Chap2: Calcul littéral

# Chap2: Calcul littéral ## Diverses factorisations simples ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur le calcul littéral ! Après avoir vu comment développer des expressions, nous allons explorer l'opération inverse : la factorisation. Factoriser une expression, c'est la transformer d'une somme ou d'une différence en un produit de facteurs. Cette compétence est fondamentale en mathématiques, car elle nous permet de simplifier des expressions, de résoudre des équations et de mieux comprendre le comportement des fonctions. Dans cette leçon, nous allons nous concentrer sur les méthodes de factorisation les plus courantes et les plus simples. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que la factorisation ? La factorisation est l'opération qui consiste à écrire une expression littérale (une somme ou une différence de termes) sous la forme d'un produit de facteurs. C'est l'opération "inverse" du développement. **Exemple :** * Développement : \(3(x+2) = 3x + 6\) * Factorisation : \(3x + 6 = 3(x+2)\) #### Factoriser avec un facteur commun C'est la méthode la plus simple et la première à toujours chercher. Elle repose sur la propriété de distributivité : \[ ka + kb = k(a+b) \] \[ ka - kb = k(a-b) \] Pour factoriser une expression par un facteur commun : 1. **Identifier le facteur commun** : Cherchez un terme (nombre, lettre ou expression entière) qui apparaît dans tous les termes de la somme ou de la différence. 2. **Mettre le facteur commun en évidence** : Écrivez ce facteur commun devant une parenthèse. 3. **Compléter la parenthèse** : Écrivez les termes restants à l'intérieur de la parenthèse, en veillant à conserver les signes. #### Factoriser avec les identités remarquables Les identités remarquables sont des égalités que nous avons vues lors du développement. Elles permettent également de factoriser rapidement certaines expressions si elles sont sous la forme d'une somme ou d'une différence spécifique. Il y en a trois à connaître par cœur : ##### 1. Le carré d'une somme Si une expression est de la forme \(a^2 + 2ab + b^2\), alors elle peut être factorisée en \((a+b)^2\). \[ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \] ##### 2. Le carré d'une différence Si une expression est de la forme \(a^2 - 2ab + b^2\), alors elle peut être factorisée en \((a-b)^2\). \[ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \] ##### 3. La différence de deux carrés Si une expression est de la forme \(a^2 - b^2\), alors elle peut être factorisée en \((a-b)(a+b)\). \[ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \] ### Vocabulaire * **Factorisation :** Opération consistant à transformer une somme ou une différence de termes en un produit de facteurs. * **Facteur commun :** Un terme (nombre, variable ou expression) qui est présent dans chacun des termes d'une somme ou d'une différence, et que l'on peut "extraire" pour factoriser. * **Identité remarquable :** Égalité algébrique spéciale qui est toujours vraie et qui permet de simplifier ou de transformer rapidement certaines expressions (développement ou factorisation). * **Terme :** Partie d'une expression séparée par une addition ou une soustraction. * **Produit :** Résultat d'une multiplication. ### Exemples #### Factorisation avec un facteur commun 1. \(A = 5x + 15\) * Le facteur commun est \(5\). * \(A = 5 \times x + 5 \times 3 = 5(x+3)\) 2. \(B = 7x^2 - 14x\) * Le facteur commun est \(7x\). * \(B = 7x \times x - 7x \times 2 = 7x(x-2)\) 3. \(C = (x+2)(3x-1) + (x+2)(5x+4)\) * Le facteur commun est l'expression \((x+2)\). * \(C = (x+2)[(3x-1) + (5x+4)]\) * \(C = (x+2)(3x-1+5x+4)\) * \(C = (x+2)(8x+3)\) #### Factorisation avec les identités remarquables 1. **Type \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\)** \(D = x^2 + 10x + 25\) * On reconnaît \(x^2\) (donc \(a=x\)) et \(25 = 5^2\) (donc \(b=5\)). * On vérifie le terme du milieu : \(2ab = 2 \times x \times 5 = 10x\). C'est bien le cas. * \(D = (x+5)^2\) 2. **Type \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\)** \(E = 9x^2 - 12x + 4\) * On reconnaît \(9x^2 = (3x)^2\) (donc \(a=3x\)) et \(4 = 2^2\) (donc \(b=2\)). * On vérifie le terme du milieu : \(-2ab = -2 \times 3x \times 2 = -12x\). C'est bien le cas. * \(E = (3x-2)^2\) 3. **Type \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)** \(F = 49x^2 - 36\) * On reconnaît \(49x^2 = (7x)^2\) (donc \(a=7x\)) et \(36 = 6^2\) (donc \(b=6\)). * \(F = (7x-6)(7x+6)\) 4. **Type \(A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)\) avec des expressions complexes** \(G = (2x+3)^2 - (x-5)^2\) * Ici, \(A=(2x+3)\) et \(B=(x-5)\). * \(G = [(2x+3) - (x-5)][(2x+3) + (x-5)]\) * \(G = [2x+3-x+5][2x+3+x-5]\) * \(G = (x+8)(3x-2)\) ### Exercices Factorisez les expressions suivantes : 1. \(8x - 12\) 2. \(10y^2 + 5y\) 3. \((x-3)(2x+5) - (x-3)(x+1)\) 4. \(x^2 - 14x + 49\) 5. \(25x^2 + 20x + 4\) 6. \(81 - 16x^2\) ### Devoir à la maison Factorisez les expressions suivantes : 1. \(6ab^2 - 9a^2b\) 2. \(4x(x-7) + 5(x-7)\) 3. \(36x^2 - 48x + 16\) 4. \(1 - (4x+3)^2\) 5. \((5x-2)^2 - (3x+1)^2\) 6. \(x^3 - x\) ### Résumé La factorisation est une compétence essentielle en calcul littéral. Nous avons vu deux méthodes principales pour factoriser des expressions : * **La recherche d'un facteur commun :** C'est la première étape. Cherchez un terme qui apparaît dans tous les composants de l'expression et mettez-le en évidence en utilisant la distributivité inversée : \(ka \pm kb = k(a \pm b)\). * **L'utilisation des identités remarquables :** Si un facteur commun n'est pas évident ou si l'expression a une forme particulière, pensez aux trois identités remarquables : * \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\) * \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\) * \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) Maîtriser ces techniques vous permettra de simplifier de nombreuses expressions et de résoudre des problèmes plus complexes. Entraînez-vous régulièrement pour bien les assimiler ! ## Développement des polynômes ### Introduction Bienvenue à ce chapitre sur le développement des polynômes ! En mathématiques, le développement est une compétence fondamentale qui consiste à transformer un produit de facteurs en une somme de termes. C'est l'opération inverse de la factorisation. Maîtriser le développement vous permettra de simplifier des expressions complexes, de résoudre des équations et de mieux comprendre le comportement des fonctions polynômiales. Préparez-vous à revoir et à approfondir les règles de la distributivité et à découvrir des "raccourcis" très utiles appelés identités remarquables. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que le développement ? Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme. Cela signifie que l'on va "ouvrir" les parenthèses en multipliant les termes entre eux. ##### La Distributivité Simple C'est la règle de base pour développer une expression de la forme \\( k(a+b) \\). Lorsque vous avez un facteur multipliant une somme (ou une différence) entre parenthèses, vous devez multiplier ce facteur par *chaque* terme à l'intérieur de la parenthèse. \\\[ k(a+b) = ka + kb \\\\] \\\[ k(a-b) = ka - kb \\\\] ##### La Distributivité Double Cette règle s'applique lorsque vous multipliez deux sommes (ou différences) entre parenthèses, de la forme \\( (a+b)(c+d) \\). Vous devez multiplier *chaque* terme de la première parenthèse par *chaque* terme de la seconde parenthèse. \\\[ (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd \\\\] #### Les Identités Remarquables Les identités remarquables sont des cas particuliers de la distributivité double qui reviennent très souvent. Les connaître par cœur et savoir les appliquer vous fera gagner beaucoup de temps. ##### 1. Carré d'une somme \\\[ (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + 2ab + b^2 \\\\] * Le carré du premier terme, plus le double produit du premier par le second, plus le carré du second terme. ##### 2. Carré d'une différence \\\[ (a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - 2ab + b^2 \\\\] * Le carré du premier terme, moins le double produit du premier par le second, plus le carré du second terme. ##### 3. Produit d'une somme par une différence \\\[ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \\\\] * Le carré du premier terme, moins le carré du second terme. #### Réduire et Ordonner un Polynôme Après avoir développé une expression, l'étape suivante est de la réduire et de l'ordonner. * **Réduire:** Cela consiste à regrouper les termes "similaires" (c'est-à-dire les termes qui ont la même variable élevée à la même puissance). Par exemple, \\( 3x^2 \\) et \\( 5x^2 \\) peuvent être regroupés en \\( 8x^2 \\). * **Ordonner:** Il est courant de présenter les polynômes dans un ordre décroissant des puissances de la variable. Par exemple, \\( 3x - 5 + 2x^2 \\) serait ordonné en \\( 2x^2 + 3x - 5 \\). ### Vocabulaire * **Développement:** Opération qui consiste à transformer un produit en une somme. * **Polynôme:** Expression algébrique constituée d'une somme de plusieurs termes. Chaque terme est le produit d'un nombre (le coefficient) et d'une ou plusieurs variables élevées à des puissances entières positives. * **Terme:** Partie d'une expression séparée par une addition ou une soustraction. Ex: dans \\( 3x^2 + 2x - 5 \\), \\( 3x^2 \\), \\( 2x \\) et \\( -5 \\) sont des termes. * **Coefficient:** Le nombre qui multiplie la variable dans un terme. Ex: dans \\( 3x^2 \\), 3 est le coefficient. * **Degré d'un terme:** La puissance de la variable dans ce terme. Ex: le degré de \\( 3x^2 \\) est 2. * **Degré d'un polynôme:** Le degré le plus élevé parmi tous les termes du polynôme. * **Identité remarquable:** Égalité algébrique qui est toujours vraie et qui permet de développer ou de factoriser rapidement certaines expressions. * **Réduire:** Simplifier une expression en combinant les termes de même nature. ### Exemples #### 1. Distributivité simple Développer l'expression \\( A = 5(2x-3) \\). \\\[ A = 5 \times (2x) - 5 \times 3 \\\\] \\\[ A = 10x - 15 \\\\] #### 2. Distributivité double Développer l'expression \\( B = (x+4)(2x-1) \\). \\\[ B = x \times (2x) + x \times (-1) + 4 \times (2x) + 4 \times (-1) \\\\] \\\[ B = 2x^2 - x + 8x - 4 \\\\] \\\[ B = 2x^2 + 7x - 4 \\\\] #### 3. Identités remarquables ##### a) Carré d'une somme Développer \\( C = (3x+2)^2 \\). (forme \\( (a+b)^2 \\) avec \\( a=3x \\) et \\( b=2 \\)) \\\[ C = (3x)^2 + 2 \times (3x) \times 2 + 2^2 \\\\] \\\[ C = 9x^2 + 12x + 4 \\\\] ##### b) Carré d'une différence Développer \\( D = (5-2x)^2 \\). (forme \\( (a-b)^2 \\) avec \\( a=5 \\) et \\( b=2x \\)) \\\[ D = 5^2 - 2 \times 5 \times (2x) + (2x)^2 \\\\] \\\[ D = 25 - 20x + 4x^2 \\\\] Ordonné: \\\[ D = 4x^2 - 20x + 25 \\\\] ##### c) Produit d'une somme par une différence Développer \\( E = (4x-3)(4x+3) \\). (forme \\( (a-b)(a+b) \\) avec \\( a=4x \\) et \\( b=3 \\)) \\\[ E = (4x)^2 - 3^2 \\\\] \\\[ E = 16x^2 - 9 \\\\] #### 4. Expressions combinées Développer et réduire \\( F = (x+1)(x-2) - (x-3)^2 \\). * Développement de \\( (x+1)(x-2) \\): \\\[ x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2 \\\\] * Développement de \\( (x-3)^2 \\) (identité remarquable): \\\[ x^2 - 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9 \\\\] * Maintenant, substituer dans \\( F \\) en faisant attention au signe moins devant la parenthèse ! \\\[ F = (x^2 - x - 2) - (x^2 - 6x + 9) \\\\] \\\[ F = x^2 - x - 2 - x^2 + 6x - 9 \\\\] \\\[ F = (x^2 - x^2) + (-x + 6x) + (-2 - 9) \\\\] \\\[ F = 0 + 5x - 11 \\\\] \\\[ F = 5x - 11 \\\\] ### Exercices Développer et réduire les expressions suivantes : 1. \( A = 3(4x - 7) \) 2. \( B = -2(x^2 + 5x - 1) \) 3. \( C = (x+5)(x+2) \) 4. \( D = (3x-4)(2x+1) \) 5. \( E = (x+6)^2 \) 6. \( F = (7-y)^2 \) 7. \( G = (2a+5)(2a-5) \) 8. \( H = (x+3)^2 - (x-1)(x+4) \) 9. \( I = 2(x-3)^2 + 5(x+1)(x-1) \) ### Devoir Développer et simplifier les expressions suivantes. Montrez toutes les étapes de votre calcul. 1. \( J = (2x+3)(x-5) + 4(x^2-3x+2) \) 2. \( K = (5x-2)^2 - (x+4)^2 \) 3. \( L = (3x - \frac{1}{2})(3x + \frac{1}{2}) - (x+1)(2x-3) \) 4. Soit l'expression \( M = (x+2)^2 - (x^2 + 4) \). a) Développer et réduire \( M \). b) Calculer \( M \) pour \( x = -3 \). 5. Un rectangle a pour longueur \( 2x+3 \) et pour largeur \( x-1 \). a) Exprimer son aire \( A \) en fonction de \( x \) sous forme développée et réduite. b) Exprimer son périmètre \( P \) en fonction de \( x \) sous forme développée et réduite. ### Résumé Le développement est une technique essentielle en algèbre qui consiste à transformer un produit en une somme. Nous avons revu deux méthodes principales : * La **distributivité** (simple et double) qui permet de multiplier un terme par une parenthèse, ou deux parenthèses entre elles. * Les **identités remarquables**, qui sont trois formules à connaître par cœur pour des développements rapides et efficaces : 1. \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) 2. \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) 3. \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) Après le développement, il est crucial de **réduire** l'expression en regroupant les termes de même puissance et de l'**ordonner** (généralement par puissances décroissantes) pour obtenir le résultat final. Une bonne maîtrise de ces techniques est fondamentale pour la suite de vos études en mathématiques !