Chap6: Fonctions (suite)

# Chap6: Fonctions (suite) ## Ensemble de définition, sens de variation et courbe des fonctions qui à x associe ax+b; affines par intervalle et des fonctions usuelles ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons approfondir notre compréhension des fonctions. Nous explorerons comment déterminer l'ensemble des valeurs pour lesquelles une fonction est définie, comment son comportement change (augmente ou diminue), et comment la représenter graphiquement. Nous nous concentrerons sur les fonctions affines, les fonctions définies par intervalles, et certaines fonctions usuelles fondamentales comme la fonction carrée, la fonction inverse et la fonction racine carrée. ### Concepts Clés #### 1. Ensemble de définition d'une fonction L'ensemble de définition d'une fonction `\(f\)`, noté `\(D_f\)`, est l'ensemble de toutes les valeurs de `\(x\)` pour lesquelles `\(f(x)\)` peut être calculée. En d'autres termes, ce sont les valeurs de `\(x\)` pour lesquelles l'expression `\(f(x)\)` a un sens. * **Règles courantes pour déterminer `\(D_f\)`:** * **Division par zéro:** On ne peut pas diviser par zéro. Si l'expression de `\(f(x)\)` contient une fraction `\(\frac{A(x)}{B(x)}\)`, alors `\(B(x)\)` ne doit jamais être nul. Il faut donc exclure les valeurs de `\(x\)` pour lesquelles `\(B(x)=0\)`. Par exemple, pour `\(f(x) = \frac{1}{x}\)`, `\(D_f = \mathbb{R}^*\)` ou `\((-\infty, 0) \cup (0, +\infty))\)`. Pour `\(f(x) = \frac{1}{x-2}\)`, `\(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\)`. * **Racine carrée:** L'expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle. Si `\(f(x) = \sqrt{A(x)}\)`, alors `\(A(x)\)` doit être supérieur ou égal à zéro (\(A(x) \ge 0\)). Par exemple, pour `\(f(x) = \sqrt{x}\)`, `\(D_f = [0, +\infty))\)`. Pour `\(f(x) = \sqrt{x+3}\)`, il faut que `\(x+3 \ge 0\)`, soit `\(x \ge -3\)`, donc `\(D_f = [-3, +\infty))\)`. * **Autres fonctions (polynômes, affines):** Pour les fonctions qui ne contiennent ni division ni racine carrée (comme les fonctions affines ou les polynômes), l'ensemble de définition est généralement `\(\mathbb{R}\)` (l'ensemble de tous les nombres réels). #### 2. Sens de variation d'une fonction Le sens de variation décrit si une fonction est croissante, décroissante ou constante sur un certain intervalle. * **Fonction croissante:** Pour toutes valeurs `\(a\)` et `\(b\)` d'un intervalle telles que `\(a < b\)`, on a `\(f(a) < f(b)\)`. Graphiquement, la courbe monte de gauche à droite. * **Fonction décroissante:** Pour toutes valeurs `\(a\)` et `\(b\)` d'un intervalle telles que `\(a < b\)`, on a `\(f(a) > f(b)\)`. Graphiquement, la courbe descend de gauche à droite. * **Fonction constante:** Pour toutes valeurs `\(a\)` et `\(b\)` d'un intervalle, on a `\(f(a) = f(b)\)`. Graphiquement, la courbe est une ligne horizontale. #### 3. Fonctions affines (`\(f(x) = ax+b\)`) Une fonction affine est une fonction de la forme `\(f(x) = ax+b\)`, où `\(a\)` et `\(b\)` sont des nombres réels fixés. * **Ensemble de définition:** `\(D_f = \mathbb{R}\)`. * **Représentation graphique:** Une droite. * Le coefficient `\(a\)` est appelé le **coefficient directeur** ou la **pente**. Il indique l'inclinaison de la droite. * Le terme `\(b\)` est l'**ordonnée à l'origine**. C'est la valeur de `\(f(0)\)`, et c'est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées (axe `\(y\)`). * **Sens de variation:** * Si `\(a > 0\)`, la fonction est **strictement croissante** sur `\(\mathbb{R}\)`. (La droite monte). * Si `\(a < 0\)`, la fonction est **strictement décroissante** sur `\(\mathbb{R}\)`. (La droite descend). * Si `\(a = 0\)`, la fonction est `\(f(x) = b\)` (fonction constante). Elle est **constante** sur `\(\mathbb{R}\)`. (La droite est horizontale). #### 4. Fonctions affines par intervalles Une fonction affine par intervalles est une fonction dont l'expression change selon l'intervalle où se trouve `\(x\)`. Elle est définie par différentes fonctions affines sur différents intervalles de son ensemble de définition. * **Exemple:** \[ f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{si } x < 0 \\ -x+1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases} \] * **Ensemble de définition:** L'union des intervalles où elle est définie. * **Sens de variation:** Il faut analyser le sens de variation sur chaque intervalle séparément. * **Représentation graphique:** Une succession de segments de droites. #### 5. Fonctions usuelles ##### a) Fonction carrée (`\(f(x) = x^2\)`) * **Ensemble de définition:** `\(D_f = \mathbb{R}\)`. * **Sens de variation:** * **Décroissante** sur l'intervalle `\((-\infty, 0]\)`. * **Croissante** sur l'intervalle `\([0, +\infty))\)`. * **Représentation graphique:** Une **parabole** dont le sommet est l'origine `\((0,0)\)`. Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées `\((y)\)`. * Tableau de valeurs pour quelques points: \(f(0)=0\), \(f(1)=1\), \(f(-1)=1\), \(f(2)=4\), \(f(-2)=4\). ##### b) Fonction inverse (`\(f(x) = \frac{1}{x}\)`) * **Ensemble de définition:** `\(D_f = \mathbb{R}^*\)` (ou `\((-\infty, 0) \cup (0, +\infty))\)`). `\(x\)` ne peut pas être nul. * **Sens de variation:** * **Décroissante** sur l'intervalle `\((-\infty, 0))\)`. * **Décroissante** sur l'intervalle `\((0, +\infty))\)`. * Attention: Elle n'est **pas** décroissante sur `\(\mathbb{R}^*\)`. Par exemple, \(-2 < 2\) mais \(f(-2) = -0.5\) et \(f(2) = 0.5\), donc \(f(-2) < f(2)\). * **Représentation graphique:** Une **hyperbole** composée de deux branches. Elle est symétrique par rapport à l'origine `\((0,0)\)`. Les axes des coordonnées sont des **asymptotes** (la courbe s'approche des axes sans jamais les toucher). * Tableau de valeurs: \(f(1)=1\), \(f(-1)=-1\), \(f(2)=0.5\), \(f(-2)=-0.5\), \(f(0.5)=2\). ##### c) Fonction racine carrée (`\(f(x) = \sqrt{x}\)`) * **Ensemble de définition:** `\(D_f = [0, +\infty))\)`. `\(x\)` doit être positif ou nul. * **Sens de variation:** **Strictement croissante** sur l'intervalle `\([0, +\infty))\)`. * **Représentation graphique:** Une demi-parabole, démarrant à l'origine `\((0,0)\)` et montant doucement. * Tableau de valeurs: \(f(0)=0\), \(f(1)=1\), \(f(4)=2\), \(f(9)=3\). ### Vocabulaire * **Fonction affine:** Fonction de la forme `\(f(x) = ax+b\)`. * **Coefficient directeur (pente):** Le nombre `\(a\)` dans une fonction affine, indiquant l'inclinaison de la droite. * **Ordonnée à l'origine:** Le nombre `\(b\)` dans une fonction affine, valeur de `\(f(0)\)` et point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. * **Ensemble de définition:** L'ensemble des valeurs de `\(x\)` pour lesquelles une fonction est calculable. * **Sens de variation:** Propriété d'une fonction d'être croissante, décroissante ou constante sur un intervalle. * **Courbe représentative:** Le graphique d'une fonction. * **Parabole:** Courbe représentative de la fonction carrée `\(f(x) = x^2\)`. * **Hyperbole:** Courbe représentative de la fonction inverse `\(f(x) = \frac{1}{x}\)`. * **Asymptote:** Droite dont une courbe s'approche indéfiniment sans jamais la toucher. * **Fonction constante:** Fonction dont la valeur de `\(f(x)\)` reste identique pour tout `\(x\)`. ### Exemples #### Exemple 1: Fonction affine Soit la fonction `\(f(x) = -2x+4\)`. * **Ensemble de définition:** `\(D_f = \mathbb{R}\)`. * **Sens de variation:** Le coefficient directeur `\(a = -2\)` est négatif, donc la fonction est **strictement décroissante** sur `\(\mathbb{R}\)`. * **Représentation graphique:** C'est une droite. Pour la tracer, on peut calculer deux points: * Si `\(x=0\)`, `\(f(0) = -2(0)+4 = 4\)`. Point `\((0,4)\)`. (Ordonnée à l'origine) * Si `\(x=2\)`, `\(f(2) = -2(2)+4 = 0\)`. Point `\((2,0)\)`. (Abscisse à l'origine) #### Exemple 2: Ensemble de définition Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes: 1. `\(f(x) = 5x^2 - 3x + 1\)`: Pas de division, pas de racine carrée. `\(D_f = \mathbb{R}\)`. 2. `\(g(x) = \frac{3}{x+5}\)`: Le dénominateur ne doit pas être nul. `\(x+5 \ne 0 \implies x \ne -5\)`. Donc `\(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-5\}\)`. 3. `\(h(x) = \sqrt{2x-6}\)`: L'expression sous la racine doit être positive ou nulle. `\(2x-6 \ge 0 \implies 2x \ge 6 \implies x \ge 3\)`. Donc `\(D_h = [3, +\infty))\)`. #### Exemple 3: Fonction affine par intervalles Soit la fonction `\(g(x) = \begin{cases} -x+2 & \text{si } x \le 1 \\ x & \text{si } x > 1 \end{cases}\)`. * **Ensemble de définition:** `\(D_g = \mathbb{R}\)`. * **Sens de variation:** * Sur `\((-\infty, 1]\) `: `\(g(x) = -x+2\)`, le coefficient directeur est `\(-1 < 0\)`. La fonction est **décroissante** sur cet intervalle. * Sur `\((1, +\infty))\) `: `\(g(x) = x\)`, le coefficient directeur est `\(1 > 0\)`. La fonction est **croissante** sur cet intervalle. * **Représentation graphique:** * Pour `\(x \le 1\)`: segment de droite passant par `\((0,2)\)` et `\((1,1)\)`. * Pour `\(x > 1\)`: segment de droite passant par `\((1,1)\)` (point ouvert) et `\((2,2)\)`. ### Exercices 1. Pour chaque fonction affine ci-dessous, donnez son ensemble de définition, son sens de variation et les coordonnées de deux points de sa courbe représentative pour la tracer: a) `\(f(x) = 3x-1\)` b) `\(g(x) = -0.5x+2\)` c) `\(h(x) = 5\)` 2. Déterminez l'ensemble de définition des fonctions suivantes: a) `\(f(x) = \frac{4}{x-7}\)` b) `\(g(x) = \sqrt{x+9}\)` c) `\(h(x) = x^3 - 2x^2 + x\)` d) `\(k(x) = \frac{x}{\sqrt{x-4}}\) ` 3. Indiquez si les affirmations suivantes sont Vraies ou Fausses: a) La fonction carrée est croissante sur `\(\mathbb{R}\)`. b) La fonction inverse est décroissante sur `\((-\infty, 0))\)`. c) La fonction racine carrée est définie sur `\(\mathbb{R}\)`. d) La courbe de la fonction `\(f(x) = -3x+1\)` est une droite qui descend. 4. Tracez la courbe représentative de la fonction `\(f(x) = x^2\)` sur l'intervalle `\([-2, 2]\)`. ### Devoir Maison 1. Soit la fonction `\(f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ -x+1 & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}\)`. a) Déterminez l'ensemble de définition de `\(f\)`. b) Étudiez le sens de variation de `\(f\)` sur chaque intervalle. c) Tracez la courbe représentative de `\(f\)` dans un repère orthogonal. 2. Une entreprise fabrique des stylos. Le coût de production `\(C(x)\)` en euros pour `\(x\)` stylos est donné par la fonction `\(C(x) = 0.5x + 50\)`. La recette `\(R(x)\)` en euros pour `\(x\)` stylos vendus est donnée par `\(R(x) = 1.5x\)`. a) Quelle est la nature de ces deux fonctions? Donnez leur sens de variation. b) Calculez le coût et la recette pour 100 stylos. c) Déterminez le nombre de stylos que l'entreprise doit vendre pour ne pas perdre d'argent (seuil de rentabilité, quand `\(R(x) = C(x)\)`). d) Tracez les deux fonctions sur le même graphique pour `\(x\)` allant de 0 à 150. 3. Donnez l'ensemble de définition et le sens de variation des fonctions `\(f(x) = \frac{1}{x-1}\)` et `\(g(x) = \sqrt{5-x}\)`. 4. Représentez graphiquement les fonctions usuelles `\(f(x) = x^2\)`, `\(g(x) = \frac{1}{x}\)` et `\(h(x) = \sqrt{x}\)` sur des repères différents, en justifiant leur allure par leur sens de variation. ### Résumé Ce chapitre nous a permis de consolider notre compréhension des fonctions. Nous avons appris que l'**ensemble de définition** est crucial pour savoir pour quelles valeurs de `\(x\)` une fonction est calculable, en particulier pour éviter les divisions par zéro et les racines carrées de nombres négatifs. Pour les **fonctions affines** (`\(f(x) = ax+b\)`), la valeur de `\(a\)` (coefficient directeur) détermine le **sens de variation** (croissante si `\(a>0\)`, décroissante si `\(a<0\)`, constante si `\(a=0\)`), et leur **courbe représentative** est une droite. Nous avons également exploré les **fonctions affines par intervalles**, dont le comportement change à certains points. Enfin, nous avons revu les **fonctions usuelles**: * La **fonction carrée** `\(f(x) = x^2\)`: sa courbe est une parabole, décroissante puis croissante. * La **fonction inverse** `\(f(x) = \frac{1}{x}\)`: sa courbe est une hyperbole, décroissante sur `\((-\infty, 0))\)` et sur `\((0, +\infty))\)`, non définie en 0. * La **fonction racine carrée** `\(f(x) = \sqrt{x}\)`: définie pour `\(x \ge 0\)`, sa courbe est croissante. Maîtriser ces concepts est essentiel pour analyser et interpréter le comportement des fonctions en mathématiques.