Chap1: Arithmétique

# Chap1: Arithmétique ## Introduction et division ### Introduction Bienvenue dans le premier chapitre d'arithmétique ! L'arithmétique est une branche des mathématiques qui étudie les nombres et les opérations que l'on peut effectuer avec eux. Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur la division, une opération fondamentale qui nous permet de partager des quantités ou de trouver combien de fois une quantité est contenue dans une autre. ### Concepts clés #### Qu'est-ce que l'arithmétique ? * L'arithmétique est l'étude des nombres entiers (0, 1, 2, 3...) et des quatre opérations de base : l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. * Elle nous aide à comprendre comment les nombres fonctionnent entre eux et est la base de toutes les autres branches des mathématiques. #### La division La division est l'opération qui consiste à partager une quantité en parts égales ou à déterminer combien de fois une quantité est contenue dans une autre. C'est l'opération inverse de la multiplication. #### Les termes de la division euclidienne Quand on effectue une division euclidienne, quatre termes sont essentiels : * **Le Dividende :** C'est le nombre que l'on divise (la quantité totale à partager). * **Le Diviseur :** C'est le nombre par lequel on divise (le nombre de parts ou la taille de chaque part). * **Le Quotient :** C'est le résultat de la division (le nombre de parts entières ou le nombre de fois que le diviseur est contenu dans le dividende). * **Le Reste :** C'est ce qu'il reste quand la division n'est pas "exacte". Il doit toujours être inférieur au diviseur. La relation fondamentale de la division euclidienne est : \[ \text{Dividende} = (\text{Diviseur} \times \text{Quotient}) + \text{Reste} \] Avec la condition essentielle : \( 0 \le \text{Reste} < \text{Diviseur} \). #### Division exacte et non exacte * **Division exacte :** On parle de division exacte lorsque le reste est égal à zéro (\( \text{Reste} = 0 \)). Dans ce cas, on dit que le dividende est un **multiple** du diviseur, ou que le diviseur est un **diviseur** du dividende. * **Division non exacte :** Le reste n'est pas zéro (\( \text{Reste} \ne 0 \)). #### Critères de divisibilité Les critères de divisibilité sont des règles simples qui permettent de savoir si un nombre entier est divisible par un autre sans effectuer la division. Cela signifie que le reste de la division serait 0. * **Divisibilité par 2 :** Un nombre est divisible par 2 s'il est un nombre pair, c'est-à-dire s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. * **Divisibilité par 3 :** Un nombre est divisible par 3 si la somme de tous ses chiffres est un multiple de 3. * **Divisibilité par 5 :** Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou par 5. * **Divisibilité par 9 :** Un nombre est divisible par 9 si la somme de tous ses chiffres est un multiple de 9. * **Divisibilité par 10 :** Un nombre est divisible par 10 s'il se termine par 0. ### Vocabulaire * **Arithmétique :** Branche des mathématiques qui étudie les propriétés des nombres et les opérations de base. * **Division :** Opération mathématique qui consiste à partager un nombre en parts égales ou à trouver combien de fois un nombre est contenu dans un autre. * **Dividende :** Le nombre qui est divisé. * **Diviseur :** Le nombre par lequel on divise. * **Quotient :** Le résultat entier d'une division euclidienne. * **Reste :** Le nombre entier qu'il reste après une division euclidienne, toujours plus petit que le diviseur. * **Division euclidienne :** Division de nombres entiers, donnant un quotient et un reste entiers. * **Divisible :** Se dit d'un nombre dont la division euclidienne par un autre nombre donne un reste égal à zéro. ### Exemples pratiques #### Exemple 1 : Réaliser une division euclidienne Effectuons la division euclidienne de 58 par 7. * On cherche le plus grand multiple de 7 qui est inférieur ou égal à 58. * \( 7 \times 8 = 56 \) * On calcule le reste : \( 58 - 56 = 2 \) * Donc, nous pouvons écrire l'égalité euclidienne : \( 58 = (7 \times 8) + 2 \) * Ici, le dividende est 58, le diviseur est 7, le quotient est 8 et le reste est 2. On vérifie que le reste (2) est bien inférieur au diviseur (7). #### Exemple 2 : Utiliser les critères de divisibilité Considérons le nombre 360. * **Divisible par 2 ?** Oui, car il se termine par 0 (nombre pair). * **Divisible par 3 ?** Somme des chiffres : \( 3 + 6 + 0 = 9 \). Puisque 9 est divisible par 3 (\( 9 = 3 \times 3 \)), 360 est divisible par 3. * **Divisible par 5 ?** Oui, car il se termine par 0. * **Divisible par 9 ?** Somme des chiffres : \( 3 + 6 + 0 = 9 \). Puisque 9 est divisible par 9 (\( 9 = 9 \times 1 \)), 360 est divisible par 9. * **Divisible par 10 ?** Oui, car il se termine par 0. ### Exercices 1. Effectuez la division euclidienne de 95 par 8. Indiquez le dividende, le diviseur, le quotient et le reste. 2. Un fleuriste a 150 roses et veut faire des bouquets de 9 roses chacun. Combien de bouquets complets peut-il faire ? Combien de roses lui restera-t-il ? 3. Sans effectuer les divisions, utilisez les critères de divisibilité pour déterminer si les nombres suivants sont divisibles par 2, 3, 5, 9 ou 10 : * a) 480 * b) 723 * c) 1455 ### Devoir 1. Complétez les égalités de division euclidienne suivantes : * a) \( 67 = 9 \times \dots + \dots \) * b) \( \dots = 7 \times 15 + 3 \) * c) \( 125 = \dots \times 12 + 5 \) 2. Choisissez un nombre à quatre chiffres (par exemple 2145). Écrivez-le et expliquez, en utilisant les critères de divisibilité, par quels nombres (2, 3, 5, 9, 10) il est divisible. 3. Pour une excursion scolaire, 245 élèves doivent être transportés par des bus qui peuvent chacun accueillir 40 élèves. Combien de bus seront entièrement remplis ? Combien d'élèves monteront dans le dernier bus (qui ne sera pas complet) ? ### Résumé Ce chapitre nous a introduit à l'arithmétique et, plus spécifiquement, à la division euclidienne. Nous avons appris à identifier les termes d'une division (dividende, diviseur, quotient, reste) et à écrire la relation fondamentale : \[ \text{Dividende} = (\text{Diviseur} \times \text{Quotient}) + \text{Reste} \] avec la condition \( 0 \le \text{Reste} < \text{Diviseur} \). Nous avons aussi découvert les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10, des outils très utiles pour simplifier les calculs et vérifier la divisibilité des nombres. La maîtrise de ces concepts est essentielle pour la suite de votre parcours en mathématiques ! ## Critère de divisibilité par 4 et 25 ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les critères de divisibilité par 4 et par 25 ! En mathématiques, il est souvent utile de savoir rapidement si un nombre peut être divisé par un autre sans laisser de reste. Les critères de divisibilité sont des règles simples qui nous permettent de le faire sans avoir à effectuer la division. Aujourd'hui, nous allons découvrir ces astuces pour les nombres 4 et 25. ### Concepts Clés #### Critère de divisibilité par 4 Pour savoir si un nombre entier est divisible par 4, il suffit de regarder ses deux derniers chiffres. ##### Règle Un nombre est divisible par 4 si : * Le nombre formé par ses deux derniers chiffres (le chiffre des dizaines et le chiffre des unités) est un multiple de 4. * OU si ses deux derniers chiffres sont 00. ##### Exemples d'application de la règle * Est-ce que 324 est divisible par 4 ? Les deux derniers chiffres forment le nombre 24. Or, \( 24 = 4 \times 6 \), donc 24 est un multiple de 4. Par conséquent, 324 est divisible par 4. * Est-ce que 1 500 est divisible par 4 ? Les deux derniers chiffres sont 00. Donc, 1 500 est divisible par 4. * Est-ce que 718 est divisible par 4 ? Les deux derniers chiffres forment le nombre 18. Or, 18 n'est pas un multiple de 4 (\( 18 = 4 \times 4 + 2 \)). Par conséquent, 718 n'est pas divisible par 4. #### Critère de divisibilité par 25 Pour savoir si un nombre entier est divisible par 25, c'est également très simple et cela concerne aussi ses deux derniers chiffres. ##### Règle Un nombre est divisible par 25 si : * Le nombre formé par ses deux derniers chiffres (le chiffre des dizaines et le chiffre des unités) est 00, 25, 50 ou 75. ##### Exemples d'application de la règle * Est-ce que 475 est divisible par 25 ? Les deux derniers chiffres forment le nombre 75. Comme 75 fait partie de la liste (00, 25, 50, 75), 475 est divisible par 25. * Est-ce que 2 350 est divisible par 25 ? Les deux derniers chiffres forment le nombre 50. Comme 50 fait partie de la liste, 2 350 est divisible par 25. * Est-ce que 1 830 est divisible par 25 ? Les deux derniers chiffres forment le nombre 30. Comme 30 ne fait pas partie de la liste, 1 830 n'est pas divisible par 25. ### Vocabulaire * **Divisible :** Se dit d'un nombre qui peut être divisé par un autre sans laisser de reste. Par exemple, 12 est divisible par 3 car \( 12 \div 3 = 4 \) sans reste. * **Critère de divisibilité :** Une règle simple qui permet de déterminer si un nombre est divisible par un autre sans effectuer la division complète. * **Chiffre des dizaines :** Le chiffre qui représente les dizaines dans un nombre. Par exemple, dans 347, le chiffre des dizaines est 4. * **Chiffre des unités :** Le chiffre qui représente les unités dans un nombre. Par exemple, dans 347, le chiffre des unités est 7. * **Multiple :** Le résultat d'une multiplication d'un nombre par un entier. Par exemple, 12 est un multiple de 4 car \( 4 \times 3 = 12 \). ### Exemples #### Exemple 1 : Le nombre 648 * **Divisibilité par 4 :** Regardons les deux derniers chiffres : 48. Est-ce que 48 est un multiple de 4 ? Oui, \( 48 = 4 \times 12 \). Donc, 648 est divisible par 4. * **Divisibilité par 25 :** Regardons les deux derniers chiffres : 48. Est-ce que 48 est 00, 25, 50 ou 75 ? Non. Donc, 648 n'est pas divisible par 25. #### Exemple 2 : Le nombre 975 * **Divisibilité par 4 :** Regardons les deux derniers chiffres : 75. Est-ce que 75 est un multiple de 4 ? Non (\( 75 = 4 \times 18 + 3 \)). Donc, 975 n'est pas divisible par 4. * **Divisibilité par 25 :** Regardons les deux derniers chiffres : 75. Est-ce que 75 est 00, 25, 50 ou 75 ? Oui, c'est 75. Donc, 975 est divisible par 25. #### Exemple 3 : Le nombre 2 100 * **Divisibilité par 4 :** Regardons les deux derniers chiffres : 00. Donc, 2 100 est divisible par 4. * **Divisibilité par 25 :** Regardons les deux derniers chiffres : 00. Donc, 2 100 est divisible par 25. ### Exercices Pour chaque nombre ci-dessous, indique s'il est divisible par 4, par 25, par les deux, ou par aucun des deux. Justifie ta réponse en utilisant les critères de divisibilité. 1. 536 2. 850 3. 1 200 4. 2 075 5. 3 110 6. 4 004 ### Devoirs 1. Donne trois nombres de trois chiffres différents qui sont divisibles par 4 mais pas par 25. 2. Donne trois nombres de trois chiffres différents qui sont divisibles par 25 mais pas par 4. 3. Trouve le plus petit nombre entier supérieur à 100 qui est divisible à la fois par 4 et par 25. 4. Une classe compte 28 élèves. L'enseignant veut former des groupes de travail. Peut-il faire des groupes de 4 élèves sans qu'il en reste ? Peut-il faire des groupes de 25 élèves ? ### Résumé Aujourd'hui, nous avons appris des règles très pratiques pour la divisibilité : * **Pour le critère de divisibilité par 4 :** Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4, ou si ses deux derniers chiffres sont 00. * **Pour le critère de divisibilité par 25 :** Un nombre est divisible par 25 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est 00, 25, 50 ou 75. Ces astuces vous aideront à gagner du temps et à mieux comprendre la structure des nombres. Continuez à pratiquer ! ## Écriture d’une puissance entière d’un nombre entier ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les puissances ! En mathématiques, il est parfois nécessaire de multiplier le même nombre plusieurs fois par lui-même. Pour simplifier l'écriture de ces longues multiplications, les mathématiciens ont inventé une notation spéciale appelée "puissance". C'est une façon plus courte et plus rapide d'écrire des produits répétés. Préparez-vous à découvrir cette écriture pratique et à l'utiliser dans vos calculs ! ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une Puissance ? Une puissance est une façon d'écrire une multiplication répétée d'un même nombre par lui-même. * **Définition :** Quand on multiplie un nombre \( a \) par lui-même \( n \) fois, on écrit \( a^n \). * \( a^n = a \times a \times a \times \dots \times a \) (n fois) #### Les Composantes d'une Puissance Une puissance est composée de deux parties principales : * **La Base (\( a \)) :** C'est le nombre qui est multiplié par lui-même. * **L'Exposant (\( n \)) :** C'est le petit nombre écrit en haut à droite de la base, qui indique combien de fois la base doit être multipliée par elle-même. Par exemple, dans \( 2^3 \) : * La base est \( 2 \). * L'exposant est \( 3 \). * Cela signifie \( 2 \times 2 \times 2 \). #### Comment Lire les Puissances * \( a^n \) se lit "a puissance n" ou "a exposant n". * **Cas spéciaux :** * \( a^2 \) se lit "a au carré". (Par exemple, l'aire d'un carré de côté \( a \) est \( a^2 \)). * \( a^3 \) se lit "a au cube". (Par exemple, le volume d'un cube de côté \( a \) est \( a^3 \)). #### Cas Particuliers des Exposants * **Exposant 1 :** Tout nombre élevé à la puissance 1 est égal à lui-même. * Pour tout nombre entier \( a \), \( a^1 = a \). * Exemple : \( 5^1 = 5 \) * **Exposant 0 :** Tout nombre entier non nul élevé à la puissance 0 est égal à 1. * Pour tout nombre entier \( a \) différent de 0, \( a^0 = 1 \). * Exemple : \( 7^0 = 1 \) * **Puissances de 10 :** Les puissances de 10 sont très pratiques. * \( 10^n \) s'écrit avec un 1 suivi de \( n \) zéros. * Exemple : \( 10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000 \) #### Calculer une Puissance Pour calculer une puissance, il suffit d'effectuer la multiplication répétée indiquée par l'exposant. * Exemple : Calculer \( 3^4 \) * \( 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \) * \( 3 \times 3 = 9 \) * \( 9 \times 3 = 27 \) * \( 27 \times 3 = 81 \) * Donc, \( 3^4 = 81 \) ### Vocabulaire * **Puissance :** Notation pour une multiplication répétée du même nombre (ex: \( 2^3 \)). * **Base :** Le nombre qui est multiplié par lui-même (ex: \( 2 \) dans \( 2^3 \)). * **Exposant :** Le petit nombre qui indique combien de fois la base est multipliée (ex: \( 3 \) dans \( 2^3 \)). * **Carré :** Un nombre élevé à la puissance 2 (ex: \( 5^2 \) se lit "cinq au carré"). * **Cube :** Un nombre élevé à la puissance 3 (ex: \( 4^3 \) se lit "quatre au cube"). ### Exemples 1. **Écriture et calcul :** * \( 4^3 \) (quatre au cube) \( = 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64 \) * \( 6^2 \) (six au carré) \( = 6 \times 6 = 36 \) * \( 2^5 \) (deux puissance cinq) \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 4 \times 2 \times 2 \times 2 = 8 \times 2 \times 2 = 16 \times 2 = 32 \) 2. **Cas particuliers :** * \( 9^1 = 9 \) * \( 15^0 = 1 \) 3. **Puissances de 10 :** * \( 10^2 = 10 \times 10 = 100 \) * \( 10^6 = 1 \, 000 \, 000 \) (un million) ### Exercices 1. **Écrivez les produits suivants sous forme de puissance :** * a) \( 5 \times 5 \times 5 \times 5 \) * b) \( 7 \times 7 \) * c) \( 12 \times 12 \times 12 \) * d) \( 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \) 2. **Calculez les puissances suivantes :** * a) \( 3^3 \) * b) \( 8^2 \) * c) \( 2^4 \) * d) \( 11^0 \) * e) \( 10^3 \) 3. **Complétez le tableau :** | Puissance | Base | Exposant | Écriture développée | Résultat | |:----------|:-----|:---------|:--------------------|:---------| | \( 4^2 \) | | | | | | | \( 5 \) | \( 3 \) | | | | \( 7^1 \) | | | | | | | \( 10 \) | \( 5 \) | | | ### Devoir 1. **Calculs de puissances :** * a) \( 6^3 \) * b) \( 9^2 \) * c) \( 1^7 \) * d) \( 20^0 \) * e) \( 10^7 \) 2. **Problème :** Un architecte conçoit une pièce carrée de 8 mètres de côté. Quelle est l'aire de cette pièce ? Écrivez le calcul sous forme de puissance, puis calculez le résultat. 3. **Vrai ou Faux ? Justifiez votre réponse.** * a) \( 3^2 = 3 \times 2 \) * b) \( 4^3 = 64 \) * c) \( 10^5 = 100 \, 000 \) * d) \( 0^5 = 1 \) ### Résumé Dans cette leçon, nous avons découvert l'écriture des puissances, un outil très utile pour simplifier les multiplications répétées. Vous devez retenir : * Une puissance \( a^n \) est une façon abrégée d'écrire \( a \times a \times \dots \times a \) (n fois). * \( a \) est la **base** et \( n \) est l'**exposant**. * \( a^2 \) se lit "a au carré" et \( a^3 \) se lit "a au cube". * N'oubliez pas les cas particuliers : \( a^1 = a \) et \( a^0 = 1 \) (pour \( a \neq 0 \)). * Les puissances de 10 sont formées d'un 1 suivi d'autant de zéros que l'exposant l'indique. Continuez à pratiquer pour maîtriser cette nouvelle notation essentielle en mathématiques !