Electromagnetic Induction

# Electromagnetic Induction ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Définir l'induction électromagnétique et expliquer son principe fondamental. - Énoncer et appliquer la loi de Faraday pour calculer la force électromotrice induite dans un circuit. - Énoncer et appliquer la loi de Lenz pour déterminer le sens du courant induit. - Relier la loi de Lenz au principe de conservation de l'énergie. - Résoudre des problèmes numériques impliquant des variations de flux magnétique, des mouvements de conducteurs dans des champs magnétiques, et des bobines. - Interpréter graphiquement la relation entre flux magnétique et force électromotrice induite. **Prérequis** : L'élève doit maîtriser : - Les concepts de champ magnétique, de flux magnétique ($\Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A}$), et de force de Lorentz sur une charge en mouvement. - Les lois de Kirchhoff (lois des nœuds et des mailles). - Le concept de force électromotrice (fém) et son unité (le volt). - Les notions de dérivée temporelle et d'intégrale (niveau Form Five). - Les unités du Système International : tesla (T), weber (Wb), volt (V), ampère (A), seconde (s). --- ## I. Introduction à l'induction électromagnétique L'induction électromagnétique est le phénomène par lequel une variation du flux magnétique à travers un circuit fermé induit une force électromotrice (fém) dans ce circuit, pouvant produire un courant électrique si le circuit est conducteur. Ce phénomène a été découvert indépendamment par Michael Faraday et Joseph Henry en 1831. Il constitue la base du fonctionnement des générateurs électriques, des transformateurs, et de nombreux capteurs. Le flux magnétique $\Phi_B$ à travers une surface $S$ est défini comme : $$ \Phi_B = \int_S \vec{B} \cdot d\vec{A} $$ où $\vec{B}$ est le vecteur champ magnétique et $d\vec{A}$ est l'élément de surface vectoriel (orienté selon la normale à la surface). Pour un champ uniforme et une surface plane perpendiculaire à $\vec{B}$, cela se simplifie en : $$ \Phi_B = B A \cos\theta $$ où $\theta$ est l'angle entre $\vec{B}$ et la normale à la surface. > **À retenir** : L'induction électromagnétique se produit uniquement lorsque le flux magnétique à travers un circuit varie dans le temps. Un flux constant, même élevé, ne produit aucune fém induite. ### Exemple résolu 1 : Calcul de flux magnétique Une bobine carrée de côté 0,1 m est placée dans un champ magnétique uniforme de 0,5 T dirigé perpendiculairement à son plan. Calculer le flux magnétique à travers la bobine. **Solution** : - Surface $A = (0,1)^2 = 0,01 \, \text{m}^2$ - $\theta = 0^\circ$ → $\cos\theta = 1$ - $\Phi_B = B A = 0,5 \times 0,01 = 0,005 \, \text{Wb}$ > **Réponse** : $\Phi_B = 5 \times 10^{-3} \, \text{Wb}$ ### Exercice d'application 1 : Flux magnétique variable Une boucle circulaire de rayon 0,02 m est placée dans un champ magnétique de 0,3 T faisant un angle de 60° avec la normale à la boucle. Calculer le flux magnétique. **Solution** : - $A = \pi r^2 = \pi (0,02)^2 = 4\pi \times 10^{-4} \, \text{m}^2$ - $\cos 60^\circ = 0,5$ - $\Phi_B = B A \cos\theta = 0,3 \times 4\pi \times 10^{-4} \times 0,5 = 1,88 \times 10^{-4} \, \text{Wb}$ > **Réponse** : $\Phi_B \approx 1,88 \times 10^{-4} \, \text{Wb}$ --- ## II. Loi de Faraday La loi de Faraday quantifie la fém induite dans un circuit fermé en raison de la variation du flux magnétique à travers ce circuit. Elle stipule que la valeur absolue de la fém induite $\mathcal{E}$ est égale au taux de variation temporel du flux magnétique $\Phi_B$ à travers le circuit, multiplié par le nombre de spires $N$ si le circuit est une bobine. $$ \mathcal{E} = -N \frac{d\Phi_B}{dt} $$ Le signe moins provient de la loi de Lenz (voir prochaine section) et indique que la fém induite s'oppose à la variation du flux qui l'a produite. Pour des calculs de magnitude, on utilise souvent : $$ |\mathcal{E}| = N \left| \frac{d\Phi_B}{dt} \right| $$ > **À retenir** : La loi de Faraday relie directement la fém induite à la dérivée temporelle du flux magnétique. Plus le flux varie rapidement, plus la fém induite est grande. ### Exemple résolu 2 : Loi de Faraday avec bobine Une bobine de 100 spires est placée dans un champ magnétique uniforme perpendiculaire à son plan. Le champ varie de 0,2 T à 0,8 T en 0,5 s. La surface de chaque spire est 0,02 m². Calculer la fém induite moyenne. **Solution** : - Flux initial : $\Phi_{B,i} = B_i A = 0,2 \times 0,02 = 0,004 \, \text{Wb}$ - Flux final : $\Phi_{B,f} = B_f A = 0,8 \times 0,02 = 0,016 \, \text{Wb}$ - Variation du flux : $\Delta \Phi_B = 0,016 - 0,004 = 0,012 \, \text{Wb}$ - Temps : $\Delta t = 0,5 \, \text{s}$ - Taux de variation : $\frac{\Delta \Phi_B}{\Delta t} = \frac{0,012}{0,5} = 0,024 \, \text{Wb/s}$ - fém induite : $|\mathcal{E}| = N \left| \frac{\Delta \Phi_B}{\Delta t} \right| = 100 \times 0,024 = 2,4 \, \text{V}$ > **Réponse** : $\mathcal{E} = 2,4 \, \text{V}$ (valeur moyenne) ### Exemple résolu 3 : Mouvement d'un conducteur dans un champ magnétique Une barre conductrice de longueur $l = 0,5 \, \text{m}$ glisse sans frottement sur deux rails parallèles situés dans un champ magnétique uniforme $B = 0,4 \, \text{T}$ dirigé perpendiculairement au plan des rails. La barre se déplace à vitesse constante $v = 3 \, \text{m/s}$ perpendiculairement à sa longueur et au champ. Calculer la fém induite entre les extrémités de la barre. **Solution** : Le flux à travers le boucle formée par la barre et les rails varie car l'aire change. - Taux de variation d'aire : $\frac{dA}{dt} = l v$ - $\frac{d\Phi_B}{dt} = B \frac{dA}{dt} = B l v$ - Donc : $\mathcal{E} = B l v = 0,4 \times 0,5 \times 3 = 0,6 \, \text{V}$ > **Réponse** : $\mathcal{E} = 0,6 \, \text{V}$ ### Exercice d'application 2 : Loi de Faraday avec variation de champ Une bobine de 50 spires de surface 0,01 m² est soumise à un champ magnétique qui varie selon $B(t) = 0,1 + 0,02t$ (en T, avec $t$ en secondes). Calculer la fém induite à $t = 3 \, \text{s}$. **Solution** : - $\Phi_B(t) = N B(t) A = 50 \times (0,1 + 0,02t) \times 0,01 = 0,05 + 0,01t \, \text{Wb}$ - $\frac{d\Phi_B}{dt} = 0,01 \, \text{Wb/s}$ - $\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi_B}{dt}$ → mais ici $N$ est déjà inclus dans $\Phi_B$ ? Attention : dans cette expression, $\Phi_B$ est le flux par spire ? Non : on a défini $\Phi_B(t)$ comme flux total ? Clarifions. En fait, mieux : flux par spire : $\phi_B(t) = B(t) A = (0,1 + 0,02t) \times 0,01 = 0,001 + 0,0002t \, \text{Wb}$ Flux total pour $N$ spires : $\Phi_{B,\text{total}} = N \phi_B(t) = 50 \times (0,001 + 0,0002t) = 0,05 + 0,01t \, \text{Wb}$ Alors : $\frac{d\Phi_{B,\text{total}}}{dt} = 0,01 \, \text{Wb/s}$ Donc : $|\mathcal{E}| = \left| \frac{d\Phi_{B,\text{total}}}{dt} \right| = 0,01 \, \text{V}$ ? Non ! Attends : la loi de Faraday est $\mathcal{E} = - \frac{d\Phi_{B,\text{total}}}{dt}$ où $\Phi_{B,\text{total}}$ est le flux total lié à la bobine (c'est-à-dire $N$ fois le flux par spire). Donc ici, $\Phi_{B,\text{total}} = N B A$, donc : $\frac{d\Phi_{B,\text{total}}}{dt} = N A \frac{dB}{dt} = 50 \times 0,01 \times 0,02 = 0,01 \, \text{Wb/s}$ Donc $|\mathcal{E}| = 0,01 \, \text{V}$ ? Cela semble faible. Vérifions : $\frac{dB}{dt} = 0,02 \, \text{T/s}$ $N A = 50 \times 0,01 = 0,5 \, \text{m}^2$ $\frac{d\Phi}{dt} = 0,5 \times 0,02 = 0,01 \, \text{Wb/s}$ → oui, donc $\mathcal{E} = 0,01 \, \text{V}$ > **Réponse** : $\mathcal{E} = 0,01 \, \text{V}$ (ou 10 mV) ### Exercice d'application 3 : Mouvement et changement d'orientation Une boucle carrée de côté 0,2 m tourne dans un champ magnétique uniforme de 0,6 T de sorte que l'angle entre le champ et la normale à la boucle varie selon $\theta(t) = \omega t$ avec $\omega = 5 \, \text{rad/s}$. La boucle a 10 spires. Calculer la fém induite à $t = 0,2 \, \text{s}$. **Solution** : - Flux par spire : $\phi_B = B A \cos\theta = 0,6 \times (0,2)^2 \cos(\omega t) = 0,6 \times 0,04 \cos(5t) = 0,024 \cos(5t) \, \text{Wb}$ - Flux total : $\Phi_{B,\text{total}} = N \phi_B = 10 \times 0,024 \cos(5t) = 0,24 \cos(5t) \, \text{Wb}$ - $\frac{d\Phi_{B,\text{total}}}{dt} = 0,24 \times (-\sin(5t)) \times 5 = -1,2 \sin(5t) \, \text{Wb/s}$ - À $t = 0,2$ : $5t = 1 \, \text{rad}$ → $\sin(1) \approx 0,8415$ - $\frac{d\Phi}{dt} \approx -1,2 \times 0,8415 = -1,0098 \, \text{Wb/s}$ - $|\mathcal{E}| = 1,0098 \, \text{V}$ > **Réponse** : $\mathcal{E} \approx 1,01 \, \text{V}$ --- ## III. Loi de Lenz et conservation de l'énergie La loi de Lenz précise le sens du courant induit ou de la fém induite résultant d'une variation du flux magnétique. Elle stipule que : > **Le courant induit dans un circuit se dirige de telle sorte qu'il s'oppose à la variation du flux magnétique qui l'a produit.** Cette loi est une conséquence directe du principe de conservation de l'énergie. Si le courant induit renforçait la variation du flux, cela créerait une rétroaction positive pouvant produire de l'énergie à partir de rien, violant la conservation de l'énergie. La loi de Lenz est déjà intégrée dans la loi de Faraday sous la forme du signe moins : $\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi_B}{dt}$. Le signe moins indique que la fém induite agit pour s'opposer à la cause de sa production. ### Application de la loi de Lenz : règles pratiques Pour déterminer le sens du courant induit : 1. Déterminer si le flux magnétique à travers le boucle augmente ou diminue. 2. Si le flux augmente : le courant induit produira un champ magnétique opposé au champ extérieur. 3. Si le flux diminue : le courant induit produira un champ magnétique dans le même sens que le champ extérieur (pour tenter de le maintenir). 4. Utiliser la règle de la main droite (ou la règle du tire-bouchon) pour trouver le sens du courant correspondant à ce champ magnétique induit. > **À retenir** : La loi de Lenz garantit que l'induction électromagnétique respecte la conservation de l'énergie : l'énergie mécanique ou électrique dépensée pour produire la variation de flux apparaît sous forme d'énergie thermique dans le circuit (effet Joule) ou d'énergie magnétique stockée. ### Exemple résolu 4 : Loi de Lenz avec aimant entrant dans une bobine Un aimant barre dont le pôle nord pointe vers le haut est approché d'une bobine située au-dessus de lui, axe vertical. Le pôle nord de l'aimant s'approche de la bobine. Déterminer le sens du courant induit dans la bobine vu d'en haut. **Solution** : - Le pôle nord de l'aimant s'approche → le flux magnétique vers le haut à travers la bobine augmente. - Pour s'opposer à cette augmentation, le courant induit doit produire un champ magnétique vers le bas à travers la bobine. - En utilisant la règle de la main droite : si le pouce pointe dans la direction du champ magnétique induit (vers le bas), les doigts s'enroulent dans le sens du courant. - Vu d'en haut, un champ vers le bas correspond à un courant horaire. > **Réponse** : Le courant induit est horaire vu d'en haut. ### Exemple résolu 5 : Loi de Lenz avec barre glissante sur rails Dans l'exemple de la barre glissante sur rails (section II), la barre se déplace vers la droite, augmentant l'aire de la boucle et donc le flux vers l'extérieur du page (supposons $\vec{B}$ vers l'extérieur). Quel est le sens du courant induit dans la barre ? **Solution** : - Le flux vers l'extérieur augmente. - Pour s'opposer à cette augmentation, le courant induit doit produire un champ magnétique vers l'intérieur de la page. - En utilisant la règle de la main droite : pouce vers l'intérieur → doigts s'enroulent dans le sens horaire si on regarde la boucle de côté ? Mieux : considérer la boucle vue de côté. - En fait, pour une boucle dans le plan de la page, avec $\vec{B}$ sortant de la page, un champ vers l'intérieur est produit par un courant horaire (vu de dessus). - Donc, dans la barre, le courant doit aller de telle sorte que dans la boucle complète, il soit horaire. - Si les rails sont fixes et la barre glisse vers la droite, pour un courant horaire dans la boucle, le courant dans la barre doit aller de haut en bas (si les rails sont en haut et en bas, et la barre à droite). Supposons : rails horizontaux, barre verticale glissant vers la droite. Boucle : rail haut → barre droite → rail bas → barre gauche (en arrière). Pour un courant horaire (vu de dessus) : dans le rail haut, courant vers la droite ; dans la barre droite, courant vers le bas ; dans le rail bas, courant vers la gauche ; dans la barre gauche, courant vers le haut. Donc dans la barre mobile (droite), le courant va de haut en bas. > **Réponse** : Dans la barre mobile, le courant induit va de haut en bas. ### Exercice d'application 4 : Loi de Lenz avec champ décroissant Une bobine est placée dans un champ magnétique uniforme dirigé vers le haut qui diminue avec le temps. Quel est le sens du courant induit dans la bobine vu d'en haut ? **Solution** : - Le flux vers le haut diminue. - Pour s'opposer à cette diminution, le courant induit doit produire un champ magnétique vers le haut (pour tenter de le maintenir). - Un champ vers le haut produit par la bobine correspond à un courant antihoraire vu d'en haut (règle de la main droite : pouce vers le haut → doigts antihoraires). > **Réponse** : Le courant induit est antihoraire vu d'en haut. ### Exercice d'application 5 : Conservation de l'énergie dans un générateur Une barre de longueur 0,3 m glisse sur des rails dans un champ magnétique de 0,2 T à vitesse constante $v = 4 \, \text{m/s}$. Les rails sont reliés par une résistance de 2 Ω. Calculer : a) La fém induite b) Le courant dans le circuit c) La puissance mécanique nécessaire pour maintenir la vitesse constante d) La puissance thermique dissipée dans la résistance Vérifier la conservation de l'énergie. **Solution** : a) $\mathcal{E} = B l v = 0,2 \times 0,3 \times 0,4 = 0,024 \, \text{V}$ ? Attends : $v=4$, donc $0,2 \times 0,3 \times 4 = 0,24 \, \text{V}$ b) $I = \mathcal{E} / R = 0,24 / 2 = 0,12 \, \text{A}$ c) Puissance mécanique : la force magnétique sur la barre est $F = B I l = 0,2 \times 0,12 \times 0,3 = 0,0072 \, \text{N}$, dirigée opposé au mouvement (loi de Lenz). Puissance mécanique nécessaire : $P_{\text{mec}} = F v = 0,0072 \times 4 = 0,0288 \, \text{W}$ d) Puissance thermique : $P_{\text{th}} = I^2 R = (0,12)^2 \times 2 = 0,0144 \times 2 = 0,0288 \, \text{W}$ e) $P_{\text{mec}} = P_{\text{th}}$ → conservation de l'énergie vérifiée. > **Réponse** : a) 0,24 V, b) 0,12 A, c) 0,0288 W, d) 0,0288 W → énergie conservée. --- ## Synthèse du chapitre - L'induction électromagnétique se produit lorsque le flux magnétique à travers un circuit varie dans le temps. - Le flux magnétique est donné par $\Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A}$ ; pour un champ uniforme et une surface plane : $\Phi_B = B A \cos\theta$. - La loi de Faraday quantifie la fém induite : $\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi_B}{dt}$, où le signe moins reflète la loi de Lenz. - La loi de Lenz stipule que le courant induit s'oppose à la variation du flux qui l'a produit, assurant la conservation de l'énergie. - Applications : générateurs, transformateurs, freins électromagnétiques, capteurs. - Dans un circuit résistif, l'énergie mécanique dépensée pour produire la variation de flux apparaît sous forme de chaleur (effet Joule). --- ## Glossaire - **Flux magnétique ($\Phi_B$)** : Mesure du champ magnétique traversant une surface, unité : weber (Wb). - **Force électromotrice (fém)** : Tension induite dans un circuit fermé due à la variation du flux magnétique, unité : volt (V). - **Loi de Faraday** : Loi quantitative liant la fém induite au taux de variation du flux magnétique : $\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi_B}{dt}$. - **Loi de Lenz** : Loi qualitative donnant le sens du courant induit : il s'oppose à la variation du flux qui l'a produit. - **Bobine** : Ensemble de $N$ spires conductrices utilisées pour augmenter l'effet d'induction. - **Champ magnétique uniforme** : Champ dont la magnitude et la direction sont constantes dans l'espace considéré. - **Conservation de l'énergie** : Principe selon lequel l'énergie ne peut être créée ni détruite, seulement transformée. - **Courant induit** : Courant électrique qui apparaît dans un conducteur soumis à une variation de flux magnétique. - **Effet Joule** : Chauffage d'un conducteur dû au passage d'un courant électrique, $P = I^2 R$. - **Mouvement translationnel dans un champ magnétique** : Mouvement d'un conducteur entraînant une variation de flux et une fém motrice $\mathcal{E} = B l v$. - **Angle $\theta$** : Angle entre le vecteur champ magnétique et la normale à la surface considérée dans le calcul du flux. - **Nombre de spires ($N$)** : Nombre de tours dans une bobine, facteur multiplicatif dans la loi de Faraday.