Stéreorestitution (partie 2/2)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Déterminer le rapport entre l’échelle du modèle stéréoscopique et l’échelle du terrain à partir des paramètres de prise de vue. - Manipuler l’orientation relative d’un couple stéréoscopique pour éliminer les parallaxes résiduelles. - Calculer et appliquer le facteur de sur‑correction afin d’obtenir une restitution métrique fidèle. - Réaliser une orientation absolue analogique, mettre à l’échelle le modèle, calculer la base finale et effectuer le basculement nécessaire. - Mettre en œuvre l’orientation absolue analytique à l’aide des coordonnées de points de contrôle. - Appliquer ces procédés dans des situations professionnelles relevées au Cameroun (levés topographiques, suivi d’ouvrages, cartographie thématique). **Prérequis :** - Notions de photogrammétrie de base (prise de vue stéréoscopique, focale, base aérienne, hauteur de vol). - Maîtrise du système métrique et des unités usuelles (mm, m, km). - Connaissance des concepts d’échelle, de parallaxe et de coordonnées 3D. - Savoir lire un schéma de bloc stéréoscopique et utiliser un restituteur analogique ou numérique. --- ## Introduction contextualisée Au Cameroun, la production de cartes topographiques à l’échelle 1:20 000 ou 1:50 000 repose largement sur la photogrammétrie aérienne, notamment pour les zones difficiles d’accès (massifs du Cameroun, régions du Nord, zones humides du Sud‑Ouest). Le service géographique national (IGN‑Cameroun) et les bureaux d’études privés utilisent des restituteurs stéréoscopiques pour transformer les couples de photographies en modèles métriques. La qualité du produit final dépend de la maîtrise de deux étapes successives : l’orientation relative (qui assure la cohérence géométrique du couple) et l’orientation absolue (qui relie le modèle au système de référence terrestre). Ce chapitre détaille, conformément au programme officiel MINESEC/IGE, les manipulations d’échelle, le facteur de sur‑correction, les procédés analogiques et analytiques d’orientation absolue, ainsi que le basculement nécessaire pour obtenir un modèle fidèle à l’échelle souhaitée. --- ## I. Rapport entre échelles, manipulations de l’orientation relative et facteur de sur‑correction ### A. Définitions et notions de base > **Échelle du modèle (M)** : rapport entre une distance mesurée sur le modèle stéréoscopique et la distance correspondante sur le terrain. Elle est adimensionnelle mais s’exprime souvent sous la forme 1 : X (ex. 1 : 500). > **Échelle de prise de vue (Eₚ)** : rapport entre la focale *f* et la hauteur de vol *H*, exprimés dans la même unité (mm) :  Eₚ = f / H. > **Base aérienne (B)** : distance entre les deux positions de prise de vue, exprimée en mètres (ou en mm après conversion). > **Parallaxe résiduelle** : différence de position d’un point entre les deux images après orientation relative ; elle doit être nulle pour une restitution métrique. ### B. Rapport entre échelles du modèle et du terrain Le rapport d’échelle entre le modèle et le terrain résulte de la combinaison de l’échelle de prise de vue et de la base aérienne : \[ M = \frac{f \, B}{H \, p} \] où : - *f* : focale du appareil (mm) - *B* : base aérienne (m) – à convertir en mm si *f* et *H* sont en mm, ou convertir *f* en m si *B* et *H* sont en m - *H* : hauteur de vol au-dessus du sol moyen (m) – même remarque que pour *B* - *p* : échelle de la photographie (adimensionnelle), définie comme *p* = f / H (avec *f* et *H* dans la même unité) ; pour une image numérique brute on peut prendre *p* ≈ 1. > **Règle de métier** : pour obtenir une échelle de modèle souhaitée *M₀*, on ajuste la hauteur de vol *H* ou la base *B* selon la formule ci‑dessus. ### C. Manipulations de l’orientation relative L’orientation relative consiste à faire coïncider les faisceaux lumineux des deux images de façon à éliminer les parallaxes y‑direction (verticale) et x‑direction (laterale). Les étapes sont : 1. **Nivellement de l’image gauche** : ajuster les vis de tilt et de roll jusqu’à ce que le niveau à bulle indique l’horizontale. 2. **Alignment des points caractéristiques** : placer un point de repère (ex. coin de bâtiment) sur les deux images et faire correspondre leurs coordonnées x à l’aide du déplacement latéral du porte‑objet. 3. **Correction de la parallaxe y** : faire varier le déplacement vertical (déplacement de la plaque porte‑objet dans le sens Z) jusqu’à ce que les points coïncident exactement en y. 4. **Vérification** : contrôler plusieurs points répartis sur le modèle ; la parallaxe résiduelle doit être inférieure à 0,01 mm sur le modèle (équivalent à < 0,1 m au sol pour une échelle 1 : 10 000). > **À retenir** : l’orientation relative est réussie lorsque la différence de parallaxe entre deux points quelconques du modèle est nulle dans les deux directions. ### D. Facteur de sur‑correction (overcorrection factor) Lors de l’orientation relative, on applique parfois une légère sur‑correction volontaire pour compenser la déformation systématique due à la courbure terrestre ou à la réfraction atmosphérique. Le facteur de sur‑correction *K* se définit ainsi : \[ K = 1 + \frac{\Delta Z}{Z} \] où : - *ΔZ* : correction volontaire apportée à la hauteur du modèle (en mm sur le modèle). - *Z* : hauteur réelle du point considéré au-dessus du datum (en mm sur le modèle). En pratique, on choisit *K* entre 1,000 et 1,005 (soit 0 % à 0,5 % de sur‑correction) selon la hauteur de vol et la latitude du site. > **Exemple de calcul** : pour une prise de vue à *H* = 1500 m, *f* = 150 mm, *B* = 300 m, on obtient une échelle théorique *M* = 0,03 (1 : 33,3). Si l’on veut une échelle finale de 1 : 25 000 (*M₀* = 0,00004), on doit réduire l’échelle du modèle par un facteur de mise à l’échelle *S* = *M₀*/*M* = 0,0016. Le facteur de sur‑correction sera alors *K* ≈ 1,002 pour compenser la déformation résiduelle à cette altitude. ### E. Méthode pas à pas (atelier) 1. **Préparation du couple** : charger les deux négatifs (ou fichiers numériques) dans le restituteur, vérifier l’absence de rayures. 2. **Régler la focale et la base** : entrer les valeurs *f* et *B* dans le tableau de bord du restituteur. 3. **Effectuer l’orientation relative** : suivre les étapes C ci‑dessus, noter les valeurs de déplacement latéral (dx) et vertical (dy). 4. **Appliquer le facteur de sur‑correction** : multiplier les déplacements dy par *K* (ex. dy_corr = dy × K). 5. **Contrôler la parallaxe résiduelle** : mesurer sur au moins cinq points bien répartis ; si > 0,01 mm, répéter l’étape 3. 6. **Enregistrer les paramètres d’orientation relative** : ils seront utilisés pour l’étape d’orientation absolue. ### F. Exemple d’atelier camerounais Dans le cadre du levé du bassin versant du fleuve Sanaga (région du Centre), une équipe de l’IGN‑Cameroun a réalisé un vol à *H* = 1200 m, *f* = 120 mm, *B* = 250 m. L’échelle théorique du modèle était *M* = 0,025 (1 : 40). Après orientation relative, un facteur de sur‑correction *K* = 1,003 a été appliqué pour tenir compte de la réfraction due à l’humidité élevée. Le modèle obtenu présentait une parallaxe résiduelle moyenne de 0,006 mm, conforme aux spécifications (≤ 0,01 mm). ### G. Tableau récapitulatif | Paramètre | Symbole | Unité | Formule / valeur typique | |-------------------------------|---------|-------|--------------------------| | Focale | *f* | mm | donnée constructeur | | Base aérienne | *B* | m | distance entre stations | | Hauteur de vol | *H* | m | mesurée par GPS/baromètre| | Échelle de prise de vue | *Eₚ* | – | *f* / *H* (même unité) | | Échelle du modèle théorique | *M* | – | *f B* / (*H p*) (avec *f* et *H* dans la même unité) | | Facteur de sur‑correction | *K* | – | 1 + ΔZ / Z | | Échelle souhaitée du modèle | *M₀* | – | définie par le cahier des charges | | Facteur de mise à l’échelle | *S* | – | *M₀* / *M* | --- ## II. Orientation absolue analogique, mise à l’échelle, calcul de la base finale, basculement et orientation absolue analytique ### A. Orientation absolue analogique L’orientation absolue consiste à placer le modèle stéréoscopique dans le système de référence terrestre (géodésique ou projeté) en utilisant au moins trois points de contrôle non alignés dont les coordonnées XYZ sont connues. **Étapes analogiques** : 1. **Sélection des points de contrôle** : choisir des points clairement identifiables sur les deux images (ex. coins de bâtiments, bornes géodésiques). 2. **Mesure des coordonnées image** : sur chaque image, relever les coordonnées x et y du point de contrôle à l’aide du réticule du restituteur. 3. **Calcul des écarts** : comparer les coordonnées image avec les coordonnées terrain connues pour obtenir les déplacements nécessaires en X, Y et Z. 4. **Application des déplacements** : agir sur les vis de translation (X, Y, Z) du porte‑objet jusqu’à ce que les points de contrôle coïncident exactement avec leurs coordonnées terrain. 5. **Vérification** : contrôler un quatrième point de contrôle (point de check) ; l’erreur résiduelle doit être inférieure à 0,5 mm sur le modèle (équivalent à l’erreur altimétrique admissible). > **À retenir** : l’orientation absolue analogique nécessite au moins trois points de contrôle bien répartis et non alignés ; la précision dépend de la qualité de la mesure des coordonnées image. ### B. Mise à l’échelle Après l’orientation absolue, le modèle peut présenter une échelle différente de celle souhaitée du fait d’erreurs de hauteur de vol ou de base aérienne. La mise à l’échelle consiste à appliquer un facteur multiplicatif *S* sur toutes les dimensions du modèle. \[ S = \frac{M_{désirée}}{M_{actuelle}} \] où *Mₐc t u e l l e* est l’échelle mesurée après orientation absolue (déterminée en mesurant une distance connue sur le modèle et en la comparant à sa valeur terrain). > **Exemple** : si après orientation absolue on mesure 100 mm sur le modèle correspondant à 20 m terrain, l’échelle actuelle est *Mₐc t u e l l e* = 100 mm / 20 000 mm = 0,005 (1 : 200). Pour obtenir une échelle finale de 1 : 1000 (*Mₑ* = 0,001), le facteur de mise à l’échelle est *S* = 0,001 / 0,005 = 0,2. On réduit donc toutes les dimensions du modèle à 20 % de leur valeur actuelle. ### C. Calcul de la base finale La base finale *B_f* représente la distance effective entre les deux stations de prise de vue après toutes les corrections (orientation relative, sur‑correction, mise à l’échelle). Elle s’obtient par : \[ B_f = B \times S \times K \] où : - *B* : base aérienne initiale (m) - *S* : facteur de mise à l’échelle (adimensionnel) - *K* : facteur de sur‑correction (adimensionnel) > **À retenir** : la base finale est utilisée dans le calcul de l’échelle du modèle et dans les formules d’orientation absolue analytique. ### D. Basculement (tilt) Le basculement correspond à l’inclinaison de l’axe optique du dispositif de prise de vue par rapport à la verticale. En photogrammétrie aérienne, on distingue : - **Basculement en roulis (roll)** : rotation autour de l’axe de vol (X). - **Basculement en tangage (pitch)** : rotation autour de l’axe transversal (Y). Ces angles sont mesurés lors du vol (par centrale inertielle) et doivent être restitués dans le modèle. En orientation absolue analogique, on compense le basculement par des rotations du porte‑objet autour des axes X et Y jusqu’à ce que les lignes de niveau du modèle soient horizontales et que les reliefs apparaissent sans distorsion en élévation. > **Règle de sécurité** : ne jamais forcer les vis de basculement au-delà de 5° ; au-delà, le risque de déformation du porte‑objet augmente et la précision chute. ### E. Orientation absolue analytique L’orientation absolue analytique utilise les coordonnées connues des points de contrôle pour résoudre un système d’équations linéaires permettant de déterminer les six paramètres d’orientation extérieure ( trois translations : Tₓ, Tᵧ, T_z ; trois rotations : ω, φ, κ ). **Formule de base (modèle de collinearity)** : \[ \begin{aligned} x - x_0 &= -f \frac{ r_{11}(X - T_x) + r_{12}(Y - T_y) + r_{13}(Z - T_z) }{ r_{31}(X - T_x) + r_{32}(Y - T_y) + r_{33}(Z - T_z) } \\ y - y_0 &= -f \frac{ r_{21}(X - T_x) + r_{22}(Y - T_y) + r_{23}(Z - T_z) }{ r_{31}(X - T_x) + r_{32}(Y - T_y) + r_{33}(Z - T_z) } \end{aligned} \] où : - *(x, y)* : coordonnées image du point (mm) - *(x₀, y₀)* : coordonnées du point principal de l’image (souvent le centre) - *(X, Y, Z)* : coordonnées terrain du point (m) - *(Tₓ, Tᵧ, T_z)* : translations extérieures (m) - *(ω, φ, κ)* : rotations extérieures (rad) autour des axes X, Y, Z respectivement - *r_{ij}* : éléments de la matrice de rotation construite à partir de ω, φ, κ **Méthode de résolution** : 1. Former les équations de collinearity pour chaque point de contrôle (au moins 3 points donnent 6 équations pour 6 inconnues). 2. Lineariser autour d’une approximation initiale (souvent l’orientation absolue analogique). 3. Résoudre le système linéaire par la méthode des moindres carrés (normal equations). 4. Itérer jusqu’à ce que les corrections deviennent négligeables (< 10⁻⁶ m). > **À retenir** : l’orientation absolue analytique fournit une précision supérieure (erreur planimétrique ≤ 0,2 mm sur le modèle) lorsqu’on dispose de bonnes mesures des points de contrôle et d’un modèle numérique de restitution. ### F. Méthode pas à pas (chantier) 1. **Collecte des points de contrôle** : réaliser un levé GNSS différentiel (RTK) d’au moins 4 points répartis sur la zone d’étude. 2. **Saisie des données image** : mesurer les coordonnées x, y de chaque point sur les deux images avec le restituteur (précision 0,01 mm). 3. **Orientation absolue analogique** : appliquer les translations et rotations obtenues pour rapprocher le modèle du terrain. 4. **Calcul de l’échelle actuelle** : mesurer une distance connue (ex. largeur d’une route) sur le modèle et en déduire *Mₐc t u e l l e*. 5. **Déterminer le facteur de mise à l’échelle S** et l’appliquer. 6. **Calculer la base finale B_f** avec la formule du paragraphe C. 7. **Effectuer l’orientation absolue analytique** : entrer les coordonnées image et terrain dans un logiciel de restitution (ex. Photomod, ERDAS Imagine) et laisser le résoudre les six paramètres d’orientation extérieure. 8. **Vérifier les résidus** : contrôler les écarts sur les points de contrôle ; l’erreur quadratique moyenne (RMSE) doit être < 0,5 mm sur le modèle (≈ 1 m au sol pour une échelle 1 : 2000). 9. **Exporter le modèle orthorectifié** ou le nuage de points pour utilisation en SIG ou en CAO. ### G. Exemple de chantier camerounais Lors du suivi de l’avancement des travaux du barrage de Lagdo (région du Nord), une mission de l’Agence Nationale des Grands Travaux (ANGТ) a réalisé un vol photogrammétrique à *H* = 800 m, *f* = 100 mm, *B* = 180 m. Après orientation absolue analogique, l’échelle mesurée était *Mₐc t u e l l e* = 0,0225 (1 : 44,4). La mise à l’échelle souhaitée était 1 : 2000 (*Mₑ* = 0,0005), donnant *S* = 0,0222. Avec un facteur de sur‑correction *K* = 1,001, la base finale calculée fut *B_f* = 180 × 0,0222 × 1,001 ≈ 4,00 m. L’orientation absolue analytique a ensuite fourni des résidus planimétriques de 0,18 mm sur le modèle (≈ 0,36 m au sol) et des résidus altimétriques de 0,12 mm (≈ 0,24 m au sol), conformes aux spécifications du projet (≤ 0,5 m). ### H. Tableau récapitulatif | Étape | Action principale | Formule / paramètres clés | |------------------------------------|-----------------------------------------------|--------------------------------------------------------| | Orientation absolue analogique | Translation + rotation du porte‑objet | Déplacements DX, DY, DZ issus des points de contrôle | | Mise à l’échelle | Facteur multiplicatif S | S = Mₑ / Mₐc t u e l l e | | Calcul de la base finale | B_f = B × S × K | B : base aérienne initiale, K : facteur de sur‑correction | | Basculement (tilt) | Correction des angles roll & pitch | ω, φ (rad) mesurés en vol, restitués par rotation du porte‑objet | | Orientation absolue analytique | Résolution des équations de collinearity | Système linéaire à 6 inconnues (Tₓ,Tᵧ,T_z,ω,φ,κ) | | Vérification | RMSE sur points de contrôle | RMSE < 0,5 mm sur le modèle (≈ 1 m au sol à 1:2000) | --- ## Synthèse du chapitre - L’échelle du modèle résulte du rapport *f B* / (*H p*) ; on l’ajuste par la hauteur de vol, la base aérienne ou un facteur de mise à l’échelle, en veillant à ce que *f* et *H* soient exprimés dans la même unité. - L’orientation relative élimine les parallaxes résiduelles ; elle est validée quand la différence de parallaxe entre deux points quelconques du modèle est nulle dans les deux directions. - Le facteur de sur‑correction *K* = 1 + ΔZ/Z compense les déformations systématiques (réfraction, courbure terrestre). - L’orientation absolue analogique place le modèle dans le référentiel terrain à l’aide de ≥ 3 points de contrôle non alignés. - La mise à l’échelle applique le facteur *S* = Mₑ/Mₐc t u e l l e pour obtenir l’échelle souhaitée du produit final. - La base finale *B_f* = B × S × K intègre toutes les corrections et sert au calcul de l’échelle et des paramètres d’orientation extérieure. - Le basculement (roll/pitch) est restitué par des rotations du porte‑objet ; il ne doit pas dépasser 5° pour éviter les déformations mécaniques. - L’orientation absolue analytique résout les équations de collinearity pour déterminer les six paramètres d’orientation extérieure avec une précision sub‑millimétrique sur le modèle. - En pratique camerounaise, ces procédés sont utilisés pour le levé topographique, le suivi d’ouvrages d’art (barrages, ponts) et la production de cartes à l’échelle 1:20 000‑1:50 000. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |---------------------------|-----------------------------------------------------------------------------| | Échelle du modèle (M) | Rapport entre une distance sur le modèle stéréoscopique et la même distance sur le terrain. | | Base aérienne (B) | Distance entre les deux positions de prise de vue du capteur photogrammétrique. | | Focale (f) | Distance entre le centre optique de l’objectif et le plan de l’image, exprimée en mm. | | Hauteur de vol (H) | Distance verticale entre le capteur et le sol moyen au moment de la prise de vue. | | Facteur de sur‑correction (K) | Coefficient multiplicatif appliqué pour compenser volontairement une déformation systématique. | | Orientation relative | Opération qui rend les faisceaux lumineux des deux images coïncidents, supprimant les parallaxes résiduelles. | | Orientation absolue | Ensemble de translations et rotations qui placent le modèle stéréoscopique dans le système de référence terrestre. | | Basculement (tilt) | Inclinaison de l’axe optique par rapport à la verticale, décomposée en roulis (roll) et tangage (pitch). | | Points de contrôle (PC) | Points dont les coordonnées XYZ sont connues avec précision, utilisés pour l’orientation absolue. | | Équations de collinearity | Relations mathématiques liant les coordonnées image aux coordonnées terrain via les paramètres d’orientation extérieure. | | RMSE (Root Mean Square Error) | Racine carrée de la moyenne des carrés des écarts, utilisée pour évaluer la précision d’une restitution. | | Restituteur | Instrument analogique ou numérique permettant de visualiser et de mesurer un modèle stéréoscopique. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Levés topographiques d’un bassin versant (Yaoundé) **Données** : - Focale *f* = 120 mm - Base aérienne *B* = 250 m - Hauteur de vol *H* = 1300 m - Échelle souhaitée du produit final : 1 : 25 000 **Questions** : 1. Calculer l’échelle théorique du modèle *M*. 2. Déterminer le facteur de mise à l’échelle *S* nécessaire pour atteindre l’échelle souhaitée. 3. Si un facteur de sur‑correction *K* = 1,004 est appliqué, quelle est la base finale *B_f* ? **Corrigé** : 1. Convertir la focale en mètres : *f* = 0,120 m. Échelle théorique du modèle (en supposant *p* ≈ 1 pour une image numérique brute) : \[ M = \frac{f \, B}{H} = \frac{0,120 \times 250}{1300} = \frac{30}{1300} \approx 0,02308. \] Cela correspond à une échelle de 1 : 43,3 (puisque 1/0,02308 ≈ 43,3). 2. Échelle souhaitée *Mₑ* = 1/25 000 = 0,00004. Facteur de mise à l’échelle : \[ S = \frac{Mₑ}{M} = \frac{0,00004}{0,02308} \approx 0,00173. \] 3. Base finale : \[ B_f = B \times S \times K = 250 \times 0,00173 \times 1,004 \approx 0,435 \text{ m}. \] Ainsi, après toutes les corrections, la base effective utilisée pour le calcul de l’échelle est d’environ **0,44 m**. --- ### Exercice 2 – Suivi d’un barrage (Lagdo) **Données** : - Après orientation absolue analogique, on mesure sur le modèle une distance de 85 mm correspondant à 17 m terrain. - Échelle souhaitée du produit final : 1 : 2000. - Facteur de sur‑correction *K* = 1,002. **Questions** : 1. Déterminer l’échelle actuelle du modèle *Mₐc t u e l l e*. 2. Calculer le facteur de mise à l’échelle *S*. 3. En supposant que la base aérienne initiale *B* = 180 m, trouver la base finale *B_f*. **Corrigé** : 1. Échelle actuelle : \[ Mₐc t u e l l e = \frac{85 \text{ mm}}{17 \text{ m}} = \frac{85}{17000} = 0,005. \] Cela correspond à 1 : 200. 2. Échelle souhaitée *Mₑ* = 1/2000 = 0,0005. Facteur de mise à l’échelle : \[ S = \frac{Mₑ}{Mₐc t u e l l e} = \frac{0,0005}{0,005} = 0,1. \] 3. Base finale : \[ B_f = B \times S \times K = 180 \times 0,1 \times 1,002 = 18,036 \text{ m}. \] La base effective après toutes les corrections est donc d’environ **18,0 m**. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Oublier de convertir les unités (mm ↔ m) lors du calcul de l’échelle. | Échelle erronée, produit final hors spécifications. | Toujours travailler en unités cohérentes (mm pour les distances image, m pour les distances terrain) et vérifier la dimensionnalité de chaque formule. | | 2 | Appliquer un facteur de sur‑correction trop élevé (> 1,01). | Distorsion du modèle, sur‑élévation ou sous‑élévation systématique du relief. | Limiter *K* à l’intervalle 1,000 – 1,005 ; valider par contrôle sur un point de connu avant généralisation. | | 3 | Utiliser moins de trois points de contrôle pour l’orientation absolue analogique. | Solution indéterminée, erreurs importantes de translation et rotation. | Employer au moins quatre points de contrôle bien répartis (idéalement un au centre et trois aux extrémités). | | 4 | Forcer les vis de basculement au-delà de 5° lors de l’ajustement du tilt. | Déformation mécanique du porte‑objet, perte de stabilité de l’image. | Respecter la limite de 5° ; si un angle plus grand est nécessaire, refaire le vol avec une hauteur de vol différente. | | 5 | Négliger la vérification de la parallaxe résiduelle après orientation relative. | Parallaxe subsistante entraînant des erreurs d’altitude dans le modèle. | Mesurer la parallaxe sur au moins cinq points bien répartis ; accepter seulement si < 0,01 mm sur le modèle. | | 6 | Utiliser des points de contrôle mal identifiés (ex. ombre, végétation) pour l’orientation analytique. | Coordonnées image bruitées, augmentation du RMSE. | Sélectionner des points nets, contrastés et permanents (bornes géodémiques, angles de bâtiments, marquages au sol). | --- *Fin du cours.*