Chap 5: Statistiques

# Chap 5: Statistiques ## Mode, moyenne. ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre dédié aux statistiques ! Les statistiques sont une branche des mathématiques qui nous permet de collecter, organiser, analyser et interpréter des données. Dans cette leçon, nous allons nous concentrer sur deux mesures de tendance centrale très importantes : le **mode** et la **moyenne**. Ces outils nous aident à comprendre ce qui est "typique" ou "central" dans une série de données. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une Série Statistique ? Avant de parler de mode et de moyenne, il est essentiel de comprendre les bases d'une série statistique. * **Population :** L'ensemble des individus sur lesquels porte l'étude statistique (ex: tous les élèves d'une classe). * **Individu :** Un élément de la population (ex: un élève). * **Caractère (ou Variable Statistique) :** Ce que l'on étudie sur chaque individu (ex: la note à un devoir, la couleur des yeux). Un caractère peut être: * **Qualitatif :** Décrit une qualité (ex: couleur des yeux, marque de téléphone). * **Quantitatif :** Peut être mesuré ou compté (ex: âge, taille, note). * **Discret :** Prend des valeurs isolées (nombre de frères et sœurs). * **Continu :** Peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle (taille, poids). * **Valeur du caractère :** Le résultat pour un individu (ex: pour la note, "15"). * **Effectif :** Le nombre de fois qu'une valeur du caractère apparaît dans la série (ex: 5 élèves ont eu 15). * **Fréquence :** La proportion de l'effectif par rapport à l'effectif total. Elle est souvent exprimée en pourcentage. \( \text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la valeur}}{\text{Effectif total}} \) #### Le Mode Le mode est la valeur du caractère qui a le plus grand effectif. C'est la valeur qui apparaît le plus souvent dans une série statistique. * Une série statistique peut avoir un seul mode (on dit qu'elle est unimodale), plusieurs modes (multimodale) ou aucun mode si toutes les valeurs ont le même effectif. * Il est utile pour des caractères qualitatifs ou quantitatifs discrets. #### La Moyenne Arithmétique La moyenne arithmétique (souvent appelée simplement "moyenne") est la somme de toutes les valeurs de la série divisée par le nombre total de valeurs. ##### 1. Moyenne Simple Pour une série de données non groupées, la moyenne \( \bar{x} \) est calculée en additionnant toutes les valeurs et en divisant par le nombre total de valeurs (effectif total \( n \)). \[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \] ##### 2. Moyenne Pondérée Lorsque les données sont présentées avec leurs effectifs ou fréquences, on calcule une moyenne pondérée. Chaque valeur est multipliée par son effectif (ou son poids), la somme de ces produits est ensuite divisée par l'effectif total. Si \( x_i \) sont les valeurs du caractère et \( n_i \) leurs effectifs respectifs, et \( N \) l'effectif total (\( N = \sum n_i \)), alors la moyenne est : \[ \bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + ... + n_k x_k}{N} = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i x_i}{N} \] ##### 3. Moyenne pour des données groupées en classes Lorsque les données sont groupées en classes (ex: [0;5[, [5;10[), on ne connaît pas les valeurs exactes. Pour calculer une moyenne approchée, on utilise le **centre de chaque classe**. Le centre d'une classe est la moyenne des bornes inférieure et supérieure de la classe. Ensuite, on applique la formule de la moyenne pondérée en utilisant le centre de classe comme valeur et l'effectif de la classe comme pondération. \[ \text{Centre de classe} = \frac{\text{Borne inférieure} + \text{Borne supérieure}}{2} \] ### Vocabulaire * **Série statistique :** Ensemble de données collectées pour une étude. * **Population :** L'ensemble étudié (ex: tous les élèves). * **Individu :** Un élément de la population. * **Caractère :** La propriété étudiée (ex: note, âge). * **Valeur du caractère :** Un résultat possible pour le caractère. * **Effectif :** Nombre d'individus ayant une certaine valeur. * **Fréquence :** Proportion d'une valeur dans la série (effectif/effectif total). * **Mode :** La valeur du caractère qui apparaît le plus souvent (avec le plus grand effectif). * **Moyenne arithmétique :** La somme de toutes les valeurs divisée par l'effectif total. * **Moyenne pondérée :** Moyenne calculée en multipliant chaque valeur par son effectif avant de diviser par l'effectif total. * **Classe :** Intervalle de valeurs dans lequel sont groupées les données (ex: [10;15[). * **Centre de classe :** Le point milieu d'une classe, utilisé pour estimer la moyenne des données groupées. ### Exemples #### Exemple 1: Mode et Moyenne Simple Voici les notes obtenues par 10 élèves à un devoir de mathématiques: 8, 12, 10, 14, 8, 11, 15, 12, 8, 10. * **Calcul du Mode :** * On compte les apparitions de chaque note: 8 (3 fois), 10 (2 fois), 11 (1 fois), 12 (2 fois), 14 (1 fois), 15 (1 fois). * La note qui apparaît le plus souvent est 8. * **Le mode est 8.** * **Calcul de la Moyenne :** * Somme des notes: \( 8+12+10+14+8+11+15+12+8+10 = 108 \) * Nombre total de notes (effectif total): 10 * Moyenne: \( \bar{x} = \frac{108}{10} = 10.8 \) * **La moyenne est 10.8.** #### Exemple 2: Moyenne Pondérée Un sondage a été réalisé sur le nombre d'enfants par famille dans un quartier. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant : | Nombre d'enfants \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |----------------------|---|---|---|---|---| | Nombre de familles \(n_i\) | 5 | 10 | 12 | 8 | 3 | * **Calcul du Mode :** * L'effectif le plus élevé est 12, correspondant au nombre d'enfants 2. * **Le mode est 2 enfants.** * **Calcul de la Moyenne Pondérée :** * Effectif total \(N = 5 + 10 + 12 + 8 + 3 = 38 \) familles. * Somme des produits \(n_i x_i \): \( (5 \times 0) + (10 \times 1) + (12 \times 2) + (8 \times 3) + (3 \times 4) \) \( = 0 + 10 + 24 + 24 + 12 = 70 \) * Moyenne: \( \bar{x} = \frac{70}{38} \approx 1.84 \) * **La moyenne est environ 1.84 enfant par famille.** #### Exemple 3: Moyenne pour des données groupées en classes Voici la répartition des salaires mensuels (en euros) dans une petite entreprise : | Salaire (€) | [1500; 2000[ | [2000; 2500[ | [2500; 3000[ | [3000; 3500[ | |-------------|--------------|--------------|--------------|--------------| | Effectif | 10 | 15 | 8 | 5 | * **Estimation de la Moyenne :** * Calcul des centres de classes : * Classe [1500; 2000[ : \( \frac{1500+2000}{2} = 1750 \) * Classe [2000; 2500[ : \( \frac{2000+2500}{2} = 2250 \) * Classe [2500; 3000[ : \( \frac{2500+3000}{2} = 2750 \) * Classe [3000; 3500[ : \( \frac{3000+3500}{2} = 3250 \) * Effectif total \(N = 10 + 15 + 8 + 5 = 38 \) employés. * Somme des produits (centre \( \times \) effectif) : \( (1750 \times 10) + (2250 \times 15) + (2750 \times 8) + (3250 \times 5) \) \( = 17500 + 33750 + 22000 + 16250 = 89500 \) * Moyenne estimée: \( \bar{x} = \frac{89500}{38} \approx 2355.26 \) * **Le salaire moyen estimé est d'environ 2355.26 euros.** ### Exercices 1. Une enquête a été menée auprès de 20 personnes sur le nombre de livres qu'elles ont lus le mois dernier. Voici les résultats : 2, 5, 3, 2, 4, 1, 0, 3, 2, 5, 4, 3, 2, 1, 3, 4, 2, 5, 3, 2. * a) Déterminez le mode de cette série. * b) Calculez la moyenne du nombre de livres lus. 2. Les notes obtenues par les élèves de Seconde à un test de géographie sont résumées dans le tableau suivant : | Note | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |------|---|---|---|----|----|----|----|----|----|----|----|----| | Effectif | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 | * a) Quel est le mode de cette série de notes ? * b) Calculez la moyenne de ces notes. 3. Le tableau suivant montre la répartition des âges des participants à un marathon : | Âge (années) | [18; 25[ | [25; 35[ | [35; 45[ | [45; 55[ | [55; 65[ | |--------------|----------|----------|----------|----------|----------| | Effectif | 40 | 80 | 60 | 30 | 10 | * Estimez l'âge moyen des participants à ce marathon. ### Devoir à la Maison 1. Un magasin d'électronique a enregistré le nombre d'ordinateurs vendus chaque jour pendant deux semaines (14 jours) : 8, 12, 10, 15, 7, 9, 12, 10, 11, 12, 14, 8, 10, 13. * a) Déterminez le mode des ventes journalières. * b) Calculez la moyenne des ventes journalières. 2. Les résultats d'un sondage sur la pointure de chaussures dans un groupe de 50 adultes sont donnés par le tableau : | Pointure | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | |----------|----|----|----|----|----|----|----|----| | Effectif | 3 | 8 | 12 | 10 | 9 | 5 | 2 | 1 | * a) Quel est le mode de cette série ? * b) Calculez la pointure moyenne de ce groupe. 3. Un organisme mesure la durée de vie (en heures) de 100 ampoules. Les résultats sont groupés comme suit : | Durée de vie (heures) | [800; 900[ | [900; 1000[ | [1000; 1100[ | [1100; 1200[ | |-----------------------|------------|-------------|--------------|--------------| | Nombre d'ampoules | 20 | 45 | 25 | 10 | * Estimez la durée de vie moyenne d'une ampoule de cette série. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré deux indicateurs de tendance centrale fondamentaux en statistiques : le **mode** et la **moyenne**. * Le **mode** est la valeur qui apparaît le plus souvent dans une série statistique. Il est simple à identifier et utile pour tous types de caractères, notamment qualitatifs. * La **moyenne arithmétique** est la somme de toutes les valeurs divisée par l'effectif total. Elle est sensible à toutes les valeurs et donne une idée du "centre de gravité" de la série. Nous avons appris à la calculer pour des séries simples, des séries avec effectifs (moyenne pondérée), et à l'estimer pour des données groupées en classes en utilisant les centres de classes. Ces mesures nous permettent de résumer et d'interpréter des ensembles de données, offrant un premier aperçu des caractéristiques principales d'une série statistique.