Solide et système matériel (partie 2/2)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Définir un système matériel et distinguer ses différents types (discret, continu, rigide, déformable). - Identifier les grandeurs caractéristiques d’un système matériel (masse totale, centre de masse, moment d’inertie) et les calculer pour des formes simples. - Décrire le comportement d’un solide rigide en translation et en rotation, en appliquant les lois de Newton et le principe du moment angulaire. - Modéliser un système matériel complexe en le décomposant en sous‑systèmes, en dessinant le diagramme libre‑corps et en écrivant les équations d’équilibre statique ou dynamique. - Mettre en œuvre ces notions dans des situations professionnelles camerounaises (atelier de mécanique, chantier de construction, bureau d’études). **Prérequis :** - Notions de base de la mécanique du point (vitesse, accélération, force, travail, énergie). - Notions de vecteurs (addition, produit scalaire, produit vectoriel). - Unités du Système International (kg, m, s, N, J, rad). > Un système matériel est un ensemble de points matériels considérés comme indivisibles pour l’étude du mouvement. ## Introduction contextualisée Dans les filières techniques du secondaire au Cameroun, les élèves sont souvent confrontés à la conception et à l’entretien d’équipements mécaniques (moteurs, réducteurs, poulies) ou à la réalisation d’ouvrages de génie civil (poutres, charpentes, dalles). Pour analyser le comportement de ces objets, il faut d’abord les représenter par un **système matériel** adapté, puis déterminer s’ils peuvent être assimilés à un **solide rigide** ou s’ils nécessitent une prise en compte de déformations. Ce chapitre fournit les outils de modélisation indispensables pour passer d’une description physique intuitive à une analyse quantitative conforme aux exigences du programme MINESEC/IGE et aux attentes du monde professionnel. ## I. Système matériel ### 1. Définition et classification Un **système matériel** est un ensemble fini ou infini de points matériels (particules) possédant chacun une masse \(m_i\) et soumis à des forces internes et externes. Selon la répartition de la masse, on distingue : | Type de système | Description | Exemple professionnel | |-----------------|-------------|-----------------------| | **Discret** | Nombre fini de particules, distances entre elles non négligeables. | Groupe de boulons serrant une bride de tuyauterie. | | **Continu** | Masse répartie de façon continue (densité volumique \(\rho\)). | Barre d’acier d’une poutre de chantier. | | **Rigide** | Les distances entre deux points quelconques restent constantes malgré les forces appliquées. | Arbre de transmission d’un moteur. | | **Déformable** | Les distances peuvent varier (contraintes, déformations élastiques/plastiques). | Câble d’acier soumis à une charge de levage. | > La masse totale d’un système matériel se note \(M=\sum_i m_i\) (discrète) ou \(M=\int_V \rho\,\mathrm{d}V\) (continue). ### 2. Grandeurs caractéristiques - **Centre de masse** \(\mathbf{G}\) : point où l’on peut considérer que toute la masse du système est concentrée pour l’étude du mouvement translationnel. \[ \mathbf{r}_G=\frac{1}{M}\sum_i m_i\mathbf{r}_i \quad\text{ou}\quad \mathbf{r}_G=\frac{1}{M}\int_V \rho\,\mathbf{r}\,\mathrm{d}V \] - **Moment d’inertie** par rapport à un axe \(\Delta\) : mesure de la résistance du système à l’accélération angulaire autour de cet axe. \[ I_\Delta=\sum_i m_i\,r_{i,\perp}^2 \quad\text{ou}\quad I_\Delta=\int_V \rho\,r_{\perp}^2\,\mathrm{d}V \] où \(r_{i,\perp}\) est la distance perpendiculaire de la particule à l’axe. > Pour un cylindre plein de rayon \(R\) et de masse \(M\) autour de son axe de symétrie : \(I=\frac12 MR^2\). ### 3. Exemple d’atelier Dans un atelier de maintenance automobile, on doit déterminer le moment d’inertie du volant moteur (disque plein) afin de régler le régime de ralenti. - Données : \(M=12\;\text{kg}\), \(R=0,15\;\text{m}\). - Calcul : \(I=\frac12 MR^2 = \frac12 \times 12 \times (0,15)^2 = 0,135\;\text{kg·m}^2\). - Utilisation : cette valeur entre dans l’équation dynamique \( \tau = I\alpha\) pour estimer le couple de freinage nécessaire à l’arrêt du moteur. ## II. Solide ### 1. Définition du solide rigide Un **solide rigide** est un système matériel dont les distances entre deux points quelconques restent invariantes lors de toute déformation. Ainsi, le mouvement d’un solide rigide peut être décomposé en : - Une **translation** du centre de masse \(\mathbf{G}\) (même vitesse pour tous les points). - Une **rotation** autour d’un axe passant par \(\mathbf{G}\) (vitesse angulaire \(\boldsymbol{\omega}\) identique pour tous les points). > Le champ de vitesses d’un solide rigide s’écrit \(\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{v}_G+\boldsymbol{\omega}\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}_G)\). ### 2. Lois de Newton appliquées - **Deuxième loi translationnelle** : \(\displaystyle \sum \mathbf{F}_{\text{ext}} = M\,\mathbf{a}_G\). - **Deuxième loi rotationnelle** (théorème du moment angulaire) : \(\displaystyle \sum \mathbf{\tau}_{G,\text{ext}} = I_G\,\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\omega}\times(I_G\boldsymbol{\omega})\). Pour une rotation autour d’un axe fixe principal, le terme vectoriel disparaît et l’on obtient \(\sum \tau = I\,\alpha\). > Le théorème du moment angulaire vaut pour tout système de particules, rigide ou non, à condition de prendre le moment par rapport au centre de masse ou à un point fixe. ### 3. Exemple de chantier Sur un chantier de construction, une poutre en bois de longueur \(L=6\;\text{m}\) soutient une charge ponctuelle \(P=5\;\text{kN}\) à son milieu. On veut vérifier que la poutre, considérée comme solide rigide, ne subit pas de rotation excessive sous l’effet de la charge. - Réactions aux appuis (simply supported) : \(R_A=R_B=P/2=2,5\;\text{kN}\). - Moment fléchissant maximal au milieu : \(M_{\max}=R_A \times \frac{L}{2}=2,5\times3=7,5\;\text{kN·m}\). - En supposant une section rectangulaire \(b=0,2\;\text{m}\), \(h=0,3\;\text{m}\), le moment d’inertie par rapport à l’axe neutre : \(I=\frac{b h^3}{12}= \frac{0,2\times0,3^3}{12}=4,5\times10^{-4}\;\text{m}^4\). - Contrainte de flexion maximale : \(\sigma_{\max}= \frac{M_{\max} y}{I}\) avec \(y=h/2=0,15\;\text{m}\) → \(\sigma_{\max}= \frac{7,5\times10^3 \times 0,15}{4,5\times10^{-4}} \approx 2,5\;\text{MPa}\). - Comme la résistance à la flexion du bois de type « sipo » est d’environ 10 MPa, la poutre est sûre. > La vérification de la résistance se fait en comparant la contrainte de flexion calculée à la valeur admissible du matériau (norme NC‑CAM‑001 pour le bois de construction). ## III. Modélisation des systèmes matériels ### 1. Approche par sous‑systèmes Un système complexe (moteur‑réducteur, pont roulant, installation de climatisation) est décomposé en **sous‑systèmes** plus simples dont on connaît le comportement (disque, arbre, engrenage, câble). Chaque sous‑système est traité comme un solide rigide ou un système de particules, puis on reconstitue l’ensemble par les conditions de liaison (compatibilité des déplacements et égalité des forces/torques aux interfaces). > Le principe de superposition n’est valable que si les relations restent linéaires (petites déformations, matériau élastique). ### 2. Diagramme libre‑corps (DLC) Le DLC représente un corps isolé, soumis à toutes les forces externes (poids, réactions, charges appliquées) et aux moments résultants. Les étapes sont : 1. Découper le corps considéré. 2. Identifier et représenter toutes les forces extérieures (flèches). 3. Indiquer les moments (arcs ou vecteurs courbes). 4. Choisir un repère et écrire les équations d’équilibre. > Dans un DLC, les forces internes au système disparaissent ; seules les interactions avec l’extérieur subsistent. ### 3. Équations d’équilibre - **Statique** (vitesse nulle, accélération nulle) : \[ \sum \mathbf{F}=0,\qquad \sum \mathbf{M}_O=0 \] où \(O\) est un point quelconque (souvent choisi pour simplifier les calculs). - **Dynamique** (mouvement connu) : on remplace les sommes nulles par les termes d’inertie selon les lois de Newton : \[ \sum \mathbf{F}=M\mathbf{a}_G,\qquad \sum \mathbf{M}_G=I_G\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\omega}\times(I_G\boldsymbol{\omega}) \] ### 4. Exemple de bureau d’études Un bureau d’études conçoit un bras de levage articulé composé de deux barres rigides (OA et AB) reliées par une articulation en O et une rotule en A. Une charge \(Q=2\;\text{kN}\) est appliquée en B, verticalement vers le bas. On veut déterminer la réaction en O. - Étape 1 : DLC de la barre AB. - Forces : réaction en A (inconnue \(\mathbf{R}_A\)), poids négligeable, charge \(Q\) en B. - Équations : \(\sum F_y=0 \Rightarrow R_{Ay}+Q=0\) → \(R_{Ay}=-Q=-2\;\text{kN}\) (vers le haut). - \(\sum M_A=0 \Rightarrow Q\cdot L_{AB} - M_A=0\) → \(M_A=Q\cdot L_{AB}\). - Étape 2 : DLC de la barre OA, en incluant la réaction en A obtenue comme force extérieure. - On obtient ainsi \(R_{Ox}\) et \(R_{Oy}\) par équilibre des forces et du moment autour de O. > Dans un système statiquement déterminé, le nombre d’équations d’équilibre (3 dans le plan) égale le nombre d’inconnues (forces et moments). ## Synthèse du chapitre - Un **système matériel** est un ensemble de points matériels caractérisé par sa masse totale \(M\), son centre de masse \(\mathbf{G}\) et son moment d’inertie \(I\). - Un **solide rigide** admet une décomposition translation + rotation ; ses équations du mouvement sont \(\sum\mathbf{F}=M\mathbf{a}_G\) et \(\sum\mathbf{M}_G=I\boldsymbol{\alpha}\) (axe fixe). - La **modélisation** consiste à isoler un corps (DLC), à appliquer les lois de Newton ou d’Euler, et à résoudre les équations d’équilibre (statique ou dynamique). - Les grandeurs sont exprimées en unités SI : masse kg, longueur m, temps s, force N, moment N·m, énergie J, angle rad. - En contexte professionnel camerounais (atelier, chantier, bureau d’études), ces outils permettent de dimensionner des pièces, de vérifier la sécurité des structures et de prédire le comportement des mécanismes. > La règle du **moment d’inertie** d’un disque plein : \(I=\frac12 MR^2\). > La **deuxième loi de Newton** pour la rotation : \(\sum \tau = I\alpha\). > L’**équilibre statique** exige \(\sum \mathbf{F}=0\) et \(\sum \mathbf{M}=0\). > Le **centre de masse** d’un système continu : \(\mathbf{r}_G=\frac{1}{M}\int_V \rho \mathbf{r}\,dV\). ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Système matériel | Ensemble de points matériels possédant une masse et soumis à des forces internes/externes. | | Centre de masse | Point où l’on peut considérer que toute la masse du système est concentrée pour l’étude du mouvement translationnel. | | Moment d’inertie | Mesure de la résistance d’un système à l’accélération angulaire autour d’un axe donné. | | Solide rigide | Système matériel dont les distances entre deux points quelconques restent constantes malgré les forces appliquées. | | Translation | Mouvement où tous les points du solide ont même vitesse et même accélération. | | Rotation | Mouvement où tous les points décrivent des cercles autour d’un axe commun, avec même vitesse angulaire. | | Diagramme libre‑corps (DLC) | Représentation d’un corps isolé montrant toutes les forces et moments extérieurs agissant sur lui. | | Équilibre statique | État où la somme des forces et la somme des moments sur un corps sont nulles (vitesse nulle, accélération nulle). | | Sous‑système | Partie d’un système global traitée séparément pour simplifier l’analyse. | | Réaction d’appui | Force exercée par un support sur un corps pour empêcher son mouvement dans certaines directions. | | Moment fléchissant | Moment interne qui tend à courber une poutre ou une poutre‑poutre. | | Contrainte de flexion | Contrainte normale générée dans une section soumise à un moment fléchissant. | ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Atelier de maintenance **Énoncé** : Un volant moteur est constitué d’un disque plein d’acier de masse \(M=8\;\text{kg}\) et de rayon \(R=0,12\;\text{m}\). Le moteur développe un couple de résistif \(\tau_{res}=15\;\text{N·m}\) au régime de ralenti. Déterminer l’accélération angulaire \(\alpha\) du volant lorsqu’il est soumis uniquement à ce couple résistif (on néglige les frottements du palier). **Corrigé** : 1. Moment d’inertie du disque : \(I=\frac12 MR^2 = \frac12 \times 8 \times (0,12)^2 = 0,0576\;\text{kg·m}^2\). 2. Deuxième loi de rotation : \(\tau_{res}=I\alpha\) → \(\alpha = \frac{\tau_{res}}{I}= \frac{15}{0,0576}\approx 260,4\;\text{rad·s}^{-2}\). 3. Comme le couple résistif s’oppose au mouvement, l’accélération angulaire est négative : \(\alpha\approx -2,6\times10^{2}\;\text{rad·s}^{-2}\). > Le signe négatif indique une décélération (freinage). ### Exercice 2 – Chantier de construction **Énoncé** : Une poutre en béton armé de portée \(L=5\;\text{m}\) supporte une charge uniformément répartie \(w=10\;\text{kN/m}\). Calculer le moment fléchissant maximal \(M_{max}\) et vérifier que la contrainte de flexion ne dépasse pas la résistance admissible du béton \(f_{ck}=25\;\text{MPa}\). La section est rectangulaire avec largeur \(b=0,25\;\text{m}\) et hauteur \(h=0,5\;\text{m}\). **Corrigé** : - Réactions aux appuis (poutre simplement appuyée) : \(R_A=R_B=\frac{wL}{2}= \frac{10\times5}{2}=25\;\text{kN}\). - Moment fléchissant maximal au milieu : \(M_{max}= \frac{wL^2}{8}= \frac{10\times5^2}{8}=31,25\;\text{kN·m}\). - Moment d’inertie de la section : \(I=\frac{b h^3}{12}= \frac{0,25\times0,5^3}{12}=2,604\times10^{-3}\;\text{m}^4\). - Distance extrême : \(y_{max}=h/2=0,25\;\text{m}\). - Contrainte de flexion maximale : \(\sigma_{max}= \frac{M_{max} y_{max}}{I}= \frac{31,25\times10^3 \times 0,25}{2,604\times10^{-3}}\approx 2,99\;\text{MPa}\). - Comme \(\sigma_{max}=2,99\;\text{MPa}< f_{ck}=25\;\text{MPa}\), la poutre est sûre en flexion. > La formule du moment fléchissant maximal pour une charge uniformément répartie sur une poutre simplement appuyée est \(M_{max}=wL^2/8\). ### Exercice 3 – Bureau d’études – Bras articulé **Énoncé** : Un bras articulé composé de deux barres rigides OA et AB (longueurs \(L_{OA}=0,8\;\text{m}\), \(L_{AB}=0,6\;\text{m}\)) est fixé en O et supporte une charge verticale \(Q=1,5\;\text{kN}\) appliquée en B. Déterminer la réaction verticale en O, en négligeant le poids des barres. **Corrigé** : - DLC de la barre AB : \(\sum F_y=0 \Rightarrow R_{Ay}-Q=0\) → \(R_{Ay}=Q=+1,5\;\text{kN}\) (vers le haut). \(\sum M_A=0 \Rightarrow -Q\cdot L_{AB}+M_A=0\) → \(M_A= Q L_{AB}=1,5\times0,6=0,9\;\text{kN·m}\) (sens anti‑horaire). - DLC de la barre OA : Forces externes : réaction en A \(\mathbf{R}_A\) (décomposée en \(R_{Ax},R_{Ay}\)), réaction en O \(\mathbf{R}_O\) (à déterminer) et moment de réaction \(M_O\). \(\sum F_y=0 \Rightarrow R_{Oy}+R_{Ay}=0\) → \(R_{Oy}= -R_{Ay}= -1,5\;\text{kN}\) (vers le bas). \(\sum M_O=0 \Rightarrow R_{Ay}\cdot L_{OA} - M_A + M_O =0\) → \(M_O = M_A - R_{Ay}\cdot L_{OA}=0,9 - (1,5\times0,8)=0,9-1,2=-0,3\;\text{kN·m}\). Le signe négatif indique un moment horaire. - Ainsi, la réaction en O est : \(R_{Ox}=0\) (pas de charge horizontale), \(R_{Oy}= -1,5\;\text{kN}\) (vers le bas) et un moment de réaction \(M_O=0,3\;\text{kN·m}\) horaire. > Dans un système statiquement déterminé, le nombre d’équations d’équilibre (3 dans le plan) égale le nombre d’inconnues (forces et moments). ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Oublier de convertir les unités (ex. mm en m) avant d’appliquer une formule. | Résultats erronés de plusieurs ordres de grandeur. | Toujours vérifier l’homogénéité des unités ; utiliser un tableau de conversion. | | 2 | Confondre le moment d’inertie d’une section avec celui d’une masse ponctuelle (utiliser \(I=mr^2\) pour une poutre). | Sous‑estimation de la résistance à la flexion, risque de rupture. | Appliquer la formule adaptée à la géométrie (ex. \(I=bh^3/12\) pour un rectangle). | | 3 | Négliger les réactions d’appui dans le DLC d’un système statiquement indéterminé. | Équations incompatibles, impossibilité de résoudre. | Identifier le degré de statique ; ajouter les équations de compatibilité si nécessaire. | | 4 | Utiliser le signe positif pour un couple qui s’oppose au sens de rotation défini. | Erreur de signe dans l’équation dynamique, mauvaise prédiction du sens d’accélération. | Choisir un sens positif (souvent anti‑horaire) et rester cohérent tout long du calcul. | | 5 | Ne pas porter de lunettes de protection lors du perçage ou du meulage de pièces métalliques. | Risque de projection de débris pouvant causer des lésions oculaires. | Porter systématiquement des lunettes de sécurité conformes à la norme EN 166. | | 6 | Serrer excessivement un boulon avec une clé à choc sans vérifier le couple de serrage prescrit. | Déformation élastique ou plastique de la pièce, risque de relâchement en service. | Utiliser une clé dynamométrique réglée au couple spécifié par le constructeur (ex. 25 Nm pour un boulon M10 de classe 8.8). | --- *Fin du cours.*