Principe fondamental de la statique (partie 2/11)

## Réduction d’un système matériel en un point ### Introduction En mécanique appliquée, et plus particulièrement en statique, nous sommes souvent confrontés à des objets ou des structures sur lesquels agissent de nombreuses forces simultanément. Analyser l'effet de chacune de ces forces individuellement peut être complexe. Heureusement, il existe une méthode pour simplifier cette analyse : la **réduction d'un système matériel en un point**. Cette méthode consiste à remplacer toutes les forces et tous les moments appliqués sur un corps par une seule force et un seul moment, appliqués en un point de référence arbitraire. Cela nous permet de mieux comprendre l'effet global (translation et rotation) que toutes ces actions mécaniques exercent sur le corps. ### Concepts Clés #### 1. Système de Forces Un système de forces est l'ensemble de toutes les forces et de tous les moments qui agissent sur un corps rigide. Chaque force est caractérisée par : * Son intensité (ou norme) * Sa direction * Son sens * Son point d'application Un moment (ou couple) est une action mécanique qui tend à faire tourner un corps autour d'un point ou d'un axe. #### 2. Point de Réduction (ou Centre de Réduction) C'est un point que l'on choisit arbitrairement sur le corps rigide (ou dans l'espace) pour y "transporter" et regrouper toutes les actions mécaniques. Le choix de ce point est crucial car il influence la valeur du moment résultant, mais pas celle de la force résultante. #### 3. Résultante des Forces (Vecteur Force Résultant) La résultante des forces, notée \( \vec{R} \), est la somme vectorielle de toutes les forces appliquées au système. Elle représente l'effet de translation global que le système de forces exerce sur le corps. Pour un ensemble de forces \( \vec{F}_1, \vec{F}_2, ..., \vec{F}_n \) : \[ \vec{R} = \sum_{i=1}^{n} \vec{F}_i \] En coordonnées cartésiennes, si \( \vec{F}_i = F_{ix} \vec{i} + F_{iy} \vec{j} + F_{iz} \vec{k} \), alors : \[ R_x = \sum F_{ix} \] \[ R_y = \sum F_{iy} \] \[ R_z = \sum F_{iz} \] La résultante des forces est indépendante du point de réduction choisi. #### 4. Moment Résultant (Vecteur Moment Résultant) Le moment résultant, noté \( \vec{M}_O \) (où O est le point de réduction), est la somme vectorielle de tous les moments initiaux et des moments créés par les forces individuelles par rapport au point O. Il représente l'effet de rotation global. Le moment \( \vec{M}_O(\vec{F}) \) d'une force \( \vec{F} \) appliquée en un point P par rapport à un point O est donné par le produit vectoriel : \[ \vec{M}_O(\vec{F}) = \vec{OP} \land \vec{F} \] Le moment résultant total en un point O est donc la somme de tous les moments initiaux (si présents) et des moments de chaque force par rapport à O : \[ \vec{M}_O = \sum \vec{M}_{\text{initiales},i} + \sum (\vec{OP}_i \land \vec{F}_i) \] Il est important de noter que le moment résultant dépend du point de réduction O choisi. Si l'on change le point de réduction de O à un nouveau point O', le moment résultant \( \vec{M}_{O'} \) se calcule comme suit : \[ \vec{M}_{O'} = \vec{M}_O + \vec{O'O} \land \vec{R} \] #### 5. Équivalence des Systèmes de Forces (Équipollence) Deux systèmes de forces sont dits équivalents (ou équipollents) s'ils produisent le même vecteur résultant des forces et le même vecteur résultant des moments par rapport à un même point de réduction. La réduction d'un système de forces en un point O consiste à trouver un système équivalent constitué uniquement d'un vecteur force \( \vec{R} \) et d'un vecteur moment \( \vec{M}_O \) appliqués en O. #### 6. Principe Fondamental de la Statique (PFS) Pour qu'un corps rigide soit en équilibre statique (c'est-à-dire sans mouvement de translation ni de rotation), deux conditions doivent être remplies : 1. La résultante des forces doit être nulle : \[ \sum \vec{F}_i = \vec{0} \quad \text{ou} \quad \vec{R} = \vec{0} \] 2. Le moment résultant par rapport à n'importe quel point O doit être nul : \[ \sum \vec{M}_O(\vec{F}_i) = \vec{0} \quad \text{ou} \quad \vec{M}_O = \vec{0} \] Ces deux conditions sont la base de l'analyse de l'équilibre des structures. ### Vocabulaire * **Système matériel :** Un corps rigide ou un ensemble de corps interconnectés sur lequel des forces agissent. * **Force (\( \vec{F} \)) :** Action mécanique capable de modifier l'état de mouvement ou de déformer un corps. * **Moment d'une force (\( \vec{M} \)) :** Mesure de la tendance d'une force à provoquer une rotation autour d'un point ou d'un axe. * **Point d'application :** Le point spécifique sur lequel une force agit. * **Résultante des forces (\( \vec{R} \)) :** La somme vectorielle de toutes les forces, représentant l'effet de translation global. * **Moment résultant (\( \vec{M}_O \)) :** La somme vectorielle de tous les moments (y compris ceux créés par les forces) par rapport à un point de réduction O, représentant l'effet de rotation global. * **Point de réduction :** Le point choisi pour regrouper la résultante des forces et le moment résultant. * **Équipollence :** Caractéristique de deux systèmes de forces qui sont équivalents, c'est-à-dire qui produisent les mêmes effets globaux (translation et rotation). * **Équilibre statique :** État d'un corps au repos (vitesse nulle et accélération nulle), où toutes les forces et tous les moments s'annulent. ### Exemples #### Exemple 1 : Réduction d'un système de forces coplanaires Considérons une poutre soumise à deux forces dans un plan : \( \vec{F}_1 \) de 10 N appliquée en A(2,0) et \( \vec{F}_2 \) de 5 N appliquée en B(5,0). On veut réduire ce système au point O(0,0). Les forces sont données par : \( \vec{F}_1 = 10 \vec{j} \) N (vers le haut) \( \vec{F}_2 = -5 \vec{j} \) N (vers le bas) 1. **Calcul de la résultante des forces \( \vec{R} \) :** \( \vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 10 \vec{j} - 5 \vec{j} = 5 \vec{j} \) N 2. **Calcul du moment résultant \( \vec{M}_O \) au point O(0,0) :** * \( \vec{OA} = (2-0) \vec{i} + (0-0) \vec{j} = 2 \vec{i} \) * \( \vec{OB} = (5-0) \vec{i} + (0-0) \vec{j} = 5 \vec{i} \) \( \vec{M}_O = (\vec{OA} \land \vec{F}_1) + (\vec{OB} \land \vec{F}_2) \) \( \vec{M}_O = (2 \vec{i} \land 10 \vec{j}) + (5 \vec{i} \land (-5 \vec{j})) \) \( \vec{M}_O = (20 (\vec{i} \land \vec{j})) + (-25 (\vec{i} \land \vec{j})) \) Sachant que \( \vec{i} \land \vec{j} = \vec{k} \) : \( \vec{M}_O = 20 \vec{k} - 25 \vec{k} = -5 \vec{k} \) N.m Le système de forces est donc équivalent à une force \( \vec{R} = 5 \vec{j} \) N et un moment \( \vec{M}_O = -5 \vec{k} \) N.m appliqués en O(0,0). #### Exemple 2 : Vérification de l'équilibre Une plaque est soumise à trois forces : \( \vec{F}_1 = (3, 2) \) N appliquée en P1(1,0), \( \vec{F}_2 = (-3, -2) \) N appliquée en P2(1,0) et un couple \( C = 0 \) N.m. Vérifions si la plaque est en équilibre statique en prenant O(0,0) comme point de réduction. 1. **Calcul de la résultante des forces \( \vec{R} \) :** \( \vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (3\vec{i} + 2\vec{j}) + (-3\vec{i} - 2\vec{j}) = (3-3)\vec{i} + (2-2)\vec{j} = 0 \vec{i} + 0 \vec{j} = \vec{0} \) 2. **Calcul du moment résultant \( \vec{M}_O \) au point O(0,0) :** * \( \vec{OP_1} = 1 \vec{i} \) * \( \vec{OP_2} = 1 \vec{i} \) \( \vec{M}_O = (\vec{OP_1} \land \vec{F}_1) + (\vec{OP_2} \land \vec{F}_2) + \vec{C} \) \( \vec{M}_O = (1 \vec{i} \land (3 \vec{i} + 2 \vec{j})) + (1 \vec{i} \land (-3 \vec{i} - 2 \vec{j})) + \vec{0} \) \( \vec{M}_O = (3 (\vec{i} \land \vec{i}) + 2 (\vec{i} \land \vec{j})) + (-3 (\vec{i} \land \vec{i}) - 2 (\vec{i} \land \vec{j})) \) Sachant que \( \vec{i} \land \vec{i} = \vec{0} \) et \( \vec{i} \land \vec{j} = \vec{k} \) : \( \vec{M}_O = (\vec{0} + 2 \vec{k}) + (\vec{0} - 2 \vec{k}) = 2 \vec{k} - 2 \vec{k} = \vec{0} \) N.m Puisque \( \vec{R} = \vec{0} \) et \( \vec{M}_O = \vec{0} \), la plaque est bien en équilibre statique. ### Exercices 1. Une poutre est soumise aux forces suivantes : * \( \vec{F}_A = (0, 100) \) N appliquée en A(0, 0) * \( \vec{F}_B = (50, -50) \) N appliquée en B(2, 0) * \( \vec{F}_C = (-20, 0) \) N appliquée en C(4, 0) Réduisez ce système de forces au point O(0,0). 2. Considérez un levier de 1 mètre de long. Une force \( \vec{F}_1 \) de 20 N est appliquée à 0.2 m de l'axe de rotation (O) et une force \( \vec{F}_2 \) de 10 N est appliquée à 0.8 m de l'axe de rotation. Les deux forces sont perpendiculaires au levier et vers le bas. * Calculez la résultante des forces. \( \vec{F}_1 \) en \( P_1(0.2, 0) \), \( \vec{F}_2 \) en \( P_2(0.8, 0) \) * Calculez le moment résultant par rapport à l'axe de rotation O(0,0). * Si le levier doit être en équilibre, quelle force et à quelle distance faudrait-il appliquer pour annuler le moment résultant ? ### Devoir 1. Un support est soumis à quatre forces et un couple. Déterminez la résultante des forces et le moment résultant par rapport au point P(-1, 2). * \( \vec{F}_1 = (10, 5) \) N appliquée en A(0, 0) * \( \vec{F}_2 = (-20, 0) \) N appliquée en B(3, 0) * \( \vec{F}_3 = (0, -15) \) N appliquée en C(0, 4) * \( \vec{F}_4 = (5, 10) \) N appliquée en D(2, 2) * Un couple \( \vec{C} = 5 \vec{k} \) N.m est appliqué au système. 2. Soit un système de forces et moments réduits en un point O par : \( \vec{R} = (15, -10) \) N et \( \vec{M}_O = (0, 0, 20) \) N.m. * Déterminez le moment résultant \( \vec{M}_{O'} \) si le nouveau point de réduction est \( O'(1, 1) \). * Que pouvez-vous en déduire sur le lien entre \( \vec{R} \) et \( \vec{M}_O \) ou \( \vec{M}_{O'} \) ? ### Résumé La réduction d'un système matériel en un point est une technique essentielle en statique qui permet de simplifier l'analyse des actions mécaniques agissant sur un corps. Elle consiste à remplacer toutes les forces et moments par : * Une **résultante des forces** \( \vec{R} \), qui est la somme vectorielle de toutes les forces. Elle caractérise l'effet de translation et est indépendante du point de réduction. * Un **moment résultant** \( \vec{M}_O \), qui est la somme vectorielle des moments de toutes les forces et des couples initiaux par rapport au point de réduction O. Il caractérise l'effet de rotation et dépend du point de réduction choisi. Le **Principe Fondamental de la Statique (PFS)** utilise cette réduction en stipulant qu'un corps est en équilibre si et seulement si sa résultante des forces est nulle (pas de translation) ET son moment résultant est nul par rapport à n'importe quel point (pas de rotation). Maîtriser cette méthode est fondamental pour résoudre des problèmes d'équilibre dans de nombreux domaines de l'ingénierie et de la physique. ## Principe des actions mutuelles ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur le Principe des actions mutuelles ! En mécanique, il est rare qu'un objet agisse seul. Souvent, les objets interagissent les uns avec les autres. Lorsque vous poussez un chariot, que se passe-t-il ? Le chariot avance, mais vous ressentez aussi une force qui vous pousse en arrière. Ce phénomène est décrit par le Principe des actions mutuelles, souvent appelé la **troisième loi de Newton** ou le **Principe d'action-réaction**. Il est fondamental pour comprendre comment les forces fonctionnent dans l'univers. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que le Principe des actions mutuelles ? Ce principe stipule que si un corps A exerce une force sur un corps B, alors le corps B exerce simultanément une force sur le corps A qui est d'égale magnitude et de direction opposée. Autrement dit, les forces d'interaction entre deux corps sont toujours égales et opposées. #### Caractéristiques des paires action-réaction Pour bien comprendre ce principe, il est essentiel de connaître les caractéristiques des forces d'action-réaction : * **Impliquent deux corps :** Ces forces se produisent toujours entre deux objets qui interagissent. Par exemple, la Terre et un ballon. On ne peut pas avoir une action sans une réaction, et ces forces agissent toujours sur des corps différents. * **Égales en magnitude :** La force exercée par A sur B a exactement la même intensité que la force exercée par B sur A. * **Opposées en direction :** Les deux forces pointent dans des directions opposées le long de la même ligne d'action. * **Simultanées :** Les forces d'action et de réaction apparaissent et disparaissent en même temps. Il n'y a pas de décalage temporel. * **De même nature :** Si l'action est une force de contact, la réaction est aussi une force de contact. Si l'action est une force gravitationnelle, la réaction est aussi une force gravitationnelle. * **N'annulent pas :** Il est très important de noter que ces forces ne s'annulent pas mutuellement car elles s'appliquent sur **des corps différents**. Pour qu'une force annule une autre, elles doivent agir sur le même corps. #### Formulation Mathématique Si \( \vec{F}_{A/B} \) est la force exercée par le corps A sur le corps B, et \( \vec{F}_{B/A} \) est la force exercée par le corps B sur le corps A, alors le principe des actions mutuelles s'écrit : \[ \vec{F}_{A/B} = - \vec{F}_{B/A} \] Le signe moins indique que les deux forces ont des directions opposées. #### Distinction avec l'équilibre des forces Ne confondez pas le principe d'action-réaction avec l'équilibre des forces. L'équilibre des forces implique plusieurs forces agissant sur **un seul et même corps**, dont la somme vectorielle est nulle, résultant en une accélération nulle. Le principe d'action-réaction décrit deux forces agissant sur **deux corps différents**. ### Vocabulaire * **Action :** La force initiale exercée par un corps sur un autre. * **Réaction :** La force en retour exercée par le second corps sur le premier, d'égale magnitude et de direction opposée à l'action. * **Force :** Une interaction qui peut modifier le mouvement d'un objet (le faire accélérer, ralentir ou changer de direction). * **Interaction :** Une influence mutuelle entre deux ou plusieurs objets. * **Magnitude :** L'intensité ou la valeur numérique d'une force (sans sa direction). * **Direction opposée :** Qui pointe dans le sens exactement inverse. ### Exemples Voici quelques exemples concrets du principe des actions mutuelles : 1. **Marcher :** Lorsque vous marchez, votre pied pousse le sol vers l'arrière (action). En réaction, le sol pousse votre pied vers l'avant, ce qui vous propulse (réaction). 2. **Ramer en bateau :** Le rameur pousse l'eau vers l'arrière avec la rame (action). L'eau, en retour, pousse la rame (et donc le bateau) vers l'avant (réaction). 3. **Pousser un mur :** Si vous poussez un mur avec une force de 50 N, le mur exerce sur vous une force de 50 N dans la direction opposée. C'est pourquoi vous ressentez une pression sur vos mains. 4. **Livre sur une table :** Un livre posé sur une table exerce une force de poids sur la table (action). En réaction, la table exerce une force de support (force normale) sur le livre, dirigée vers le haut. Ces deux forces sont égales et opposées. 5. **Tir d'un canon :** Lorsque le canon tire un projectile, il exerce une force énorme sur le projectile (action). En réaction, le projectile exerce une force égale et opposée sur le canon, provoquant son recul (réaction). ### Exercices 1. Identifiez la paire action-réaction dans les situations suivantes : * Un nageur pousse l'eau avec ses mains. * La Terre attire la Lune par gravité. * Une voiture accélère en faisant tourner ses roues sur la route. 2. Pourquoi dit-on que les forces d'action-réaction ne s'annulent jamais, même si elles sont égales et opposées ? Expliquez en vos propres mots. 3. Vous donnez un coup de pied dans un ballon. Décrivez la force d'action et la force de réaction dans cette interaction. ### Devoir 1. Dessinez un schéma montrant les forces d'action et de réaction pour les scénarios suivants : * Un oiseau en vol battant des ailes dans l'air. * Un aimant attire un morceau de fer. 2. Expliquez pourquoi un astronaute dans l'espace, voulant se déplacer, doit jeter un objet dans la direction opposée à celle où il veut aller. Quel principe de la physique est ici illustré ? 3. Imaginez que vous êtes sur des patins à roulettes et que vous poussez un ami qui est aussi sur des patins. Décrivez les forces en jeu et qui va reculer le plus (vous ou votre ami), et pourquoi ? ### Résumé Le Principe des actions mutuelles, ou troisième loi de Newton, est un concept fondamental en mécanique. Il nous enseigne que les forces viennent toujours par paires : lorsqu'un corps exerce une force sur un autre, le second corps exerce une force égale et opposée sur le premier. Ces forces agissent sur des corps différents, sont de même nature, et sont simultanées. Comprendre ce principe est essentiel pour analyser le mouvement et l'équilibre des objets dans notre environnement. ## Corps soumis à trois forces ### Introduction Dans le domaine de la mécanique appliquée, il est fréquent de rencontrer des systèmes où plusieurs forces agissent sur un corps. Pour qu'un corps soit au repos ou se déplace à vitesse constante, il doit être en équilibre. Cette leçon se concentre sur un cas particulier et très important : celui d'un corps soumis à seulement trois forces. Nous allons explorer les conditions graphiques et analytiques nécessaires pour que ces trois forces maintiennent le corps en équilibre. ### Concepts Clés #### Rappel du Principe Fondamental de la Statique (PFS) Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) énonce que pour qu'un corps soit en équilibre (c'est-à-dire au repos ou en mouvement rectiligne uniforme), deux conditions doivent être remplies : * La somme vectorielle de toutes les forces extérieures appliquées au corps doit être nulle : \[ \sum \vec{F} = \vec{0} \] * La somme vectorielle de tous les moments (ou couples) des forces extérieures par rapport à n'importe quel point doit être nulle. Pour les corps soumis à trois forces concourantes, cette condition est souvent implicitement satisfaite si la première est vérifiée. #### Conditions d'équilibre pour un corps soumis à trois forces Lorsqu'un corps est en équilibre sous l'action de trois forces \( \vec{F_1} \), \( \vec{F_2} \) et \( \vec{F_3} \), deux conditions essentielles doivent être respectées : ##### 1. Condition graphique : Point de concours des forces Si un corps est en équilibre sous l'action de trois forces non parallèles, les lignes d'action de ces trois forces doivent être **concourantes**, c'est-à-dire qu'elles doivent se couper en un seul et même point. Si elles ne sont pas concourantes, un moment résultant existerait, et le corps ne serait pas en équilibre de rotation. ##### 2. Condition graphique : Fermeture du dynamique des forces (Polygone des forces) La somme vectorielle des trois forces doit être égale au vecteur nul. Graphiquement, cela signifie que si l'on représente ces trois forces bout à bout (en plaçant l'origine de chaque vecteur à l'extrémité du précédent), elles doivent former un **triangle fermé**. Ce triangle est appelé le **dynamique des forces** ou **polygone des forces**. \[ \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0} \] #### Condition analytique de l'équilibre La condition d'équilibre peut également être exprimée par des équations en utilisant les composantes des forces. Pour un système de trois forces en équilibre dans un plan (2D), les sommes des composantes des forces le long de deux axes perpendiculaires (généralement x et y) doivent être nulles : * Somme des composantes horizontales (selon l'axe x) : \[ \sum F_x = 0 \] * Somme des composantes verticales (selon l'axe y) : \[ \sum F_y = 0 \] Ces deux équations permettent de résoudre des problèmes où les magnitudes ou les angles des forces sont inconnus. #### Théorème de Lamy Le théorème de Lamy est un outil très utile pour résoudre des problèmes d'équilibre impliquant trois forces concourantes. Il stipule que si un corps est en équilibre sous l'action de trois forces concourantes, alors l'intensité de chaque force est proportionnelle au sinus de l'angle compris entre les deux autres forces. Soient \( F_1 \), \( F_2 \), \( F_3 \) les intensités des trois forces, et \( \alpha_1 \), \( \alpha_2 \), \( \alpha_3 \) les angles opposés à ces forces dans le dynamique des forces, ou plus précisément, \( \alpha_1 \) est l'angle entre \( \vec{F_2} \) et \( \vec{F_3} \), \( \alpha_2 \) est l'angle entre \( \vec{F_1} \) et \( \vec{F_3} \), et \( \alpha_3 \) est l'angle entre \( \vec{F_1} \) et \( \vec{F_2} \). Alors : \[ \frac{F_1}{\sin(\alpha_1)} = \frac{F_2}{\sin(\alpha_2)} = \frac{F_3}{\sin(\alpha_3)} \] ### Vocabulaire * **Force** : Action mécanique capable de modifier l'état de mouvement ou de déformer un corps. Elle est caractérisée par une intensité, une direction, un sens et un point d'application. * **Équilibre** : État d'un corps au repos ou en mouvement rectiligne uniforme, où la somme des forces et des moments qui lui sont appliqués est nulle. * **Somme vectorielle** : Résultat de l'addition de plusieurs vecteurs, prenant en compte à la fois leur intensité et leur direction. * **Concourant** : Se dit de lignes (ou de forces) dont les lignes d'action se coupent en un point unique. * **Dynamique des forces (ou Polygone des forces)** : Représentation graphique des forces en équilibre, où les vecteurs sont placés bout à bout et forment une figure fermée (un triangle pour trois forces). * **Théorème de Lamy** : Théorème applicable aux systèmes de trois forces concourantes en équilibre, reliant l'intensité des forces aux sinus des angles entre elles. * **Composantes (d'une force)** : Les projections d'une force sur des axes de coordonnées (par exemple, \( F_x \) et \( F_y \)). ### Exemples #### Exemple 1 : Suspension d'un luminaire Un luminaire de masse \( m = 5 \text{ kg} \) est suspendu au plafond par deux câbles. Le câble 1 fait un angle de \( 30^\circ \) avec l'horizontale et le câble 2 fait un angle de \( 60^\circ \) avec l'horizontale. Déterminez les tensions \( T_1 \) et \( T_2 \) dans les câbles. **Analyse :** 1. **Forces en présence** : Le poids du luminaire (\( P = m \cdot g \)), la tension \( T_1 \) et la tension \( T_2 \). C'est un système de trois forces. 2. **Point de concours** : Les trois forces (\( ext{P} \), \( T_1 \), \( T_2 \)) se rencontrent au point de suspension du luminaire. 3. **Application de la méthode analytique :** * Calcul du poids : \( P = 5 \text{ kg} \times 9.81 \text{ m/s}^2 = 49.05 \text{ N} \). Le poids est dirigé verticalement vers le bas. * Décomposition des forces : Nous choisissons un système d'axes (x horizontal, y vertical). * \( \vec{P} \): \( P_x = 0 \), \( P_y = -49.05 \text{ N} \) * \( \vec{T_1} \): \( T_{1x} = -T_1 \cos(30^\circ) \), \( T_{1y} = T_1 \sin(30^\circ) \) * \( \vec{T_2} \): \( T_{2x} = T_2 \cos(60^\circ) \), \( T_{2y} = T_2 \sin(60^\circ) \) * Conditions d'équilibre : * \( \sum F_x = 0 \implies -T_1 \cos(30^\circ) + T_2 \cos(60^\circ) = 0 \) * \( \sum F_y = 0 \implies T_1 \sin(30^\circ) + T_2 \sin(60^\circ) - P = 0 \) * Résolution du système d'équations pour trouver \( T_1 \) et \( T_2 \). #### Exemple 2 : Objet sur un plan incliné Un bloc de poids \( P \) est maintenu en équilibre sur un plan incliné (angle \( \theta \)) par une force \( F \) horizontale. Déterminez la force \( F \) et la réaction normale \( N \) du plan. **Analyse :** 1. **Forces en présence** : Le poids \( \vec{P} \), la force horizontale \( \vec{F} \) et la réaction normale \( \vec{N} \) du plan. Encore un système de trois forces. 2. **Point de concours** : Les lignes d'action de \( \vec{P} \), \( \vec{F} \) et \( \vec{N} \) doivent se couper en un seul point (à l'intérieur du bloc si on considère le point d'application). 3. **Application du théorème de Lamy :** * Identifiez les angles entre les forces : L'angle entre \( ext{P} \) et \( ext{F} \) est de \( 90^\circ \). L'angle entre \( ext{F} \) et \( ext{N} \) peut être déterminé géométriquement. L'angle entre \( ext{P} \) et \( ext{N} \) également. * En utilisant le théorème de Lamy : \[ \frac{P}{\sin(\text{angle entre F et N})} = \frac{F}{\sin(\text{angle entre P et N})} = \frac{N}{\sin(\text{angle entre P et F})} \] * Déterminez les angles précis et résolvez pour \( F \) et \( N \). ### Exercices #### Exercice 1 Un panneau publicitaire de 20 kg est suspendu par deux câbles. Le câble gauche fait un angle de \( 45^\circ \) avec l'horizontale et le câble droit fait un angle de \( 30^\circ \) avec l'horizontale. Calculez les tensions dans chaque câble pour maintenir le panneau en équilibre. (Prenez \( g = 9.81 \text{ m/s}^2 \)). #### Exercice 2 Un cylindre de 100 N est tiré par une force \( F \) horizontale de sorte qu'il monte un plan incliné de \( 20^\circ \) à vitesse constante. La force de frottement est négligeable. Déterminez l'intensité de la force \( F \) et la réaction normale du plan sur le cylindre. ### Devoir #### Devoir 1 Un objet de 150 N est soutenu par un axe au point A et un câble au point B. Le câble est attaché à un mur au point C. L'angle du câble avec l'horizontale est de \( 40^\circ \). Déterminez la tension dans le câble et la force exercée par l'axe au point A sur l'objet. Faites un schéma clair des forces. #### Devoir 2 Un ballon de \( 1 \text{ kg} \) est maintenu contre un mur vertical lisse par une corde faisant un angle de \( 25^\circ \) avec le mur. Trouvez la tension dans la corde et la force de réaction du mur sur le ballon. (Le mur est lisse, donc pas de frottement). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les conditions d'équilibre d'un corps soumis à trois forces. Les points clés à retenir sont : * Les trois forces doivent être **concourantes** (leurs lignes d'action se coupent en un point). * Le **dynamique des forces** (polygone des forces) doit se fermer, formant un triangle. * Analytiquement, la somme des composantes des forces selon l'axe x et l'axe y doit être nulle : \( \sum F_x = 0 \) et \( \sum F_y = 0 \). * Le **théorème de Lamy** offre une méthode rapide pour résoudre les problèmes impliquant trois forces concourantes : l'intensité de chaque force est proportionnelle au sinus de l'angle entre les deux autres forces. Ces principes sont fondamentaux pour analyser la stabilité et le comportement de nombreuses structures et systèmes en ingénierie et en physique.