la flèche indique le sens du vecteur. En notation écrite, on distingue souvent : - Un vecteur par une lettre en gras : **v**, **F**, **r**. - Ou par une lettre surmontée d'une flèche : $\vec{v}$, $\vec{F}$, $\vec{r}$. - La magnitude (ou module) du vecteur $\vec{v}$ se note $v$ ou $|\vec{v}|$ (on évite le caractère | comme demandé, donc on utilisera principalement $v$ pour la magnitude, en comprenant qu'il s'agit de la valeur positive du module). Dans un système de coordonnées cartésiennes 2D (plan xy), un vecteur $\vec{A}$ peut être décomposé en ses composantes le long des axes x et y : $$\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}$$ où $\hat{i}$ et $\hat{j}$ sont les vecteurs unitaires respectivement le long des axes x et positif y (direction standard : x vers la droite, y vers le haut). $A_x$ et $A_y$ sont des scalaires (ils peuvent être positifs, négatifs ou nuls) représentant les composantes du vecteur $\vec{A}$ sur chaque axe. La magnitude du vecteur $\vec{A}$ est liée à ses composantes par le théorème de Pythagore : $$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$$ L'angle $\theta$ que le vecteur $\vec{A}$ fait avec l'axe x positif (sens antihoraire standard) est donné par : $$\tan \theta = \frac{A_y}{A_x} \quad \text{ou} \quad \theta = \arctan\left(\frac{A_y}{A_x}\right)$$ (en faisant attention au quadrant dans lequel se trouve le vecteur pour déterminer l'angle correct entre 0° et 360°). > **À retenir** : Dans un repère cartésien 2D, un vecteur $\vec{A}$ se décompose en $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}$, avec $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$ et $\tan \theta = A_y/A_x$. ### D. Vector operations #### 1. Addition and subtraction of vectors L'addition de deux vecteurs $\vec{A}$ et $\vec{B}$ donne un vecteur résultant $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$. Cette addition n'est pas une simple addition algébrique des magnitudes ; elle tient compte des directions. Deux méthodes graphiques principales existent : la méthode du parallélogramme et la méthode du polygone (ou tête-à-queue). *Méthode du parallélogramme* : On place l'origine des deux vecteurs au même point. On complète le parallélogramme ayant ces deux vecteurs comme côtés adjacents. La diagonale du parallélogramme partant de l'origine commune représente la somme $\vec{A} + \vec{B}$. *Méthode tête-à-queue* : On place l'origine du deuxième vecteur à l'extrémité (pointe) du premier vecteur. Le vecteur allant de l'origine du premier vecteur à l'extrémité du deuxième vecteur représente la somme. L'addition de vecteurs est commutative : $\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}$ et associative : $(\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C})$. La soustraction $\vec{A} - \vec{B}$ est définie comme l'addition de $\vec{A}$ et de l'opposé de $\vec{B}$ : $\vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})$. Le vecteur $-\vec{B}$ a la même magnitude que $\vec{B}$ mais la direction opposée (sens inversé). > **À retenir** : Pour soustraire un vecteur, on ajoute son opposé (même magnitude, direction opposée). L'addition et la soustraction sont particulièrement simples lorsqu'on travaille avec les composantes. Si $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}$ et $\vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j}$, alors : $$\vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x)\hat{i} + (A_y + B_y)\hat{j}$$ $$\vec{A} - \vec{B} = (A_x - B_x)\hat{i} + (A_y - B_y)\hat{j}$$ **Exemple résolu 2** : Un objet subit un déplacement $\vec{d_1} = 4,0\,\text{m}\,\hat{i}$ (4,0 m vers l'est) suivi d'un déplacement $\vec{d_2} = 3,0\,\text{m}\,\hat{j}$ (3,0 m vers le nord). Trouver le déplacement résultant $\vec{d_r}$ et sa magnitude. - En composantes : $\vec{d_1} = 4,0\hat{i} + 0\hat{j}$ ; $\vec{d_2} = 0\hat{i} + 3,0\hat{j}$ - $\vec{d_r} = \vec{d_1} + \vec{d_2} = (4,0 + 0)\hat{i} + (0 + 3,0)\hat{j} = 4,0\hat{i} + 3,0\hat{j}$ m - Magnitude : $d_r = \sqrt{(4,0)^2 + (3,0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5,0$ m - Direction : $\tan \theta = d_{ry}/d_{rx} = 3,0/4,0 = 0,75$ → $\theta = \arctan(0,75) ≈ 36,9°$ par rapport à l'axe x positif (est), donc 36,9° au nord de l'est. > **À retenir** : Le déplacement résultant est de 5,0 m à un angle de 36,9° au nord de l'est. **Exercice d'application 2** : Une force $\vec{F_1} = 5,0\,\text{N}\,\hat{i}$ agit sur une particule, suivie d'une force $\vec{F_2} = -2,0\,\text{N}\,\hat{i} + 4,0\,\text{N}\,\hat{j}$. Trouver la force nette $\vec{F_{net}}$ et sa magnitude. - $\vec{F_1} = 5,0\hat{i} + 0\hat{j}$ N - $\vec{F_2} = -2,0\hat{i} + 4,0\hat{j}$ N - $\vec{F_{net}} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = (5,0 - 2,0)\hat{i} + (0 + 4,0)\hat{j} = 3,0\hat{i} + 4,0\hat{j}$ N - Magnitude : $F_{net} = \sqrt{(3,0)^2 + (4,0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5,0$ N **Corrigé** : $\vec{F_{net}} = 3,0\hat{i} + 4,0\hat{j}$ N, $F_{net} = 5,0$ N. #### 2. Multiplication of a vector by a scalar Multiplier un vecteur $\vec{A}$ par un scalaire $k$ produit un nouveau vecteur $\vec{B} = k\vec{A}$. - La magnitude de $\vec{B}$ est $|k|$ fois la magnitude de $\vec{A}$ : $B = |k| A$. - La direction de $\vec{B}$ est la même que celle de $\vec{A}$ si $k > 0$. - La direction de $\vec{B}$ est opposée à celle de $\vec{A}$ si $k < 0$. - Si $k = 0$, alors $\vec{B} = \vec{0}$ (vecteur nul). En composantes : si $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}$, alors $k\vec{A} = (k A_x)\hat{i} + (k A_y)\hat{j}$. > **À retenir** : Multiplier un vecteur par un scalaire positif change sa magnitude mais pas sa direction ; par un scalaire négatif, cela inverse sa direction et change sa magnitude. **Exemple résolu 3** : Un vecteur vitesse $\vec{v} = 2,0\,\text{m/s}\,\hat{i} - 1,0\,\text{m/s}\,\hat{j}$ est multiplié par le scalaire $k = -3,0$. Trouver le vecteur résultant $\vec{v'}$ et sa magnitude. - $\vec{v'} = k\vec{v} = -3,0 \times (2,0\hat{i} - 1,0\hat{j}) = (-3,0 \times 2,0)\hat{i} + (-3,0 \times -1,0)\hat{j} = -6,0\hat{i} + 3,0\hat{j}$ m/s - Magnitude : $v' = \sqrt{(-6,0)^2 + (3,0)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} ≈ 6,7$ m/s (ou garder $\sqrt{45}$ m/s, mais on arrondit généralement : 6,7 m/s avec 2 chiffres significatifs vu les données d'entrée : 2,0, 1,0, 3,0 ont tous 2 chiffres significatifs). > **À retenir** : Le vecteur résultant est $-6,0\hat{i} + 3,0\hat{j}$ m/s avec une magnitude d'environ 6,7 m/s. **Exercice d'application 3** : Un vecteur accélération $\vec{a} = 1,5\,\text{m/s}^2\,\hat{j}$ est multiplié par $k = 4,0$. Quel est le vecteur résultant $\vec{a'}$ ? - $\vec{a'} = 4,0 \times (0\hat{i} + 1,5\hat{j}) = 0\hat{i} + 6,0\hat{j}$ m/s² **Corrigé** : $\vec{a'} = 6,0\hat{j}$ m/s². ### C. Unit vectors Un **vecteur unitaire** est un vecteur dont la magnitude est exactement 1 (sans unité, car c'est un rapport de longueurs). Il sert uniquement à indiquer une direction. Dans un repère cartésien, les vecteurs unitaires le long des axes sont notés $\hat{i}$ (x), $\hat{j}$ (y), et dans l'espace 3D, $\hat{k}$ (z). Tout vecteur $\vec{A}$ peut s'exprimer comme le produit de sa magnitude $A$ et d'un vecteur unitaire $\hat{A}$ dans sa direction : $\vec{A} = A \hat{A}$, où $\hat{A} = \vec{A}/A$ (pour $A \neq 0$). > **À retenir** : Le vecteur unitaire dans la direction d'un vecteur $\vec{A}$ se obtient par $\hat{A} = \vec{A}/A$. **Exemple résolu 4** : Trouver le vecteur unitaire dans la direction du vecteur $\vec{F} = 6,0\,\text{N}\,\hat{i} + 8,0\,\text{N}\,\hat{j}$. - Magnitude : $F = \sqrt{(6,0)^2 + (8,0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10,0$ N - Vecteur unitaire : $\hat{F} = \vec{F}/F = (6,0\hat{i} + 8,0\hat{j}) / 10,0 = 0,60\hat{i} + 0,80\hat{j}$ **Corrigé** : $\hat{F} = 0,60\hat{i} + 0,80\hat{j}$ (sans unité, magnitude = 1). **Exercice d'application 4** : Quel est le vecteur unitaire opposé à la direction de $\vec{v} = -3,0\,\text{m/s}\,\hat{i} + 4,0\,\text{m/s}\,\hat{j}$ ? - D'abord, magnitude de $\vec{v}$ : $v = \sqrt{(-3,0)^2 + (4,0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5,0$ m/s - Vecteur unitaire dans la direction de $\vec{v}$ : $\hat{v} = \vec{v}/v = (-3,0\hat{i} + 4,0\hat{j})/5,0 = -0,60\hat{i} + 0,80\hat{j}$ - Vecteur unitaire opposé : $-\hat{v} = 0,60\hat{i} - 0,80\hat{j}$ **Corrigé** : $0,60\hat{i} - 0,80\hat{j}$. --- ## Synthèse du chapitre - Les grandeurs physiques sont soit scalaires (magnitude + unité seulement), soit vectorielles (magnitude + unité + direction + sens). - Les scalaires s'ajoutent/soustrayent algébriquement ; les vecteurs nécessitent des méthodes tenant compte de la direction (parallélogramme, tête-à-queue, ou composantes). - Dans un repère cartésien 2D, un vecteur $\vec{A}$ se décompose en $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}$. - La magnitude d'un vecteur est $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$ ; son angle par rapport à l'axe x est donné par $\tan \theta = A_y/A_x$. - L'addition de vecteurs en composantes : $\vec{A} + \vec{B} = (A_x+B_x)\hat{i} + (A_y+B_y)\hat{j}$. - La soustraction : $\vec{A} - \vec{B} = (A_x-B_x)\hat{i} + (A_y-B_y)\hat{j}$. - Multiplication par un scalaire $k$ : $k\vec{A} = (kA_x)\hat{i} + (kA_y)\hat{j}$ ; magnitude multipliée par $|k|$, direction inversée si $k<0$. - Le vecteur unitaire dans la direction de $\vec{A}$ est $\hat{A} = \vec{A}/A$. - Toujours vérifier l'homogénéité des unités et utiliser les chiffres significatifs appropriés dans les calculs. ## Glossaire - **Composante** : La projection d'un vecteur sur un axe donné d'un système de coordonnées (ex. : $A_x$, $A_y$). - **Direction** : La ligne le long de laquelle un vecteur agit (ex. : est, nord, 30° par rapport à l'axe x). - **Grandeur dérivée** : Une grandeur physique obtenue par combinaison algébrique des grandeurs de base du SI (ex. : vitesse, accélération, force). - **Grandeur scalaire** : Une grandeur physique complètement spécifiée par sa magnitude et son unité (ex. : masse, température, temps). - **Grandeur vectorielle** : Une grandeur physique nécessitant magnitude, unité, direction et sens pour être complètement spécifiée (ex. : déplacement, vitesse, force). - **Magnitude** : La valeur numérique positive (ou nulle) d'un vecteur, représentant son intensité (ex. : 5,0 m pour un déplacement). - **Sens** : Le long de la ligne d'action, le côté vers lequel le vecteur pointe (indiqué par la pointe de la flèche). - **Vecteur nul** : Un vecteur de magnitude nulle ; sa direction est indéfinie ou considérée comme quelconque. - **Vecteur opposé** : Un vecteur ayant la même magnitude qu'un vecteur donné mais la direction exactement opposée (ex. : $-\vec{A}$). - **Vecteur unitaire** : Un vecteur de magnitude exactement 1, utilisé uniquement pour spécifier une direction (ex. : $\hat{i}$, $\hat{j}$).