Chap12: Repérage d'un point sur une droite

# Chap12: Repérage d'un point sur une droite ## Distance à zéro d’un nombre ### Distance à zéro d’un nombre #### Introduction Bienvenue dans ce chapitre ! Aujourd'hui, nous allons découvrir une notion importante en mathématiques : la distance à zéro d'un nombre. C'est une idée simple mais fondamentale pour comprendre comment les nombres sont organisés sur une droite et comment ils se "comportent" les uns par rapport aux autres. Nous allons voir que même si un nombre est négatif, sa distance à zéro sera toujours positive ! #### Concepts Clés ##### Rappel: La droite numérique La droite numérique est un outil essentiel en mathématiques. Elle nous permet de visualiser les nombres. C'est une ligne sur laquelle chaque point correspond à un nombre. ###### Qu'est-ce qu'une droite numérique ? Une droite numérique est une ligne infinie, orientée, qui possède : * Une **origine** (le point qui correspond à zéro). * Un **sens** (généralement indiqué par une flèche vers la droite, pour indiquer le sens des nombres croissants). * Une **unité de longueur** (un écart régulier entre les nombres entiers). ###### Placer un point sur la droite numérique Chaque nombre, qu'il soit positif, négatif ou nul, peut être placé sur la droite numérique. Les nombres positifs sont à droite de l'origine, et les nombres négatifs sont à gauche. ###### Nombres positifs et négatifs * Les **nombres positifs** (comme \( 3 \), \( 7 \) ou \( 1,5 \)) sont situés à droite de l'origine. Ils sont souvent écrits sans signe ou avec un signe \( + \) (par exemple \( +3 \)). * Les **nombres négatifs** (comme \( -2 \), \( -4,8 \) ou \( -10 \)) sont situés à gauche de l'origine. Ils sont toujours écrits avec un signe \( - \). * Le nombre **zéro** \( (0) \) est l'origine et n'est ni positif ni négatif. ##### Qu'est-ce que la distance à zéro ? La distance à zéro d'un nombre est la **longueur du segment** qui relie l'origine (\( 0 \)) à ce nombre sur la droite numérique. ###### Définition simple La distance à zéro d'un nombre est toujours un nombre positif (ou nul pour \( 0 \)). Elle indique "à quel point" le nombre est éloigné de zéro, sans tenir compte de sa direction (gauche ou droite). * Si un nombre est positif, sa distance à zéro est le nombre lui-même. * Si un nombre est négatif, sa distance à zéro est le nombre sans son signe \( - \). ###### Exemples * La distance à zéro du nombre \( 5 \) est \( 5 \). (Car \( 5 \) est à \( 5 \) unités de \( 0 \) vers la droite). * La distance à zéro du nombre \( -3 \) est \( 3 \). (Car \( -3 \) est à \( 3 \) unités de \( 0 \) vers la gauche). * La distance à zéro du nombre \( 0 \) est \( 0 \). ###### Nombres opposés et leur distance à zéro Deux nombres sont dits **opposés** s'ils ont la même distance à zéro mais des signes différents. Sur la droite numérique, deux nombres opposés sont symétriques par rapport à l'origine \( 0 \). Exemples : * \( 5 \) et \( -5 \) sont des nombres opposés. Leur distance à zéro est \( 5 \). * \( 12,5 \) et \( -12,5 \) sont des nombres opposés. Leur distance à zéro est \( 12,5 \). ##### Propriétés de la distance à zéro ###### Toujours positive ou nulle Une distance ne peut jamais être négative. La distance à zéro d'un nombre est donc toujours positive ou nulle. C'est un concept fondamental. \[ \text{Distance à zéro de } x \ge 0 \] ###### Cas particulier du zéro Le seul nombre dont la distance à zéro est \( 0 \) est le nombre \( 0 \) lui-même. #### Vocabulaire * **Droite numérique :** Ligne sur laquelle les nombres sont représentés, avec une origine, un sens et une unité. * **Origine :** Le point sur la droite numérique qui correspond au nombre \( 0 \). * **Nombre positif :** Nombre supérieur à \( 0 \) (situé à droite de \( 0 \) sur la droite numérique). * **Nombre négatif :** Nombre inférieur à \( 0 \) (situé à gauche de \( 0 \) sur la droite numérique). * **Distance à zéro :** Longueur du segment entre l'origine \( 0 \) et un nombre sur la droite numérique. Elle est toujours positive ou nulle. * **Nombres opposés :** Deux nombres qui ont la même distance à zéro mais des signes différents (par exemple \( 7 \) et \( -7 \)). Ils sont symétriques par rapport à l'origine sur la droite numérique. #### Exemples 1. **Trouver la distance à zéro :** * Quel est la distance à zéro de \( 8 \)? La distance à zéro de \( 8 \) est \( 8 \). * Quel est la distance à zéro de \( -12 \)? La distance à zéro de \( -12 \) est \( 12 \). * Quel est la distance à zéro de \( 0 \)? La distance à zéro de \( 0 \) est \( 0 \). * Quel est la distance à zéro de \( 4,7 \)? La distance à zéro de \( 4,7 \) est \( 4,7 \). * Quel est la distance à zéro de \( -2,3 \)? La distance à zéro de \( -2,3 \) est \( 2,3 \). 2. **Identifier des nombres opposés :** * Donnez l'opposé de \( 6 \). L'opposé de \( 6 \) est \( -6 \). * Donnez l'opposé de \( -9 \). L'opposé de \( -9 \) est \( 9 \). * Donnez l'opposé de \( 0 \). L'opposé de \( 0 \) est \( 0 \). 3. **Trouver les nombres ayant une distance à zéro donnée :** * Quels sont les nombres dont la distance à zéro est \( 10 \)? Ce sont \( 10 \) et \( -10 \). * Quel est le nombre dont la distance à zéro est \( 0 \)? C'est \( 0 \). #### Exercices 1. Donnez la distance à zéro de chacun des nombres suivants : * a) \( 15 \) * b) \( -7 \) * c) \( 2,5 \) * d) \( -0,9 \) * e) \( 100 \) 2. Pour chaque nombre, donnez son opposé : * a) \( 4 \) * b) \( -11 \) * c) \( -3,6 \) * d) \( 0,8 \) * e) \( 0 \) 3. Tracez une droite numérique et placez les points A, B, C, D et E d'abscisses respectives \( 3 \), \( -2 \), \( 4,5 \), \( -0,5 \) et \( 0 \). Quelle est la distance à zéro de l'abscisse de chaque point ? 4. Quels sont les nombres dont la distance à zéro est : * a) \( 1 \) * b) \( 7,2 \) * c) \( 13 \) #### Devoir 1. Complétez le tableau suivant : | Nombre | Distance à zéro | Opposé du nombre | |:------:|:---------------:|:-----------------:| | \( 9 \) | | | | \( -25 \) | | | | \( 6,1 \) | | | | \( -1,7 \) | | | | \( 0 \) | | | 2. Sur une droite numérique graduée : * a) Placez le point \( M \) d'abscisse \( -4 \) et le point \( N \) d'abscisse \( 4 \). * b) Comparez les distances à zéro de \( -4 \) et \( 4 \). Que remarquez-vous ? * c) Comment sont les points \( M \) et \( N \) par rapport à l'origine ? 3. Un nombre a une distance à zéro de \( 8 \). Quelles sont les deux valeurs possibles pour ce nombre ? Écrivez-les. Quelle est leur particularité ? #### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris que la **distance à zéro** d'un nombre est la longueur qui sépare ce nombre de l'origine \( 0 \) sur la droite numérique. Elle est toujours un **nombre positif** (ou nul pour \( 0 \)). Nous avons également découvert que des **nombres opposés** (comme \( 7 \) et \( -7 \)) ont la même distance à zéro et sont symétriques par rapport à l'origine. Comprendre la distance à zéro est essentiel pour travailler avec les nombres relatifs et pour de futures notions en géométrie et en algèbre. ## Distance de deux nombres d’abscisses données. ### Introduction Bonjour à tous ! Aujourd'hui, nous allons apprendre à calculer la distance entre deux points sur une droite graduée. Vous savez déjà ce qu'est une droite graduée et comment y placer des points. Maintenant, nous allons voir comment déterminer "l'écart" entre deux de ces points, c'est-à-dire la distance qui les sépare. ### Concepts Clés #### La droite graduée et l'abscisse d'un point Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi: * Une origine (le point 0). * Un sens (généralement de gauche à droite pour les nombres positifs). * Une unité de longueur. Chaque point sur cette droite est repéré par un nombre, appelé son **abscisse**. Par exemple, si le point A est placé sur le nombre 3, son abscisse est 3. #### Calcul de la distance entre deux points La distance entre deux points sur une droite graduée est toujours un nombre positif. Elle représente la longueur du segment qui les relie. ##### Cas particulier: un point est l'origine Si l'un des points est l'origine (le point 0), la distance entre ce point et un autre point A est simplement la valeur absolue de l'abscisse de A. Par exemple, la distance entre le point d'abscisse 0 et le point d'abscisse 5 est 5. La distance entre le point d'abscisse 0 et le point d'abscisse -3 est 3. ##### Cas général: deux points quelconques Pour calculer la distance entre deux points A et B dont les abscisses sont \( a \) et \( b \) respectivement, on utilise la formule suivante: \[ \text{Distance}(A, B) = |b - a| \] ou, ce qui est équivalent: \[ \text{Distance}(A, B) = |a - b| \] Le symbole \( |\ldots| \) représente la **valeur absolue**. La valeur absolue d'un nombre est ce nombre sans son signe. Par exemple, \( |5| = 5 \) et \( |-5| = 5 \). En d'autres termes, pour trouver la distance, il faut : 1. Soustraire les abscisses des deux points dans n'importe quel ordre. 2. Prendre la valeur absolue du résultat (le rendre positif si nécessaire). ### Vocabulaire * **Droite graduée:** Une droite sur laquelle des repères et des nombres sont placés à intervalles réguliers. * **Abscisse:** Le nombre qui repère la position d'un point sur une droite graduée. * **Origine:** Le point d'abscisse 0 sur la droite graduée. * **Unité:** L'écart choisi entre deux graduations consécutives sur une droite graduée. * **Distance:** La longueur séparant deux points. C'est toujours un nombre positif. * **Valeur absolue:** La distance d'un nombre à zéro sur la droite graduée. Elle est toujours positive ou nulle. Par exemple, \( |x| \). ### Exemples #### Exemple 1 Soient deux points A et B d'abscisses respectives \( a = 7 \) et \( b = 3 \). Calculons la distance AB. \[ \text{Distance}(A, B) = |b - a| = |3 - 7| = |-4| = 4 \] La distance entre A et B est 4 unités. #### Exemple 2 Soient deux points C et D d'abscisses respectives \( c = -2 \) et \( d = 6 \). Calculons la distance CD. \[ \text{Distance}(C, D) = |d - c| = |6 - (-2)| = |6 + 2| = |8| = 8 \] La distance entre C et D est 8 unités. #### Exemple 3 Soient deux points E et F d'abscisses respectives \( e = -5 \) et \( f = -9 \). Calculons la distance EF. \[ \text{Distance}(E, F) = |f - e| = |-9 - (-5)| = |-9 + 5| = |-4| = 4 \] La distance entre E et F est 4 unités. ### Exercices Calcule la distance entre les points dont les abscisses sont données. 1. A(10) et B(4) 2. C(-3) et D(7) 3. E(-8) et F(-2) 4. G(0) et H(-12) 5. I(5,5) et J(1,2) ### Devoir à la maison 1. Sur une droite graduée, place les points M, N, P, Q d'abscisses respectives : M(-6), N(2), P(-1), Q(5). Calcule les distances : a. MN b. NP c. MQ 2. Trouve l'abscisse du point R tel que la distance entre R et S(4) soit 7. (Indice : il peut y avoir deux solutions !) 3. La distance entre deux points U et V est 11. L'abscisse de U est -3. Quelle est l'abscisse de V ? ### Résumé Pour récapituler, pour trouver la distance entre deux points sur une droite graduée, il suffit de **soustraire leurs abscisses et de prendre la valeur absolue du résultat**. C'est une méthode simple et efficace pour mesurer la longueur d'un segment sur une droite numérique. N'oubliez jamais que la distance est toujours un nombre positif !