Chap 6 : Fonctions

# Chap 6 : Fonctions ## Fonctions et Applications : définition, ensemble de définition, antécédents, images, sens de variation, courbe représentative. ### Introduction aux Fonctions Bienvenue dans ce chapitre essentiel des mathématiques de Seconde : les fonctions ! Une fonction est un outil puissant qui nous permet de décrire des relations entre différentes quantités. Imaginez une "machine" qui prend un nombre en entrée, effectue des calculs et produit un unique nombre en sortie. C'est exactement ce qu'est une fonction. Nous allons explorer comment les définir, les utiliser pour résoudre des problèmes, et les représenter graphiquement. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une Fonction Une fonction, notée souvent `f`, est un procédé qui, à chaque nombre `x` d'un ensemble de départ, associe **au plus un** nombre `y` dans un ensemble d'arrivée. * On note `f: x \mapsto y` ou plus fréquemment `y = f(x)`. L'expression `f(x)` se lit "f de x". * `x` est la **variable** ou l'**antécédent**. * `y` est l'**image** de `x` par la fonction `f`. **Exemple:** La fonction qui à un nombre `x` associe son carré, plus 3. On l'écrit `f(x) = x^2 + 3`. #### 2. Ensemble de Définition L'**ensemble de définition** (ou domaine de définition) d'une fonction `f`, noté `D_f`, est l'ensemble de tous les nombres `x` pour lesquels `f(x)` peut être calculé. Autrement dit, ce sont les valeurs de `x` pour lesquelles la fonction a un sens. Certaines opérations ne sont pas toujours possibles : * **Division par zéro :** Le dénominateur d'une fraction ne peut jamais être égal à zéro. Si vous avez une fonction de la forme \[ f(x) = \frac{Numérateur}{Dénominateur(x)} \] il faut s'assurer que `Dénominateur(x) \neq 0`. * **Racine carrée d'un nombre négatif :** L'expression sous un radical (signe de racine carrée) doit toujours être positive ou nulle. Si vous avez une fonction de la forme \[ g(x) = \sqrt{Expression(x)} \] il faut s'assurer que `Expression(x) \ge 0`. #### 3. Image et Antécédent * **Calculer une image :** Pour trouver l'image d'un nombre `a` par une fonction `f`, on remplace `x` par `a` dans l'expression de `f(x)` et on calcule la valeur de `f(a)`. * Chaque `x` n'a qu'**une seule** image. * **Calculer un antécédent :** Pour trouver les antécédents d'un nombre `b` par une fonction `f`, on résout l'équation `f(x) = b`. * Un nombre `b` peut avoir **zéro, un ou plusieurs antécédents**. #### 4. Sens de Variation d'une Fonction Le sens de variation décrit comment l'image `f(x)` évolue lorsque `x` augmente sur un intervalle donné. * **Fonction croissante :** Sur un intervalle `I`, si pour tous `a, b \in I` tels que `a < b`, on a `f(a) < f(b)`. La courbe "monte" de gauche à droite. * **Fonction décroissante :** Sur un intervalle `I`, si pour tous `a, b \in I` tels que `a < b`, on a `f(a) > f(b)`. La courbe "descend" de gauche à droite. * **Fonction constante :** Sur un intervalle `I`, si pour tous `a, b \in I`, on a `f(a) = f(b)`. La courbe est une droite horizontale. On représente souvent le sens de variation dans un **tableau de variation**. #### 5. Courbe Représentative d'une Fonction La **courbe représentative** d'une fonction `f`, notée `C_f`, est l'ensemble de tous les points `M(x; f(x))` dans un repère orthogonal. * Pour tracer une courbe, on peut construire un tableau de valeurs (choisir des `x`, calculer les `f(x)` correspondants) et placer les points `(x; f(x))` dans le repère. * **Lecture graphique :** * L'image de `x` est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse `x`. * Les antécédents de `y` sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée `y`. * Le sens de variation est visualisé par le fait que la courbe monte ou descend. ### Vocabulaire Important * **Fonction :** Procédé associant à chaque nombre une unique image. * **Variable :** Le nombre `x` qu'on donne en entrée à une fonction. * **Image :** Le résultat `f(x)` obtenu en appliquant la fonction à `x`. * **Antécédent :** Le ou les nombres `x` qui ont `y` pour image (si `f(x)=y`). * **Ensemble de définition (Domaine de définition) :** L'ensemble des valeurs de `x` pour lesquelles `f(x)` est calculable. * **Courbe représentative :** Représentation graphique d'une fonction dans un repère, composée de tous les points `(x; f(x))`. * **Fonction croissante :** Une fonction dont les images augmentent quand les antécédents augmentent. * **Fonction décroissante :** Une fonction dont les images diminuent quand les antécédents augmentent. * **Tableau de variation :** Tableau récapitulatif du sens de variation d'une fonction sur ses intervalles de définition. ### Exemples Pratiques **Exemple 1 : Calcul d'images et d'antécédents** Soit la fonction `f(x) = 2x - 3`. * **Image de 5 :** `f(5) = 2 \times 5 - 3 = 10 - 3 = 7`. L'image de 5 est 7. * **Antécédent de 11 :** On résout `f(x) = 11`. `2x - 3 = 11 \implies 2x = 14 \implies x = 7`. L'antécédent de 11 est 7. **Exemple 2 : Ensemble de définition** * Soit `g(x) = \frac{1}{x-4}`. Le dénominateur ne doit pas être nul, donc `x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4`. L'ensemble de définition est `D_g = \mathbb{R} \setminus \{4\}` ou `]-\infty; 4[ \cup ]4; +\infty[`. * Soit `h(x) = \sqrt{x+2}`. L'expression sous la racine doit être positive ou nulle, donc `x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2`. L'ensemble de définition est `D_h = [-2; +\infty[`. **Exemple 3 : Sens de variation (graphique)** Considérons la fonction `f(x) = x^2`. Sa courbe est une parabole. Sur l'intervalle `]-\infty; 0]`, la fonction est décroissante. Si `x` passe de -3 à -1 (il augmente), `f(x)` passe de 9 à 1 (il diminue). Sur l'intervalle `[0; +\infty[`, la fonction est croissante. Si `x` passe de 1 à 3 (il augmente), `f(x)` passe de 1 à 9 (il augmente). ### Exercices 1. Soit la fonction `f` définie par `f(x) = -3x + 4`. a. Calculez l'image de 2 par `f`. b. Calculez `f(-1)`. c. Déterminez l'antécédent de 10 par `f`. 2. Déterminez l'ensemble de définition des fonctions suivantes : a. `g(x) = 5x^2 - 7x + 1` b. `h(x) = \frac{2x}{x+5}` c. `k(x) = \sqrt{3x - 9}` 3. On donne la courbe représentative d'une fonction `f`. (Imaginez une courbe qui descend de `y=5` à `x= -2`, puis monte à `y=3` à `x=1`, puis redescend à `y=-1` à `x=4`.) a. Lisez l'image de 0 par `f`. b. Lisez les antécédents de 3 par `f`. c. Sur quel(s) intervalle(s) la fonction `f` semble-t-elle croissante ? décroissante ? ### Devoirs à la Maison 1. Soit la fonction `f` définie par `f(x) = x^2 - 4x + 1`. a. Calculez `f(0)`, `f(2)`, et `f(-3)`. b. Montrez que `f(x) = (x-2)^2 - 3`. c. Utilisez cette nouvelle expression pour trouver les antécédents de 6 par `f`. 2. Tracez la courbe représentative de la fonction `g(x) = -x + 3` pour `x` appartenant à `[-2; 5]` en utilisant un tableau de valeurs. 3. Considérons la fonction `h(x) = \frac{2x-1}{x-2}`. a. Quel est l'ensemble de définition de `h` ? b. Déterminez si le point `A(3; 5)` appartient à la courbe représentative de `h`. c. Existe-t-il des antécédents de 2 par `h` ? Justifiez votre réponse. ### Résumé Pour récapituler, une fonction est une règle qui attribue une unique image `f(x)` à chaque antécédent `x` de son ensemble de définition. L'ensemble de définition est crucial pour savoir quelles valeurs de `x` sont valides. Vous avez appris à calculer des images et des antécédents, à analyser le sens de variation (croissant, décroissant, constant) et à interpréter la courbe représentative d'une fonction, qui est la visualisation de tous les couples `(x; f(x))`. Maîtriser ces concepts est fondamental pour la suite de votre parcours en mathématiques ! ## Taux d’accroissement d’une Fonction. ### Introduction Bienvenue à ce chapitre sur les fonctions ! Aujourd'hui, nous allons aborder un concept fondamental en mathématiques : le **taux d'accroissement** d'une fonction. Ce concept nous permet de comprendre comment une fonction évolue entre deux points, c'est-à-dire à quelle "vitesse moyenne" sa valeur change sur un intervalle donné. C'est un outil essentiel pour analyser le comportement des fonctions, que ce soit en mathématiques pures, en physique, en économie ou dans d'autres domaines. ### Concepts Clés #### Rappel sur les Fonctions Une fonction \( f \) est un processus qui associe à chaque nombre \( x \) (appelé antécédent) d'un ensemble de départ, un unique nombre \( y \) (appelé image) d'un ensemble d'arrivée. On écrit \( y = f(x) \). #### Qu'est-ce que le Taux d'Accroissement ? Le taux d'accroissement d'une fonction mesure la variation moyenne de l'image d'une fonction par rapport à la variation de son antécédent sur un intervalle donné. En d'autres termes, il indique de combien la valeur de \( f(x) \) change en moyenne lorsque \( x \) change. ##### Formule du Taux d'Accroissement Soit une fonction \( f \) définie sur un intervalle et deux nombres distincts \( a \) et \( b \) appartenant à cet intervalle. Le taux d'accroissement de la fonction \( f \) entre \( a \) et \( b \) est donné par la formule : \[ T_{a,b} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \] * \( f(b) - f(a) \) représente la variation des images (l'"accroissement" de \( y \)). * \( b - a \) représente la variation des antécédents (l'"accroissement" de \( x \)). ##### Interprétation Géométrique Graphiquement, le taux d'accroissement entre deux points \( A(a, f(a)) \) et \( B(b, f(b)) \) de la courbe représentative de \( f \) est la **pente (ou coefficient directeur) de la droite sécante** passant par ces deux points. Une sécante est une droite qui coupe la courbe en au moins deux points. ##### Pourquoi est-ce important ? Le taux d'accroissement nous permet de quantifier la "pente" moyenne de la courbe d'une fonction sur un intervalle. Si le taux est positif, la fonction est en augmentation sur cet intervalle. S'il est négatif, elle est en diminution. S'il est nul, elle est constante. Plus la valeur absolue du taux est élevée, plus la fonction varie rapidement. ### Vocabulaire * **Fonction :** Une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble de départ un unique élément d'un ensemble d'arrivée. * **Taux d'accroissement :** Mesure la variation moyenne d'une fonction entre deux points. * **Intervalle :** Une portion continue de nombres réels (par exemple, \( [a, b] \) ou \( ]a, b[ \)). * **Antécédent :** La valeur d'entrée \( x \) d'une fonction. * **Image :** La valeur de sortie \( y = f(x) \) d'une fonction. * **Sécante :** Une droite qui coupe une courbe en au moins deux points. * **Pente (ou coefficient directeur) :** Mesure l'inclinaison d'une droite. Elle est calculée comme le rapport de la variation verticale sur la variation horizontale. ### Exemples #### Exemple 1 : Fonction Linéaire Soit la fonction \( f(x) = 2x + 3 \). Calculons le taux d'accroissement entre \( a=1 \) et \( b=3 \). 1. Calcul des images : * \( f(a) = f(1) = 2(1) + 3 = 5 \) * \( f(b) = f(3) = 2(3) + 3 = 9 \) 2. Application de la formule : \[ T_{1,3} = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] Le taux d'accroissement est de 2. C'est la pente de la droite, ce qui est logique pour une fonction linéaire. #### Exemple 2 : Fonction Quadratique Soit la fonction \( g(x) = x^2 \). Calculons le taux d'accroissement entre \( a=0 \) et \( b=2 \). 1. Calcul des images : * \( g(a) = g(0) = 0^2 = 0 \) * \( g(b) = g(2) = 2^2 = 4 \) 2. Application de la formule : \[ T_{0,2} = \frac{g(2) - g(0)}{2 - 0} = \frac{4 - 0}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] Calculons maintenant le taux d'accroissement pour \( g(x) = x^2 \) entre \( a=1 \) et \( b=3 \). 1. Calcul des images : * \( g(a) = g(1) = 1^2 = 1 \) * \( g(b) = g(3) = 3^2 = 9 \) 2. Application de la formule : \[ T_{1,3} = \frac{g(3) - g(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] On remarque que pour une fonction non linéaire, le taux d'accroissement n'est pas constant ; il dépend de l'intervalle choisi. #### Exemple 3 : Problème Concret Un cycliste parcourt 20 km en 1 heure, puis 35 km supplémentaires en 1,5 heure. La distance parcourue \( D \) en fonction du temps \( t \) peut être représentée par une fonction. 1. Calculons la vitesse moyenne (taux d'accroissement de la distance) sur la première heure : \( a=0 \), \( D(0)=0 \) \( b=1 \), \( D(1)=20 \) \[ T_{0,1} = \frac{D(1) - D(0)}{1 - 0} = \frac{20 - 0}{1} = 20 \text{ km/h} \] 2. Calculons la vitesse moyenne sur la deuxième partie du trajet (entre \( t=1 \)h et \( t=1+1.5=2.5 \)h) : \( a=1 \), \( D(1)=20 \) \( b=2.5 \), \( D(2.5)=20+35=55 \) \[ T_{1,2.5} = \frac{D(2.5) - D(1)}{2.5 - 1} = \frac{55 - 20}{1.5} = \frac{35}{1.5} \approx 23.33 \text{ km/h} \] Le taux d'accroissement représente ici la vitesse moyenne du cycliste sur chaque intervalle de temps. ### Exercices 1. Soit la fonction \( f(x) = 3x - 1 \). Calculez le taux d'accroissement entre \( x_1 = 2 \) et \( x_2 = 5 \). 2. Soit la fonction \( h(x) = -2x^2 + 4x + 1 \). a. Calculez le taux d'accroissement entre \( x_1 = -1 \) et \( x_2 = 1 \). b. Calculez le taux d'accroissement entre \( x_1 = 0 \) et \( x_2 = 2 \). c. Que pouvez-vous en déduire sur la variation de la fonction sur ces intervalles ? 3. Un arbre mesure 1,5 m à l'achat (année 0). Après 3 ans, il mesure 2,7 m. Puis, après 2 années supplémentaires (soit 5 ans au total), il mesure 3,5 m. a. Quelle est la vitesse de croissance moyenne de l'arbre sur les 3 premières années ? b. Quelle est sa vitesse de croissance moyenne entre la 3ème et la 5ème année ? ### Devoir Maison 1. Pour la fonction \( f(x) = x^3 - x \), calculez le taux d'accroissement sur les intervalles suivants : a. \( [0, 1] \) b. \( [-1, 0] \) c. \( [-2, 2] \) Interprétez vos résultats. 2. On considère la fonction \( k(x) = rac{1}{x} \) définie pour \( x \neq 0 \). a. Calculez le taux d'accroissement entre \( x_1 = 1 \) et \( x_2 = 2 \). b. Calculez le taux d'accroissement entre \( x_1 = -2 \) et \( x_2 = -1 \). c. Que constatez-vous concernant le signe du taux d'accroissement dans ces deux cas ? Que cela signifie-t-il pour le sens de variation de la fonction sur ces intervalles ? 3. Un véhicule part de l'arrêt et parcourt 100 mètres en 10 secondes. Après 5 secondes supplémentaires (total 15s), il a parcouru 250 mètres au total. a. Calculez la vitesse moyenne du véhicule sur les 10 premières secondes. b. Calculez la vitesse moyenne du véhicule entre la 10ème et la 15ème seconde. c. Proposez une explication à la différence des vitesses moyennes. ### Résumé Le **taux d'accroissement** d'une fonction \( f \) entre deux points \( a \) et \( b \) est une mesure de la variation moyenne de la fonction sur l'intervalle \( [a, b] \). Sa formule est \[ T_{a,b} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]. Géométriquement, il représente la **pente de la droite sécante** qui relie les points \( (a, f(a)) \) et \( (b, f(b)) \) sur la courbe de la fonction. C'est un outil fondamental pour analyser le sens de variation d'une fonction et comprendre comment elle évolue. Pour les fonctions linéaires, le taux d'accroissement est constant et égal à la pente de la droite. Pour les fonctions non linéaires, le taux d'accroissement varie selon l'intervalle considéré.