EQUILIBRE DES SOLIDES (partie 1/3)

## Principe fondamental de la statique ### Introduction Bienvenue dans cette leçon dédiée au Principe Fondamental de la Statique (PFS). En mécanique, la statique est une branche essentielle qui nous permet de comprendre pourquoi certains objets restent immobiles et ne bougent pas, même lorsqu'ils sont soumis à des forces. Que ce soit pour construire un pont, une étagère ou une machine, il est crucial de s'assurer que les éléments restent en équilibre. Aujourd'hui, nous allons découvrir les règles simples mais puissantes qui régissent cet équilibre. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que la Statique ? La statique est la partie de la mécanique qui étudie l'équilibre des solides. Un solide est dit "en équilibre" lorsqu'il est au repos (vitesse nulle) ou qu'il se déplace à une vitesse constante (sans accélération) et qu'il ne tourne pas (vitesse angulaire nulle). #### Qu'est-ce que l'Équilibre ? Un solide est en équilibre lorsque toutes les forces qui s'exercent sur lui s'annulent mutuellement, l'empêchant de se déplacer ou de tourner. Pour analyser l'équilibre, nous devons considérer toutes les actions mécaniques (forces et moments) qui agissent sur le solide. #### Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) Le PFS est la loi qui énonce les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un solide soit en équilibre. Il se décompose en deux conditions principales : ##### 1. Première Condition d'Équilibre (Équilibre de Translation) Pour qu'un solide soit en équilibre, la somme vectorielle de toutes les forces extérieures qui s'appliquent sur lui doit être nulle. Cela signifie que le solide n'a aucune tendance à se déplacer (à translater). * **Formulation vectorielle :** \[ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \] * **Formulation analytique (en 2D) :** Pour résoudre concrètement un problème, on décompose les forces selon les axes d'un repère (par exemple, un axe horizontal \(x\) et un axe vertical \(y\)). La somme des composantes des forces sur chaque axe doit être nulle : \[ \sum F_x = 0 \] \[ \sum F_y = 0 \] ##### 2. Deuxième Condition d'Équilibre (Équilibre de Rotation) Pour qu'un solide soit en équilibre, la somme algébrique des moments de toutes les forces extérieures par rapport à n'importe quel point choisi doit être nulle. Cela signifie que le solide n'a aucune tendance à tourner. * **Rappel sur le moment d'une force :** Le moment d'une force \( \vec{F} \) par rapport à un point \( A \) est le produit de l'intensité de la force par la distance perpendiculaire entre la ligne d'action de la force et le point \( A \) (appelée bras de levier). Le moment est une grandeur qui exprime la capacité d'une force à faire tourner un objet. Il est positif si la rotation est dans le sens positif choisi (souvent anti-horaire) et négatif sinon. \[ M_A = F \times d \] * **Formulation vectorielle :** \[ \sum \vec{M}_{ext / A} = \vec{0} \] * **Formulation analytique (en 2D) :** La somme des moments algébriques par rapport à un point \( A \) quelconque doit être nulle : \[ \sum M_A = 0 \] #### Méthodologie d'application du PFS Pour résoudre un problème d'équilibre, suivez ces étapes : 1. **Isoler le solide :** Délimitez clairement le système que vous étudiez. 2. **Représenter les actions mécaniques :** Dessinez toutes les forces extérieures (poids, forces de contact, réactions d'appuis, etc.) et les moments connus agissant sur le solide. N'oubliez pas les forces inconnues (réactions des liaisons). 3. **Choisir un repère :** Définissez un système d'axes (\(x, y\)) et un sens positif de rotation (généralement le sens anti-horaire). 4. **Écrire les équations du PFS :** Appliquez les deux conditions d'équilibre : * \( \sum F_x = 0 \) * \( \sum F_y = 0 \) * \( \sum M_A = 0 \) (choisissez un point A judicieusement, souvent là où passent le plus de forces inconnues pour annuler leur moment). 5. **Résoudre le système d'équations :** Trouvez les valeurs des forces ou moments inconnus. ### Vocabulaire * **Statique :** Étude de l'équilibre des corps. * **Équilibre :** État d'un solide immobile ou en mouvement uniforme sans rotation. * **Force :** Action mécanique capable de modifier le mouvement ou la déformation d'un corps. Elle est caractérisée par une direction, un sens et une intensité (norme). * **Vecteur :** Représentation mathématique d'une force ou d'une autre grandeur orientée. * **Moment d'une force :** Grandeur qui mesure l'effet de rotation d'une force autour d'un point. * **Point d'application :** Point sur lequel une force est appliquée. * **Action mécanique :** Terme général désignant les forces et les moments appliqués à un solide. * **Repère :** Système de coordonnées (axes) utilisé pour localiser des points et décomposer des vecteurs. * **Bras de levier :** Distance perpendiculaire entre l'axe de rotation et la ligne d'action d'une force. ### Exemples #### Exemple 1 : Objet posé sur une table Un livre de masse \( m \) est posé sur une table. Quelles sont les forces agissant sur le livre et pourquoi est-il en équilibre ? 1. **Solide isolé :** Le livre. 2. **Forces :** * Le poids \( \vec{P} \) du livre, dirigé vers le bas, d'intensité \( P = m \cdot g \). * La réaction normale \( \vec{R} \) de la table sur le livre, dirigée vers le haut. 3. **Repère :** Axe \( y \) vertical positif vers le haut. 4. **PFS (première condition) :** \[ \sum F_y = 0 \implies R - P = 0 \] 5. **Solution :** \( R = P = m \cdot g \). La table exerce une force égale et opposée au poids du livre, le maintenant en équilibre. #### Exemple 2 : Poutre en équilibre sur deux appuis Une poutre horizontale, de longueur \( L \) et de poids \( P_{poutre} \) agissant en son centre, est posée sur deux appuis A et B. Une charge \( F \) est appliquée à une distance \( d \) de l'appui A. Déterminer les réactions aux appuis \( R_A \) et \( R_B \). 1. **Solide isolé :** La poutre. 2. **Forces :** * Poids de la poutre \( \vec{P}_{poutre} \) au centre (\( L/2 \) de A). * Charge \( \vec{F} \) à la distance \( d \) de A. * Réaction verticale \( \vec{R}_A \) à l'appui A (vers le haut). * Réaction verticale \( \vec{R}_B \) à l'appui B (vers le haut, à distance \( L \) de A). 3. **Repère :** Axe \( y \) vertical positif vers le haut. Sens de rotation positif anti-horaire. 4. **PFS :** * **Condition de translation (verticale) :** \[ \sum F_y = 0 \implies R_A + R_B - P_{poutre} - F = 0 \] * **Condition de rotation (choisissons le point A pour annuler le moment de \( R_A \)) :** \[ \sum M_A = 0 \implies (P_{poutre} \cdot \frac{L}{2}) + (F \cdot d) - (R_B \cdot L) = 0 \] 5. **Solution :** * De la deuxième équation, on peut trouver \( R_B \) : \[ R_B = \frac{(P_{poutre} \cdot \frac{L}{2}) + (F \cdot d)}{L} \] * Ensuite, on substitue \( R_B \) dans la première équation pour trouver \( R_A \) : \[ R_A = P_{poutre} + F - R_B \] ### Exercices #### Exercice 1 Un lustre de 15 kg est suspendu au plafond par un seul câble. Quelle est la tension \( T \) dans le câble ? (Prenez \( g = 9.81 \text{ m/s}^2 \)). #### Exercice 2 Une barre homogène de 2 m de long et de 10 kg est posée horizontalement sur deux appuis A et B. L'appui A est à une extrémité, et l'appui B est à 1.5 m de A. Calculez les réactions verticales \( R_A \) et \( R_B \) aux appuis. ### Devoir #### Devoir 1 Une échelle de 5 m de long et de 20 kg est appuyée contre un mur vertical lisse (pas de frottement au mur) sous un angle de 60° avec le sol. Le sol est rugueux (il y a du frottement). Un homme de 70 kg monte à 3 m du pied de l'échelle. Déterminez les réactions du sol (normale et frottement) et la réaction du mur sur l'échelle. #### Devoir 2 Recherchez deux exemples concrets d'application du Principe Fondamental de la Statique dans le domaine de l'ingénierie civile ou mécanique (par exemple, un pont, une grue, un bras robotique). Décrivez comment le PFS est utilisé pour assurer la stabilité de ces structures. ### Résumé Le Principe Fondamental de la Statique est un outil indispensable pour l'ingénieur et le technicien. Il nous permet de prévoir et de garantir l'équilibre des systèmes. Retenez bien les deux conditions essentielles : 1. **La somme vectorielle des forces extérieures est nulle :** \( \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \) 2. **La somme vectorielle des moments des forces extérieures par rapport à tout point est nulle :** \( \sum \vec{M}_{ext / A} = \vec{0} \) L'application rigoureuse de la méthodologie (isolation du solide, représentation des forces, choix du repère, équations et résolution) est la clé de la réussite pour résoudre tout problème d'équilibre. ## Principe fondamental de la statique - approndissement ### Introduction Bienvenue dans cette leçon d'approfondissement du Principe Fondamental de la Statique (PFS) ! Vous avez déjà appris les bases des forces et de l'équilibre. Aujourd'hui, nous allons aller plus loin dans la compréhension et l'application du PFS, un outil essentiel pour analyser la stabilité des structures et des mécanismes en ingénierie. Comprendre comment les forces et les moments s'équilibrent est crucial pour tout technicien en mécanique appliquée. ### Concepts Clés #### Rappel du Principe Fondamental de la Statique (PFS) Le Principe Fondamental de la Statique stipule qu'un solide indéformable est en équilibre si les deux conditions suivantes sont remplies : 1. **La somme vectorielle des forces extérieures** appliquées au solide est nulle. \[ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \] 2. **La somme vectorielle des moments** de ces forces extérieures par rapport à n'importe quel point (appelé centre de moment) est nulle. \[ \sum \vec{M}_{(A)}(\vec{F}_{ext}) = \vec{0} \] Où `A` est n'importe quel point dans l'espace. Le choix de ce point `A` peut simplifier les calculs. #### Conditions d'application du PFS Pour appliquer le PFS, le solide doit être : * **Immobile :** Le plus souvent, c'est l'état que l'on étudie en statique. * **En mouvement rectiligne uniforme :** C'est un cas théorique où la vitesse est constante et la trajectoire est une ligne droite. Dans ce cas aussi, l'accélération est nulle, et le PFS s'applique. #### Forces et leur Représentation Une force est une action mécanique caractérisée par : * **Son point d'application :** L'endroit où la force agit sur le solide. * **Sa direction :** La ligne selon laquelle la force agit. * **Son sens :** L'orientation le long de la direction. * **Son intensité (ou norme) :** La valeur de la force, exprimée en Newtons (N). Elle est représentée par la longueur du vecteur force. Quelques types de forces courantes : * **Le Poids (\( \vec{P} \)) :** Force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre. Son point d'application est le centre de gravité (G) du solide, sa direction est verticale et son sens est dirigé vers le bas. Son intensité est donnée par : \[ P = m \cdot g \] où `m` est la masse du solide (en kg) et `g` est l'accélération de la pesanteur (environ \( 9.81 \, m/s^2 \)). * **Les actions de contact :** Forces exercées par d'autres solides avec lesquels le solide étudié est en contact (supports, liaisons, etc.). * **Les forces de tension ou de compression :** Forces exercées par des câbles, des bielles, etc. #### Moment d'une Force Le moment d'une force est la capacité de cette force à faire tourner un solide autour d'un point ou d'un axe. Il se calcule comme le produit de l'intensité de la force par la distance perpendiculaire (le bras de levier) entre la ligne d'action de la force et le centre de moment choisi. * **Calcul du moment :** \[ M_{(A)}(\vec{F}) = F \cdot d \] où `F` est l'intensité de la force et `d` est le bras de levier. L'unité du moment est le Newton-mètre (N.m). * **Sens de rotation :** Par convention, un moment qui tend à faire tourner le solide dans le sens anti-horaire est souvent considéré positif, et un moment dans le sens horaire est négatif. #### Diagramme de Corps Libre (DCL) Le Diagramme de Corps Libre (DCL) est une étape fondamentale pour appliquer le PFS. Il consiste à : 1. **Isoler le solide** (ou la partie du solide) que l'on souhaite étudier. 2. **Représenter toutes les forces extérieures** agissant sur ce solide par des vecteurs, en indiquant leur point d'application, direction et sens. Ne pas inclure les forces internes au solide. 3. **Choisir un repère** (par exemple, un système d'axes \( (x, y) \)) pour décomposer les forces. #### Application du PFS en 2D Dans un plan (2D), le PFS se traduit par trois équations scalaires : 1. **Somme des forces selon l'axe des x est nulle :** \[ \sum F_x = 0 \] 2. **Somme des forces selon l'axe des y est nulle :** \[ \sum F_y = 0 \] 3. **Somme des moments par rapport à un point choisi (A) est nulle :** \[ \sum M_{(A)} = 0 \] En général, ces trois équations permettent de résoudre des problèmes avec jusqu'à trois inconnues (forces ou moments de réaction). #### Problèmes Isostatiques et Hyperstatiques (Introduction) * **Système isostatique :** C'est un système pour lequel le nombre d'inconnues est égal au nombre d'équations d'équilibre disponibles (3 en 2D). Il est donc possible de trouver une solution unique en utilisant uniquement le PFS. * **Système hyperstatique :** C'est un système où le nombre d'inconnues est supérieur au nombre d'équations du PFS. La résolution de ces systèmes nécessite des connaissances supplémentaires sur les déformations des matériaux (résistance des matériaux) et ne sera pas traitée en profondeur à votre niveau. ### Vocabulaire * **Équilibre :** État d'un corps où la somme des forces et des moments qui lui sont appliqués est nulle, résultant en une absence d'accélération (immobilité ou mouvement rectiligne uniforme). * **Force :** Action mécanique capable de modifier le mouvement ou la forme d'un corps. * **Moment d'une force :** Grandeur physique qui mesure la capacité d'une force à provoquer une rotation autour d'un point ou d'un axe. * **Bras de levier :** La distance perpendiculaire entre la ligne d'action d'une force et le point autour duquel le moment est calculé. * **Diagramme de Corps Libre (DCL) :** Schéma qui représente un solide isolé avec toutes les forces extérieures agissant sur lui. * **Centre de gravité (G) :** Point d'application de la résultante des forces de pesanteur s'exerçant sur un corps. * **Réaction d'appui :** Force exercée par un support sur un solide, empêchant son mouvement. ### Exemples #### Exemple 1 : Poutre en équilibre sur deux appuis simples Considérons une poutre horizontale de longueur \( L \) et de masse \( m \) uniformément répartie, reposant sur deux appuis simples (ponctuels) aux extrémités A et B. Une charge ponctuelle \( F \) est appliquée au milieu de la poutre. * **But :** Déterminer les forces de réaction aux appuis \( R_A \) et \( R_B \). * **Diagramme de Corps Libre (DCL) :** * On isole la poutre. * Forces : Le poids de la poutre \( \vec{P} \) appliqué en son centre (\( L/2 \) de A), la charge appliquée \( \vec{F} \) appliquée aussi en \( L/2 \), et les réactions verticales \( \vec{R_A} \) et \( \vec{R_B} \) aux appuis A et B. * **Application du PFS :** * **\( \sum F_x = 0 \) :** Il n'y a pas de forces horizontales, donc cette équation est trivialement satisfaite. * **\( \sum F_y = 0 \) :** La somme des forces verticales est nulle. \[ R_A + R_B - P - F = 0 \] * **\( \sum M_{(A)} = 0 \) :** Choisissons le point A comme centre de moment pour éliminer \( R_A \) du calcul (son bras de levier est nul par rapport à A). \[ (P \cdot \frac{L}{2}) + (F \cdot \frac{L}{2}) - (R_B \cdot L) = 0 \] Note: Les moments sont affectés d'un signe selon le sens de rotation qu'ils induisent (ici, P et F tendent à tourner dans le sens horaire autour de A, donc moments négatifs, et \( R_B \) tend à tourner dans le sens anti-horaire, moment positif). * **Résolution :** De la deuxième équation : \( R_B \cdot L = P \cdot \frac{L}{2} + F \cdot \frac{L}{2} \) \( R_B = \frac{P}{2} + \frac{F}{2} \) Ensuite, on utilise la première équation : \( R_A = P + F - R_B \) \( R_A = P + F - (\frac{P}{2} + \frac{F}{2}) = \frac{P}{2} + \frac{F}{2} \) Ainsi, dans ce cas symétrique, \( R_A = R_B = \frac{P+F}{2} \). #### Exemple 2 : Objet suspendu par deux câbles Un objet de masse \( m \) est suspendu au plafond par deux câbles. Le câble 1 fait un angle \( \theta_1 \) avec l'horizontale et le câble 2 fait un angle \( \theta_2 \) avec l'horizontale. * **But :** Déterminer les tensions \( T_1 \) et \( T_2 \) dans les câbles. * **DCL :** * On isole le point de jonction des câbles et de l'objet. * Forces : Le poids \( \vec{P} \) de l'objet (\( P = m \cdot g \)), la tension \( \vec{T_1} \) du câble 1, la tension \( \vec{T_2} \) du câble 2. * On décompose \( \vec{T_1} \) et \( \vec{T_2} \) selon les axes x et y. * \( T_{1x} = -T_1 \cos(\theta_1) \) * \( T_{1y} = T_1 \sin(\theta_1) \) * \( T_{2x} = T_2 \cos(\theta_2) \) * \( T_{2y} = T_2 \sin(\theta_2) \) * **Application du PFS :** * **\( \sum F_x = 0 \) :** \[ -T_1 \cos(\theta_1) + T_2 \cos(\theta_2) = 0 \] * **\( \sum F_y = 0 \) :** \[ T_1 \sin(\theta_1) + T_2 \sin(\theta_2) - P = 0 \] * **Résolution :** C'est un système de deux équations à deux inconnues (\( T_1 \) et \( T_2 \)). De la première équation : \( T_1 = T_2 \frac{\cos(\theta_2)}{\cos(\theta_1)} \). On substitue \( T_1 \) dans la deuxième équation pour trouver \( T_2 \), puis \( T_1 \). ### Exercices Voici quelques exercices pour vous entraîner à appliquer le PFS : #### Exercice 1 : Poutre en porte-à-faux Une poutre horizontale de longueur \( L = 3 \, m \) est fixée à un mur par un encastrement en A (point A). Une charge verticale descendante de \( F = 150 \, N \) est appliquée à son extrémité libre B. La masse de la poutre est négligeable. 1. Dessinez le Diagramme de Corps Libre (DCL) de la poutre. 2. Écrivez les équations d'équilibre issues du PFS. 3. Déterminez les réactions d'encastrement en A (force verticale \( R_{Ay} \) et moment \( M_A \)). #### Exercice 2 : Objet sur un plan incliné Un bloc de masse \( m = 5 \, kg \) repose sur un plan incliné à \( 30° \) par rapport à l'horizontale. Le bloc est maintenu en place par un câble parallèle au plan incliné. Il n'y a pas de frottement entre le bloc et le plan. 1. Dessinez le DCL du bloc. 2. Décomposez le poids du bloc en composantes parallèle et perpendiculaire au plan incliné. 3. Calculez la tension \( T \) dans le câble et la force de réaction normale \( N \) du plan sur le bloc. ### Devoir #### Exercice 1 : Échelle appuyée Une échelle uniforme de longueur \( L = 5 \, m \) et de masse \( m = 15 \, kg \) est appuyée contre un mur vertical lisse (sans frottement) et repose sur un sol horizontal rugueux. L'échelle forme un angle de \( 60° \) avec le sol. Une personne de masse \( M = 70 \, kg \) est montée aux trois quarts de la longueur de l'échelle. 1. Dessinez le DCL de l'échelle en incluant toutes les forces (poids de l'échelle, poids de la personne, réactions du mur et du sol, force de frottement au sol). 2. Écrivez les trois équations du PFS pour l'échelle. 3. Calculez toutes les forces inconnues : la force de réaction du mur, la force de réaction normale du sol et la force de frottement au sol. #### Exercice 2 : Levage avec un treuil Un treuil (négligeable en masse) maintient une charge de \( 200 \, kg \) à l'aide d'un câble enroulé autour d'un cylindre de rayon \( r = 0.2 \, m \). Pour maintenir la charge en équilibre, une manivelle de longueur \( L_M = 0.5 \, m \) doit être actionnée. L'axe du cylindre est supporté par deux paliers. 1. Calculez le moment exercé par la charge sur le cylindre. 2. Quelle force \( F_M \) doit être appliquée perpendiculairement à l'extrémité de la manivelle pour maintenir la charge en équilibre ? 3. Déterminez les réactions des paliers supportant l'axe du cylindre (considérant que le poids de la charge est également réparti sur les deux paliers si le treuil est symétrique). ### Résumé Le Principe Fondamental de la Statique est un pilier de la mécanique appliquée. Il nous dit qu'un solide est en équilibre si la somme vectorielle des forces extérieures est nulle (pas de translation) et la somme vectorielle des moments de ces forces est nulle (pas de rotation). En utilisant le Diagramme de Corps Libre (DCL) pour identifier toutes les forces, et en décomposant ces forces dans un repère, nous pouvons établir un système d'équations qui nous permet de calculer les forces inconnues (réactions, tensions, etc.). C'est une compétence essentielle pour analyser la stabilité et la résistance des structures dans le monde réel. ## Principe fondamental de la statique - Suite ### Introduction Bienvenue à cette nouvelle leçon sur l'équilibre des solides ! Dans le cours précédent, nous avons découvert le principe fondamental de la statique (PFS) et ses conditions d'application. Aujourd'hui, nous allons approfondir son utilisation en explorant des méthodes de résolution plus systématiques pour analyser l'équilibre de systèmes mécaniques concrets. Comprendre comment un solide reste immobile sous l'action de différentes forces est essentiel en mécanique appliquée. ### Concepts Clés #### Rappel du Principe Fondamental de la Statique (PFS) Pour qu'un solide soit en équilibre, il faut que deux conditions soient simultanément satisfaites : 1. **L'équilibre de translation :** La somme vectorielle de toutes les forces extérieures appliquées au solide doit être nulle. \[ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \] Cela signifie que le solide n'a pas tendance à se déplacer dans une direction quelconque. En d'autres termes, les composantes de toutes les forces selon chaque axe doivent s'annuler. 2. **L'équilibre de rotation :** La somme vectorielle de tous les moments des forces extérieures par rapport à n'importe quel point doit être nulle. \[ \sum \vec{M}_{ext /A} = \vec{0} \] Cela signifie que le solide n'a pas tendance à tourner. Le point \( A \) est un point quelconque de l'espace, mais il est souvent judicieux de le choisir sur une droite d'action d'une force inconnue pour simplifier les calculs. #### Application du PFS en 2D Dans la plupart des problèmes de Seconde, nous travaillons avec des forces coplanaires (dans un même plan). Pour résoudre un problème d'équilibre en 2D, nous utilisons un repère cartésien \( (O, \vec{x}, \vec{y}) \) et décomposons les conditions d'équilibre en équations scalaires : 1. **Conditions d'équilibre de translation :** * La somme des composantes des forces selon l'axe des x est nulle : \[ \sum F_x = 0 \] * La somme des composantes des forces selon l'axe des y est nulle : \[ \sum F_y = 0 \] 2. **Condition d'équilibre de rotation :** * La somme algébrique des moments de toutes les forces par rapport à un point choisi (souvent appelé centre de moments) est nulle : \[ \sum M_{/A} = 0 \] Le moment d'une force \( \vec{F} \) par rapport à un point \( A \) est le produit de l'intensité de la force par la distance perpendiculaire (bras de levier) entre le point \( A \) et la droite d'action de la force. On attribue un signe positif ou négatif au moment selon le sens de rotation (souvent positif pour le sens anti-horaire). #### Méthodologie de Résolution Pour appliquer le PFS de manière efficace, suivez ces étapes : 1. **Isoler le solide :** Dessinez le solide dont vous voulez étudier l'équilibre et tracez ses contours. C'est votre *solide isolé* ou *système étudié*. 2. **Répertorier les actions mécaniques :** Identifiez toutes les forces extérieures qui agissent sur le solide (poids, actions de contact, tractions, etc.). Représentez-les par des vecteurs sur votre schéma. N'oubliez pas les forces dont la direction ou l'intensité sont inconnues. 3. **Définir un repère :** Choisissez un repère \( (O, \vec{x}, \vec{y}) \) adapté au problème, généralement avec un axe aligné sur une direction de force ou une direction importante. 4. **Écrire les équations d'équilibre :** * Projetez toutes les forces sur les axes x et y et écrivez \( \sum F_x = 0 \) et \( \sum F_y = 0 \). * Choisissez un point astucieusement pour le calcul des moments (un point où passent plusieurs forces inconnues simplifiera l'équation des moments car leur moment sera nul) et écrivez \( \sum M_{/A} = 0 \). 5. **Résoudre le système d'équations :** Vous obtiendrez un système de 3 équations à 3 inconnues maximum (en 2D). Résolvez ce système pour trouver les grandeurs inconnues (forces, réactions, etc.). ### Vocabulaire Important * **Statique :** Branche de la mécanique qui étudie l'équilibre des corps sous l'action de forces. * **Équilibre :** État d'un solide qui est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme (vitesse constante) sous l'action de forces. * **Force :** Action mécanique capable de modifier le mouvement ou la forme d'un corps. Elle est caractérisée par son point d'application, sa direction, son sens et son intensité. * **Moment d'une force :** Grandeur physique qui quantifie la capacité d'une force à faire tourner un corps autour d'un point ou d'un axe. Unité : Newton-mètre (N·m). * **Repère :** Système de coordonnées (ex: cartésien) permettant de localiser des points et d'orienter des vecteurs dans l'espace. * **Inconnue :** Grandeur (force, distance, angle) que l'on cherche à déterminer lors de la résolution d'un problème. * **Action mécanique :** Terme général désignant les forces et les moments exercés sur un solide. * **Solide isolé :** Le corps ou le système de corps dont on étudie l'équilibre. On le sépare mentalement de son environnement pour y appliquer le PFS. ### Exemples #### Exemple 1 : Poutre en équilibre Une poutre homogène de longueur \( L = 2 \text{ m} \) et de masse \( m = 10 \text{ kg} \) est posée sur deux appuis simples A et B. Le point A est à l'extrémité gauche de la poutre, et le point B est à \( 1.5 \text{ m} \) de A. Une charge ponctuelle de \( F_c = 50 \text{ N} \) est placée à \( 0.5 \text{ m} \) de A. Déterminer les réactions aux appuis A et B. * **Données :** \( L = 2 \text{ m} \), \( m = 10 \text{ kg} \), \( g = 9.81 \text{ m/s}^2 \), \( F_c = 50 \text{ N} \). * **Poids de la poutre :** \( P = m \cdot g = 10 \cdot 9.81 = 98.1 \text{ N} \). Le poids s'applique au centre de gravité de la poutre, soit à \( L/2 = 1 \text{ m} \) de A. 1. **Solide isolé :** La poutre. 2. **Actions mécaniques :** * Réaction \( \vec{R}_A \) en A (verticale, vers le haut, inconnue). * Réaction \( \vec{R}_B \) en B (verticale, vers le haut, inconnue). * Poids \( \vec{P} \) de la poutre (verticale, vers le bas, \( 98.1 \text{ N} \) à \( 1 \text{ m} \) de A). * Charge \( \vec{F}_c \) (verticale, vers le bas, \( 50 \text{ N} \) à \( 0.5 \text{ m} \) de A). 3. **Repère :** Axe x horizontal, axe y vertical vers le haut. 4. **Équations d'équilibre :** * \( \sum F_x = 0 \) : Il n'y a pas de forces horizontales, donc cette équation est trivialement satisfaite. * \( \sum F_y = 0 \) : \( R_A + R_B - P - F_c = 0 \Rightarrow R_A + R_B - 98.1 - 50 = 0 \Rightarrow R_A + R_B = 148.1 \) (Eq. 1) * \( \sum M_{/A} = 0 \) : (Prenons A comme centre de moments pour annuler le moment de \( R_A \)) * Moment de \( P \) : \( -P \cdot 1 = -98.1 \cdot 1 = -98.1 \text{ N\cdot m} \) (sens horaire) * Moment de \( F_c \) : \( -F_c \cdot 0.5 = -50 \cdot 0.5 = -25 \text{ N\cdot m} \) (sens horaire) * Moment de \( R_B \) : \( +R_B \cdot 1.5 \) (sens anti-horaire) Donc : \( -98.1 - 25 + R_B \cdot 1.5 = 0 \Rightarrow 1.5 \cdot R_B = 123.1 \) 5. **Résolution :** * De l'équation des moments : \( R_B = \frac{123.1}{1.5} \approx 82.07 \text{ N} \). * De l'Eq. 1 : \( R_A = 148.1 - R_B = 148.1 - 82.07 = 66.03 \text{ N} \). Les réactions aux appuis sont \( R_A \approx 66.03 \text{ N} \) et \( R_B \approx 82.07 \text{ N} \). ### Exercices 1. Une planche uniforme de \( 3 \text{ m} \) de long et de masse \( 15 \text{ kg} \) est posée sur deux supports. Le premier support A est à \( 0.5 \text{ m} \) de l'extrémité gauche et le second support B est à \( 2.5 \text{ m} \) de l'extrémité gauche. Un enfant de \( 40 \text{ kg} \) se tient à \( 1 \text{ m} \) de l'extrémité gauche. Calculez les forces de réaction aux supports A et B. 2. Une potence est fixée au mur en A et B. Un câble est attaché en C et supporte une charge de \( 200 \text{ N} \). La potence forme un angle de \( 60° \) avec le mur. Les points A et C sont distants de \( 1 \text{ m} \), et le point B est à \( 0.5 \text{ m} \) en dessous de A. Déterminez la tension dans le câble et les réactions au point A. *(Indice : pour l'exercice 2, il faudra décomposer la tension du câble en composantes horizontales et verticales et bien choisir votre centre de moment.)* ### Devoir à la maison 1. Une échelle de \( 5 \text{ m} \) de long et de \( 20 \text{ kg} \) de masse est appuyée contre un mur vertical lisse (pas de frottement au mur) à un angle de \( 60° \) avec le sol. Le sol n'est pas lisse (il y a du frottement). Un homme de \( 70 \text{ kg} \) monte le long de l'échelle jusqu'à \( 3 \text{ m} \) de sa base. Calculez la réaction normale du sol, la force de frottement au sol, et la réaction normale du mur. (Prenez \( g = 9.81 \text{ m/s}^2 \)). 2. Un levier rigide est articulé en son centre. Une force de \( 100 \text{ N} \) est appliquée à \( 0.8 \text{ m} \) d'un côté de l'articulation. Quelle force doit être appliquée de l'autre côté à \( 0.5 \text{ m} \) de l'articulation pour maintenir le levier en équilibre horizontal ? ### Résumé Nous avons consolidé notre compréhension du principe fondamental de la statique en détaillant sa mise en œuvre pour résoudre des problèmes d'équilibre en 2D. Rappelez-vous les points clés : * **Deux conditions d'équilibre :** La somme des forces est nulle (équilibre de translation) et la somme des moments est nulle (équilibre de rotation). * **En 2D, cela se traduit par :** \( \sum F_x = 0 \), \( \sum F_y = 0 \) et \( \sum M_{/A} = 0 \). * **Méthodologie rigoureuse :** Isoler le solide, répertorier les forces, définir un repère, écrire les équations et résoudre le système. La pratique est essentielle pour maîtriser cette méthode. Continuez à appliquer ces étapes, et vous serez capable de résoudre de nombreux problèmes d'équilibre statique !