Surfaces et cubatures (partie 1/2)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Définir la notion de surface partielle et distinguer les méthodes graphique et numérique pour son calcul. - Appliquer les méthodes des trapèzes et de Simpson, ainsi que les sommes de Riemann, à des figures planes réelles (toiture, dalle, revêtement). - Réaliser un calcul de surface partielle avec une précision adaptée au contexte professionnel (chantier, bureau d’études). - Intégrer le calcul de surfaces partielles dans une activité de projet technique (dimensionnement, devis, contrôle de conformité). - Identifier les erreurs fréquentes et appliquer les règles de sécurité liées aux relevés topographiques et aux manipulations d’instruments de mesure. **Prérequis nécessaires :** - Maîtrise du calcul des aires de formes géométriques de base (triangle, rectangle, trapèze, cercle). - Connaissance du système d’unités du Système International (m, m², m³). - Savoir lire et interpréter un plan à l’échelle, utiliser un rapporteur et une règle graduée. - Notions de base du tableur ou d’un logiciel de dessin assisté par ordinateur (DAO) pour la saisie de coordonnées. ## Introduction contextualisée Dans les métiers du bâtiment et des travaux publics au Cameroun, la détermination précise d’une surface partielle est indispensable pour établir les quantités de matériaux (béton, revêtement, isolation) et pour respecter les normes de conception (NF P 01-012, DTU 20.1). Que ce soit pour calculer la surface d’une toiture en pente, la zone de dallage d’un atelier ou l’emprise d’un revêtement routier, le technicien doit souvent travailler à partir de courbes irrégulières obtenues par relevé topographique ou par numérisation d’un croquis. Deux approches complémentaires sont alors utilisées : la méthode graphique, qui s’appuie sur la décomposition de la figure en formes simples, et la méthode numérique, qui repose sur l’approximation de l’intégrale définie de la fonction décrivant la frontière. Ce chapitre présente ces deux démarches, illustre leur mise en œuvre par un exemple professionnel complet et propose une activité d’intégration permettant de les mettre en pratique dans un contexte de chantier camerounais. ## I. Détermination des surfaces partielles (graphique et numérique) ### A. Notions de surface partielle > **Surface partielle** : aire d’une région du plan limitée par une courbe connue (fonction y = f(x) ou équation implicite) et par des droites ou des segments de droite. Elle s’obtient par l’intégrale définie : \[ S = \int_{a}^{b} f(x)\,dx \] où [a, b] représente l’intervalle de projection sur l’axe x. Dans un contexte de chantier, f(x) peut représenter la hauteur d’une toiture au-dessus d’une référence horizontale, ou l’épaisseur d’une couche de revêtement variable selon la position. ### B. Méthode graphique 1. **Décomposition en formes élémentaires** - Reporter la courbe sur un papier millimétré à l’échelle du plan. - Tracer des verticales toutes les Δx (ex. 0,5 m) pour obtenir des bandes. - Approximer chaque bande par un trapèze, un rectangle ou un triangle selon la forme de la courbe aux extrémités. - Sommation des aires de toutes les bandes donne une estimation de S. 2. **Méthode des trapèzes (graphique)** - Aire d’un trapèze : \(\displaystyle A_i = \frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}\,\Delta x\). - Somme : \(\displaystyle S \approx \frac{\Delta x}{2}\Big[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\Big]\). 3. **Méthode de Simpson (graphique)** – nécessite un nombre pair d’intervalles. - Aire : \(\displaystyle S \approx \frac{\Delta x}{3}\Big[f(x_0)+4\sum_{i\;impair}f(x_i)+2\sum_{i\;pair\;(i\neq0,n)}f(x_i)+f(x_n)\Big]\). > **Règle de métier** : lorsque la courbe présente une variation lente, la méthode des trapèzes suffit (erreur < 2 %). Pour des courbes à forte courbure (ex. voûte parabolique), privilégier la méthode de Simpson (erreur < 0,5 %). ### C. Méthode numérique Dans un bureau d’études, les coordonnées (xᵢ, yᵢ) sont souvent relevées par un total station ou un GPS et saisies dans un tableur. Les mêmes formules que ci‑dessus sont appliquées numériquement. 1. **Sommes de Riemann (point milieu)** - \(S \approx \sum_{i=0}^{n-1} f\bigl(\tfrac{x_i+x_{i+1}}{2}\bigr)\,\Delta x\). 2. **Méthode des trapèzes numérique** – identique à la formule graphique, mais avec les valeurs yᵢ extraites du fichier de relevés. 3. **Méthode de Simpson numérique** – même condition de nombre pair d’intervalles. > **Précaution professionnelle** : vérifier l’uniformité du pas Δx ; si les relevés sont irréguliers, utiliser la méthode des trapèzes généralisée : \(S \approx \sum_{i=0}^{n-1} \frac{y_i+y_{i+1}}{2}\,(x_{i+1}-x_i)\). ### D. Exemple chiffré entièrement résolu **Situation** : Un bureau d’études doit déterminer la surface de la partie supérieure d’une toiture en forme de parabole ouverte vers le bas, définie par l’équation \(y = -0,02x^2 + 3\) (y en mètres, x en mètres) entre les points où la toiture rencontre le mur : résolution de \(y=0\) donne \(x = \pm\sqrt{150}\approx \pm12,25\) m. On veut la surface entre x = ‑12,25 m et x = +12,25 m. **Étape 1 – Choix de la méthode** : La fonction est régulière et symétrique ; on adopte la méthode de Simpson avec n = 10 intervalles (Δx = 2,45 m). **Étape 2 – Calcul des ordonnées** : | i | xᵢ (m) | yᵢ = -0,02xᵢ² + 3 (m) | |---|--------|-----------------------| | 0 | -12,25 | 0,00 | | 1 | -9,80 | 1,08 | | 2 | -7,35 | 1,92 | | 3 | -4,90 | 2,52 | | 4 | -2,45 | 2,88 | | 5 | 0,00 | 3,00 | | 6 | 2,45 | 2,88 | | 7 | 4,90 | 2,52 | | 8 | 7,35 | 1,92 | | 9 | 9,80 | 1,08 | |10 | 12,25 | 0,00 | **Étape 3 – Application de la formule de Simpson** : \[ \begin{aligned} S &\approx \frac{\Delta x}{3}\Big[ y_0 + y_{10} + 4\sum_{i\;impair} y_i + 2\sum_{i\;pair\;(i\neq0,10)} y_i \Big] \\ &= \frac{2,45}{3}\Big[0+0 + 4(1,08+2,52+3,00+2,52+1,08) + 2(1,92+2,88+2,88+1,92) \Big] \\ &= \frac{2,45}{3}\Big[ 4(10,20) + 2(9,60) \Big] \\ &= \frac{2,45}{3}\Big[ 40,80 + 19,20 \Big] \\ &= \frac{2,45}{3}\times 60,00 \\ &\approx 49,00\ \text{m}^2 . \end{aligned} \] **Résultat** : La surface de la partie supérieure de la toiture est d’environ **49,0 m²**. **Vérification par méthode analytique** : \[ S = \int_{-12,25}^{12,25} (-0,02x^2+3)\,dx = \Big[-0,02\frac{x^3}{3}+3x\Big]_{-12,25}^{12,25} = 2\Big[-0,02\frac{(12,25)^3}{3}+3(12,25)\Big] \approx 49,00\ \text{m}^2, \] confirmant l’exactitude de la méthode de Simpson pour un polynôme du second degré (erreur nulle). ### E. Tableau récapitulatif des méthodes | Méthode | Condition d’usage | Formule générale | Erreur typique (pour f régulière) | |---------|-------------------|------------------|-----------------------------------| | Trapèzes graphiques / numériques | Pas Δx constant ou variable, fonction peu courbée | \(S \approx \frac{\Delta x}{2}[y_0+2\sum_{i=1}^{n-1}y_i+y_n]\) | 1‑2 % | | Simpson (1/3) | n pair, Δx constant, fonction suffisamment régulière (≈ polynôme degré ≤ 3) | \(S \approx \frac{\Delta x}{3}[y_0+4\sum_{i\;impair}y_i+2\sum_{i\;pair\;(i\neq0,n)}y_i+y_n]\) | < 0,5 % | | Sommes de Riemann (point milieu) | Données irrégulières, besoin d’estimation rapide | \(S \approx \sum f\bigl(\frac{x_i+x_{i+1}}{2}\bigr)\Delta x_i\) | 1‑3 % selon densité des points | > **À retenir** : choisir la méthode en fonction de la régularité de la courbe et de la disponibilité des données (relevés réguliers → Simpson ; relevés irréguliers → trapèzes généralisés). ## II. Activités d’intégration ### A. Mise en situation professionnelle **Contexte** : Une entreprise de construction située à Douala doit réaliser le dallage d’un atelier de menuiserie de 15 m × 10 m. Le sol présente une légère pente transitoire due à un ancien remblai ; la hauteur du dallage varie linéairement de 0,12 m du côté ouest à 0,20 m du côté est. Le responsable de chantier doit déterminer le volume de béton nécessaire (en m³) pour réaliser une dalle d’épaisseur variable, puis établir le devis correspondant (prix du béton = 120 000 FCFA/m³, main‑d’œuvre = 30 000 FCFA/m³). ### B. Démarche de projet 1. **Relevé des hauteurs** : À l’aide d’un niveau laser, prendre des mesures tous les 2 m le long de la longueur (15 m) → 8 points (x₀=0 m, x₁=2 m,…, x₈=14 m, x₉=15 m). 2. **Modélisation de la hauteur** : On suppose une variation linéaire : \(h(x)=0,12+0,00533x\) (m). 3. **Calcul de la surface de la dalle** : La dalle couvre tout le rectangle ; sa surface plane est constante : \(S_{plane}=15\times10=150\ \text{m}^2\). 4. **Calcul du volume** : \(V = \int_{0}^{15} h(x)\,dx \times largeur\) (largeur = 10 m). - Intégrale de h(x) sur [0,15] : \(\int_0^{15} (0,12+0,00533x)dx = 0,12x+0,00533\frac{x^2}{2}\big|_0^{15}=1,8+0,6=2,4\ \text{m}\). - Volume : \(V = 2,4\ \text{m} \times 10\ \text{m}=24\ \text{m}^3\). 5. **Détermination du coût** : - Béton : \(24 \times 120\,000 = 2\,880\,000\) FCFA. - Main‑d’œuvre : \(24 \times 30\,000 = 720\,000\) FCFA. - Total : **3 600 000 FCFA**. ### C. Exemple d’activité intégrée (fiche élève) | Étape | Action | Outils | Produit attendu | |-------|--------|--------|-----------------| | 1 | Relevé topographique de la hauteur du sol | Niveau laser, mètre ruban, carnet de terrain | Tableau de couples (x, h) | | 2 | Saisie des données dans un tableur | Excel / LibreOffice | Colonnes X et H | | 3 | Ajuster une tendance (régression linéaire) | Fonction TENDANCE | Équation h(x) | | 4 | Calcul de l’intégrale numérique (trapèzes) | Formule SOMMEPRODUIT | Valeur de l’intégrale de h(x) | | 5 | Multiplication par la largeur pour obtenir le volume | Formule simple | Volume V (m³) | | 6 | Calcul du coût (béton + main‑d’œuvre) | Formule de coût | Devis détaillé | | 7 | Rédaction du rapport de chantier | Traitement de texte | Document de validation | > **Règle de sécurité** : lors du relevé avec le niveau laser, porter des lunettes de protection et vérifier que le laser est classé ≤ 2 mW (classe 2) pour éviter tout risque oculaire. ### D. Tableau de suivi de l’activité | Groupe | Points relevés (x ; h) | Équation h(x) | ∫h(x)dx (m) | Volume (m³) | Coût total (FCFA) | |--------|------------------------|---------------|-------------|-------------|-------------------| | A | (0 ; 0,12),(2 ; 0,13),(4 ; 0,14)…(15 ; 0,20) | 0,12+0,00533x | 2,40 | 24,0 | 3 600 000 | | B | (0 ; 0,11),(3 ; 0,13),(6 ; 0,15)…(15 ; 0,22) | 0,11+0,00733x | 2,47 | 24,7 | 3 705 000 | | C | (0 ; 0,10),(5 ; 0,12),(10 ; 0,14)…(15 ; 0,16) | 0,10+0,004x | 1,95 | 19,5 | 2 925 000 | > **À retenir** : la variation de la pente influe directement sur le volume de béton ; une erreur de 0,01 m sur la hauteur moyenne entraîne une différence de 1,5 m³ sur le volume total pour cet atelier. ## Synthèse du chapitre - La **surface partielle** s’obtient par l’intégrale définie de la fonction décrivant la frontière. - Deux approches complémentaires : **méthode graphique** (décomposition en trapèzes, application des formules des trapèzes ou de Simpson) et **méthode numérique** (somme de Riemann, trapèzes généralisés, Simpson) appliquées aux données de relevés topographiques. - Le choix de la méthode dépend de la régularité de la courbe et de l’uniformité du pas d’échantillonnage : Simpson pour des données régulières et une forte précision, trapèzes généralisés pour des relevés irréguliers. - L’activité d’intégration montre comment transformer un relevé de hauteur en volume de béton puis en devis, en reliant les mathématiques aux contraintes réelles du chantier (normes, sécurité, coût). - Les **règles de sécurité** portent sur l’utilisation d’instruments de mesure (laser, niveau) et la vérification de l’uniformité des pas d’échantillonnage. - Les **erreurs fréquentes** concernent le mauvais choix de la méthode, l’oubli de multiplier par la largeur ou la longueur, et l’utilisation d’un pas non constant dans la formule des trapèzes simple. ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Surface partielle | Aire d’une région du plan limitée par une courbe connue et des droites de référence. | | Méthode des trapèzes | Approximation de l’intégrale par somme d’aires de trapèpes formés par les ordonnées aux abscisses successives. | | Méthode de Simpson (1/3) | Approximation de l’intégrale par une combinaison pondérée des ordonnées, nécessitant un nombre pair d’intervalles. | | Somme de Riemann | Approximation de l’intégrale par somme de rectangles dont la hauteur est la valeur de la fonction en un point choisi de chaque sous‑intervalle. | | Pas d’échantillonnage (Δx) | Distance constante entre deux abscisses consécutives utilisées dans les méthodes numériques. | | Nivellement laser | Instrument permettant de mesurer des différences de hauteur avec une précision millimétrique. | | Devis | Document estimatif détaillant les quantités, les coûts unitaires et le coût total d’un ouvrage. | | Tolerance d’erreur | Écart maximal admis entre le résultat obtenu par approximation et la valeur exacte, généralement exprimé en pourcentage. | ## Exercices d’application corrigés ### Exercice 1 – Surface d’un terrain en pente Un géomètre relève les hauteurs d’un terrain rectangulaire de 20 m × 12 m le long de la longueur (20 m) tous les 4 m. Les hauteurs (en m) sont : 0,30 ; 0,35 ; 0,42 ; 0,50 ; 0,58 ; 0,66 ; 0,70. 1. Modéliser la hauteur par une fonction linéaire h(x) = ax + b par régression sur les points relevés. 2. Calculer la surface du terrain (en m²) en intégrant h(x) sur [0,20] puis en multipliant par la largeur (12 m). 3. En déduire le volume de terre à remblayer si l’on veut mettre le terrain à niveau à 0,80 m. **Corrigé** 1. Régression linéaire sur les points (x, h) : on obtient a ≈ 0,0185 m/m, b ≈ 0,30 m → h(x) = 0,0185x + 0,30. 2. ∫₀²⁰ h(x)dx = [0,0185x²/2 + 0,30x]₀²⁰ = 0,00925·400 + 6 = 3,7 + 6 = 9,7 m. Surface plane = 9,7 m × 12 m = 116,4 m². 3. Volume à ajouter pour atteindre 0,80 m : différence moyenne de hauteur = 0,80 – (h moyenne). h moyenne = (1/20)∫₀²⁰ h(x)dx = 9,7/20 = 0,485 m. Épaisseur à ajouter = 0,80 – 0,485 = 0,315 m. Volume = 0,315 m × (20 m × 12 m) = 0,315 × 240 = 75,6 m³. ### Exercice 2 – Volume d’une conduite enterrée Une conduite de diamètre extérieur 0,6 m est posée dans une tranchée dont la profondeur varie linéairement de 1,2 m à l’entrée à 1,8 m à la sortie sur une longueur de 30 m. La largeur de la tranchée est constante à 0,8 m. 1. Déterminer l’équation de la profondeur p(x) (en m) en fonction de la distance x (en m) depuis l’entrée. 2. Calculer le volume de terre à évacuer (en m³) pour réaliser la tranchée. 3. Si le coût d’évacuation est de 15 000 FCFA/m³, quel est le coût total ? **Corrigé** 1. p(x) = 1,20 + (1,80‑1,20)·x/30 = 1,20 + 0,02x. 2. Section de la tranchée à chaque x : A(x) = largeur × profondeur = 0,8·p(x) = 0,8·(1,20+0,02x) = 0,96 + 0,016x (m²). Volume V = ∫₀³⁰ A(x)dx = ∫₀³⁰ (0,96 + 0,016x)dx = [0,96x + 0,008x²]₀³⁰ = 0,96·30 + 0,008·900 = 28,8 + 7,2 = 36,0 m³. 3. Coût = 36,0 × 15 000 = 540 000 FCFA. ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | # | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / correction | |---|------------------|-------------|----------------------------------| | 1 | Utiliser la formule des trapèzes simple alors que le pas Δx varie d’un relevé à l’autre. | Sous‑ ou sur‑estimation de l’intégrale pouvant atteindre 5‑10 %. | Appliquer la formule généralisée : \(S \approx \sum \frac{y_i+y_{i+1}}{2}(x_{i+1}-x_i)\). | | 2 | Oublier de multiplier la surface obtenue par la largeur (ou la longueur) lorsqu’on passe d’une aire linéaire à un volume. | Volume sous‑estimé, leading to insufficient material command. | Toujours vérifier la dimension du résultat : aire → m², volume → m³. | | 3 | Confondre les unités (m vs cm) lors de la saisie des coordonnées dans le tableur. | Erreur de facteur 100 ou 10 000 sur le volume. | Imposer une colonne « Unité » et convertir systématiquement en mètres avant tout calcul. | | 4 | Utiliser un niveau laser de classe > 2 sans protection oculaire. | Risque de lésions rétiniennes irréversibles. | Porter des lunettes de protection laser et vérifier le classement de l’appareil avant chaque utilisation. | | 5 | Négliger la vérification de la linéarité du pas d’échantillonnage avant d’appliquer la formule de Simpson. | Résultat inexact car la règle de Simpson nécessite un pas constant. | Tracer un graphique des points (x, y) ; si les écarts dépassent 5 % du moyen Δx, privilégier la méthode des trapèzes généralisés. | | 6 | Arrêter l’intégration à la dernière mesure relevée sans extrapoler jusqu’à la limite réelle du domaine. | Périmètre non pris en compte, sous‑estimation de la surface. | Étendre la fonction (par ajustement ou prolongement constant) jusqu’aux abscisses limites a et b avant d’intégrer. | --- *Fin du cours.*