Angles (suite et fin)

# Angles (suite et fin) ## Angles alternes –internes, alternes –externes correspondants ### Introduction Bienvenue à cette nouvelle leçon de géométrie ! Aujourd'hui, nous allons continuer notre exploration des angles en découvrant trois types d'angles très importants : les angles alternes-internes, les angles alternes-externes, et les angles correspondants. Ces angles apparaissent lorsque deux droites sont coupées par une troisième droite, appelée sécante. Vous verrez qu'ils possèdent des propriétés particulières, surtout lorsque les deux premières droites sont parallèles. C'est une notion fondamentale qui vous aidera à comprendre de nombreuses figures géométriques. ### Concepts Clés #### Prérequis : Droites parallèles et Sécante Avant de plonger dans les nouveaux concepts, rappelons ce que sont : * **Deux droites parallèles** : Deux droites qui ne se rencontrent jamais, même si on les prolonge à l'infini. Elles restent toujours à la même distance l'une de l'autre. * **Une droite sécante (ou transversale)** : Une droite qui coupe deux (ou plusieurs) autres droites. Lorsque deux droites sont coupées par une sécante, huit angles se forment. Nous allons étudier comment certains de ces angles sont liés. #### Angles alternes-internes Les angles alternes-internes sont une paire d'angles qui : * Sont situés **entre** les deux droites coupées par la sécante (c'est pourquoi on dit "internes"). * Sont de part et d'autre de la sécante (c'est pourquoi on dit "alternes"). * Ne sont pas adjacents (ils ne partagent pas un côté commun). ##### Propriété des angles alternes-internes Si les deux droites coupées par la sécante sont **parallèles**, alors les angles alternes-internes sont **égaux**. Exemple : Si une droite \( (d_1) \) est parallèle à une droite \( (d_2) \) et qu'elles sont coupées par une sécante, et que l'un des angles alternes-internes mesure \( 60° \), alors l'autre angle alterne-interne mesure aussi \( 60° \). #### Angles alternes-externes Les angles alternes-externes sont une paire d'angles qui : * Sont situés **à l'extérieur** des deux droites coupées par la sécante (c'est pourquoi on dit "externes"). * Sont de part et d'autre de la sécante (c'est pourquoi on dit "alternes"). * Ne sont pas adjacents. ##### Propriété des angles alternes-externes Si les deux droites coupées par la sécante sont **parallèles**, alors les angles alternes-externes sont **égaux**. Exemple : Si \( (d_1) \) est parallèle à \( (d_2) \) et coupées par une sécante, et que l'un des angles alternes-externes mesure \( 120° \), alors l'autre angle alterne-externe mesure aussi \( 120° \). #### Angles correspondants Les angles correspondants sont une paire d'angles qui : * L'un est situé **entre** les deux droites (interne) et l'autre est situé **à l'extérieur** (externe). * Sont du même côté de la sécante. * Ne sont pas adjacents. ##### Propriété des angles correspondants Si les deux droites coupées par la sécante sont **parallèles**, alors les angles correspondants sont **égaux**. Exemple : Si \( (d_1) \) est parallèle à \( (d_2) \) et coupées par une sécante, et qu'un angle interne mesure \( 70° \) et l'angle correspondant externe est du même côté de la sécante, alors l'angle externe mesure aussi \( 70° \). #### Réciproques des propriétés Il est important de noter que les réciproques de ces propriétés sont également vraies : * Si deux angles alternes-internes sont égaux, alors les droites qui les forment sont parallèles. * Si deux angles alternes-externes sont égaux, alors les droites qui les forment sont parallèles. * Si deux angles correspondants sont égaux, alors les droites qui les forment sont parallèles. ### Vocabulaire * **Droite parallèle** : Droites qui ne se coupent jamais. * **Sécante (ou Transversale)** : Droite qui en coupe deux (ou plusieurs) autres. * **Angle alterne-interne** : Angles situés entre deux droites, de part et d'autre d'une sécante, non adjacents. * **Angle alterne-externe** : Angles situés à l'extérieur de deux droites, de part et d'autre d'une sécante, non adjacents. * **Angle correspondant** : Un angle interne et un angle externe, situés du même côté d'une sécante, non adjacents. * **Adjacent** : Angles qui partagent un côté commun et le même sommet. ### Exemples **Exemple 1 : Identification et calcul d'angles** Imaginons deux droites \( (d_1) \) et \( (d_2) \) parallèles, coupées par une sécante \( (s) \). Un angle interne mesurant \( 55° \) est donné. Identifions et calculons d'autres angles. Si l'angle A est un angle interne et mesure \( 55° \) : 1. L'angle alterne-interne de l'angle A mesurera aussi \( 55° \) car les droites sont parallèles. 2. L'angle correspondant de l'angle A mesurera aussi \( 55° \) car les droites sont parallèles. 3. L'angle alterne-externe opposé par le sommet à l'angle correspondant mesurera également \( 55° \). **Exemple 2 : Utilisation des propriétés pour trouver des mesures** Soit deux droites \( (AB) \) et \( (CD) \) parallèles, coupées par une sécante \( (EF) \). L'angle \( \widehat{AEG} \) est externe et mesure \( 130° \). L'angle \( \widehat{DGF} \) est aussi externe. Quelle est la mesure de \( \widehat{CGF} \) et de \( \widehat{DGF} \) ? * \( \widehat{AEG} \) et \( \widehat{CGF} \) sont des angles correspondants. Puisque \( (AB) \) et \( (CD) \) sont parallèles, alors \( \widehat{CGF} = \widehat{AEG} = 130° \). * \( \widehat{AEG} \) et \( \widehat{DGF} \) sont des angles alternes-externes. Puisque \( (AB) \) et \( (CD) \) sont parallèles, alors \( \widehat{DGF} = \widehat{AEG} = 130° \). ### Exercices Pour chaque situation, on considère deux droites \( (d_1) \) et \( (d_2) \) coupées par une sécante \( (s) \). **Exercice 1 : Identification** Sur une figure où deux droites (non forcément parallèles) sont coupées par une sécante, identifiez : 1. Deux paires d'angles alternes-internes. 2. Deux paires d'angles alternes-externes. 3. Quatre paires d'angles correspondants. **Exercice 2 : Calcul de mesures** Si \( (d_1) \) et \( (d_2) \) sont parallèles, et qu'un angle interne \( \alpha \) mesure \( 75° \). 1. Quelle est la mesure de son angle alterne-interne ? 2. Quelle est la mesure de son angle correspondant ? 3. Quelle est la mesure de l'angle alterne-externe de l'angle opposé par le sommet à \( \alpha \) ? **Exercice 3 : Déterminer le parallélisme** Dans une figure, on observe qu'une paire d'angles alternes-internes mesure chacun \( 100° \). Que pouvez-vous en déduire sur les deux droites coupées par la sécante ? Justifiez votre réponse. ### Devoir à la Maison 1. Tracez deux droites \( (d_a) \) et \( (d_b) \) parallèles, puis tracez une sécante \( (k) \) qui les coupe. Nommez les huit angles formés par des lettres (ex: \( A_1, A_2, B_1, B_2 \) etc.). * Identifiez et nommez toutes les paires d'angles alternes-internes. * Identifiez et nommez toutes les paires d'angles alternes-externes. * Identifiez et nommez toutes les paires d'angles correspondants. 2. Sur votre figure du devoir, si l'un des angles, disons \( A_1 \), mesure \( 65° \), déterminez la mesure de tous les autres angles \( (A_2, B_1, B_2 ...) \) en justifiant vos réponses par les propriétés vues en cours. 3. Vrai ou Faux ? Justifiez votre réponse. * Si deux angles correspondants sont égaux, alors les droites sont toujours parallèles. * Des angles alternes-internes sont toujours égaux. ### Résumé Nous avons exploré aujourd'hui trois types d'angles très importants formés par deux droites et une sécante : * Les **angles alternes-internes** sont à l'intérieur des deux droites et de part et d'autre de la sécante. * Les **angles alternes-externes** sont à l'extérieur des deux droites et de part et d'autre de la sécante. * Les **angles correspondants** sont l'un interne, l'autre externe, et du même côté de la sécante. La propriété essentielle à retenir est que **si les deux droites sont parallèles, alors ces paires d'angles (alternes-internes, alternes-externes, et correspondants) sont égales.** Réciproquement, si l'une de ces paires d'angles est égale, alors les droites sont parallèles. C'est une notion clé pour résoudre de nombreux problèmes de géométrie ! ## Angles opposés par le sommet ### Introduction Dans cette leçon, nous allons continuer notre exploration des angles. Après avoir étudié les angles adjacents, complémentaires et supplémentaires, nous allons découvrir une nouvelle paire d'angles très particulière : les angles opposés par le sommet. Vous verrez qu'ils possèdent une propriété très intéressante qui nous aidera à résoudre des problèmes de géométrie. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un angle opposé par le sommet ? Imaginez deux droites qui se coupent en un point. Ce point est appelé le **sommet**. Quand deux droites sécantes se coupent, elles forment quatre angles autour de ce sommet commun. Des angles sont dits **opposés par le sommet** s'ils ont le même sommet et si leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre. En d'autres termes, ils sont l'un en face de l'autre lorsque deux droites se croisent. * **Exemple visuel :** Pensez à la lettre "X". Les angles situés en face l'un de l'autre dans cette croix sont opposés par le sommet. #### Propriété fondamentale des angles opposés par le sommet La propriété la plus importante à retenir est la suivante : **Deux angles opposés par le sommet ont toujours la même mesure.** Cela signifie que si vous connaissez la mesure d'un de ces angles, vous connaissez automatiquement la mesure de l'angle qui lui est opposé par le sommet. * **Illustration :** Si vous avez deux droites qui se coupent et forment quatre angles, appelons-les \( \widehat{a} \), \( \widehat{b} \), \( \widehat{c} \) et \( \widehat{d} \). Si \( \widehat{a} \) et \( \widehat{c} \) sont opposés par le sommet, alors \( \widehat{a} = \widehat{c} \). De même, si \( \widehat{b} \) et \( \widehat{d} \) sont opposés par le sommet, alors \( \widehat{b} = \widehat{d} \). #### Comment identifier les angles opposés par le sommet ? Pour identifier des angles opposés par le sommet, suivez ces étapes : 1. **Cherchez deux droites qui se coupent.** C'est la condition de base. 2. **Identifiez le point d'intersection (le sommet).** 3. **Repérez les angles qui sont directement en face l'un de l'autre,** de part et d'autre du sommet. Leurs côtés doivent être le prolongement l'un de l'autre. ### Vocabulaire * **Angle :** Figure formée par deux demi-droites de même origine (le sommet). * **Sommet :** Le point commun aux deux demi-droites qui forment un angle ; dans le cas des angles opposés par le sommet, c'est le point d'intersection des deux droites. * **Droites sécantes :** Deux droites qui se coupent en un seul point. * **Côtés d'un angle :** Les deux demi-droites qui forment l'angle. * **Opposés par le sommet :** Adjectif qualifiant deux angles qui partagent le même sommet et dont les côtés sont les prolongements l'un de l'autre. * **Mesure d'un angle :** La valeur numérique de l'ouverture d'un angle, exprimée en degrés (°). ### Exemples **Exemple 1 : Identification** Soient deux droites (d1) et (d2) qui se coupent au point O. Elles forment quatre angles : \( \widehat{AOB} \), \( \widehat{BOC} \), \( \widehat{COD} \) et \( \widehat{DOA} \). * Les angles \( \widehat{AOB} \) et \( \widehat{COD} \) sont opposés par le sommet O. * Les angles \( \widehat{BOC} \) et \( \widehat{DOA} \) sont opposés par le sommet O. **Exemple 2 : Calcul de mesure** Si l'on sait que \( \widehat{AOB} = 50° \) dans l'exemple précédent. Puisque \( \widehat{AOB} \) et \( \widehat{COD} \) sont opposés par le sommet, alors : \[ \widehat{COD} = \widehat{AOB} = 50° \] De même, si \( \widehat{BOC} = 130° \), alors : \[ \widehat{DOA} = \widehat{BOC} = 130° \] **Vérification :** On remarque que \( \widehat{AOB} \) et \( \widehat{BOC} \) sont adjacents supplémentaires (ils forment un angle plat sur la droite (d2)). Donc \( \widehat{AOB} + \widehat{BOC} = 180° \). En effet, \( 50° + 130° = 180° \). ### Exercices 1. Deux droites se coupent au point M. L'un des angles formés mesure \( 75° \). Quelle est la mesure de l'angle qui lui est opposé par le sommet ? 2. Dessinez deux droites sécantes et nommez les quatre angles formés \( \widehat{1} \), \( \widehat{2} \), \( \widehat{3} \) et \( \widehat{4} \). Si \( \widehat{1} = 110° \), donnez la mesure des angles \( \widehat{3} \) (opposé par le sommet à \( \widehat{1} \)) et \( \widehat{2} \) (adjacent à \( \widehat{1} \)). 3. Dans une figure où trois droites se coupent en un même point, combien de paires d'angles opposés par le sommet pouvez-vous identifier ? (Indice : Concentrez-vous sur les paires de droites sécantes.) ### Devoirs 1. Tracez deux droites (AB) et (CD) qui se coupent en un point E. Mesurez l'angle \( \widehat{AEC} \) à l'aide de votre rapporteur. Déduisez la mesure des trois autres angles sans les mesurer. 2. Si deux angles opposés par le sommet sont égaux et que leur somme est \( 160° \), quelle est la mesure de chaque angle ? 3. Un angle \( \widehat{XYZ} \) mesure \( 90° \). Quel est l'angle opposé par le sommet à \( \widehat{XYZ} \) ? Quelle est sa mesure ? 4. Expliquez avec vos propres mots pourquoi les angles opposés par le sommet ont la même mesure. ### Résumé * Les **angles opposés par le sommet** sont formés par deux droites qui se coupent. Ils partagent le même sommet et leurs côtés sont les prolongements l'un de l'autre. * La propriété essentielle est que **deux angles opposés par le sommet ont toujours la même mesure**. * Cette propriété est très utile pour calculer des mesures d'angles inconnues dans des figures géométriques. * Recherchez toujours la forme d'un "X" pour les identifier facilement.