Chap11: Cercle

# Chap11: Cercle ## Cercle circonscrit à un triangle ; à un triangle rectangle. ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur le cercle circonscrit ! Vous avez déjà appris ce qu'est un cercle et un triangle. Aujourd'hui, nous allons découvrir comment un cercle très spécial peut entourer un triangle, en passant par tous ses sommets. Ce cercle s'appelle le **cercle circonscrit**. Nous verrons comment le construire pour n'importe quel triangle et comment il se comporte de manière particulière pour les triangles rectangles. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un cercle circonscrit ? Un **cercle circonscrit** à un triangle est un cercle qui passe par les trois sommets de ce triangle. Imaginez que le triangle est "à l'intérieur" du cercle, et que chacun de ses coins touche le bord du cercle. #### La médiatrice d'un segment Pour comprendre le cercle circonscrit, il faut d'abord se rappeler ce qu'est une **médiatrice**. * **Définition:** La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe ce segment en son milieu et qui est perpendiculaire à ce segment. * **Propriété:** Tous les points situés sur la médiatrice d'un segment sont équidistants des extrémités de ce segment. Par exemple, si \( M \) est un point sur la médiatrice du segment \( [AB] \), alors \( MA = MB \). #### Le centre du cercle circonscrit (cas général) Comment trouver le centre du cercle circonscrit à un triangle ? C'est simple ! 1. **Chaque côté d'un triangle est un segment.** Chaque segment a une médiatrice. 2. **Les trois médiatrices des côtés d'un triangle se coupent toujours en un seul et même point.** 3. Ce point d'intersection est le **centre du cercle circonscrit** au triangle. 4. Ce centre est équidistant des trois sommets du triangle. C'est pourquoi on peut tracer un cercle passant par les trois sommets. * **Méthode de construction :** 1. Tracez le triangle \( ABC \). 2. Tracez la médiatrice du côté \( [AB] \). 3. Tracez la médiatrice du côté \( [BC] \). 4. Le point où ces deux médiatrices se coupent est le centre \( O \) du cercle circonscrit. 5. Tracez le cercle de centre \( O \) et de rayon \( OA \) (ou \( OB \) ou \( OC \)). Ce cercle passera par \( A \), \( B \) et \( C \). #### Le cercle circonscrit à un triangle rectangle Le cas du triangle rectangle est particulier et très important ! * **Propriété fondamentale :** Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est toujours le **milieu de son hypoténuse**. * L'**hypoténuse** est le côté le plus long d'un triangle rectangle, et c'est le côté opposé à l'angle droit. * Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le **diamètre** du cercle circonscrit. * **Méthode de construction simplifiée pour un triangle rectangle :** 1. Tracez le triangle rectangle \( ABC \) (avec l'angle droit en \( A \), par exemple). 2. Identifiez l'hypoténuse (le côté \( [BC] \)). 3. Placez le milieu \( O \) de l'hypoténuse \( [BC] \). 4. Le point \( O \) est le centre du cercle circonscrit. 5. Tracez le cercle de centre \( O \) et de rayon \( OB \) (ou \( OC \) ou \( OA \)). Ce cercle passera par \( A \), \( B \) et \( C \). ### Vocabulaire * **Cercle circonscrit :** Un cercle qui passe par les trois sommets d'un triangle. * **Médiatrice :** Droite perpendiculaire à un segment et qui passe par son milieu. * **Sommet :** Un des points où deux côtés d'un triangle se rencontrent. * **Côté :** Un segment qui forme le bord du triangle. * **Hypoténuse :** Le côté le plus long d'un triangle rectangle, opposé à l'angle droit. * **Rayon :** La distance du centre d'un cercle à n'importe quel point de son bord. * **Diamètre :** Un segment qui passe par le centre du cercle et dont les extrémités sont sur le cercle. Sa longueur est le double du rayon. ### Exemples #### Exemple 1: Construire le cercle circonscrit d'un triangle quelconque Soit un triangle \( ABC \) avec \( AB = 7 \text{ cm} \), \( BC = 5 \text{ cm} \) et \( AC = 6 \text{ cm} \). 1. Dessinez le triangle \( ABC \). 2. À l'aide d'un compas et d'une règle, tracez la médiatrice du segment \( [AB] \). 3. Tracez la médiatrice du segment \( [BC] \). 4. Nommez \( O \) le point d'intersection de ces deux médiatrices. C'est le centre du cercle circonscrit. 5. Placez la pointe du compas en \( O \) et ajustez l'écartement jusqu'à l'un des sommets (par exemple \( A \)). 6. Tracez le cercle. Vous verrez qu'il passe aussi par \( B \) et \( C \). #### Exemple 2: Construire le cercle circonscrit d'un triangle rectangle Soit un triangle \( DEF \) rectangle en \( E \) avec \( DE = 4 \text{ cm} \) et \( EF = 3 \text{ cm} \). 1. Dessinez le triangle \( DEF \) avec l'angle droit en \( E \). 2. L'hypoténuse est le côté \( [DF] \). Mesurez \( DF \) (vous devriez trouver \( 5 \text{ cm} \) si vous utilisez le théorème de Pythagore : \[ DE^2 + EF^2 = DF^2 \] \[ 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \] \[ DF = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \]). 3. Marquez le milieu \( O \) de l'hypoténuse \( [DF] \). \( O \) est le centre du cercle circonscrit. 4. Placez la pointe du compas en \( O \) et ajustez l'écartement jusqu'à \( D \) (ou \( E \) ou \( F \)). 5. Tracez le cercle. Il passera par \( D \), \( E \) et \( F \). ### Exercices 1. **Définitions :** * Qu'est-ce qu'une médiatrice d'un segment ? * Qu'est-ce qu'un cercle circonscrit à un triangle ? * Dans un triangle rectangle, quel est le nom du côté opposé à l'angle droit ? 2. **Construction :** Trace un triangle \( GHI \) dont les côtés mesurent \( GH = 8 \text{ cm} \), \( HI = 6 \text{ cm} \) et \( IG = 7 \text{ cm} \). Construis ensuite son cercle circonscrit. 3. **Cas spécial :** Trace un triangle \( JKL \) rectangle en \( K \) avec \( JK = 5 \text{ cm} \) et \( KL = 12 \text{ cm} \). Construis son cercle circonscrit. Quelle est la particularité du centre de ce cercle ? 4. **Vrai ou Faux :** * Le centre du cercle circonscrit est toujours à l'intérieur du triangle. \( \text{ (Vrai/Faux)} \) * Les trois hauteurs d'un triangle se coupent au centre du cercle circonscrit. \( \text{ (Vrai/Faux)} \) * Si le centre du cercle circonscrit est le milieu d'un côté du triangle, alors ce triangle est rectangle. \( \text{ (Vrai/Faux)} \) ### Devoir 1. Dessine un triangle \( MNP \) tel que \( MN = 9 \text{ cm} \), \( NP = 4 \text{ cm} \) et \( MP = 7 \text{ cm} \). Construis avec précision son cercle circonscrit. N'oublie pas de laisser les traits de construction apparents. 2. Un architecte veut construire une piscine de forme circulaire dans un jardin triangulaire. Le jardin est un triangle rectangle \( RST \) en \( S \) avec \( RS = 6 \text{ m} \) et \( ST = 8 \text{ m} \). Pour que la piscine soit la plus grande possible tout en touchant les trois coins du jardin, il doit s'agir du cercle circonscrit. Quel est le diamètre de cette piscine ? Trace un schéma à l'échelle \( 1 \text{ cm} \) pour \( 1 \text{ m} \) pour représenter cette situation. ### Résumé Nous avons appris aujourd'hui que : * Un **cercle circonscrit** est un cercle qui passe par les trois sommets d'un triangle. * Le centre de ce cercle est le point d'intersection des **trois médiatrices** des côtés du triangle. * Ce centre est **équidistant des trois sommets**. * Pour un **triangle rectangle**, le centre du cercle circonscrit a une position très spéciale : il est situé au **milieu de l'hypoténuse**. * Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le **diamètre** du cercle circonscrit. Félicitations pour cette nouvelle étape dans la géométrie des cercles et des triangles ! Continuez à pratiquer ces constructions pour bien les maîtriser. ## Positions relatives de deux cercles. ### Introduction Bonjour à tous ! Aujourd'hui, nous allons explorer comment deux cercles peuvent être placés l'un par rapport à l'autre. Imaginez deux anneaux ou deux roues : ils peuvent se toucher, se croiser, ou être complètement séparés. Nous allons apprendre à décrire ces différentes situations en utilisant des termes mathématiques précis. ### Concepts Clés Pour comprendre les positions relatives de deux cercles, nous avons besoin de connaître quelques éléments fondamentaux : #### 1. Rappel sur le cercle Un cercle est défini par son **centre** (un point) et son **rayon** (la distance du centre à n'importe quel point du cercle). * Soit \( C_1 \) un premier cercle de centre \( O_1 \) et de rayon \( R_1 \). * Soit \( C_2 \) un deuxième cercle de centre \( O_2 \) et de rayon \( R_2 \). #### 2. La distance entre les centres La distance entre les centres des deux cercles, \( d(O_1, O_2) \), est cruciale pour déterminer leur position relative. C'est en comparant cette distance aux rayons des cercles que nous pourrons identifier chaque cas. #### 3. Les différentes positions relatives Il existe plusieurs façons pour deux cercles d'être positionnés l'un par rapport à l'autre. Nous allons les étudier une par une. ##### a) Cercles disjoints Les cercles disjoints n'ont aucun point commun. * **Cercles disjoints extérieurs :** Les cercles sont entièrement séparés et à l'extérieur l'un de l'autre. * Condition : La distance entre leurs centres est **strictement supérieure** à la somme de leurs rayons. * \[ d(O_1, O_2) > R_1 + R_2 \] * **Cercles disjoints intérieurs (ou inclus) :** Un cercle est entièrement à l'intérieur de l'autre, sans le toucher. * Condition : La distance entre leurs centres est **strictement inférieure** à la valeur absolue de la différence de leurs rayons. * \[ d(O_1, O_2) < |R_1 - R_2| \] * *Cas particulier : Cercles concentriques :* Si \( d(O_1, O_2) = 0 \), cela signifie que les centres sont les mêmes. Les cercles sont alors concentriques (ils partagent le même centre). C'est un cas de cercles inclus. ##### b) Cercles tangents Les cercles tangents ont exactement un point commun. * **Cercles tangents extérieurs :** Les cercles se touchent en un seul point, et ils sont à l'extérieur l'un de l'autre. * Condition : La distance entre leurs centres est **égale** à la somme de leurs rayons. * \[ d(O_1, O_2) = R_1 + R_2 \] * **Cercles tangents intérieurs :** Un cercle est à l'intérieur de l'autre et le touche en un seul point. * Condition : La distance entre leurs centres est **égale** à la valeur absolue de la différence de leurs rayons. * \[ d(O_1, O_2) = |R_1 - R_2| \] ##### c) Cercles sécants Les cercles sécants se coupent en deux points distincts. * Condition : La distance entre leurs centres est **strictement comprise** entre la valeur absolue de la différence de leurs rayons et la somme de leurs rayons. * \[ |R_1 - R_2| < d(O_1, O_2) < R_1 + R_2 \] ### Vocabulaire * **Cercle :** Ensemble de tous les points équidistants d'un point central. * **Centre :** Le point central d'un cercle. * **Rayon (R) :** La distance du centre à n'importe quel point du cercle. * **Distance entre les centres (\( d(O_1, O_2) \)) :** La longueur du segment qui relie les deux centres des cercles. * **Disjoints :** Qui n'ont aucun point commun. * **Tangents :** Qui se touchent en un seul point. * **Sécants :** Qui se coupent en deux points. * **Inclus (internes) :** Un cercle est entièrement contenu dans l'autre. * **Concentriques :** Deux cercles qui ont le même centre. ### Exemples Identifions la position relative des cercles \( C_1 \) (centre \( O_1 \), rayon \( R_1 \)) et \( C_2 \) (centre \( O_2 \), rayon \( R_2 \)) dans chaque cas : 1. \( R_1 = 4 \text{ cm} \), \( R_2 = 3 \text{ cm} \), \( d(O_1, O_2) = 8 \text{ cm} \) * Somme des rayons : \( R_1 + R_2 = 4 + 3 = 7 \text{ cm} \) * Différence des rayons : \( |R_1 - R_2| = |4 - 3| = 1 \text{ cm} \) * Puisque \( d(O_1, O_2) = 8 \text{ cm} \) est supérieur à \( 7 \text{ cm} \), les cercles sont **disjoints extérieurs**. 2. \( R_1 = 5 \text{ cm} \), \( R_2 = 2 \text{ cm} \), \( d(O_1, O_2) = 3 \text{ cm} \) * Somme des rayons : \( R_1 + R_2 = 5 + 2 = 7 \text{ cm} \) * Différence des rayons : \( |R_1 - R_2| = |5 - 2| = 3 \text{ cm} \) * Puisque \( d(O_1, O_2) = 3 \text{ cm} \) est égal à \( 3 \text{ cm} \), les cercles sont **tangents intérieurs**. 3. \( R_1 = 6 \text{ cm} \), \( R_2 = 4 \text{ cm} \), \( d(O_1, O_2) = 5 \text{ cm} \) * Somme des rayons : \( R_1 + R_2 = 6 + 4 = 10 \text{ cm} \) * Différence des rayons : \( |R_1 - R_2| = |6 - 4| = 2 \text{ cm} \) * Puisque \( 2 \text{ cm} < 5 \text{ cm} < 10 \text{ cm} \), les cercles sont **sécants**. 4. \( R_1 = 7 \text{ cm} \), \( R_2 = 3 \text{ cm} \), \( d(O_1, O_2) = 2 \text{ cm} \) * Somme des rayons : \( R_1 + R_2 = 7 + 3 = 10 \text{ cm} \) * Différence des rayons : \( |R_1 - R_2| = |7 - 3| = 4 \text{ cm} \) * Puisque \( d(O_1, O_2) = 2 \text{ cm} \) est inférieur à \( 4 \text{ cm} \), les cercles sont **disjoints intérieurs (inclus)**. ### Exercices Pour chaque paire de cercles, déterminez leur position relative. Dessinez une petite esquisse pour chaque cas. 1. \( C_1 \) de rayon 3 cm, \( C_2 \) de rayon 5 cm. La distance entre leurs centres est de 8 cm. 2. \( C_1 \) de rayon 10 cm, \( C_2 \) de rayon 4 cm. La distance entre leurs centres est de 5 cm. 3. \( C_1 \) de rayon 7 cm, \( C_2 \) de rayon 7 cm. La distance entre leurs centres est de 14 cm. 4. \( C_1 \) de rayon 6 cm, \( C_2 \) de rayon 2 cm. La distance entre leurs centres est de 0 cm. 5. \( C_1 \) de rayon 9 cm, \( C_2 \) de rayon 4 cm. La distance entre leurs centres est de 5 cm. ### Devoir 1. Dessinez deux cercles \( C_A \) et \( C_B \) de sorte qu'ils soient sécants. Indiquez leurs centres A et B, et leurs rayons \( R_A \) et \( R_B \). Mesurez la distance \( AB \) et vérifiez la condition de sécants. 2. Un cercle \( C_1 \) a un rayon de 12 cm. Un cercle \( C_2 \) a un rayon de 5 cm. Donnez une distance possible entre leurs centres pour que les cercles soient : a. Tangents extérieurs. b. Tangents intérieurs. c. Disjoints extérieurs. d. Sécants. e. Inclus (disjoints intérieurs). ### Résumé Nous avons appris à identifier les différentes positions relatives de deux cercles en comparant la distance entre leurs centres (\( d(O_1, O_2) \)) avec la somme (\( R_1 + R_2 \)) et la différence absolue (\( |R_1 - R_2| \)) de leurs rayons. * **Disjoints extérieurs :** \( d(O_1, O_2) > R_1 + R_2 \) * **Tangents extérieurs :** \( d(O_1, O_2) = R_1 + R_2 \) * **Sécants :** \( |R_1 - R_2| < d(O_1, O_2) < R_1 + R_2 \) * **Tangents intérieurs :** \( d(O_1, O_2) = |R_1 - R_2| \) * **Disjoints intérieurs (Inclus) :** \( d(O_1, O_2) < |R_1 - R_2| \) * **Concentriques :** \( d(O_1, O_2) = 0 \) (cas particulier d'inclus) La compréhension de ces conditions vous aidera à analyser et à construire des figures géométriques complexes avec précision !