Chap6: Fonction exponentielle népérienne

# Chap6: Fonction exponentielle népérienne ## Présentation et propriétés ### Présentation et propriétés #### Introduction Bienvenue dans ce chapitre dédié à la fonction exponentielle népérienne. Cette fonction est une notion fondamentale en mathématiques, essentielle pour comprendre de nombreux phénomènes en physique, en biologie, en économie ou encore en informatique. Elle est omniprésente dans l'étude des croissances et décroissances exponentielles. Nous allons découvrir sa définition, ses propriétés algébriques et analytiques, ainsi que sa représentation graphique. #### Concepts Clés ##### 1. Définition de la fonction exponentielle La fonction exponentielle népérienne, notée `\(exp\)` ou `\(e^x\)`, est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien `\(\ln\)`. Autrement dit, pour tout `\(x \in \mathbb{R}\)` et tout `\(y \in ]0, +\infty[\)`: `\(y = e^x \quad \text{si et seulement si} \quad x = \ln(y)\)` * Son ensemble de définition est `\(\mathbb{R}\)`. (On peut calculer `\(e^x\)` pour n'importe quel nombre réel `\(x\)`). * Son ensemble d'arrivée (image) est `\(]0, +\infty[\)`. (La fonction exponentielle prend toujours des valeurs strictement positives). * Le nombre `\(e\)` est une constante fondamentale en mathématiques, appelée nombre d'Euler. Sa valeur approchée est `\(e \approx 2.718\)`. ##### 2. Propriétés Algébriques Fondamentales Les propriétés suivantes sont cruciales pour manipuler la fonction exponentielle: * `\(e^0 = 1\)` * `\(e^1 = e\)` * Pour tous réels `\(x\)` et `\(y\)`: * `\(e^{x+y} = e^x \cdot e^y\)` * `\(e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}\)` * `\(e^{-x} = \frac{1}{e^x}\)` * `\((e^x)^n = e^{nx}\)` pour tout entier relatif `\(n\)` * Relations avec le logarithme népérien: * Pour tout `\(x \in \mathbb{R}\)`, `\(\ln(e^x) = x\)`. * Pour tout `\(x \in ]0, +\infty[\)`, `\(e^{\ln(x)} = x\)`. ##### 3. Propriétés Analytiques * **Dérivée:** La fonction exponentielle est sa propre dérivée! C'est une propriété unique et très importante. * `\((e^x)' = e^x\)` * Si `\(u\)` est une fonction dérivable, alors `\((e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}\)`. * **Sens de variation:** Comme `\((e^x)' = e^x\)` et que `\(e^x > 0\)` pour tout `\(x \in \mathbb{R}\)`, la fonction exponentielle est strictement croissante sur `\(\mathbb{R}\)`. * **Limites aux bornes:** * `\(\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\)` * `\(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\)` (L'axe des abscisses, d'équation `\(y=0\)`, est une asymptote horizontale à la courbe représentative en `\(-\infty\)`). * **Croissances comparées:** Ces limites sont très utiles pour lever des formes indéterminées: * `\(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty\)` pour tout `\(n \in \mathbb{N}\)` (l'exponentielle "l'emporte" sur les puissances en `\(+\infty\)`). * `\(\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0\)` pour tout `\(n \in \mathbb{N}\)` (l'exponentielle "l'emporte" sur les puissances en `\(-\infty\)`). * `\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\)` (Ce n'est pas une croissance comparée, mais une limite usuelle issue du taux d'accroissement). ##### 4. Représentation Graphique La courbe représentative de la fonction `\(f(x) = e^x\)`: * Passe par les points `\((0, 1)\)` (car `\(e^0 = 1\)`) et `\((1, e)\)` (car `\(e^1 = e\)`). * Est toujours au-dessus de l'axe des abscisses (car `\(e^x > 0\)`). * Admet l'axe des abscisses (`\(y=0\)`) comme asymptote horizontale en `\(-\infty\)`. * Est strictement croissante. * Est convexe (sa dérivée seconde est `\(e^x\)`, qui est toujours positive). #### Vocabulaire Important * **Fonction exponentielle népérienne:** La fonction `\(x \mapsto e^x\)` qui est la réciproque de la fonction logarithme népérien. * **Nombre d'Euler (e):** La base de la fonction exponentielle népérienne, une constante irrationnelle et transcendante dont la valeur est `\(e \approx 2.71828\)`. C'est le nombre tel que la dérivée de `\(f(x)=e^x\)` est égale à `\(f(x)\)` elle-même. * **Exponentielle de x:** Terme désignant la valeur `\(e^x\)`. * **Croissances comparées:** Théorèmes concernant les limites de quotients et de produits de fonctions exponentielles et de fonctions puissances ou polynomiales, qui permettent de déterminer quelle fonction "croît plus vite" à l'infini. #### Exemples 1. **Simplification d'expressions:** * Simplifier `\(A = e^{2x} \cdot e^{3x-1}\)` `\(A = e^{2x + (3x-1)} = e^{5x-1}\)` * Simplifier `\(B = \frac{e^{x+2}}{e^{x-3}}\) ` `\(B = e^{(x+2)-(x-3)} = e^{x+2-x+3} = e^5\)` 2. **Calcul de dérivées:** * Dériver `\(f(x) = e^{4x}\)` Ici `\(u(x) = 4x\)`, donc `\(u'(x) = 4\)`. Ainsi, `\(f'(x) = 4e^{4x}\)`. * Dériver `\(g(x) = x^2 e^x\)` C'est un produit `\((uv)' = u'v + uv'\)` avec `\(u(x) = x^2\)` et `\(v(x) = e^x\)`. Donc `\(u'(x) = 2x\)` et `\(v'(x) = e^x\)`. Alors `\(g'(x) = 2x e^x + x^2 e^x = x e^x (2+x)\)`. 3. **Résolution d'équations/inéquations:** * Résoudre `\(e^x = 10\)` On applique `\(\ln\)` de chaque côté: `\(\ln(e^x) = \ln(10)\)`. Donc `\(x = \ln(10)\)`. * Résoudre `\(e^{2x-1} < e^{x+3}\)` Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante, on peut comparer directement les exposants: `\(2x-1 < x+3\)` `\(2x-x < 3+1\)` `\(x < 4\)` L'ensemble des solutions est `\(]-\infty, 4[\)`. #### Exercices (en classe) 1. **Calculs:** * Calculer `\(e^{\ln(7)}\)` * Calculer `\(\ln(e^{-2})\)` * Simplifier l'expression `\( (e^{2x})^3 \cdot e^{1-6x} \)` 2. **Dérivées:** * Calculer la dérivée de `\(f(x) = e^{-3x+2}\)`. * Calculer la dérivée de `\(g(x) = (x+1)e^x\)`. 3. **Équations/Inéquations:** * Résoudre l'équation `\(e^{3x} = 5\)`. * Résoudre l'inéquation `\(e^{x^2} \ge e^{x+2}\)`. #### Devoir à la maison 1. **Calculs et simplifications:** * Donner la valeur exacte et une valeur approchée à `\(10^{-2}\)` près de `\(e^{\ln(1/2) + 2}\)`. * Simplifier l'expression `\(\frac{(e^{x+1})^2}{e^{2x-3}}\)`. 2. **Dérivées et étude de fonction:** * Dériver les fonctions suivantes: a) `\(f(x) = \frac{e^x}{x^2+1}\)` b) `\(g(x) = \sqrt{e^{2x}+1}\)` * Soit la fonction `\(h(x) = xe^{-x}\)`. Étudier les variations de `\(h\)` sur `\(\mathbb{R}\)` et déterminer ses limites aux bornes de son ensemble de définition. 3. **Résolution:** * Résoudre l'inéquation `\(e^{2x} - 3e^x + 2 > 0\)` (on pourra poser `\(Y = e^x\)`). #### Résumé La fonction exponentielle népérienne `\(e^x\)` est la réciproque de `\(\ln(x)\)`. Elle est définie sur `\(\mathbb{R}\)` et à valeurs dans `\(]0, +\infty[\)`. Ses propriétés clés incluent `\(e^{x+y} = e^x e^y\)` et sa célèbre dérivée `\((e^x)' = e^x\)`. C'est une fonction strictement croissante qui tend vers `\(0\)` en `\(-\infty\)` et `\(+\infty\)` en `\(+\infty\)`. Son étude est fondamentale pour l'analyse de nombreux phénomènes de croissance et de décroissance. ## Limites ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les limites de la fonction exponentielle népérienne. Après avoir étudié la fonction exponentielle \( x \mapsto e^x \) et ses propriétés fondamentales, nous allons nous concentrer sur son comportement aux bornes de son ensemble de définition, c'est-à-dire en \( +\infty \) et en \( -\infty \), ainsi que sur les limites impliquant cette fonction dans des contextes plus complexes. La maîtrise de ces limites est essentielle pour l'étude des fonctions en Terminale. ### Concepts Clés #### Rappel sur la fonction exponentielle La fonction exponentielle, notée \( \exp(x) \) ou \( e^x \), est l'unique fonction dérivable sur \( \mathbb{R} \) telle que \( f'(x) = f(x) \) et \( f(0) = 1 \). * Son ensemble de définition est \( \mathbb{R} \). * Elle est strictement positive sur \( \mathbb{R} \). * Elle est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \). * Sa courbe représentative passe par le point \( (0, 1) \). #### Limites fondamentales de la fonction exponentielle Il est crucial de connaître par cœur ces deux limites, car elles sont la base de tous les calculs de limites avec l'exponentielle. 1. **Limite en \( +\infty \)** \[ \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \] *Interprétation graphique :* La courbe de \( e^x \) s'élève indéfiniment lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \). 2. **Limite en \( -\infty \)** \[ \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \] *Interprétation graphique :* La courbe de \( e^x \) se rapproche de l'axe des abscisses (la droite d'équation \( y=0 \)) lorsque \( x \) tend vers \( -\infty \). On dit que l'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe en \( -\infty \). #### Limites de référence impliquant la fonction exponentielle (Croissances comparées) Ces limites sont très importantes pour lever des formes indéterminées et comparer la vitesse à laquelle \( e^x \) ou \( x \) tendent vers l'infini ou zéro. 1. **En \( +\infty \)** Pour tout entier naturel \( n > 0 \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \] *Signification :* La fonction exponentielle "l'emporte" sur toute fonction puissance \( x^n \) en \( +\infty \). Elle croît beaucoup plus vite. 2. **En \( -\infty \)** Pour tout entier naturel \( n > 0 \): \[ \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 \] *Signification :* En \( -\infty \), la fonction exponentielle "l'emporte" sur toute fonction puissance \( x^n \). Le produit tend vers 0. 3. **En 0 (Taux d'accroissement)** \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \] *Signification :* Cette limite correspond au nombre dérivé de la fonction \( e^x \) en 0. Comme \( (e^x)' = e^x \), le nombre dérivé est \( e^0 = 1 \). #### Limites par composition Si \( \lim_{x \to a} u(x) = L \) (où \( L \) peut être un réel, \( +\infty \) ou \( -\infty \)), alors \( \lim_{x \to a} e^{u(x)} = \lim_{U \to L} e^U \). * Si \( L = +\infty \), alors \( \lim_{x \to a} e^{u(x)} = +\infty \). * Si \( L = -\infty \), alors \( \lim_{x \to a} e^{u(x)} = 0 \). * Si \( L \) est un réel, alors \( \lim_{x \to a} e^{u(x)} = e^L \). #### Formes indéterminées Les formes indéterminées classiques restent valables avec la fonction exponentielle. Les plus fréquentes sont : * \( \frac{\infty}{\infty} \) * \( \frac{0}{0} \) * \( \infty - \infty \) * \( 0 \times \infty \) Pour les lever, on utilise les limites de croissance comparée, la factorisation par le terme dominant, le changement de variable ou les limites usuelles. ### Vocabulaire * **Fonction exponentielle** : Fonction \( x \mapsto e^x \), inverse du logarithme népérien. * **Limite** : Comportement d'une fonction lorsque sa variable s'approche d'une valeur particulière (réelle ou \( \pm\infty \)). * **Asymptote horizontale** : Droite vers laquelle la courbe d'une fonction se rapproche indéfiniment en \( \pm\infty \). Pour \( e^x \) en \( -\infty \), c'est la droite \( y=0 \). * **Forme indéterminée** : Expression dont la limite ne peut être déduite directement par les règles opératoires habituelles et qui nécessite une étude plus approfondie (par ex. \( \frac{+\infty}{+\infty} \)). * **Croissance comparée** : Principe selon lequel, pour \( x \) tendant vers \( +\infty \) ou \( -\infty \), certaines fonctions "croissent" ou "décroissent" plus rapidement que d'autres (ici \( e^x \) par rapport à \( x^n \)). * **Changement de variable** : Technique consistant à remplacer une expression complexe par une nouvelle variable pour simplifier le calcul d'une limite. ### Exemples Voici quelques exemples pour illustrer le calcul des limites. #### Exemple 1 : Limite en \( +\infty \) avec une forme indéterminée \( +\infty - \infty \) Calculer \( \lim_{x \to +\infty} (e^x - x^2) \) *Solution :* Nous avons \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \) et \( \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty \). C'est une forme indéterminée de type \( +\infty - \infty \). Pour lever l'indétermination, on factorise par le terme dominant, qui est \( e^x \) (par croissance comparée). \[ e^x - x^2 = e^x \left( 1 - \frac{x^2}{e^x} \right) \] On sait que \( \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = 0 \) (par croissance comparée, \( \frac{x^n}{e^x} \) tend vers 0). Donc, \( \lim_{x \to +\infty} \left( 1 - \frac{x^2}{e^x} \right) = 1 - 0 = 1 \). Comme \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \) et \( \lim_{x \to +\infty} \left( 1 - \frac{x^2}{e^x} \right) = 1 \), par produit des limites : \[ \lim_{x \to +\infty} (e^x - x^2) = +\infty \times 1 = +\infty \] #### Exemple 2 : Limite en \( -\infty \) avec une forme indéterminée \( 0 \times \infty \) Calculer \( \lim_{x \to -\infty} x^3 e^x \) *Solution :* Nous avons \( \lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty \) et \( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \). C'est une forme indéterminée de type \( -\infty \times 0 \). C'est une limite de croissance comparée directe : \[ \lim_{x \to -\infty} x^3 e^x = 0 \] #### Exemple 3 : Limite en 0 avec le taux d'accroissement Calculer \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \) *Solution :* C'est une forme indéterminée de type \( \frac{0}{0} \). On peut utiliser un changement de variable. Posons \( u = 2x \). Lorsque \( x \to 0 \), \( u \to 0 \). Alors l'expression devient \( \frac{e^u - 1}{u/2} = 2 \frac{e^u - 1}{u} \). On sait que \( \lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1 \). Donc, \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = 2 \times 1 = 2 \). #### Exemple 4 : Limite par composition Calculer \( \lim_{x \to +\infty} e^{-x+1} \) *Solution :* Posons \( u(x) = -x+1 \). Nous avons \( \lim_{x \to +\infty} u(x) = \lim_{x \to +\infty} (-x+1) = -\infty \). Par composition avec la fonction exponentielle, \( \lim_{x \to +\infty} e^{u(x)} = \lim_{U \to -\infty} e^U = 0 \). Donc, \( \lim_{x \to +\infty} e^{-x+1} = 0 \). ### Exercices Calculez les limites suivantes : 1. \( \lim_{x \to +\infty} (e^x - x^3) \) 2. \( \lim_{x \to -\infty} (x^2 + e^x) \) 3. \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2 + 1} \) 4. \( \lim_{x \to -\infty} x^5 e^x \) 5. \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{2x} \) 6. \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \) ### Devoirs Calculez les limites des fonctions suivantes : 1. \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - x^4}{e^x + x^2} \) 2. \( \lim_{x \to -\infty} (x e^x - x) \) 3. \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^2 + x} \) 4. \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x} + 3x}{e^{2x} - x} \) 5. \( \lim_{x \to -\infty} (e^x \cos(x)) \) ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les limites de la fonction exponentielle. Nous avons revu les limites fondamentales en \( +\infty \) ( \( +\infty \) ) et en \( -\infty \) ( \( 0 \) ). Les limites de référence (croissances comparées) \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \) et \( \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 \) sont essentielles pour lever les formes indéterminées. Enfin, la limite du taux d'accroissement \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \) permet de résoudre des problèmes en 0. N'oubliez pas l'importance du changement de variable et de la factorisation pour simplifier les calculs. La pratique régulière de ces calculs de limites est la clé de la réussite. ## Dérivée; Primitives ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur la fonction exponentielle népérienne. Dans cette leçon, nous allons approfondir notre compréhension de la fonction exponentielle en explorant deux concepts fondamentaux de l'analyse : la dérivée et les primitives. Ces outils sont essentiels pour étudier les variations des fonctions exponentielles et résoudre divers problèmes en mathématiques, en physique et dans d'autres sciences. Nous allons voir comment calculer la dérivée de \(e^x\) et de fonctions composées avec \(e^x\), puis comment retrouver une fonction à partir de sa dérivée, c'est-à-dire trouver ses primitives. ### Concepts Clés #### 1. Dérivée de la fonction exponentielle La fonction exponentielle, notée \(x \mapsto e^x\) ou \(x \mapsto \exp(x)\), possède une propriété unique et très importante en ce qui concerne sa dérivée. ##### Propriété Fondamentale La fonction exponentielle \(x \mapsto e^x\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et sa dérivée est elle-même : \[ (e^x)' = e^x \] Ceci signifie que le taux de variation de la fonction exponentielle en tout point est égal à la valeur de la fonction elle-même en ce point. **Exemple :** Si \(f(x) = e^x\), alors \(f'(x) = e^x\). #### 2. Dérivée des fonctions composées avec la fonction exponentielle Lorsque la fonction exponentielle est composée avec une autre fonction, nous utilisons la règle de dérivation des fonctions composées. ##### Règle de dérivation de \(e^u\) Soit \(u\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\). La fonction \(x \mapsto e^{u(x)}\) est dérivable sur \(I\) et sa dérivée est : \[ (e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)} \] Autrement dit, pour dériver \(e^{\text{quelque chose}}\) : on dérive "quelque chose" et on multiplie par \(e^{\text{quelque chose}}\) non dérivé. **Exemples :** * Soit \(f(x) = e^{2x+3}\). Ici, \(u(x) = 2x+3\), donc \(u'(x) = 2\). Alors, \(f'(x) = 2e^{2x+3}\). * Soit \(g(x) = e^{-x^2}\). Ici, \(u(x) = -x^2\), donc \(u'(x) = -2x\). Alors, \(g'(x) = -2xe^{-x^2}\). #### 3. Primitives de la fonction exponentielle Trouver une primitive revient à faire le chemin inverse de la dérivation. Une primitive \(F\) d'une fonction \(f\) est une fonction telle que \(F' = f\). ##### Primitive de \(e^x\) Comme la dérivée de \(e^x\) est \(e^x\), une primitive de \(e^x\) est simplement \(e^x\). Plus généralement, les primitives de \(e^x\) sur \(\mathbb{R}\) sont les fonctions de la forme : \[ F(x) = e^x + C \] où \(C\) est une constante réelle arbitraire (appelée constante d'intégration). **Exemple :** Une primitive de \(f(x) = e^x\) est \(F(x) = e^x + 5\) (par exemple, si \(C=5\)). ##### Primitives de \(u'e^u\) En se basant sur la règle de dérivation de \(e^u\), nous pouvons déduire la règle pour trouver les primitives de fonctions de la forme \(u'e^u\). Soit \(u\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\). Les primitives de la fonction \(x \mapsto u'(x)e^{u(x)}\) sur \(I\) sont les fonctions de la forme : \[ F(x) = e^{u(x)} + C \] où \(C\) est une constante réelle arbitraire. **Exemples :** * Trouver une primitive de \(f(x) = 3e^{3x-1}\). On reconnaît la forme \(u'e^u\) avec \(u(x) = 3x-1\), et donc \(u'(x) = 3\). Une primitive est donc \(F(x) = e^{3x-1} + C\). * Trouver une primitive de \(g(x) = xe^{x^2}\). Ici, nous avons \(e^{x^2}\). Si \(u(x) = x^2\), alors \(u'(x) = 2x\). Nous avons \(x\) mais pas \(2x\). On peut réécrire \(g(x) = \frac{1}{2}(2xe^{x^2})\). La primitive de \(2xe^{x^2}\) est \(e^{x^2}\). Donc, une primitive de \(g(x)\) est \(G(x) = \frac{1}{2}e^{x^2} + C\). ### Vocabulaire * **Fonction exponentielle népérienne :** La fonction \(x \mapsto e^x\) où \(e\) est la constante d'Euler (environ 2,718). C'est l'unique fonction égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0. * **Dérivée :** Le taux de variation instantané d'une fonction. Elle donne la pente de la tangente à la courbe de la fonction en un point donné. * **Primitive :** Une fonction \(F\) est une primitive de \(f\) si la dérivée de \(F\) est égale à \(f\) (c'est-à-dire \(F' = f\)). Une fonction admet une infinité de primitives qui diffèrent toutes d'une constante. * **Constante d'intégration :** La constante \(C\) ajoutée à une primitive. Elle représente le fait que la dérivée d'une constante est toujours zéro. ### Exemples pratiques 1. **Calculer la dérivée de \(f(x) = (3x-5)e^x\).** * On utilise la formule de dérivation d'un produit \((uv)' = u'v + uv'\). * Soit \(u(x) = 3x-5\) et \(v(x) = e^x\). * Alors \(u'(x) = 3\) et \(v'(x) = e^x\). * \(f'(x) = 3e^x + (3x-5)e^x = e^x(3 + 3x-5) = e^x(3x-2)\). 2. **Trouver une primitive de \(h(x) = (2x+1)e^{x^2+x}\).** * On cherche la forme \(u'e^u\). * Posons \(u(x) = x^2+x\). * Alors \(u'(x) = 2x+1\). * On a bien \(h(x) = u'(x)e^{u(x)}\). * Donc, une primitive est \(H(x) = e^{x^2+x} + C\). ### Exercices 1. **Calculez les dérivées des fonctions suivantes :** a) \(f(x) = e^{-4x}\) b) \(g(x) = x e^{x}\) c) \(h(x) = e^{x^3-2x+1}\) d) \(k(x) = \frac{e^x}{x^2+1}\) 2. **Déterminez une primitive pour chacune des fonctions suivantes :** a) \(f(x) = 5e^{5x}\) b) \(g(x) = e^{-x}\) c) \(h(x) = x^2e^{x^3}\) d) \(k(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\) (Indice : posez \(u(x) = \sqrt{x}\)) ### Devoirs 1. **Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (ax+b)e^{-x}\).** * Déterminez \(a\) et \(b\) pour que \(f(0)=2\) et \(f'(0)=1\). 2. **Étude de fonction :** Soit \(g(x) = x e^x - e^x + 1\) définie sur \(\mathbb{R}\). a) Calculez \(g'(x)\). b) Étudiez le signe de \(g'(x)\) et déduisez le tableau de variations de \(g\). c) Trouvez la primitive \(G\) de \(g\) qui s'annule en 0 (c'est-à-dire \(G(0)=0\)). 3. **Trouver les primitives :** a) \(f(x) = \frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}\) b) \(g(x) = \sin(x)e^{\cos(x)}\) ### Résumé Nous avons couvert les aspects essentiels de la dérivation et de la recherche de primitives pour la fonction exponentielle. Voici les points clés à retenir : * **Dérivée de \(e^x\) :** La fonction exponentielle est sa propre dérivée : \[ (e^x)' = e^x \] * **Dérivée de \(e^u\) :** Pour une fonction \(u\) dérivable, la dérivée de \(e^{u(x)}\) est \[ (e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)} \] * **Primitive de \(e^x\) :** Une primitive de \(e^x\) est \(e^x + C\). * **Primitive de \(u'e^u\) :** Une primitive de \(u'(x)e^{u(x)}\) est \(e^{u(x)} + C\). La maîtrise de ces formules et méthodes est cruciale pour l'étude des fonctions exponentielles en Terminale et pour les études supérieures. ## Étude de quelques fonctions définies à l’aide de exp ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur la fonction exponentielle ! La fonction exponentielle, notée \( \exp(x) \) ou \( e^x \), est l'une des fonctions les plus importantes en mathématiques, mais aussi en physique, en biologie, en économie, etc. Elle modélise de nombreux phénomènes de croissance ou de décroissance. Dans cette leçon, nous allons apprendre à étudier des fonctions qui utilisent la fonction exponentielle, en revisitant les outils que vous connaissez (domaine de définition, limites, dérivées, variations et asymptotes) et en les appliquant spécifiquement à ce type de fonctions. ### Concepts Clés #### Rappels sur la fonction exponentielle népérienne (\(x \mapsto e^x\)) * **Définition :** La fonction exponentielle est l'unique fonction \(f\) dérivable sur \( \mathbb{R} \) telle que \(f' = f\) et \(f(0) = 1\). * **Notation :** On la note \( \exp(x) \) ou plus couramment \( e^x \). * **Domaine de définition :** \( \mathbb{R} \). * **Image :** \( \mathbb{R}_+^* = ]0; +\infty[ \). Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(e^x > 0\). * **Dérivée :** \( (e^x)' = e^x \). * **Sens de variation :** La fonction exponentielle est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \). * **Limites importantes :** * \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \) * \( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \) * **Propriétés algébriques :** * \( e^a e^b = e^{a+b} \) * \( \frac{e^a}{e^b} = e^{a-b} \) * \( (e^a)^n = e^{na} \) pour \(n \in \mathbb{Z}\) * \( e^0 = 1 \) * \( e^{-x} = \frac{1}{e^x} \) * **Croissances comparées (limites remarquables) :** * \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \) pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \) (l'exponentielle "l'emporte" sur les puissances de \(x\)) * \( \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 \) pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \) (l'exponentielle "l'emporte" sur les puissances de \(x\) en \( -\infty \)) * \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \) #### Étude générale d'une fonction \(f(x)\) impliquant \(e^x\) Pour étudier une fonction \(f(x)\) définie à l'aide de la fonction exponentielle, on suit généralement les étapes suivantes : ##### 1. Domaine de définition * Déterminer l'ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)\) est définie. Rappelez-vous que \(e^x\) est définie sur \( \mathbb{R} \), donc les restrictions viennent d'autres parties de la fonction (dénominateur non nul, expression sous une racine positive, argument de log positif, etc.). ##### 2. Limites aux bornes du domaine * Calculer les limites de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers les bornes ouvertes du domaine de définition. Cela inclut \( \pm \infty \) et les valeurs pour lesquelles il y a une asymptote verticale. Les croissances comparées sont souvent cruciales ici. ##### 3. Dérivée et sens de variation * Calculer la dérivée \(f'(x)\) en utilisant les règles de dérivation (produit, quotient, chaîne). Rappelez-vous la formule de dérivation des fonctions composées : \( (e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)} \). * Étudier le signe de \(f'(x)\) pour déterminer les intervalles où \(f\) est croissante (\(f'(x) > 0\)) ou décroissante (\(f'(x) < 0\)). * Construire le tableau de variations. ##### 4. Asymptotes et branches infinies * **Asymptote horizontale :** Si \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L \) (un nombre réel), alors la droite \(y=L\) est une asymptote horizontale. * **Asymptote verticale :** Si \( \lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty \) (pour un \(a\) réel), alors la droite \(x=a\) est une asymptote verticale. * **Branche parabolique ou asymptote oblique :** Si \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty \), il faut étudier \( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} \) pour voir s'il y a une asymptote oblique ou une branche parabolique. ##### 5. Tableau de valeurs et tracé de la courbe * Calculer quelques points pour aider au tracé de la courbe, notamment les points d'intersection avec les axes, les extremums locaux. * Tracer l'allure générale de la courbe. ### Vocabulaire * **Fonction exponentielle :** La fonction \(x \mapsto e^x\) égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0. * **Domaine de définition :** L'ensemble des valeurs pour lesquelles une fonction est définie. * **Dérivée :** Taux de variation instantané d'une fonction, utilisé pour étudier son sens de variation. * **Limite :** La valeur vers laquelle une fonction tend lorsque sa variable s'approche d'un certain point (ou de l'infini). * **Asymptote :** Une droite dont la distance à la courbe tend vers zéro lorsque l'on s'éloigne à l'infini sur la courbe. Peut être horizontale, verticale ou oblique. * **Variations :** Description de l'augmentation ou de la diminution d'une fonction sur ses intervalles de définition. * **Croissances comparées :** Théorèmes permettant de déterminer la limite de quotients ou produits de fonctions polynomiales, logarithmiques et exponentielles lorsque \(x\) tend vers l'infini. ### Exemples #### Exemple 1 : Étude de la fonction \(f(x) = (x-1)e^x\) 1. **Domaine de définition :** \(D_f = \mathbb{R}\) (produit de deux fonctions définies sur \( \mathbb{R} \)). 2. **Limites :** * En \( +\infty \) : \( \lim_{x \to +\infty} (x-1) = +\infty \) et \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \). Donc \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \). * En \( -\infty \) : C'est une forme indéterminée \( \infty \times 0 \). On développe : \( f(x) = xe^x - e^x \). On sait que \( \lim_{x \to -\infty} xe^x = 0 \) et \( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \) (par croissances comparées). Donc \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 - 0 = 0 \). La droite d'équation \(y=0\) (l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale en \( -\infty \). 3. **Dérivée et variations :** * \(f(x)\) est de la forme \(u(x)v(x)\) avec \(u(x) = x-1\) (donc \(u'(x)=1\)) et \(v(x) = e^x\) (donc \(v'(x)=e^x\)). * \( f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1 \cdot e^x + (x-1)e^x = e^x + xe^x - e^x = xe^x \). * Pour le signe de \(f'(x)\) : * \(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). * Donc \(f'(x)\) a le même signe que \(x\). * Tableau de variations : | \(x\) | \( -\infty \) | 0 | \( +\infty \) | | :---------- | :---------- | :-------- | :----------- | | Signe de \(x\) | - | 0 | + | | Signe de \(e^x\) | + | + | + | | Signe de \(f'(x)\) | - | 0 | + | | Variations de \(f\) | \( \searrow \) | \(-1\) | \( \nearrow \) | * \(f(0) = (0-1)e^0 = -1 \cdot 1 = -1 \). Il y a un minimum local en \((0, -1)\). 4. **Points particuliers :** * Intersection avec l'axe des ordonnées : \(f(0) = -1\). * Intersection avec l'axe des abscisses : \(f(x) = 0 \implies (x-1)e^x = 0\). Comme \(e^x \neq 0\), on a \(x-1 = 0 \implies x=1\). Le point est \((1, 0)\). ### Exercices 1. **Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :** a. \( f(x) = \frac{e^x}{x^2-1} \) b. \( g(x) = \sqrt{e^x - 1} \) c. \( h(x) = e^{\frac{1}{x}} \) 2. **Calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition pour les fonctions suivantes :** a. \( f(x) = x e^{2x} \) b. \( g(x) = \frac{e^x + 1}{e^x - 1} \) 3. **Calculer la dérivée des fonctions suivantes :** a. \( f(x) = (3x-2)e^x \) b. \( g(x) = e^{-x^2+x} \) c. \( h(x) = \frac{e^x}{x} \) 4. **Étudier les variations de la fonction \( f(x) = x e^{-x} \) sur \( \mathbb{R} \).** * Domaine de définition. * Limites aux bornes. * Dérivée et tableau de variations. ### Devoir à la maison **Exercice 1 : Étude complète de fonction** Soit la fonction \(f\) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = \frac{e^x}{e^x+1} \). 1. Calculer \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \) et \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \). 2. En déduire l'existence d'éventuelles asymptotes horizontales à la courbe représentative \( \mathcal{C}_f \) de \(f\). 3. Calculer la dérivée \(f'(x)\) et étudier son signe. 4. Établir le tableau de variations de \(f\). 5. Montrer que le point \(I(0; \frac{1}{2})\) est un centre de symétrie pour la courbe \( \mathcal{C}_f \). **Exercice 2 : Problème d'optimisation** Une entreprise fabrique \(x\) milliers d'objets par jour. Le coût de production quotidien, en milliers d'euros, est donné par la fonction \( C(x) = x^2 e^{-x+1} \) pour \(x \in [0; 5]\). 1. Calculer \( C'(x) \). 2. Étudier les variations de \(C(x)\) sur l'intervalle \( [0; 5] \). 3. Pour quelle quantité d'objets produits le coût de production est-il minimal ? Quel est ce coût minimal ? ### Résumé Félicitations ! Vous avez appris à étudier des fonctions définies à l'aide de la fonction exponentielle. Retenez les points essentiels : * La **fonction exponentielle** \(e^x\) est toujours positive, croissante, et égale à sa propre dérivée. * Les **limites en \( \pm \infty \)** sont cruciales, notamment les croissances comparées qui montrent la dominance de \(e^x\) sur les puissances de \(x\). * La **dérivation** de \(e^{u(x)}\) est \(u'(x)e^{u(x)}\). * L'étude du **signe de la dérivée** permet de construire le tableau de variations et de trouver les extremums. * La recherche d'**asymptotes** (horizontales, verticales) est une étape importante pour comprendre le comportement de la fonction aux bornes de son domaine. En maîtrisant ces étapes, vous êtes capable d'analyser le comportement de nombreuses fonctions complexes issues de problèmes concrets. Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences !