Chap 5 : Statistiques (suite et fin)

# Chap 5 : Statistiques (suite et fin) ## Diagrammes à bâtons, à bandes (horizontales ou verticales), circulaires, semi circulaires ; pictogramme. ### Introduction Bienvenue dans cette dernière partie du chapitre sur les statistiques! Après avoir appris à collecter et organiser les données, il est temps de découvrir comment les représenter visuellement. Les représentations graphiques sont essentielles pour interpréter rapidement et efficacement les informations contenues dans une série statistique. Elles permettent de mettre en évidence des tendances, des comparaisons ou des proportions en un coup d'œil. Dans cette leçon, nous allons explorer les principaux types de diagrammes que vous rencontrerez et utiliserez couramment en statistiques : les diagrammes à bâtons, à bandes (horizontales ou verticales), circulaires, semi-circulaires, et les pictogrammes. Pour chacun, nous verrons quand l'utiliser, comment le construire, et quels sont ses avantages. ### Concepts Clés #### 1. Le Diagramme à Bâtons Le diagramme à bâtons est utilisé pour représenter une série statistique dont les valeurs sont discrètes (nombre fini de valeurs distinctes) ou des catégories qualitatives. * **Quand l'utiliser :** Pour les variables quantitatives discrètes (ex: nombre d'enfants par famille, notes) ou qualitatives (ex: couleurs préférées, marques de voitures). * **Comment le construire :** * Sur l'axe horizontal (abscisses), on place les valeurs de la variable ou les catégories. * Sur l'axe vertical (ordonnées), on indique l'effectif ou la fréquence de chaque valeur. * Pour chaque valeur ou catégorie, on trace un "bâton" (une ligne verticale) dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif ou la fréquence correspondante. #### 2. Le Diagramme à Bandes (Horizontales ou Verticales) Très similaire au diagramme à bâtons, le diagramme à bandes utilise des rectangles plutôt que de simples lignes. La largeur des bandes est généralement la même pour toutes les catégories. * **Quand l'utiliser :** Souvent pour les variables qualitatives, pour comparer les effectifs ou fréquences de différentes catégories. Les bandes verticales sont très courantes (parfois appelées histogrammes pour des classes de valeurs), mais les bandes horizontales sont utiles si les noms des catégories sont longs. * **Comment le construire :** * **Vertical :** L'axe horizontal représente les catégories, l'axe vertical représente les effectifs/fréquences. Chaque bande est un rectangle vertical. * **Horizontal :** L'axe vertical représente les catégories, l'axe horizontal représente les effectifs/fréquences. Chaque bande est un rectangle horizontal. #### 3. Le Diagramme Circulaire (ou "Camembert") Le diagramme circulaire est idéal pour visualiser la répartition des différentes parties d'un tout. Il montre la proportion de chaque catégorie par rapport à l'ensemble. * **Quand l'utiliser :** Pour représenter les proportions d'une variable qualitative par rapport à un total. Chaque "part de camembert" (secteur angulaire) représente une catégorie. * **Comment le construire :** * Calculez la fréquence relative (ou pourcentage) de chaque catégorie : \( f = \frac{\text{Effectif de la catégorie}}{\text{Effectif total}} \). * Calculez l'angle de chaque secteur angulaire. Puisqu'un cercle complet mesure \( 360^ ext{o} \), l'angle pour une catégorie est : \[ \text{Angle (en degrés)} = \text{Fréquence relative} \times 360^ ext{o} \] Ou de manière équivalente : \[ \text{Angle (en degrés)} = \frac{\text{Effectif de la catégorie}}{\text{Effectif total}} \times 360^ ext{o} \] * Dessinez un cercle, puis utilisez un rapporteur pour tracer les secteurs angulaires correspondants. #### 4. Le Diagramme Semi-Circulaire Le diagramme semi-circulaire est une variante du diagramme circulaire, utilisant un demi-cercle au lieu d'un cercle complet. * **Quand l'utiliser :** Pour les mêmes raisons que le diagramme circulaire, mais dans un espace plus restreint ou pour une présentation esthétique particulière. Il représente également des proportions d'un tout. * **Comment le construire :** * Les étapes sont similaires à celles du diagramme circulaire, mais l'angle total est de \( 180^ ext{o} \) (un demi-cercle). * L'angle pour chaque catégorie est : \[ \text{Angle (en degrés)} = \text{Fréquence relative} \times 180^ ext{o} \] Ou : \[ \text{Angle (en degrés)} = \frac{\text{Effectif de la catégorie}}{\text{Effectif total}} \times 180^ ext{o} \] * Dessinez un demi-cercle et tracez les secteurs angulaires. #### 5. Le Pictogramme Le pictogramme est une représentation qui utilise des symboles ou des images pour représenter les données. * **Quand l'utiliser :** Pour une communication simple et visuelle, souvent destinée à un large public. Il est très intuitif. * **Comment le construire :** * Choisissez un symbole pertinent pour représenter la donnée (ex: une voiture pour le nombre de voitures). * Définissez la valeur que représente chaque symbole (ex: une voiture dessinée = 100 voitures vendues). * Dessinez le nombre approprié de symboles pour chaque catégorie, en utilisant parfois des fractions de symboles pour des valeurs non entières. ### Vocabulaire * **Série statistique :** Ensemble des données collectées lors d'une étude. * **Effectif :** Le nombre d'individus ou d'occurrences pour une modalité (valeur ou catégorie) donnée. * **Effectif total :** La somme de tous les effectifs. C'est le nombre total d'individus de la population étudiée. * **Fréquence :** La proportion d'une modalité dans la série statistique. Elle est calculée par la formule \( \text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la modalité}}{\text{Effectif total}} \). Elle peut être exprimée sous forme décimale ou en pourcentage. * **Diagramme :** Représentation graphique des données statistiques. * **Secteur angulaire :** Une "part" d'un cercle ou d'un demi-cercle, délimitée par deux rayons et un arc. * **Échelle :** Le rapport entre les mesures sur le graphique et les valeurs réelles qu'elles représentent (ex: 1 cm sur l'axe vertical = 10 personnes). ### Exemples #### Exemple 1 : Diagramme à Bâtons et à Bandes Un sondage a été réalisé auprès de 20 élèves de Seconde pour connaître leur sport préféré : | Sport | Effectif | | :----------- | :------- | | Football | 8 | | Basketball | 5 | | Tennis | 4 | | Natation | 3 | | **Total** | **20** | * **Diagramme à Bâtons :** L'axe des abscisses aurait les sports (Football, Basketball, Tennis, Natation) et l'axe des ordonnées les effectifs (de 0 à 8). Pour chaque sport, un bâton de hauteur correspondante serait tracé. * **Diagramme à Bandes Verticales :** Similaire au diagramme à bâtons, mais avec des rectangles verticaux plutôt que des lignes fines. #### Exemple 2 : Diagramme Circulaire Pour les mêmes données de l'exemple 1 : * **Calcul des fréquences et des angles :** * Football : \( f = 8/20 = 0,4 \). Angle = \( 0,4 \times 360^ ext{o} = 144^ ext{o} \). * Basketball : \( f = 5/20 = 0,25 \). Angle = \( 0,25 \times 360^ ext{o} = 90^ ext{o} \). * Tennis : \( f = 4/20 = 0,2 \). Angle = \( 0,2 \times 360^ ext{o} = 72^ ext{o} \). * Natation : \( f = 3/20 = 0,15 \). Angle = \( 0,15 \times 360^ ext{o} = 54^ ext{o} \). * Vérification : \( 144 + 90 + 72 + 54 = 360^ ext{o} \). * **Construction :** Un cercle est dessiné, puis les secteurs angulaires sont tracés avec les angles calculés. #### Exemple 3 : Pictogramme Une entreprise a vendu les quantités suivantes de smartphones au cours des 4 derniers mois : | Mois | Nombre de smartphones vendus | | :---------- | :---------------------------- | | Septembre | 250 | | Octobre | 300 | | Novembre | 400 | | Décembre | 550 | * **Construction :** On peut décider qu'un symbole de smartphone représente 100 smartphones vendus. * Septembre : 2,5 symboles de smartphone. * Octobre : 3 symboles de smartphone. * Novembre : 4 symboles de smartphone. * Décembre : 5,5 symboles de smartphone. ### Exercices #### Exercice 1 : Choix du Diagramme Pour chacune des situations suivantes, quel(s) type(s) de diagramme(s) serait(ent) le(s) plus approprié(s) et pourquoi ? 1. Répartition des espèces d'arbres dans une forêt. 2. Nombre d'élèves absents chaque jour de la semaine. 3. Évolution du prix d'un article sur une année. 4. Répartition des notes (sur 20) obtenues à un devoir par une classe. #### Exercice 2 : Construction de Diagrammes Une enquête sur le mode de transport principal pour aller au collège a donné les résultats suivants pour 50 élèves : | Mode de transport | Effectif | | :---------------- | :------- | | Vélo | 15 | | Bus | 20 | | Voiture | 10 | | À pied | 5 | 1. Réalisez un diagramme à bandes verticales pour ces données. 2. Construisez un tableau des fréquences (en pourcentages) et des angles pour un diagramme circulaire. 3. Dessinez le diagramme circulaire correspondant. ### Devoirs #### Devoir 1 : Analyse et Représentation Voici les résultats d'un sondage auprès de 40 personnes concernant leur couleur préférée : | Couleur | Effectif | | :------ | :------- | | Bleu | 12 | | Vert | 10 | | Rouge | 8 | | Jaune | 6 | | Autre | 4 | 1. Calculez la fréquence relative (en pourcentage) pour chaque couleur. 2. Calculez l'angle correspondant pour un diagramme semi-circulaire. 3. Tracez le diagramme semi-circulaire pour ces données. 4. Si vous deviez créer un pictogramme pour représenter ces données, quel symbole choisiriez-vous et quelle valeur lui attribueriez-vous ? Représentez les couleurs Bleu et Rouge sous forme de pictogramme. #### Devoir 2 : Interprétation Un diagramme à bandes verticales montre le nombre de livres lus par mois par un groupe d'élèves. L'axe horizontal représente le nombre de livres (0, 1, 2, 3, 4, 5 ou plus) et l'axe vertical l'effectif. * La bande pour "1 livre" monte à 10. * La bande pour "2 livres" monte à 15. * La bande pour "3 livres" monte à 8. * Les autres bandes sont plus petites. 1. Quel est le nombre de livres le plus fréquemment lu ? 2. Si 50 élèves ont été interrogés, combien d'élèves ont lu 0, 4 ou 5 livres ou plus ? (Vous devrez estimer la hauteur des autres bandes si elles ne sont pas données, ou indiquer la somme des effectifs connus.) ### Résumé Les représentations graphiques sont un outil puissant en statistiques. Nous avons exploré les types les plus courants : * **Diagrammes à bâtons et à bandes :** Idéaux pour les variables discrètes ou qualitatives, pour comparer des effectifs ou des fréquences. * **Diagrammes circulaires et semi-circulaires :** Parfaits pour visualiser les proportions d'un tout, où chaque secteur représente une part proportionnelle à sa fréquence. * Angle pour diagramme circulaire : \( \text{Fréquence relative} \times 360^ ext{o} \) * Angle pour diagramme semi-circulaire : \( \text{Fréquence relative} \times 180^ ext{o} \) * **Pictogrammes :** Utilisent des symboles pour une représentation intuitive et visuellement attractive des données. Le choix du bon diagramme dépend du type de données et du message que l'on souhaite faire passer. Maîtriser ces outils vous permettra de mieux comprendre et de communiquer efficacement les informations statistiques!