Principe fondamental de la statique (partie 10/11)

## Principe fondamental de la statique ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur le Principe Fondamental de la Statique (PFS) ! En mécanique appliquée, la statique est l'étude des systèmes qui sont au repos ou en mouvement à vitesse constante. Le PFS est un outil essentiel qui nous permet de comprendre pourquoi un objet reste immobile et comment les forces agissent sur lui pour maintenir cet équilibre. Nous allons explorer les conditions nécessaires pour qu'un système soit en équilibre et comment les appliquer pour résoudre des problèmes concrets. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une force ? Une force est une action mécanique capable de modifier le mouvement d'un corps ou de le déformer. Elle est caractérisée par : * **Un point d'application :** L'endroit où la force agit sur le corps. * **Une direction :** La ligne le long de laquelle la force agit (horizontale, verticale, oblique). * **Un sens :** Le côté vers lequel la force est appliquée (haut, bas, gauche, droite). * **Une intensité (ou norme) :** La valeur de la force, mesurée en Newtons (N). Les forces sont des grandeurs vectorielles, ce qui signifie qu'elles sont représentées par des vecteurs. Un vecteur force est noté \( \vec{F} \). #### L'équilibre en statique Un système est dit en **équilibre statique** si tous ses éléments sont au repos et ne subissent aucune accélération. Cela signifie que l'objet ne bouge pas et n'a pas tendance à bouger. #### Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) Le Principe Fondamental de la Statique énonce les deux conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un corps soit en équilibre : ##### 1. La somme vectorielle des forces est nulle La première condition du PFS stipule que la somme de toutes les forces extérieures appliquées à un corps en équilibre doit être égale au vecteur nul. Cela signifie qu'il n'y a pas de force résultante qui pourrait provoquer un mouvement de translation. \[ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \] En d'autres termes, si l'on décompose les forces selon des axes (par exemple, x et y) : * La somme des composantes des forces sur l'axe des x est nulle : \( \sum F_x = 0 \) * La somme des composantes des forces sur l'axe des y est nulle : \( \sum F_y = 0 \) ##### 2. La somme des moments des forces est nulle La deuxième condition du PFS concerne la rotation. Pour qu'un corps soit en équilibre, il ne doit pas avoir tendance à tourner. Cela signifie que la somme des moments de toutes les forces extérieures par rapport à n'importe quel point doit être nulle. Un **moment d'une force** (ou couple) est la capacité d'une force à faire tourner un objet autour d'un point appelé pivot ou centre de rotation. Il est calculé comme le produit de l'intensité de la force par la distance perpendiculaire entre le point d'application de la force et l'axe de rotation (bras de levier). \( M = F \times d \) L'unité du moment est le Newton-mètre (N·m). La deuxième condition s'écrit : \[ \sum M_{ext} = 0 \] Les moments qui tendent à faire tourner dans un sens (par exemple, le sens horaire) sont souvent considérés comme positifs, et ceux qui tendent à faire tourner dans l'autre sens (anti-horaire) comme négatifs (ou inversement, il faut choisir une convention et s'y tenir). #### Méthodologie d'application du PFS Pour résoudre un problème de statique en utilisant le PFS : 1. **Isoler le système :** Définir clairement le corps ou l'ensemble de corps que l'on étudie. 2. **Faire le bilan des actions mécaniques :** Identifier toutes les forces extérieures appliquées au système (poids, réactions des appuis, tensions, etc.). 3. **Représenter les forces :** Dessiner un schéma clair du système avec tous les vecteurs forces représentés. 4. **Choisir un repère :** Définir un système d'axes (x, y) pour décomposer les forces. 5. **Appliquer le PFS :** * Écrire les équations d'équilibre des forces : \( \sum F_x = 0 \) et \( \sum F_y = 0 \). * Choisir un point judicieux pour le calcul des moments (souvent un point où plusieurs forces sont appliquées pour les annuler dans le calcul). Écrire l'équation d'équilibre des moments : \( \sum M = 0 \). 6. **Résoudre le système d'équations :** Calculer les inconnues (intensités de forces, etc.). ### Vocabulaire * **Statique :** Branche de la mécanique étudiant l'équilibre des corps. * **Force :** Action mécanique caractérisée par une intensité, une direction et un sens. * **Vecteur :** Représentation mathématique d'une grandeur ayant une direction et une magnitude. * **Équilibre :** État d'un corps où la somme des forces et la somme des moments sont nulles. * **Action mécanique :** Toute cause capable de modifier l'état de mouvement ou de déformer un corps. * **Réaction :** Force exercée par un support ou une liaison sur un corps. * **Moment d'une force :** Tendance d'une force à provoquer une rotation autour d'un point. * **Point d'application :** L'endroit où une force est appliquée. * **Bras de levier :** Distance perpendiculaire entre la ligne d'action d'une force et le point de rotation. ### Exemples #### Exemple 1 : Livre sur une table Un livre de masse \( m = 1 \text{ kg} \) est posé sur une table. Il est en équilibre. * **Forces agissant sur le livre :** * Le **poids** du livre \( \vec{P} \), dirigé vers le bas. \( P = m \times g \), où \( g \approx 9.81 \text{ m/s}^2 \). Donc, \( P = 1 \times 9.81 = 9.81 \text{ N} \). * La **réaction normale** de la table \( \vec{N} \), dirigée vers le haut, perpendiculaire à la surface de la table. * **Application du PFS :** * \( \sum \vec{F} = \vec{0} \) * Sur l'axe vertical (y) : \( N - P = 0 \) * Donc, \( N = P = 9.81 \text{ N} \). Le livre est en équilibre car la force de la table compense exactement son poids. #### Exemple 2 : Poutre en équilibre Une poutre homogène de poids \( P = 100 \text{ N} \) et de longueur \( L = 2 \text{ m} \) est posée sur deux appuis, A et B, situés aux extrémités. Trouver les réactions aux appuis \( R_A \) et \( R_B \). * **Bilan des forces :** * Poids \( \vec{P} \) appliqué au centre de la poutre (à \( L/2 = 1 \text{ m} \) de A). * Réaction \( \vec{R}_A \) à l'appui A, dirigée vers le haut. * Réaction \( \vec{R}_B \) à l'appui B, dirigée vers le haut. * **Application du PFS :** 1. **Somme des forces verticales :** \( R_A + R_B - P = 0 \Rightarrow R_A + R_B = 100 \text{ N} \) (Équation 1) 2. **Somme des moments par rapport au point A :** (Annule \( R_A \)) * Le moment de \( R_A \) est nul car son bras de levier est 0. * Moment du poids \( P \) : \( -P \times (L/2) \) (rotation horaire, donc négatif selon convention). * Moment de \( R_B \) : \( R_B \times L \) (rotation anti-horaire, donc positif). * \( \sum M_A = 0 \Rightarrow -P \times (L/2) + R_B \times L = 0 \) * \( -100 \times 1 + R_B \times 2 = 0 \) * \( -100 + 2 R_B = 0 \Rightarrow 2 R_B = 100 \Rightarrow R_B = 50 \text{ N} \) * **Résolution :** * Avec \( R_B = 50 \text{ N} \) dans l'Équation 1 : \( R_A + 50 = 100 \Rightarrow R_A = 50 \text{ N} \). Les réactions aux appuis sont donc \( R_A = 50 \text{ N} \) et \( R_B = 50 \text{ N} \). ### Exercices 1. **Définitions :** Expliquez avec vos propres mots ce qu'est une force et un moment d'une force. 2. **Conditions du PFS :** Énoncez les deux conditions du Principe Fondamental de la Statique. À quoi sert chacune d'elles ? 3. **Application simple :** Un objet de 5 kg est suspendu par une corde verticale. Quelle est la tension dans la corde ? (Prenez \( g = 9.81 \text{ m/s}^2 \)). 4. **Bilan des forces :** Dessinez le bilan des forces pour un objet posé sur un plan incliné (sans frottement) qui est maintenu en place. ### Devoirs 1. Une barre horizontale de 3 m de long et pesant 60 N est appuyée à ses extrémités A et B. Un poids de 100 N est suspendu à 1 m de l'extrémité A. Calculez les réactions aux appuis A et B. 2. Un panneau publicitaire rectangulaire est fixé à un mur par un pivot en bas et un câble horizontal en haut. Le panneau pèse 200 N. La distance horizontale du centre de gravité du panneau au mur est de 0.5 m. La hauteur du panneau est de 2 m. Le câble est fixé à 1.8 m du pivot. Déterminez la tension dans le câble. 3. Décrivez une situation de la vie courante où le Principe Fondamental de la Statique est appliqué pour concevoir une structure (par exemple, un pont, un tabouret, une grue). ### Résumé Nous avons appris aujourd'hui que le Principe Fondamental de la Statique est la base de l'étude des objets en équilibre. Pour qu'un corps soit en équilibre statique, deux conditions essentielles doivent être remplies : 1. **L'équilibre de translation :** La somme vectorielle de toutes les forces extérieures agissant sur le corps doit être nulle (\( \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \)). Cela garantit que le corps ne se déplace pas ou ne change pas sa vitesse de déplacement. 2. **L'équilibre de rotation :** La somme de tous les moments des forces extérieures par rapport à n'importe quel point doit être nulle (\( \sum M_{ext} = 0 \)). Cela garantit que le corps ne tourne pas ou ne change pas sa vitesse de rotation. En appliquant ces deux conditions de manière systématique, nous pouvons analyser et résoudre une multitude de problèmes où des objets sont au repos, ce qui est crucial dans de nombreux domaines de l'ingénierie et de la construction. ## Méthode de résolution des problèmes de statique ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la méthode de résolution des problèmes de statique! En mécanique appliquée, la statique est la branche qui étudie les corps au repos ou en mouvement à vitesse constante. Comprendre comment les forces agissent sur ces corps est essentiel. Aujourd'hui, nous allons apprendre une méthode systématique pour analyser et résoudre des problèmes où des objets sont en équilibre sous l'action de diverses forces. Cette méthode, basée sur le Principe Fondamental de la Statique (PFS), est une compétence clé pour tout technicien en ingénierie. ### Concepts Clés #### 1. Rappels sur les Forces Une force est une action mécanique capable de modifier le mouvement d'un corps ou de le déformer. Elle est caractérisée par : * **Un point d'application** : l'endroit où la force agit. * **Une direction** : la ligne d'action de la force. * **Un sens** : le sens le long de la direction. * **Une intensité (ou norme)** : sa valeur, exprimée en Newtons (N). Les forces sont des grandeurs vectorielles, ce qui signifie qu'elles peuvent être représentées par des vecteurs. Exemples courants de forces : * **Le poids (\( \vec{P} \))** : Force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur un corps. Il est toujours vertical, dirigé vers le bas, et appliqué au centre de gravité du corps. * **Forces de contact** : Résultent du contact direct entre deux corps (ex: réaction d'un support, frottement, poussée). * **Forces de liaison** : Forces exercées par des liaisons mécaniques (ex: tension dans un câble, force dans une bielle). #### 2. Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) Le Principe Fondamental de la Statique stipule qu'un corps est en équilibre statique (au repos) si et seulement si : 1. **La somme vectorielle de toutes les forces extérieures qui s'appliquent sur lui est nulle.** \[ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \] Cela signifie que le corps n'accélère pas de manière linéaire. 2. **La somme vectorielle de tous les moments des forces extérieures par rapport à n'importe quel point est nulle.** \[ \sum \vec{M}_{/A}(\vec{F}_{ext}) = \vec{0} \] Cela signifie que le corps ne tourne pas (ou ne tourne pas plus vite ou moins vite). En deux dimensions (plan x,y), ces deux conditions se traduisent par trois équations scalaires : * Somme des composantes des forces selon l'axe X : \[ \sum F_x = 0 \] * Somme des composantes des forces selon l'axe Y : \[ \sum F_y = 0 \] * Somme des moments par rapport à un point arbitraire A (souvent choisi pour simplifier) : \[ \sum M_{/A} = 0 \] #### 3. Méthode de résolution des problèmes de statique Pour résoudre systématiquement un problème de statique, suivez ces étapes cruciales : ##### Étape 1 : Isoler le solide (ou le système de solides) à étudier * **Définir le système** : Indiquez clairement l'objet ou l'ensemble d'objets pour lequel vous allez appliquer le PFS. * **Dessiner le "Diagramme de Corps Libre" (DCL)** : Tracez le solide seul, détaché de tout ce qui l'entoure. C'est l'étape la plus importante! ##### Étape 2 : Identifier et représenter toutes les forces extérieures * Sur votre DCL, tracez un vecteur pour chaque force agissant sur le solide isolé. * **N'oubliez aucune force** : poids, réactions des appuis, tensions des câbles, forces de contact, forces appliquées. * Indiquez le point d'application, la direction et le sens (si connus) pour chaque force. * Marquez les inconnues (forces, angles). ##### Étape 3 : Choisir un repère orthonormé * Sélectionnez un système de coordonnées (x,y) qui simplifie au maximum la décomposition des forces. * Souvent, un axe est aligné avec une ou plusieurs forces importantes ou une surface d'appui. ##### Étape 4 : Écrire les équations du Principe Fondamental de la Statique (PFS) * Décomposez chaque force en ses composantes selon les axes X et Y (\( F_x = F \cos \theta \) et \( F_y = F \sin \theta \)). * Écrivez les trois équations d'équilibre : * \( \sum F_x = 0 \) * \( \sum F_y = 0 \) * \( \sum M_{/A} = 0 \) (Choisissez judicieusement le point A pour le calcul des moments. Un point où plusieurs forces inconnues concourent permet d'éliminer ces inconnues de l'équation des moments). ##### Étape 5 : Résoudre le système d'équations * Vous disposez généralement de trois équations pour trouver jusqu'à trois inconnues. * Utilisez des méthodes algébriques (substitution, addition, etc.) pour trouver les valeurs des forces ou autres grandeurs inconnues. * N'oubliez pas d'inclure les unités dans vos résultats (Newtons pour les forces, Newton-mètre pour les moments). ### Vocabulaire * **Statique** : Branche de la mécanique étudiant les corps en équilibre (au repos ou en mouvement rectiligne uniforme). * **Force (\( \vec{F} \))** : Action capable de provoquer ou de modifier un mouvement ou une déformation. C'est une grandeur vectorielle. * **Vecteur** : Représentation mathématique d'une grandeur ayant une direction, un sens et une intensité. * **Équilibre statique** : État d'un corps immobile dont la somme des forces et des moments appliqués est nulle. * **Moment d'une force (\( \vec{M} \))** : Grandeur vectorielle qui mesure la tendance d'une force à faire tourner un corps autour d'un point ou d'un axe. Unité : Newton-mètre (N.m). * **Repère orthonormé** : Système de coordonnées (ex: cartésien x,y) avec des axes perpendiculaires et une même unité de mesure. * **Isoler un solide** : Action de considérer un corps seul, en remplaçant les actions de son environnement par des forces extérieures. * **Diagramme de Corps Libre (DCL)** : Schéma du solide isolé avec toutes les forces extérieures représentées. * **Principe Fondamental de la Statique (PFS)** : Ensemble des deux conditions (somme des forces nulle et somme des moments nulle) qui garantissent l'équilibre statique. ### Exemples #### Exemple 1 : Bloc sur un plan horizontal Un bloc de masse \( m = 10 \text{ kg} \) est posé sur un plan horizontal. Calculer les forces qui agissent sur lui. 1. **Isoler le solide** : Le bloc. 2. **Forces** : * Le poids \( \vec{P} \) du bloc, dirigé vers le bas, appliqué au centre de gravité. \( P = m \cdot g \), où \( g \approx 9.81 \text{ m/s}^2 \). Donc \( P = 10 \cdot 9.81 = 98.1 \text{ N} \). * La réaction normale du support \( \vec{N} \), dirigée vers le haut, perpendiculaire au plan, appliquée à la surface de contact. 3. **Repère** : Axe Y vertical vers le haut, axe X horizontal. 4. **Équations du PFS** : * \( \sum F_x = 0 \) (aucune force horizontale) * \( \sum F_y = N - P = 0 \) * \( \sum M_{/A} = 0 \) (pas de rotation possible) 5. **Résolution** : De \( N - P = 0 \), on tire \( N = P = 98.1 \text{ N} \). Le plan exerce une force de 98.1 N vers le haut sur le bloc. #### Exemple 2 : Objet suspendu par un câble Un luminaire de masse \( m = 5 \text{ kg} \) est suspendu au plafond par un seul câble vertical. Quelle est la tension dans le câble? 1. **Isoler le solide** : Le luminaire. 2. **Forces** : * Poids du luminaire \( \vec{P} \) : \( P = m \cdot g = 5 \cdot 9.81 = 49.05 \text{ N} \), vertical vers le bas. * Tension du câble \( \vec{T} \) : Verticale vers le haut, appliquée au point d'accroche du luminaire. 3. **Repère** : Axe Y vertical vers le haut. 4. **Équations du PFS** : * \( \sum F_x = 0 \) * \( \sum F_y = T - P = 0 \) * \( \sum M_{/A} = 0 \) (pas de rotation) 5. **Résolution** : De \( T - P = 0 \), on trouve \( T = P = 49.05 \text{ N} \). Le câble supporte une tension de 49.05 N. ### Exercices #### Exercice 1 : Bloc sur plan incliné Un bloc de masse \( m = 20 \text{ kg} \) est posé sur un plan incliné à \( 30^\circ \) par rapport à l'horizontale. On suppose qu'il n'y a pas de frottement et que le bloc est retenu par un câble parallèle au plan incliné. 1. Dessinez le diagramme de corps libre du bloc. 2. Identifiez toutes les forces agissant sur le bloc. 3. Écrivez les équations d'équilibre selon les axes X et Y (choisissez un axe X parallèle au plan incliné). 4. Calculez la tension \( T \) dans le câble et la force normale \( N \) exercée par le plan sur le bloc. #### Exercice 2 : Barre en équilibre Une barre homogène de longueur \( L = 2 \text{ m} \) et de masse \( m = 5 \text{ kg} \) est articulée en A et repose sur un appui simple en B, situé à \( L/2 \) de A. Une charge ponctuelle \( F_C = 100 \text{ N} \) est appliquée à l'extrémité libre C de la barre. 1. Dessinez le DCL de la barre. 2. Identifiez les forces : Poids \( \vec{P} \), réaction en A (\( \vec{A}_x, \vec{A}_y \)), réaction en B (\( \vec{B}_y \)), force \( \vec{F}_C \). 3. Appliquez le PFS pour déterminer les réactions aux appuis A et B. ### Devoir #### Devoir 1 : Échelle appuyée Une échelle homogène de 5 m de long et de masse 15 kg est appuyée contre un mur vertical lisse (pas de frottement au mur) et repose sur un sol rugueux (présence de frottement au sol). L'angle entre l'échelle et le sol est de \( 60^\circ \). 1. Dessinez le DCL de l'échelle. 2. Identifiez toutes les forces (poids, réaction normale du mur, réaction normale du sol, force de frottement du sol). 3. Appliquez le PFS pour trouver la force de frottement minimale nécessaire au sol pour que l'échelle ne glisse pas et les réactions aux appuis. #### Devoir 2 : Panneau suspendu Un panneau publicitaire rectangulaire est suspendu horizontalement par deux câbles aux points A et B. Le panneau pèse 200 N. Le câble 1 est vertical et le câble 2 fait un angle de \( 45^\circ \) avec l'horizontale. 1. Dessinez le DCL du panneau. 2. Calculez les tensions dans chaque câble pour maintenir le panneau en équilibre. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré la **Méthode de résolution des problèmes de statique**, une approche fondamentale en mécanique appliquée. Nous avons rappelé la nature vectorielle des forces et défini le **Principe Fondamental de la Statique (PFS)**, qui repose sur l'annulation de la somme des forces et de la somme des moments pour un corps en équilibre. La méthode systématique que nous avons apprise comprend cinq étapes clés : 1. **Isoler le solide** et dessiner son **Diagramme de Corps Libre (DCL)**. 2. **Identifier et représenter toutes les forces extérieures** agissant sur le solide. 3. **Choisir un repère orthonormé** approprié. 4. **Écrire les équations du PFS** (somme des forces selon X et Y, somme des moments). 5. **Résoudre le système d'équations** pour trouver les inconnues. La maîtrise de cette méthode est cruciale pour l'analyse des structures et des systèmes mécaniques. N'oubliez jamais l'importance d'un DCL clair et complet, et le choix judicieux du point de calcul des moments pour simplifier la résolution. ## Application du principe fondamental de la statique ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur l'application du principe fondamental de la statique (PFS). En mécanique appliquée, la statique est l'étude des corps à l'équilibre, c'est-à-dire qui sont immobiles ou se déplacent à une vitesse constante. Le PFS est un outil essentiel qui nous permet de comprendre et de calculer les forces et les moments qui maintiennent un système en équilibre. Nous allons apprendre à l'utiliser pour analyser des situations concrètes et résoudre des problèmes techniques. ### Concepts Clés #### Rappel du Principe Fondamental de la Statique (PFS) Le Principe Fondamental de la Statique énonce que pour qu'un corps solide soit en équilibre, deux conditions doivent être remplies simultanément: 1. **La somme vectorielle de toutes les forces extérieures s'exerçant sur le corps doit être nulle.** Ceci signifie que toutes les forces se compensent. Mathématiquement, on l'écrit comme suit : \[ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \] Cela implique que la somme des composantes des forces selon chaque axe (par exemple, x et y) doit aussi être nulle: * Sur l'axe x : \( \sum F_{ext,x} = 0 \) * Sur l'axe y : \( \sum F_{ext,y} = 0 \) 2. **La somme vectorielle de tous les moments des forces extérieures par rapport à n'importe quel point doit être nulle.** Le moment d'une force représente sa tendance à faire tourner le corps. Pour l'équilibre, il ne doit y avoir aucune tendance à la rotation. Mathématiquement : \[ \sum \vec{M}_{ext / A} = \vec{0} \] où \( A \) est un point arbitraire. En général, on choisit un point d'application d'une force pour simplifier les calculs. #### Conditions d'application du PFS Pour appliquer le PFS, le système étudié doit être : * **Isolé :** Nous devons définir clairement le corps ou l'ensemble de corps sur lequel nous allons appliquer les principes. On dessine souvent ce qu'on appelle un **diagramme de corps libre**. * **En équilibre :** Le corps doit être immobile ou se déplacer à vitesse constante (sans accélération). Pour la statique, on considère principalement les corps immobiles. #### Méthodologie de résolution Pour résoudre un problème de statique en utilisant le PFS, suivez ces étapes : 1. **Isoler le système :** Dessinez un schéma du corps (ou ensemble de corps) que vous étudiez, sans les éléments environnants. Ce diagramme de corps libre est crucial. 2. **Répertorier toutes les forces extérieures :** Identifiez et représentez toutes les forces agissant sur le système (poids, réactions d'appuis, tensions, forces appliquées, etc.) par des vecteurs sur votre schéma. 3. **Choisir un repère et un point de calcul des moments :** Définissez des axes (x, y) pour les forces et choisissez un point par rapport auquel calculer les moments. Ce point est souvent un appui ou un point où plusieurs forces se rencontrent pour simplifier les calculs. 4. **Écrire les équations d'équilibre :** Appliquez les deux conditions du PFS (somme des forces et somme des moments). 5. **Résoudre le système d'équations :** Utilisez les équations pour trouver les inconnues (magnitudes des forces, par exemple). #### Différents types de forces * **Poids (\( \vec{P} \)) :** Force due à la gravité. Appliquée au centre de gravité du corps, toujours dirigée verticalement vers le bas. Sa magnitude est \( P = mg \), où \( m \) est la masse et \( g \) est l'accélération de la pesanteur (environ \( 9.81 \text{ m/s}^2 \)). * **Réactions d'appui :** Forces exercées par un support sur le corps. Leur direction dépend du type de contact (par exemple, perpendiculaire à la surface pour un appui simple sans frottement). * **Forces de traction/compression :** Forces internes à des éléments comme des câbles, des barres. Elles agissent le long de l'élément. * **Forces appliquées :** Forces externes directes (poussée, traction) exercées par un agent extérieur. #### Calcul des moments Le moment d'une force \( \vec{F} \) par rapport à un point \( A \) est le produit de la magnitude de la force par la distance perpendiculaire (le **bras de levier**) entre le point \( A \) et la ligne d'action de la force. On le note souvent \( M_A \). * **Magnitude :** \( M = F \times d \), où \( d \) est le bras de levier. * **Sens :** On attribue souvent un signe positif aux moments qui tendent à faire tourner le système dans le sens trigonométrique (anti-horaire) et un signe négatif pour le sens horaire. ### Vocabulaire * **Statique :** Branche de la mécanique qui étudie l'équilibre des corps (immobiles ou en mouvement rectiligne uniforme). * **Équilibre :** État d'un corps où la somme des forces et la somme des moments sont nulles. * **Force :** Action mécanique capable de modifier l'état de mouvement d'un corps ou de le déformer. C'est une grandeur vectorielle (direction, sens, magnitude, point d'application). * **Moment d'une force :** Mesure de la tendance d'une force à provoquer la rotation d'un corps autour d'un point ou d'un axe. * **Système isolé (ou corps libre) :** Le corps ou l'ensemble de corps choisi pour l'étude, sur lequel on applique les principes de la mécanique. * **Bras de levier :** Distance perpendiculaire entre la ligne d'action d'une force et le point (pivot) par rapport auquel le moment est calculé. ### Exemples #### Exemple 1 : Poutre en équilibre sur deux appuis Considérons une poutre horizontale homogène de longueur \( L = 4 \text{ m} \) et de masse \( m_p = 20 \text{ kg} \). Elle est posée sur deux appuis simples \( A \) et \( B \). L'appui \( A \) est à l'extrémité gauche (\( x=0 \)) et l'appui \( B \) est à \( 3 \text{ m} \) de \( A \). Une charge ponctuelle de \( F_c = 100 \text{ N} \) est appliquée à \( 1 \text{ m} \) de l'appui \( A \). Calculons les réactions verticales \( R_A \) et \( R_B \) aux appuis. 1. **Isoler le système :** La poutre. 2. **Forces extérieures :** * Poids de la poutre \( P = m_p g = 20 \times 9.81 = 196.2 \text{ N} \), appliqué au centre de la poutre (à \( L/2 = 2 \text{ m} \) de \( A \)). * Charge ponctuelle \( F_c = 100 \text{ N} \), appliquée à \( 1 \text{ m} \) de \( A \). * Réaction verticale \( R_A \) à l'appui \( A \), dirigée vers le haut. * Réaction verticale \( R_B \) à l'appui \( B \), dirigée vers le haut. 3. **Repère et point des moments :** Axe y vertical (positif vers le haut), axe x horizontal. Prenons le point \( A \) comme pivot pour les moments afin d'éliminer \( R_A \) des calculs de moments. 4. **Équations d'équilibre :** * **Somme des forces verticales (\( \sum F_y = 0 \)) :** \( R_A + R_B - P - F_c = 0 \) \( R_A + R_B - 196.2 - 100 = 0 \) \( R_A + R_B = 296.2 \) (Équation 1) * **Somme des moments autour du point A (\( \sum M_A = 0 \)) :** (Les forces \( R_A \) n'ont pas de moment par rapport à \( A \) car leur bras de levier est nul.) \( (F_c \times 1) + (P \times 2) - (R_B \times 3) = 0 \) \( (100 \times 1) + (196.2 \times 2) - (R_B \times 3) = 0 \) \( 100 + 392.4 - 3R_B = 0 \) \( 492.4 - 3R_B = 0 \) 5. **Résoudre :** * De l'Équation des moments : \( 3R_B = 492.4 \) \( R_B = \frac{492.4}{3} \approx 164.13 \text{ N} \) * De l'Équation 1 : \( R_A = 296.2 - R_B \) \( R_A = 296.2 - 164.13 = 132.07 \text{ N} \) Donc, les réactions aux appuis sont environ \( R_A = 132.07 \text{ N} \) et \( R_B = 164.13 \text{ N} \). ### Exercices 1. **Définissez le Principe Fondamental de la Statique (PFS) en vos propres mots**, en incluant les deux conditions d'équilibre. 2. Une barre horizontale homogène de \( 3 \text{ m} \) de long et pesant \( 150 \text{ N} \) est suspendue à ses deux extrémités par deux câbles verticaux. Calculez la tension dans chaque câble. 3. Une planche de \( 2.5 \text{ m} \) de long et de masse \( 30 \text{ kg} \) repose sur un tréteau à \( 1 \text{ m} \) de son extrémité gauche. Un enfant de \( 25 \text{ kg} \) se tient à \( 0.5 \text{ m} \) de l'extrémité droite de la planche. Calculez la force que le tréteau exerce sur la planche. ### Devoirs 1. Une échelle de \( 5 \text{ m} \) de long, de masse \( 20 \text{ kg} \) (centre de gravité à mi-longueur), est appuyée contre un mur vertical lisse (sans frottement) sous un angle de \( 60^ {o} \) avec le sol. Le pied de l'échelle repose sur un sol rugueux (avec frottement). Un homme de \( 70 \text{ kg} \) monte à \( 3 \text{ m} \) du pied de l'échelle. Calculez : a. La force de réaction du mur sur l'échelle. b. Les composantes (normale et frottement) de la réaction du sol sur l'échelle. 2. Un levier du premier genre (avec le point d'appui entre la force motrice et la force résistante) a une longueur totale de \( 2 \text{ m} \). Le pivot est situé à \( 0.8 \text{ m} \) de l'extrémité où est appliquée une force résistante de \( 500 \text{ N} \). Quelle force motrice doit être appliquée à l'autre extrémité pour maintenir le levier en équilibre ? (Négligez le poids du levier). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré le Principe Fondamental de la Statique, un concept crucial pour analyser les systèmes en équilibre. Nous avons appris que l'équilibre est atteint lorsque la somme des forces extérieures et la somme des moments des forces extérieures sont toutes deux nulles. La clé de la résolution des problèmes de statique réside dans une méthodologie rigoureuse : isoler le système, identifier toutes les forces, choisir un repère et un pivot judicieux, et appliquer correctement les équations d'équilibre. La maîtrise de ces étapes vous permettra de résoudre une multitude de problèmes d'ingénierie et de conception en mécanique.