SÉQ. 11: Quelques exemples d’endémies et d’épidémies (partie 2/2)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de cette séance, l’élève pourra - décrire les agents pathogènes, les modes de transmission et les principaux symptômes de la fièvre Ebola, de la COVID‑19 et du choléra ; - expliquer les mesures de prévention et de lutte spécifiques à chacune de ces épidémies ; - définir l’intégrale d’une fonction, en distinguer les notions d’intégrale indéfinie et définie ; - appliquer le théorème fondamental du calcul pour calculer une intégrale définie ; - résoudre des problèmes simples d’aire sous courbe et de déplacement à l’aide de l’intégration. **Prérequis** : connaissances de base en microbiologie (bactéries, virus, parasites), en hygiène et santé publique, ainsi que les notions de fonction, de limite et de dérivée vues en seconde et en première (règles de dérivation des fonctions usuelles). --- ## Introduction contextualisée Les épidémies représentent des défis majeurs pour la santé publique mondiale. En Afrique centrale et de l’Ouest, les flambées de fièvre Ebola ont rappelé l’importance de la surveillance épidémiologique et de l’isolement des cas. La pandémie de COVID‑19, apparue fin 2019, a montré comment un virus respiratoire peut se diffuser rapidement grâce aux déplacements internationaux, nécessitant des mesures de distanciation sociale et de vaccination. Le choléra, maladie diarrhéique liée à l’ingestion d’eau contaminée par *Vibrio cholerae*, demeure endémique dans plusieurs régions où l’accès à l’eau potable est limité. Parallèlement, l’intégration constitue l’outil mathématique permettant de quantifier des grandeurs accumulées (aires, volumes, travail, probabilités). Maîtriser ses principes est essentiel pour interpréter des modèles épidémiologiques (par exemple, le nombre total de cas sur une période) et pour résoudre des problèmes de physique ou de chimie rencontrés en SVT. --- ## I. Quelques exemples d’épidémies : Ebola, COVID‑19, choléra ### A. Épidémie d’Ebola > **Définition** : La maladie à virus Ebola (MVE) est une fièvre hémorragique sévère causée par un virus du genre *Ebolavirus* (famille *Filoviridae*). - **Agent pathogène** : virus Ebola (souches Zaïre, Soudan, Bundibugyo, etc.). - **Mode de transmission** : contact direct avec les liquides biologiques (sang, vomissures, selles, sueur) d’une personne infectée ou d’un animal porteur (chauves‑souris frugivores, primates). - **Période d’incubation** : 2 à 21 jours (moyenne 8‑10 jours). - **Symptômes majeurs** : fièvre soudaine, fatigue, douleurs musculaires, maux de tête, suivi de vomissements, diarrhée, hémorragies internes et externes, défaillance multiorganique. - **Taux de létalité** : varie de 25 % à 90 % selon la souche et la prise en charge. **Moyens de lutte** 1. **Isolation** des cas suspects et confirmés dans des unités de traitement spécialisées (UTS). 2. **Protection du personnel** : équipements de protection individuelle (EPI) complets (combinaison, lunettes, masque filtrant, gants). 3. **Suivi des contacts** : recherche active de toutes les personnes ayant eu un contact à risque, mise en quarantaine pendant 21 jours. 4. **Vaccination** : vaccin rVSV‑ZEBOV (Ervebo) administré en stratégie de vaccination en anneau autour des cas confirmés. 5. **Sensibilisation** : pratiques funéraires sûres, lavage des mains avec solution chlorée, éviter la consommation de viande de brousse. > **Rappel** : Le nombre de reproduction de base $R_0$ pour Ebola varie entre 1,5 et 2,5 en milieu communautaire sans intervention. ### B. Épidémie de COVID‑19 > **Définition** : La COVID‑19 est une maladie respiratoire aiguë provoquée par le coronavirus SARS‑CoV‑2, appartenant à la famille *Coronaviridae*. - **Agent pathogène** : SARS‑CoV‑2 (virus à ARN simple brin, enveloppé). - **Mode de transmission** : principalement par gouttelettes respiratoires (toux, éternuements, parole) et par aérosols dans les espaces clos ; transmission possible via des surfaces contaminées (fomites). - **Période d’incubation** : 2 à 14 jours (moyenne 5‑6 jours). - **Symptômes majeurs** : fièvre, toux sèche, fatigue, perte de l’odorat ou du goût, dyspnée ; formes sévères pouvant conduire à un syndrome de détresse respiratoire aiguë (SDRA) et à une défaillance multiorganique. - **Taux de létalité** : environ 1‑3 % mondialement, fortement lié à l’âge et aux comorbidités. **Moyens de lutte** 1. **Mesures barrières** : port du masque, distanciation physique (≥1 m), hygiène des mains (solution hydroalcoolique ou savon). 2. **Tests diagnostiques** : RT‑PCR (référence), tests antigéniques rapides, sérologie pour l’étude de la séroprévalence. 3. **Vaccination** : vaccins à ARN messager (Pfizer‑BioNTech, Moderna), à vecteur viral (AstraZeneca, Janssen), sous‑unités protéiques (Novavax) ; schéma généralement deux doses + rappel. 4. **Isolation et quarantaine** : isolement des cas confirmés, quarantaine des contacts proches pendant 10‑14 jours. 5. **Ventilation** : amélioration du renouvellement d’air dans les lieux clos (écoles, bureaux, transports). > **Formule clé** : Le taux de croissance exponentiel du nombre de cas $N(t)$ peut être modélisé par $N(t)=N_0 e^{kt}$, où $k$ est le taux de croissance journalier. ### C. Épidémie de choléra > **Définition** : Le choléra est une infection diarrhéique aiguë provoquée par l’ingestion d’eau ou d’aliments contaminés par la bactérie *Vibrio cholerae* sérogroupe O1 ou O139. - **Agent pathogène** : *Vibrio cholerae* (bactérie à Gram négatif, mobilité par flagelle polaire). - **Mode de transmission** : voie fécale‑orale ; consommation d’eau non traitée, de fruits de mer crus ou insuffisamment cuits, ou d’aliments lavés avec de l’eau contaminée. - **Période d’incubation** : quelques heures à 5 jours (souvent 12‑24 h). - **Symptômes majeurs** : diarrhée aqueuse abondante (« riz au lait »), vomissements, déshydratation rapide pouvant entraîner un choc hypovolémique en quelques heures. - **Taux de létalité** : <1 % avec réhydratation adéquate ; peut dépasser 50 % sans traitement. **Moyens de lutte** 1. **Réhydratation** : solution de réhydratation orale (SRO) contenant du glucose et des électrolytes (Na⁺, K⁺, Cl⁻) ; perfusion intraveineuse en cas de choc. 2. **Assainissement de l’eau** : chlorination, filtration, ébullition ; protection des sources d’eau. 3. **Hygiène alimentaire** : cuisson complète des fruits de mer, lavage des légumes avec eau potable. 4. **Vaccination** : vaccins oraux atténués (Dukoral, Shanchol, Euvichol) utilisés en prévention lors d’épidémies ou en zones endémiques. 5. **Surveillance épidémiologique** : déclaration obligatoire des cas, cartographie des foyers, investigation rapide des clusters. > **Formule de réhydratation** : Pour un adulte de 70 kg, environ 75 ml/kg de SRO sont nécessaires durant les premières 4 h, soit environ 5,25 L. ### D. Moyens de lutte communs et principes de santé publique - **Surveillance** : systèmes d’alerte précoce (déclaration obligatoire, laboratoires de référence). - **Isolation/quarantaine** : séparation des malades et des contacts à risque. - **Protection individuelle** : EPI, masques, hygiène des mains. - **Vaccination** : lorsqu’un vaccin sûr et efficace existe, il constitue la mesure préventive la plus efficace. - **Éducation et communication** : messages clairs, adaptés aux communautés, lutte contre la désinformation. --- ## II. Apprentissage de l’intégration ### A. Notion d’intégrale définie et indéfinie > **Définition** : Soit $f$ une fonction réelle définie sur un intervalle $[a,b]$. L’intégrale définie de $f$ de $a$ à $b$, notée $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, représente l’aire signée limitée par le graphe de $f$, l’axe des $x$ et les droites verticales $x=a$ et $x=b$. L’intégrale indéfinie (ou primitive) de $f$ est une fonction $F$ telle que $F'(x)=f(x)$ pour tout $x$ de l’ensemble de définition de $f$. On note $\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x)+C$, où $C$ est une constante d’intégration. > **Propriété** : Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$ (théorème fondamental du calcul, voir § C). ### B. Propriétés de l’intégrale 1. **Linéalité** : pour tout réel $\lambda,\mu$ et fonctions $f,g$ intégrables, $$\displaystyle\int_a^b \bigl(\lambda f(x)+\mu g(x)\bigr)\,dx = \lambda\int_a^b f(x)\,dx + \mu\int_a^b g(x)\,dx.$$ 2. **Additivité sur les intervalles** : si $c\in[a,b]$, $$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx.$$ 3. **Monotonie** : si $f(x)\le g(x)$ pour tout $x\in[a,b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx$. 4. **Invariance par translation** : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_{a+h}^{b+h} f(x-h)\,dx$. ### C. Théorème fondamental du calcul > **Théorème** : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur cet intervalle, alors $$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$$ Ce théorème relie la dérivation et l’intégration : il permet de calculer une intégrale définie en connaissant une primitive. ### D. Techniques d’intégration de base 1. **Intégrale d’une puissance** : pour $n\neq -1$, $$\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.$$ Exemple : $\displaystyle\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}+C$. 2. **Intégrale de l’exponentielle** : $$\displaystyle\int e^{x}\,dx = e^{x}+C.$$ Plus généralement, $\displaystyle\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}+C$ ($a\neq0$). 3. **Intégrale des fonctions trigonométriques usuelles** : $$\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C,\qquad \displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C.$$ $$\displaystyle\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C,\qquad \displaystyle\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C.$$ 4. **Intégrale par substitution** (changement de variable) : si $u=g(x)$ dérivable, alors $$\displaystyle\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.$$ ### E. Applications : aire sous courbe et problème de mouvement **Exemple 1 – Aire sous une parabole** : Calculer l’aire limitée par la courbe $y=x^2$, l’axe des $x$ et les droites $x=0$ et $x=2$. Solution : $$\displaystyle A = \int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}-0 = \frac{8}{3}\ \text{unités}^2.$$ **Exemple 2 – Distance parcourue** : Une particule se déplace selon la vitesse $v(t)=3t^2-2t+1$ (en m/s). Trouver la distance parcourue entre $t=0$ et $t=3$ s. La distance vaut l’intégrale de la valeur absolue de la vitesse ; ici $v(t)\ge0$ sur $[0,3]$, donc $$\displaystyle s = \int_0^3 (3t^2-2t+1)\,dt = \left[t^3 - t^2 + t\right]_0^3 = (27-9+3)-0 = 21\ \text{m}.$$ --- ## Synthèse du chapitre - **Épidémies** : Ebola (virus, contact liquides, R₀≈1,5‑2,5), COVID‑19 (SARS‑CoV‑2, gouttelettes/aérosols, R₀≈2‑3), choléra (*Vibrio cholerae*, eau contaminée, déshydratation rapide). - **Lutte** : isolement, EPI, suivi des contacts, vaccination (quand disponible), hygiène de l’eau et des mains, sensibilisation. - **Intégration** : définition d’intégrale définie et indéfinie, propriétés (linéarité, additivité, monotonie), théorème fondamental du calcul, techniques de base (puissances, exponentielle, trigonométrie, substitution). - **Applications** : calcul d’aires sous courbes, détermination de distances à partir de fonctions de vitesse. > **À retenir** : $ \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) $ (théorème fondamental). > **À retenir** : Pour une puissance $x^n$ ($n\neq-1$), $ \displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C $. > **À retenir** : Le choléra se prévient principalement par l’accès à l’eau potable et la SRO. > **À retenir** : La vaccination en anneau a été décisive pour contrôler l’épidémie d’Ebola en 2014‑2016. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Épidémie | Augmentation soudaine du nombre de cas d’une maladie au‑delà du niveau endémique attendu dans une population donnée. | | Endémie | Présence habituelle et constante d’une maladie dans une région ou une population, à un niveau relativement stable. | | Agent pathogène | Micro‑organisme (virus, bactérie, parasite, champignon) capable de provoquer une maladie chez un hôte. | | R₀ (nombre de reproduction de base) | Nombre moyen de nouvelles infections générées par un individu infectieux dans une population entièrement susceptible, en l’absence d’interventions. | | SRO (solution de réhydratation orale) | Préparation contenant du glucose et des électrolytes (Na⁺, K⁺, Cl⁻) utilisée pour traiter la déshydratation due à la diarrhée. | | Intégrale définie | Opération qui associe à une fonction $f$ sur $[a,b]$ un nombre représentant l’aire signée sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$. | | Primitive | Fonction $F$ telle que $F'(x)=f(x)$ sur un intervalle ; aussi appelée intégrale indéfinie. | | Théorème fondamental du calcul | Établit que l’intégrale définie d’une fonction continue peut être calculée par la différence de ses primitives aux bornes. | | Substitution | Méthode d’intégration consistant à changer de variable $u=g(x)$ pour simplifier l’intégrale $\int f(g(x))g'(x)dx$. | | Aérosol | Particules liquides ou solides suspendues dans l’air, capables de transporter des agents infectieux sur de longues distances. | | Quarantaine | Isolement et observation de personnes ayant été exposées à un agent pathogène mais ne présentant pas encore de symptômes. | | Vaccin en anneau | Stratégie consistant à vacciner les personnes entourant un cas confirmé pour créer une barrière d’immunité. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 (Ebola) Un centre de traitement reçoit 12 patients suspects d’Ebola. Après analyse, 5 sont confirmés positifs. **a)** Quelle proportion des patients suspects est confirmée ? **b)** Si le taux de létalité de la souche Zaïre est de 70 %, quel est le nombre attendu de décès parmi les cas confirmés ? **Corrigé** a) Proportion = $\frac{5}{12}=0,4167\approx 41,7\%$. b) Nombre attendu de décès = $5 \times 0,70 = 3,5$ décès (valeur moyenne). ### Exercice 2 (COVID‑19) Dans une ville de 200 000 habitants, le nombre de cas confirmés suit approximativement la loi exponentielle $N(t)=N_0 e^{0,12t}$, où $t$ est exprimé en jours et $N_0=50$ cas au jour $t=0$. **a)** Calculer le nombre de cas prévus après 10 jours. **b)** Quel est le temps de doublement $T_2$ (temps pour que le nombre de cas double) ? **Corrigé** a) $N(10)=50 e^{0,12\times10}=50 e^{1,2}\approx 50 \times 3,320 = 166$ cas. b) On cherche $T_2$ tel que $e^{0,12 T_2}=2$. Donc $0,12 T_2=\ln 2\Rightarrow T_2=\frac{\ln 2}{0,12}\approx \frac{0,6931}{0,12}=5,78$ jours. ### Exercice 3 (Choléra) Un village de 1500 habitants utilise un puits dont l’eau est contaminée par *Vibrio cholerae*. On estime que 20 % de la population boit cette eau sans traitement. Parmi ceux‑ci, 15 % développent la maladie. **a)** Combien de personnes sont exposées à l’eau contaminée ? **b)** Combien de cas de choléra sont attendus ? **Corrigé** a) Personnes exposées = $0,20 \times 1500 = 300$. b) Cas attendus = $300 \times 0,15 = 45$ personnes. ### Exercice 4 (Intégration – puissance) Calculer $\displaystyle\int_1^4 (3x^2-2x+5)\,dx$. **Corrigé** Décomposer : $\displaystyle\int_1^4 3x^2\,dx - \int_1^4 2x\,dx + \int_1^4 5\,dx$. - $\int 3x^2\,dx = x^3$ → $[x^3]_1^4 = 4^3-1^3 = 64-1=63$. - $\int 2x\,dx = x^2$ → $[x^2]_1^4 = 4^2-1^2 = 16-1=15$. - $\int 5\,dx = 5x$ → $[5x]_1^4 = 5\cdot4-5\cdot1 =20-5=15$. Somme : $63 - 15 + 15 = 63$. Donc $\displaystyle\int_1^4 (3x^2-2x+5)\,dx = 63$. ### Exercice 5 (Intégration – substitution) Évaluer $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin(2x)\,dx$. **Corrigé** Soit $u=2x$, alors $du=2dx$ → $dx=\frac{du}{2}$. Quand $x=0$, $u=0$ ; quand $x=\pi/2$, $u=\pi$. $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin(2x)\,dx = \int_{0}^{\pi} \sin(u)\,\frac{du}{2}= \frac12\int_{0}^{\pi}\sin u\,du$. $\int \sin u\,du = -\cos u$. $\frac12[-\cos u]_{0}^{\pi}= \frac12[(-\cos\pi)-(-\cos0)] = \frac12[(-(-1))-(-1)] = \frac12[(1)-(-1)] = \frac12[2]=1$. Résultat : $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin(2x)\,dx = 1$. ### Exercice 6 (Application – aire) Trouver l’aire limitée par la courbe $y= \sqrt{x}$, l’axe des $x$ et la droite $x=9$. **Corrigé** L’aire $A = \displaystyle\int_0^9 \sqrt{x}\,dx = \int_0^9 x^{1/2}\,dx = \left[\frac{x^{3/2}}{3/2}\right]_0^9 = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^9$. Calcul : $\frac{2}{3}\times 9^{3/2}= \frac{2}{3}\times (9^{1}\times 9^{1/2}) = \frac{2}{3}\times 9\times 3 = \frac{2}{3}\times 27 = 18$. Donc $A = 18$ unités². --- ## Erreurs fréquentes | Erreur fréquente | Pourquoi elle se produit | Comment l’éviter | |------------------|--------------------------|------------------| | Confondre **taux de létalité** et **taux d’attaque** | Les deux sont des pourcentages mais décrivent des notions différentes (mortalité parmi les cas vs proportion de la population infectée). | Toujours préciser le dénominateur : cas confirmés pour létalité, population totale pour attaque. | | Oublier la constante d’intégration $C$ dans une intégrale indéfinie | L’habitude de ne penser qu’à la forme primitive sans rappeler que l’antidérivée n’est définie qu’à une constante près. | Écrire systématiquement $+C$ après chaque primitive, sauf quand les bornes sont spécifiées (intégrale définie). | | Utiliser la mauvaise borne lors d’un changement de variable | Lors de la substitution, on oublie de transformer les limites d’intégration, ce qui fausse le résultat. | Après avoir posé $u=g(x)$, remplacer les bornes $x=a$ et $x=b$ par $u=g(a)$ et $u=g(b)$, ou revenir à $x$ après intégration. | | Interpréter le nombre de reproduction $R_0$ comme un taux de croissance immédiat | $R_0$ mesure le potentiel de transmission dans une population totalement susceptible, pas le nombre de nouveaux cas par jour. | Rappeler que $R_0>1$ indique une épidémie potentielle, mais la croissance réelle dépend aussi du temps de génération et des mesures de contrôle. | | Négliger les unités lors du calcul d’une aire ou d’une distance | Oublier d’indiquer $m^2$ ou $m$ conduit à des réponses incomplètes et parfois à des erreurs d’interprétation. | Toujours accompagner le résultat numérique de l’unité appropriée (ex. $18\ \text{m}^2$, $21\ \text{m}$). | | Penser que la vaccination élimine immédiatement la transmission | Un vaccin réduit la probabilité d’infection mais ne confère pas une protection instantanée à 100 % ; il faut tenir compte de l’efficacité et du délai d’immunité. | Vérifier l’efficacité du vaccin utilisé et le délai nécessaire pour développer une réponse immunitaire avant de considérer quelqu’un comme protégé. | --- *Fin du cours.*