EQUILIBRE DES SOLIDES (partie 3/3)

## Statique graphique ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur la statique graphique ! En mécanique appliquée, la statique est la branche qui étudie les corps au repos ou en mouvement à vitesse constante. La statique graphique est une méthode puissante et intuitive qui utilise des constructions géométriques (dessins) pour analyser l'équilibre des solides. C'est une approche visuelle qui complète et parfois simplifie les calculs analytiques, très utile pour les techniciens et les ingénieurs dans la conception et la vérification de structures. Nous allons découvrir comment représenter et manipuler les forces pour comprendre et résoudre des problèmes d'équilibre. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que la Statique Graphique ? La statique graphique est une méthode de résolution des problèmes d'équilibre de corps rigides à l'aide de représentations vectorielles de forces et de constructions géométriques. Elle permet de déterminer les inconnues (forces, réactions) dans un système en équilibre sans passer par des calculs complexes, en se basant uniquement sur des tracés précis. #### Rappels sur les Forces et les Actions Mécaniques Pour qu'un solide soit en équilibre, il est soumis à des **actions mécaniques** (forces) qui s'annulent mutuellement. * **Définition d'une force :** Une force est une action capable de modifier le mouvement d'un corps ou de le déformer. C'est une grandeur **vectorielle**, caractérisée par : * **Point d'application :** Le point précis où la force agit sur le solide. * **Direction :** La droite le long de laquelle la force agit (son support). * **Sens :** L'orientation sur la direction (ex: vers le haut, vers la droite). * **Intensité (ou module) :** La valeur numérique de la force, exprimée en Newtons (N). * **Représentation :** Une force est représentée par un vecteur (une flèche) dont la longueur est proportionnelle à son intensité selon une échelle donnée. #### Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) Pour qu'un solide soit en équilibre, deux conditions doivent être remplies : 1. **Condition d'équilibre des forces :** La somme vectorielle de toutes les forces extérieures appliquées au solide doit être nulle. \[ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \] Graphiquement, cela signifie que le polygone des forces doit être fermé. 2. **Condition d'équilibre des moments :** La somme des moments de toutes les forces extérieures par rapport à n'importe quel point doit être nulle. \[ \sum \vec{M}_{ext} / A = \vec{0} \] Graphiquement, cela est assuré par le polygone funiculaire fermé. #### Méthodes Graphiques de Composition et Décomposition des Forces ##### 1. Composition de deux forces concourantes (Méthode du Parallélogramme) Lorsque deux forces \( \vec{F_1} \) et \( \vec{F_2} \) agissent sur le même point, leur **résultante** \( \vec{R} \) peut être trouvée en construisant un parallélogramme. Les deux forces sont les côtés adjacents du parallélogramme, et la résultante est la diagonale partant du point d'application commun. ##### 2. Composition de plusieurs forces concourantes (Méthode du Polygone des Forces) Pour trouver la résultante de plus de deux forces concourantes, ou pour vérifier l'équilibre : * Tracez les vecteurs des forces bout à bout : le point d'application du deuxième vecteur est l'extrémité du premier, et ainsi de suite. * La **résultante** \( \vec{R} \) est le vecteur qui va de l'origine de la première force à l'extrémité de la dernière force. * Si le système est en équilibre, le polygone des forces est **fermé**, c'est-à-dire que l'extrémité de la dernière force coïncide avec l'origine de la première force (la résultante est nulle). \[ \vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \dots + \vec{F_n} \] ##### 3. Équilibre de trois forces concourantes Si un solide est en équilibre sous l'action de trois forces concourantes, alors ces trois forces forment un **triangle fermé** dans le polygone des forces. ##### 4. Méthode du Polygone Funiculaire Cette méthode est utilisée pour les systèmes de forces **non concourantes** et **non parallèles**, afin de déterminer la ligne d'action de la résultante ou les inconnues d'un système en équilibre. C'est essentiel lorsque la deuxième condition du PFS (somme des moments nulle) doit être vérifiée graphiquement. **Étapes :** 1. **Tracé du polygone des forces :** Dessinez les vecteurs des forces connues bout à bout pour former le polygone des forces. Si le système est en équilibre, le polygone des forces sera fermé. Sinon, il y aura un vecteur de fermeture qui représente la résultante (direction et intensité). 2. **Choix du pôle et tracé des rayons polaires :** Choisissez un point arbitraire (le « pôle » O) n'importe où sur votre feuille de dessin, de préférence pas sur une ligne de force. Reliez le pôle aux extrémités de chaque vecteur du polygone des forces. Ces lignes sont appelées « rayons polaires ». 3. **Construction du polygone funiculaire :** Dans l'espace des forces (là où les forces agissent sur le solide) : * Commencez par une ligne (un « côté » du funiculaire) parallèle au premier rayon polaire. Interceptez la ligne d'action de la première force.\ * De l'intersection avec la première force, tracez une ligne parallèle au deuxième rayon polaire jusqu'à intercepter la ligne d'action de la deuxième force. * Continuez ainsi pour toutes les forces. 4. **Détermination de la résultante ou de l'équilibre :** * Si le système n'est pas en équilibre, la résultante passe par l'intersection des côtés extrêmes du funiculaire, et sa direction est celle donnée par le polygone des forces. * Si le système est en équilibre, le polygone des forces est fermé, et le polygone funiculaire doit également être fermé (le dernier côté du funiculaire rejoindra le premier). ### Vocabulaire * **Force :** Action mécanique modélisée par un vecteur (direction, sens, intensité, point d'application). * **Équilibre :** État d'un solide où toutes les forces et tous les moments qui lui sont appliqués se compensent, résultant en une absence de mouvement ou un mouvement à vitesse constante. * **Résultante :** Force unique qui a le même effet qu'un système de plusieurs forces. C'est la somme vectorielle des forces. * **Équilibreur :** Force qui, ajoutée à un système, le met en équilibre. Elle est égale et opposée à la résultante. * **Polygone des forces :** Construction graphique où les vecteurs de forces sont placés bout à bout. Sa fermeture indique l'équilibre. * **Pôle :** Point arbitraire choisi dans la construction du polygone funiculaire pour définir les rayons polaires. * **Rayons polaires :** Lignes reliant le pôle aux extrémités des vecteurs de force dans le polygone des forces. * **Polygone funiculaire :** Construction graphique dans l'espace des forces, basée sur les rayons polaires, permettant de déterminer l'emplacement de la résultante ou de vérifier l'équilibre des moments. ### Exemples #### Exemple 1 : Équilibre d'un objet suspendu Un luminaire de 20 kg est suspendu au plafond par deux câbles inclinés. Le premier câble fait un angle de 30° avec l'horizontale, et le second 60° avec l'horizontale. Déterminez graphiquement les tensions \( \vec{T_1} \) et \( \vec{T_2} \) dans les câbles. * **Données :** Poids \( \vec{P} = m \cdot g = 20 \text{ kg} \cdot 9.81 \text{ m/s}^2 \approx 196.2 \text{ N} \) (vertical, vers le bas). Angles de \( \vec{T_1} \) et \( \vec{T_2} \). * **Méthode :** Puisqu'il s'agit de trois forces concourantes (poids et deux tensions), nous utiliserons le polygone des forces. Le polygone doit être un triangle fermé. 1. Choisissez une échelle (ex: 1 cm pour 20 N). 2. Tracez le vecteur poids \( \vec{P} \) à l'échelle. 3. À l'extrémité de \( \vec{P} \), tracez une ligne de la direction de \( \vec{T_1} \) (30° avec l'horizontale). 4. À l'origine de \( \vec{P} \), tracez une ligne de la direction de \( \vec{T_2} \) (60° avec l'horizontale). 5. L'intersection de ces deux lignes donne le point de fermeture du triangle. La longueur des segments représente l'intensité de \( \vec{T_1} \) et \( \vec{T_2} \). #### Exemple 2 : Détermination de la résultante de deux forces parallèles Deux forces parallèles de même sens, \( \vec{F_1} = 60 \text{ N} \) et \( \vec{F_2} = 40 \text{ N} \), sont appliquées sur une poutre à 2 mètres l'une de l'autre. Déterminez graphiquement l'intensité, la direction, le sens et le point d'application de leur résultante \( \vec{R} \). * **Méthode :** Utilisation du polygone funiculaire car les forces sont parallèles et non concourantes. 1. **Polygone des forces :** Tracez \( \vec{F_1} \) puis \( \vec{F_2} \) (bout à bout, verticalement vers le bas). La résultante \( \vec{R} \) sera la somme (100 N) et la direction sera verticale vers le bas. 2. **Rayons polaires :** Choisissez un pôle O. Tracez les rayons polaires de O aux extrémités de \( \vec{F_1} \), \( \vec{F_2} \) et à l'origine de \( \vec{F_1} \). 3. **Polygone funiculaire :** Dans l'espace des forces, tracez un côté du funiculaire parallèle au premier rayon, interceptant la droite d'action de \( \vec{F_1} \). De ce point, tracez un côté parallèle au rayon intermédiaire, interceptant la droite d'action de \( \vec{F_2} \). Enfin, de ce point, tracez un côté parallèle au dernier rayon. 4. **Résultante :** L'intersection des côtés extrêmes du funiculaire donne le point d'application de la résultante \( \vec{R} \). ### Exercices #### Exercice 1 : Composition de forces concourantes Un point O est soumis à deux forces : * \( \vec{F_1} \) de 70 N, horizontale vers la droite. * \( \vec{F_2} \) de 50 N, faisant un angle de 45° par rapport à \( \vec{F_1} \) (dans le sens anti-horaire). En utilisant une échelle de 1 cm pour 10 N, déterminez graphiquement l'intensité et la direction de la résultante \( \vec{R} \) de ces deux forces. #### Exercice 2 : Vérification d'équilibre Trois forces agissent sur un solide : * \( \vec{F_A} \) : 30 N à 0° (horizontale droite). * \( \vec{F_B} \) : 40 N à 120°. * \( \vec{F_C} \) : 35 N à 240°. Le solide est-il en équilibre ? Justifiez votre réponse en traçant le polygone des forces. Utilisez une échelle de 1 cm pour 5 N. ### Devoirs #### Problème 1 : Poutre en équilibre Une poutre de 4 mètres de long est simplement posée sur deux appuis A et B, distants de 3 mètres (A est à l'extrémité gauche, B est à 3 m de A). Une charge ponctuelle de 1000 N est appliquée à 1 mètre de l'appui A. Déterminez graphiquement les réactions aux appuis \( \vec{R_A} \) et \( \vec{R_B} \) pour que la poutre soit en équilibre. Utilisez le polygone funiculaire. (Échelle des forces : 1 cm = 200 N, Échelle des longueurs : 1 cm = 0.5 m). #### Problème 2 : Treuil mural Un treuil mural est utilisé pour soulever une charge de 500 N. Le câble est incliné à 30° par rapport à la verticale. Le treuil est fixé au mur par un pivot A et une bielle B. Les efforts en A et B maintiennent le treuil en équilibre. Déterminez graphiquement les réactions en A (direction et intensité) et la force dans la bielle B (direction et intensité). (Faites un schéma des forces, utilisez le polygone des forces et/ou le funiculaire si nécessaire. Échelle des forces : 1 cm = 100 N). ### Résumé La statique graphique est une méthode visuelle et puissante pour analyser l'équilibre des solides. Nous avons appris que : * Les forces sont des vecteurs caractérisés par leur point d'application, direction, sens et intensité. * Le **Principe Fondamental de la Statique** exige que la somme vectorielle des forces et la somme des moments soient nulles pour l'équilibre. * Le **Polygone des forces** est utilisé pour la composition de forces concourantes et pour vérifier la première condition d'équilibre (forces). * Le **Polygone funiculaire** est indispensable pour les systèmes de forces non concourantes et pour vérifier la deuxième condition d'équilibre (moments) ou trouver la ligne d'action d'une résultante. Ces outils graphiques sont essentiels pour les techniciens afin de comprendre et de résoudre les problèmes pratiques de mécanique appliquée. ## Statique graphique - suite et fin Bienvenue dans la dernière partie de notre étude sur l'équilibre des solides par les méthodes graphiques en mécanique appliquée. Dans les leçons précédentes, nous avons exploré comment représenter les forces et comment déterminer l'équilibre pour des systèmes de forces concourantes. Aujourd'hui, nous allons approfondir nos connaissances en abordant des cas plus complexes, notamment l'équilibre des solides soumis à des forces non concourantes, et nous découvrirons un outil graphique puissant : le polygone funiculaire. Cette méthode est essentielle pour résoudre graphiquement de nombreux problèmes d'ingénierie. ### Rappel des conditions d'équilibre Pour qu'un solide soit en équilibre, deux conditions principales doivent être remplies : 1. **L'équilibre des forces :** La somme vectorielle de toutes les forces externes appliquées au solide doit être nulle. \[ \sum \vec{F} = \vec{0} \] Graphiquement, cela signifie que le polygone des forces doit être fermé. 2. **L'équilibre des moments :** La somme des moments de toutes les forces externes par rapport à n'importe quel point doit être nulle. \[ \sum \vec{M} = \vec{0} \] Cette condition est cruciale pour les systèmes de forces non concourantes et sera gérée graphiquement par le polygone funiculaire. ### Le polygone funiculaire : Outil pour les forces non concourantes Lorsque les forces appliquées à un solide ne sont pas concourantes (c'est-à-dire que leurs lignes d'action ne se coupent pas en un seul point), la simple fermeture du polygone des forces ne suffit pas à garantir l'équilibre. Il faut alors utiliser la méthode du polygone funiculaire. #### Principe du polygone funiculaire Le polygone funiculaire est une construction graphique qui permet de déterminer la position de la résultante d'un système de forces, ou de vérifier l'équilibre des moments. Il est particulièrement utile pour déterminer l'intensité, la direction et le point d'application d'une force inconnue nécessaire à l'équilibre, ou les réactions aux appuis. #### Étapes de construction du polygone funiculaire 1. **Tracé du dynamique des forces (Polygone des forces) :** * Représentez chaque force \( \vec{F}_i \) par un vecteur sur un diagramme à l'échelle, en les plaçant bout à bout. Cela forme le dynamique des forces. S'il y a une force inconnue, sa direction ou son intensité peut être indéterminée à ce stade. * Si le solide est en équilibre, le polygone des forces doit être fermé. 2. **Choix du pôle (O) :** * Choisissez un point arbitraire (le pôle O) n'importe où sur votre feuille, en dehors du dynamique des forces. Le choix du pôle n'affecte pas le résultat final, mais un bon choix peut simplifier le tracé. 3. **Tracé des rayons polaires :** * Reliez le pôle O aux origines et aux extrémités de chaque vecteur force dans le dynamique. Ces lignes sont appelées les rayons polaires (ou rayons vecteurs). * Chaque force \( \vec{F}_i \) est ainsi décomposée en deux composantes le long des rayons polaires adjacents. Par exemple, \( \vec{F}_1 \) est décomposée en \( \vec{r}_0 \) et \( \vec{r}_1 \), \( \vec{F}_2 \) en \( \vec{r}_1 \) et \( \vec{r}_2 \), et ainsi de suite. 4. **Construction du polygone funiculaire :** * Sur le dessin du solide avec les forces appliquées (le plan des forces), choisissez un point de départ arbitraire sur la ligne d'action de la première force (\( \vec{F}_1 \)). * À partir de ce point, tracez une ligne parallèle au premier rayon polaire (celui avant \( \vec{F}_1 \), soit \( \vec{r}_0 \)). C'est le premier côté du polygone funiculaire. * À l'intersection de ce côté avec la ligne d'action de \( \vec{F}_1 \), tracez une ligne parallèle au rayon polaire suivant (\( \vec{r}_1 \)). C'est le deuxième côté. * Continuez ce processus : chaque côté du polygone funiculaire est tracé parallèlement à un rayon polaire et relie les lignes d'action de deux forces consécutives. 5. **Fermeture du polygone funiculaire :** * Pour qu'un solide soit en équilibre, le polygone funiculaire doit être fermé. Le premier côté et le dernier côté du polygone funiculaire doivent se rencontrer sur la ligne d'action de la force inconnue, ou les deux rayons extrêmes (le premier et le dernier) doivent être alignés, formant un polygone fermé. * Si la force inconnue est une réaction d'appui, la ligne qui ferme le polygone funiculaire donne la ligne d'action de cette réaction. Si l'intensité est aussi inconnue, on peut l'obtenir en fermant le dynamique des forces ensuite. #### Application pour la détermination de réactions d'appui Le polygone funiculaire est particulièrement utile pour déterminer les réactions aux appuis d'une poutre ou d'une structure soumise à plusieurs charges, y compris des couples (bien que les couples demandent une adaptation de la méthode). Les réactions sont souvent des forces dont on ne connaît pas l'intensité et/ou la direction (pour un appui simple) ou la position (pour un appui à rouleau). En fermant le polygone funiculaire, on peut trouver la ligne d'action de la résultante des réactions ou la direction d'une réaction inconnue. ### Vocabulaire essentiel * **Solide en équilibre :** Un objet qui ne subit ni translation ni rotation. La somme des forces et la somme des moments appliqués à ce solide sont nulles. * **Force (\( \vec{F} \)) :** Action mécanique capable de modifier le mouvement ou la forme d'un corps. Caractérisée par son point d'application, sa direction, son sens et son intensité. * **Vecteur force :** Représentation graphique d'une force par une flèche. Sa longueur est proportionnelle à l'intensité, sa direction et son sens sont ceux de la force. * **Polygone des forces (dynamique des forces) :** Construction graphique où les vecteurs forces sont placés bout à bout. Pour l'équilibre, le polygone doit être fermé. * **Polygone funiculaire :** Construction graphique utilisée pour les systèmes de forces non concourantes afin de déterminer la ligne d'action de la résultante ou de vérifier l'équilibre des moments. Ses côtés sont parallèles aux rayons polaires. * **Pôle (O) :** Point choisi arbitrairement pour la construction des rayons polaires dans la méthode du polygone funiculaire. * **Rayons polaires :** Lignes reliant le pôle aux origines et aux extrémités des vecteurs forces dans le dynamique des forces. * **Ligne d'action :** Droite sur laquelle s'exerce une force. Le point d'application de la force est sur cette ligne. * **Réaction d'appui :** Force exercée par un support (appui) sur le solide pour maintenir son équilibre. Elle s'oppose à la tendance du solide à se déplacer ou à tourner. ### Exemples d'application #### Exemple 1 : Équilibre d'une poutre soumise à des charges multiples Considérons une poutre horizontale \( AB \) de longueur \( L = 6m \) supportée par un appui simple en \( A \) et un appui à rouleau en \( B \). La poutre est soumise à trois forces verticales : * \( \vec{F}_1 \) de 10 kN à 1m de A * \( \vec{F}_2 \) de 15 kN à 3m de A * \( \vec{F}_3 \) de 5 kN à 5m de A Nous voulons déterminer graphiquement les réactions aux appuis \( \vec{R}_A \) et \( \vec{R}_B \). 1. **Dessin des forces et appuis :** Tracez la poutre et placez les forces \( \vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3 \). Dessinez les lignes d'action des réactions \( \vec{R}_A \) (verticale) et \( \vec{R}_B \) (verticale). Notons que les forces sont toutes parallèles. 2. **Construction du dynamique des forces :** Choisissez une échelle des forces (ex: 1 cm pour 5 kN). Tracez les vecteurs \( \vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3 \) bout à bout. L'ensemble des forces connues est de \( 10 + 15 + 5 = 30 \) kN. La résultante partielle \( \vec{R}_{123} \) est donc de 30 kN vers le bas. Pour l'équilibre, \( \vec{R}_A + \vec{R}_B \) doit être égale à 30 kN vers le haut. 3. **Choix du pôle et rayons polaires :** Choisissez un pôle O. Tracez les rayons polaires \( O_0, O_1, O_2, O_3, O_4 \) (où \( O_0 \) et \( O_4 \) correspondent aux forces de réaction inconnues, et \( O_1, O_2, O_3 \) correspondent à \( \vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3 \)). 4. **Construction du polygone funiculaire :** * À partir d'un point arbitraire sur la ligne d'action de \( \vec{R}_A \), tracez un côté funiculaire parallèle à \( O_0 \). * À l'intersection de ce côté avec la ligne d'action de \( \vec{F}_1 \), tracez un côté funiculaire parallèle à \( O_1 \). * Continuez pour \( \vec{F}_2 \) (parallèle à \( O_2 \)) et \( \vec{F}_3 \) (parallèle à \( O_3 \)). * Le dernier côté du polygone funiculaire doit se rencontrer avec la ligne d'action de \( \vec{R}_B \). 5. **Fermeture du polygone funiculaire :** Reliez le point de départ sur \( \vec{R}_A \) au point d'arrivée sur \( \vec{R}_B \) par une ligne. Cette ligne est le « rayon de fermeture » du polygone funiculaire. Tracez une ligne parallèle à ce rayon de fermeture à partir du pôle O dans le dynamique des forces. Cette ligne sépare le vecteur résultant connu (30 kN) en deux parties, donnant l'intensité de \( \vec{R}_A \) et \( \vec{R}_B \). Mesurez les longueurs correspondantes pour obtenir les valeurs des réactions. ### Exercices 1. Une poutre de 4m de long est soumise à deux forces descendantes : \( \vec{F}_1 = 20 \text{ kN} \) à 1m de l'appui gauche \( A \), et \( \vec{F}_2 = 10 \text{ kN} \) à 3m de \( A \). Les appuis \( A \) et \( B \) (à l'extrémité droite) sont des appuis simples. Déterminez graphiquement les réactions aux appuis \( \vec{R}_A \) et \( \vec{R}_B \) en utilisant la méthode du polygone funiculaire. 2. Un mât vertical est encastré au sol. Il est soumis à deux forces horizontales : \( \vec{F}_1 = 5 \text{ kN} \) à 2m du sol, et \( \vec{F}_2 = 8 \text{ kN} \) à 4m du sol. En négligeant le poids du mât, utilisez le polygone funiculaire pour trouver la position de la résultante de ces deux forces. (Note : Pour un encastrement, la réaction est un système force-couple, mais nous nous concentrons ici sur la résultante des forces appliquées). 3. Expliquez pourquoi le polygone funiculaire est nécessaire pour les forces non concourantes, alors qu'un simple polygone des forces fermé suffit pour les forces concourantes afin d'assurer l'équilibre en translation. ### Devoir à la maison 1. **Problème de la console :** Une console murale est fixée en deux points \( A \) et \( B \) distants de 1m. Elle supporte une charge \( \vec{P} = 25 \text{ kN} \) à 1.5m du point \( A \). L'appui en \( A \) est un appui simple (ne transmet qu'une force verticale), et l'appui en \( B \) est un encastrement partiel (transmet une force et un moment, mais pour cet exercice, considérons qu'il transmet une force verticale et une force horizontale dont la ligne d'action est connue, par exemple, à 45 degrés par rapport à l'horizontale, ou simplifions en ne cherchant que les réactions verticales). Refaites l'exercice 1 en considérant une charge inclinée de 30° par rapport à la verticale, avec \( \vec{F}_1 = 20 \text{ kN} \) et \( \vec{F}_2 = 10 \text{ kN} \) comme précédemment. Attention, cela rend les forces non parallèles et peut nécessiter une approche légèrement différente pour la fermeture du dynamique des forces. 2. **Analyse d'une treillis simple :** Dessinez une petite structure en treillis soumise à deux forces. Identifiez les barres soumises à la traction et à la compression en utilisant une analyse graphique simplifiée (méthode des nœuds ou des sections, mais en vous concentrant sur la visualisation des forces). 3. **Recherche :** Recherchez des exemples d'applications réelles du polygone funiculaire en ingénierie (ponts, grues, charpentes). Décrivez-en un brièvement (100-150 mots) en expliquant comment cette méthode graphique aide à la conception. ### Résumé Dans cette leçon finale sur la statique graphique, nous avons consolidé notre compréhension de l'équilibre des solides. Nous avons rappelé que l'équilibre nécessite l'annulation de la somme des forces (polygone des forces fermé) et de la somme des moments. Pour les systèmes de forces non concourantes, nous avons appris à maîtriser la méthode essentielle du **polygone funiculaire**. Cette technique permet de déterminer graphiquement la ligne d'action de la résultante, ou de trouver les intensités et directions des forces inconnues, comme les réactions aux appuis. La capacité à construire et interpréter un polygone funiculaire est une compétence clé pour l'analyse statique des structures en mécanique appliquée).