Chap1: Fonctions numériques d’une variable réelle

# Chap1: Fonctions numériques d’une variable réelle ## Fonction continue sur un intervalle ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons explorer une propriété fondamentale des fonctions numériques : la continuité. Intuitivement, une fonction est continue si sa courbe représentative peut être tracée "sans lever le crayon". Ce concept est crucial en analyse car il garantit que de petites variations de l'entrée n'entraînent que de petites variations de la sortie, et il est à la base de nombreux théorèmes importants, notamment le célèbre Théorème des Valeurs Intermédiaires. ### Concepts Clés #### 1. Définition de la Continuité ##### a) Continuité en un point Une fonction \(f\) est dite continue en un point \(a\) de son ensemble de définition si la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) est égale à \(f(a)\). C'est-à-dire : \[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \] Cela signifie que : * \(f(a)\) existe (\(a\) est dans le domaine de \(f\)). * La limite de \(f(x)\) existe quand \(x\) tend vers \(a\). * Ces deux valeurs sont égales. ##### b) Continuité sur un intervalle Une fonction \(f\) est dite continue sur un intervalle \(I\) si elle est continue en tout point de cet intervalle. Graphiquement, cela signifie que la courbe de \(f\) ne présente ni saut, ni rupture, ni trou sur cet intervalle. #### 2. Opérations sur les fonctions continues Si \(f\) et \(g\) sont des fonctions continues sur un intervalle \(I\) et \(k\) est une constante réelle, alors les fonctions suivantes sont continues sur \(I\) (sous réserve d'existence de l'opération): * **Somme :** \(f+g\) * **Produit :** \(f \times g\) * **Produit par un scalaire :** \(k \times f\) * **Quotient :** \(f/g\), si \(g(x) \neq 0\) pour tout \(x \in I\) * **Composition :** Si \(f\) est continue sur \(I\) et \(g\) est continue sur \(J\) tel que \(f(I) \subseteq J\), alors \(g \circ f\) est continue sur \(I\). #### 3. Fonctions usuelles continues La plupart des fonctions que vous connaissez sont continues sur leur ensemble de définition : * **Fonctions polynômes :** Continues sur \( \mathbb{R} \). * **Fonctions rationnelles :** Continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition (où le dénominateur est non nul). * **Fonctions trigonométriques :** \( \sin(x) \) et \( \cos(x) \) sont continues sur \( \mathbb{R} \). \( \tan(x) \) est continue sur chaque intervalle de son ensemble de définition. * **Fonction exponentielle :** \( e^x \) est continue sur \( \mathbb{R} \). * **Fonction logarithme népérien :** \( \ln(x) \) est continue sur \( ]0 ; +\infty[ \). * **Fonction racine carrée :** \( \sqrt{x} \) est continue sur \( [0 ; +\infty[ \). #### 4. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) ##### a) Énoncé du TVI Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a ; b]\). Pour tout nombre réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\) (c'est-à-dire \(f(a) \le k \le f(b)\) ou \(f(b) \le k \le f(a)\)), il existe au moins un réel \(c\) appartenant à l'intervalle \([a ; b]\) tel que \(f(c) = k\). Graphiquement, cela signifie qu'une fonction continue prend toutes les valeurs intermédiaires entre \(f(a)\) et \(f(b)\). Sa courbe ne "saute" aucune valeur entre ces deux points. ##### b) Corollaire du TVI (cas des fonctions strictement monotones) Si \(f\) est une fonction continue et strictement monotone (strictement croissante ou strictement décroissante) sur un intervalle \([a ; b]\), alors pour tout nombre réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet une unique solution dans l'intervalle \([a ; b]\). Ce corollaire est fondamental pour prouver l'existence et l'unicité de solutions d'équations. ##### c) Image d'un intervalle par une fonction continue Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\), alors l'image \(f(I)\) de cet intervalle est également un intervalle. Sa nature dépend de la monotonie et des limites de la fonction. Par exemple, si \(f\) est continue et strictement croissante sur \([a ; b]\), alors \(f([a ; b]) = [f(a) ; f(b)]\). Si \(f\) est continue et strictement décroissante sur \([a ; b]\), alors \(f([a ; b]) = [f(b) ; f(a)]\). ### Vocabulaire * **Fonction continue :** Fonction dont la courbe peut être tracée sans lever le crayon. * **Continuité en un point :** \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \). * **Intervalle :** Segment ou ensemble de nombres réels entre deux bornes. * **Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) :** Théorème garantissant l'existence de valeurs intermédiaires pour une fonction continue. * **Strictement monotone :** Fonction qui est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur un intervalle. * **Image d'un intervalle :** L'ensemble de toutes les valeurs \(f(x)\) prises par la fonction lorsque \(x\) parcourt l'intervalle donné. ### Exemples #### Exemple 1 : Vérifier la continuité en un point Soit la fonction \(f\) définie par : \[ f(x) = \begin{cases} x^2+1 & \text{si } x \le 1 \\ 3x-1 & \text{si } x > 1 \end{cases} \] Est-elle continue en \(x=1\) ? 1. Calculons \(f(1)\) : \(f(1) = 1^2+1 = 2\). 2. Calculons la limite à gauche de \(f(x)\) en \(x=1\) : \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2+1) = 1^2+1 = 2\). 3. Calculons la limite à droite de \(f(x)\) en \(x=1\) : \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (3x-1) = 3(1)-1 = 2\). Puisque \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2 \), la fonction \(f\) est continue en \(x=1\). #### Exemple 2 : Application du TVI Montrez que l'équation \(x^3 + 2x - 1 = 0\) admet au moins une solution réelle dans l'intervalle \([0 ; 1]\). Soit \(f(x) = x^3 + 2x - 1\). 1. La fonction \(f\) est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \( \mathbb{R} \), et par conséquent sur l'intervalle \([0 ; 1]\). 2. Calculons les images des bornes de l'intervalle : * \(f(0) = 0^3 + 2(0) - 1 = -1\) * \(f(1) = 1^3 + 2(1) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2\) 3. Nous cherchons une solution à \(f(x) = 0\). Puisque \(f(0) = -1\) et \(f(1) = 2\), nous avons \(-1 \le 0 \le 2\). Le réel \(k=0\) est bien compris entre \(f(0)\) et \(f(1)\). Selon le Théorème des Valeurs Intermédiaires, il existe donc au moins un réel \(c \in [0 ; 1]\) tel que \(f(c) = 0\). L'équation a au moins une solution dans \([0 ; 1]\). ### Exercices 1. Déterminez si la fonction \(g(x) = \frac{x-2}{x^2-4}\) est continue sur son ensemble de définition. Identifiez les intervalles de continuité. 2. Soit la fonction \(h(x) = x^4 - 3x^2 + x + 5\). a) Justifiez que \(h\) est continue sur \( \mathbb{R} \). b) Montrez que l'équation \(h(x) = 0\) admet au moins une solution sur l'intervalle \([-2 ; -1]\). 3. On considère la fonction \(k\) définie par : \[ k(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases} \] La fonction \(k\) est-elle continue en \(x=0\)? Justifiez votre réponse en utilisant les limites. ### Devoir Maison 1. Soit la fonction \(f\) définie sur \( \mathbb{R} \) par \(f(x) = x^3 + x - 5\). a) Étudiez la monotonie de \(f\) sur \( \mathbb{R} \). b) Montrez que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \( \alpha \) sur \( \mathbb{R} \). c) Donnez un encadrement de \( \alpha \) d'amplitude \(10^{-1}\). 2. Pour quelles valeurs du réel \(a\) la fonction \(g\) est-elle continue sur \( \mathbb{R} \)? \[ g(x) = \begin{cases} ax^2 - 3x + 1 & \text{si } x \le 2 \\ x^3 + 2x - 5 & \text{si } x > 2 \end{cases} \] 3. Déterminez l'image de l'intervalle \( [0 ; 2] \) par la fonction \(f(x) = -x^2 + 4x + 1\). ### Résumé * Une fonction est **continue en un point** si \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \). * Une fonction est **continue sur un intervalle** si elle l'est en tout point de cet intervalle. * Les **opérations usuelles** (somme, produit, quotient, composition) conservent la continuité. * Les **fonctions usuelles** (polynômes, exponentielle, sinus, cosinus, etc.) sont continues sur leur domaine de définition. * Le **Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)** garantit que si \(f\) est continue sur \([a ; b]\), alors \(f\) prend toutes les valeurs entre \(f(a)\) et \(f(b)\). * Le **corollaire du TVI** assure l'unicité de la solution \(f(x)=k\) si \(f\) est de plus strictement monotone sur l'intervalle. * L'**image d'un intervalle** par une fonction continue est un intervalle. ## Fonction continue et strictement monotone ### Introduction Dans ce chapitre, nous allons explorer les propriétés fondamentales des fonctions continues et des fonctions strictement monotones. Ces concepts sont essentiels pour comprendre le comportement des fonctions, notamment l'existence et l'unicité de solutions à des équations, ainsi que la notion de bijection. ### Concepts Clés #### Continuité d'une fonction * **Définition intuitive:** Une fonction est continue sur un intervalle si l'on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon, c'est-à-dire sans "sauts" ou "ruptures". * **Définition formelle (limite):** Une fonction \(f\) est continue en un point \(a\) de son ensemble de définition si \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \). * **Continuité sur un intervalle:** Une fonction est continue sur un intervalle \(I\) si elle est continue en tout point de cet intervalle. * **Opérations sur les fonctions continues:** * La somme, le produit, le quotient (si le dénominateur ne s'annule pas) de fonctions continues sont des fonctions continues. * La composition de fonctions continues est une fonction continue. * **Fonctions usuelles continues:** Les fonctions polynômes, rationnelles, trigonométriques (sin, cos, tan), exponentielle, logarithme népérien sont continues sur leurs ensembles de définition. #### Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) * **Énoncé:** Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a, b]\). Pour tout nombre réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\) (c'est-à-dire \(f(a) \le k \le f(b)\) ou \(f(b) \le k \le f(a)\)), il existe **au moins un** réel \(c \in [a, b]\) tel que \(f(c) = k\). * **Interprétation graphique:** Si une fonction est continue, sa courbe représentative "traverse" toutes les valeurs intermédiaires entre ses extrémités sur l'intervalle donné. * **Utilité:** Permet de prouver l'existence d'au moins une solution à l'équation \(f(x) = k\). #### Fonctions strictement monotones * **Définition:** * Une fonction \(f\) est **strictement croissante** sur un intervalle \(I\) si pour tout \(x_1, x_2 \in I\) avec \(x_1 < x_2\), on a \(f(x_1) < f(x_2)\). * Une fonction \(f\) est **strictement décroissante** sur un intervalle \(I\) si pour tout \(x_1, x_2 \in I\) avec \(x_1 < x_2\), on a \(f(x_1) > f(x_2)\). * Une fonction est **strictement monotone** si elle est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur l'intervalle considéré. * **Lien avec la dérivée:** Si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle, \(f\) est strictement croissante sur cet intervalle. Si \(f'(x) < 0\) sur un intervalle, \(f\) est strictement décroissante sur cet intervalle. #### Corollaire du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) * **Énoncé:** Si \(f\) est une fonction **continue** et **strictement monotone** sur un intervalle \([a, b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet une **unique** solution \(x_0\) dans l'intervalle \([a, b]\). * **Interprétation:** La condition de stricte monotonie garantit l'unicité de la solution, en plus de son existence. * **Cas des intervalles ouverts ou semi-ouverts:** Ce corollaire s'étend aux intervalles de la forme \([a, b)\), \((a, b]\) ou \((a, b)\) en remplaçant \(f(a)\) ou \(f(b)\) par les limites correspondantes. Par exemple, si \(f\) est continue et strictement monotone sur \((a, b)\), alors pour tout \(k\) entre \( \lim_{x \to a^+} f(x) \) et \( \lim_{x \to b^-} f(x) \), l'équation \(f(x)=k\) a une unique solution. #### Notion de bijection et de fonction réciproque * **Bijection:** Une fonction \(f\) réalise une bijection d'un intervalle \(I\) vers un intervalle \(J\) si pour tout \(y \in J\), il existe un unique \(x \in I\) tel que \(f(x) = y\). Les fonctions continues et strictement monotones sur un intervalle \(I\) réalisent une bijection de \(I\) vers \(f(I)\). * **Fonction réciproque (\(f^{-1}\)):** Si \(f\) est une bijection de \(I\) vers \(J\), alors il existe une fonction appelée fonction réciproque, notée \(f^{-1}\), qui va de \(J\) vers \(I\) telle que pour tout \(x \in I\) et \(y \in J\), \(y = f(x)\) équivaut à \(x = f^{-1}(y)\). * La fonction \(f^{-1}\) a les mêmes variations que \(f\). * Si \(f\) est continue sur \(I\), alors \(f^{-1}\) est aussi continue sur \(J\). * Les courbes représentatives de \(f\) et \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la droite d'équation \(y = x\). ### Vocabulaire * **Fonction continue:** Une fonction dont la courbe représentative peut être tracée sans lever le crayon sur un intervalle donné. * **Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI):** Théorème fondamental garantissant l'existence d'une solution à \(f(x)=k\) pour une fonction continue. * **Fonction strictement monotone:** Une fonction qui est soit toujours strictement croissante, soit toujours strictement décroissante sur un intervalle donné. * **Corollaire du TVI:** Une conséquence directe du TVI, qui, en ajoutant la condition de stricte monotonie, garantit non seulement l'existence mais aussi l'unicité d'une solution. * **Bijection:** Une fonction qui établit une correspondance unique entre les éléments de son ensemble de départ et ceux de son ensemble d'arrivée. * **Fonction réciproque (\(f^{-1}\)):** La fonction qui "inverse" l'action d'une fonction bijective, permettant de retrouver l'antécédent à partir de l'image. ### Exemples #### Exemple 1: Application du TVI Montrer que l'équation \(x^3 + x - 1 = 0\) admet au moins une solution réelle dans l'intervalle \([0, 1]\). Soit \(f(x) = x^3 + x - 1\). 1. La fonction \(f\) est une fonction polynôme, elle est donc continue sur \(\mathbb{R}\), et en particulier sur l'intervalle \([0, 1]\). 2. Calculons les valeurs de la fonction aux bornes de l'intervalle : * \(f(0) = 0^3 + 0 - 1 = -1\) * \(f(1) = 1^3 + 1 - 1 = 1\) 3. Puisque \(f(0) = -1\) et \(f(1) = 1\), et que le réel \(0\) est compris entre \(-1\) et \(1\), le Théorème des Valeurs Intermédiaires garantit qu'il existe au moins un réel \(c \in [0, 1]\) tel que \(f(c) = 0\). Conclusion: L'équation \(x^3 + x - 1 = 0\) admet au moins une solution dans \([0, 1]\). #### Exemple 2: Application du Corollaire du TVI Montrer que l'équation \(e^x + x = 0\) admet une unique solution réelle. Soit \(g(x) = e^x + x\). 1. **Continuité:** La fonction exponentielle \(x \mapsto e^x\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et la fonction \(x \mapsto x\) est continue sur \(\mathbb{R}\). Par somme de fonctions continues, \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\). 2. **Stricte monotonie:** Calculons la dérivée de \(g\): \[ g'(x) = e^x + 1 \] Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(e^x > 0\), donc \(e^x + 1 > 1\). Ainsi, \(g'(x) > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Par conséquent, \(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). 3. **Existence et Unicité (avec limites):** * Calculons les limites aux bornes de l'intervalle \(\mathbb{R}\): \[ \lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} (e^x + x) = 0 + (-\infty) = -\infty \] \[ \lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} (e^x + x) = +\infty + (+\infty) = +\infty \] * Puisque \(g\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et que \(0\) est compris entre \( \lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty \) et \( \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \), le corollaire du Théorème des Valeurs Intermédiaires garantit que l'équation \(g(x) = 0\) admet une **unique** solution réelle. ### Exercices 1. La fonction \(f(x) = \frac{1}{x}\) est-elle continue sur \( [-1, 1] \)? Justifiez votre réponse. 2. Montrez que l'équation \(x^3 - 3x + 1 = 0\) admet au moins trois solutions réelles. (Indice : étudiez la fonction sur différents intervalles après avoir calculé sa dérivée). 3. Démontrez que l'équation \(x^5 + 2x - 7 = 0\) admet une unique solution réelle. (Utilisez le corollaire du TVI). 4. Soit \(f(x) = \sin(x) + x - 1\). a. Montrez que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\). b. Montrez que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). c. En déduire que l'équation \(\sin(x) + x - 1 = 0\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\). ### Devoirs 1. Soit \(f(x) = x e^x - 1\). a. Étudiez les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). b. Montrez que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\). c. Donnez un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(0.1\) (utilisez une calculatrice si nécessaire). 2. On considère la fonction \(g\) définie sur \( [0, +\infty[ \) par \(g(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x+1}\). a. Démontrez que \(g\) est continue sur \( [0, +\infty[ \). b. Calculez \(g'(x)\) et étudiez les variations de \(g\). c. Montrez que l'équation \(g(x) = 2\) admet une unique solution sur \( [0, +\infty[ \). 3. Vrai ou Faux : Si une fonction est continue sur \([a, b]\), elle est nécessairement monotone sur \([a, b]\). Justifiez votre réponse par un contre-exemple si c'est faux. 4. Vrai ou Faux : Si \(f\) est une fonction continue et strictement monotone sur \(I\), alors \(f\) est une bijection de \(I\) vers \(f(I)\). ### Résumé * **Continuité:** La capacité à tracer une courbe sans lever le crayon. C'est une condition essentielle pour appliquer le TVI. * **Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI):** Pour une fonction continue sur \([a, b]\), toute valeur entre \(f(a)\) et \(f(b)\) est atteinte **au moins une fois**. * **Stricte monotonie:** Une fonction qui est toujours strictement croissante ou toujours strictement décroissante sur un intervalle. Cette propriété est souvent étudiée à l'aide du signe de la dérivée. * **Corollaire du TVI:** Si une fonction est à la fois **continue** ET **strictement monotone** sur un intervalle, alors toute valeur intermédiaire est atteinte **une et une seule fois**. Ceci est crucial pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation \(f(x) = k\). * Ces concepts sont fondamentaux pour étudier l'existence de solutions d'équations, la réversibilité des fonctions (bijection) et la construction des fonctions réciproques. ## limites des fonctions trigonométriques et des fonctions irrationnelles ### Introduction Bienvenue à ce chapitre sur les limites de fonctions. En Terminale, la notion de limite est fondamentale pour comprendre le comportement des fonctions, notamment à l'approche de certains points ou à l'infini. Dans cette leçon, nous allons nous concentrer sur deux types de fonctions qui présentent des défis particuliers lors du calcul de leurs limites : les fonctions trigonométriques (comme le sinus, le cosinus et la tangente) et les fonctions irrationnelles (celles qui impliquent des racines carrées). Nous explorerons les techniques spécifiques et les limites remarquables qui vous permettront de résoudre les formes indéterminées et de déterminer le comportement de ces fonctions. ### Concepts Clés #### I. Limites des fonctions trigonométriques Les fonctions trigonométriques ont des comportements cycliques qui peuvent rendre le calcul de leurs limites délicat. Cependant, certaines limites usuelles en 0 sont essentielles. ##### A. Limites usuelles en 0 Les limites suivantes sont à connaître par cœur et à savoir appliquer : * \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \] * \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} \] * \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 \] Ces limites sont souvent utilisées après un changement de variable ou une factorisation. ##### B. Techniques de calcul * **Utilisation des limites usuelles :** Par composition, on peut généraliser ces limites. Par exemple, si \( u(x) \to 0 \) lorsque \( x \to a \) (ou \( \pm \infty \)), alors \( \lim_{x \to a} \frac{\sin(u(x))}{u(x)} = 1 \). * **Changement de variable :** Une technique très utile pour ramener la limite à une forme usuelle. Si vous avez \( \lim_{x \to a} f(x) \) et que la forme \( (x-a) \) n'apparaît pas directement, un changement \( u = x-a \) (donc \( x = u+a \)) peut simplifier l'expression. * **Encadrement (Théorème des Gendarmes) :** Ce théorème est particulièrement utile pour les fonctions trigonométriques à l'infini. On sait que \( -1 \le \sin(x) \le 1 \) et \( -1 \le \cos(x) \le 1 \). Si vous multipliez par une fonction qui tend vers 0, vous pouvez encadrer la fonction. * Par exemple, pour \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} \) : Puisque \( -1 \le \sin(x) \le 1 \), alors pour \( x > 0 \), on a \( -\frac{1}{x} \le \frac{\sin(x)}{x} \le \frac{1}{x} \). Comme \( \lim_{x \to +\infty} -\frac{1}{x} = 0 \) et \( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \), alors par le théorème des gendarmes, \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0 \). * **Comportement en \( \pm \infty \) :** Les fonctions \( \sin(x) \) et \( \cos(x) \) n'ont pas de limite en \( \pm \infty \) car elles oscillent indéfiniment entre -1 et 1. * **Limites de \( \tan(x) \) :** La fonction \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) possède des asymptotes verticales lorsque \( \cos(x) = 0 \), c'est-à-dire pour \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) où \( k \in \mathbb{Z} \). Aux abords de ces valeurs, \( \tan(x) \) tendra vers \( +\infty \) ou \( -\infty \). #### II. Limites des fonctions irrationnelles Les fonctions irrationnelles impliquent souvent des racines carrées, ce qui peut mener à des formes indéterminées délicates, surtout les formes \( \frac{0}{0} \) ou \( \infty - \infty \). ##### A. Fonctions avec racine carrée * **Domaine de définition :** Toujours vérifier le domaine de définition avant de calculer une limite, en particulier pour les racines paires (ex: \( \sqrt{f(x)} \) n'est définie que si \( f(x) \ge 0 \)). * **Formes indéterminées :** Les plus courantes sont \( \frac{0}{0} \) et \( \infty - \infty \). Des techniques spécifiques sont nécessaires pour les lever. ##### B. Technique de la multiplication par la quantité conjuguée C'est la méthode la plus courante et la plus efficace pour lever les formes indéterminées impliquant des racines carrées. * **Principe :** On utilise l'identité remarquable \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \). * Si vous avez une expression du type \( \sqrt{A} - B \), vous la multipliez par sa quantité conjuguée \( \sqrt{A} + B \). Le produit sera \( (\sqrt{A} - B)(\sqrt{A} + B) = (\sqrt{A})^2 - B^2 = A - B^2 \), ce qui élimine la racine carrée au numérateur ou au dénominateur. * De même, si vous avez \( A - \sqrt{B} \), vous multipliez par \( A + \sqrt{B} \). * **Application :** Cette technique est particulièrement utile pour les formes \( \frac{0}{0} \) et \( \infty - \infty \) afin de transformer l'expression en une forme pour laquelle la limite est calculable. * **Autres techniques :** Pour les limites à l'infini avec des racines carrées, la factorisation du terme de plus haut degré sous la racine peut aussi être très utile. Par exemple, \( \sqrt{x^2+ax} = \sqrt{x^2(1 + a/x)} = |x|\sqrt{1 + a/x} \). Lorsque \( x \to +\infty \), \( |x|=x \), donc \( x\sqrt{1 + a/x} \). Lorsque \( x \to -\infty \), \( |x|=-x \), donc \( -x\sqrt{1 + a/x} \). ### Vocabulaire * **Limite :** Valeur vers laquelle tend une fonction lorsque la variable s'approche d'un point ou de l'infini. * **Forme indéterminée :** Expression pour laquelle le calcul direct de la limite ne donne pas un résultat unique (ex: \( \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \times \infty \), etc.). * **Quantité conjuguée :** Expression utilisée pour simplifier des termes impliquant des racines carrées, en utilisant l'identité \( (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \). * **Théorème des Gendarmes :** Théorème permettant de calculer la limite d'une fonction si elle est encadrée par deux autres fonctions qui tendent vers la même limite. * **Composition de fonctions :** Opération qui consiste à appliquer une fonction au résultat d'une autre fonction (ex: \( f(g(x)) \)). ### Exemples #### Exemple 1 : Limite trigonométrique simple Calculer \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \). * **Solution :** C'est une forme indéterminée \( \frac{0}{0} \). On utilise la limite usuelle \( \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1 \). On pose \( u = 3x \). Lorsque \( x \to 0 \), \( u \to 0 \). Alors, \( \frac{\sin(3x)}{x} = \frac{3 \sin(3x)}{3x} = 3 \cdot \frac{\sin(u)}{u} \). D'où, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 3 \cdot 1 = 3 \). #### Exemple 2 : Limite trigonométrique plus complexe Calculer \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x \sin(x)} \). * **Solution :** C'est une forme indéterminée \( \frac{0}{0} \). On sait que \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} \) et \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \). On peut réécrire l'expression : \[ \frac{1 - \cos(x)}{x \sin(x)} = \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \cdot \frac{x^2}{x \sin(x)} = \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \cdot \frac{x}{\sin(x)} \] En passant à la limite : \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x \sin(x)} = \left( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(x)} \right) \] \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{2} \] #### Exemple 3 : Limite irrationnelle avec forme \( \frac{0}{0} \) Calculer \( \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x-2} \). * **Solution :** C'est une forme indéterminée \( \frac{0}{0} \). On multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du numérateur, soit \( \sqrt{x+2} + 2 \). \[ \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x-2} = \frac{(\sqrt{x+2} - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(x-2)(\sqrt{x+2} + 2)} \] \[ = \frac{(x+2) - 2^2}{(x-2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \frac{x+2-4}{(x-2)(\sqrt{x+2} + 2)} \] \[ = \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+2} + 2)} \] Pour \( x \ne 2 \), on peut simplifier par \( (x-2) \) : \[ = \frac{1}{\sqrt{x+2} + 2} \] Maintenant, on peut remplacer \( x \) par 2 : \[ \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+2} + 2} = \frac{1}{\sqrt{2+2} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4} \] #### Exemple 4 : Limite irrationnelle à l'infini avec forme \( \infty - \infty \) Calculer \( \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} - x) \). * **Solution :** C'est une forme indéterminée \( \infty - \infty \). On multiplie par la quantité conjuguée \( \sqrt{x^2+x} + x \). \[ \sqrt{x^2+x} - x = \frac{(\sqrt{x^2+x} - x)(\sqrt{x^2+x} + x)}{\sqrt{x^2+x} + x} \] \[ = \frac{(x^2+x) - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x} + x} \] Maintenant, on a une forme \( \frac{\infty}{\infty} \). On factorise le terme de plus haut degré au dénominateur. Pour \( x > 0 \), \( \sqrt{x^2+x} = \sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})} = x\sqrt{1+\frac{1}{x}} \). \[ = \frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}} + x} = \frac{x}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1} \] Quand \( x \to +\infty \), \( \frac{1}{x} \to 0 \). \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \] ### Exercices Calculez les limites suivantes : 1. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{2x} \) 2. \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{\sin(x)} \) 3. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x} \) 4. \( \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2+3} - 2} \) 5. \( \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2-3x} - x) \) ### Devoirs 1. Déterminer \( \lim_{x \to 0} \frac{x\sin(x)}{1-\cos(x)} \). 2. Calculer \( \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+2x} + x) \). 3. Soit la fonction \( f(x) = \frac{\sin(2x)}{\sqrt{x+1}-1} \). Déterminer \( \lim_{x \to 0} f(x) \). 4. En utilisant le théorème des gendarmes, calculer \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\cos(x) + 3}{x+1} \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les méthodes de calcul de limites pour les fonctions trigonométriques et irrationnelles. Pour les fonctions trigonométriques, il est crucial de maîtriser les **limites usuelles en 0** (pour \( \frac{\sin(x)}{x} \), \( \frac{1-\cos(x)}{x^2} \), \( \frac{\tan(x)}{x} \)) et de savoir utiliser le **changement de variable** ou le **théorème des gendarmes** pour les cas à l'infini ou plus complexes. Pour les fonctions irrationnelles, la technique de la **multiplication par la quantité conjuguée** est la clé pour lever les formes indéterminées comme \( \frac{0}{0} \) ou \( \infty - \infty \). N'oubliez pas de toujours vérifier le domaine de définition et d'être attentif aux formes indéterminées pour choisir la bonne stratégie. La pratique régulière de ces techniques vous permettra de maîtriser parfaitement ces types de limites. ## représentation graphique ### Introduction La représentation graphique d'une fonction numérique est un outil visuel essentiel en mathématiques. Elle permet de comprendre rapidement le comportement d'une fonction, d'interpréter ses propriétés (variations, signe, extrema) et de résoudre graphiquement des équations et des inéquations. Pour les élèves de Terminale, maîtriser la lecture et la construction de ces courbes est fondamental pour l'analyse fonctionnelle. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une fonction et de sa courbe représentative Une **fonction numérique** \( f \) associe à chaque nombre réel \( x \) de son **domaine de définition** \( D_f \) un unique nombre réel, noté \( f(x) \). La **courbe représentative** de la fonction \( f \), notée \( C_f \), est l'ensemble de tous les points \( M(x, y) \) du plan dont les coordonnées vérifient \( y = f(x) \) pour \( x \in D_f \). #### 2. Construction de la courbe représentative Pour tracer la courbe \( C_f \) : * **Déterminer le domaine de définition** \( D_f \). * **Construire un tableau de valeurs** en choisissant des valeurs de \( x \) dans \( D_f \) et en calculant les \( f(x) \) correspondantes. Plus il y a de points, plus le tracé sera précis. | x | \( x_1 \) | \( x_2 \) | ... | | :------ | :-------- | :-------- | :-- | | \( f(x) \) | \( f(x_1) \) | \( f(x_2) \) | ... | * **Placer les points** \( (x, f(x)) \) dans un repère cartésien. * **Relier les points** de manière "lisse" en tenant compte des informations sur les variations de la fonction (croissance, décroissance, asymptotes si elles existent). #### 3. Lecture et interprétation graphique La courbe \( C_f \) permet d'interpréter : * **Le domaine de définition \( D_f \)**: C'est l'ensemble des abscisses des points de la courbe. * **L'ensemble image** (ou image de \( D_f \) par \( f \)): C'est l'ensemble des ordonnées des points de la courbe. * **Les variations de la fonction**: * Si la courbe "monte" de gauche à droite, la fonction est **croissante**. * Si la courbe "descend" de gauche à droite, la fonction est **décroissante**. * Si la courbe est "horizontale", la fonction est **constante**. * **Les extrema (maximums et minimums)**: Les sommets locaux de la courbe. * **Le signe de \( f(x) \)**: * \( f(x) > 0 \) lorsque \( C_f \) est au-dessus de l'axe des abscisses. * \( f(x) < 0 \) lorsque \( C_f \) est en dessous de l'axe des abscisses. * \( f(x) = 0 \) lorsque \( C_f \) coupe l'axe des abscisses (ce sont les racines ou zéros de la fonction). * **Résolution graphique d'équations et d'inéquations**: * **\( f(x) = k \)**: Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de \( C_f \) avec la droite horizontale d'équation \( y = k \). * **\( f(x) > k \)**: Les solutions sont les abscisses des points de \( C_f \) situés strictement au-dessus de la droite \( y = k \). * **\( f(x) = g(x) \)**: Les solutions sont les abscisses des points d'intersection des courbes \( C_f \) et \( C_g \). ### Vocabulaire * **Fonction numérique**: Relation qui associe à un nombre réel \( x \) un unique nombre réel \( f(x) \). * **Courbe représentative (\( C_f \))**: Représentation graphique d'une fonction dans un repère. * **Abscisse**: Coordonnée horizontale d'un point (valeur de \( x \)). * **Ordonnée**: Coordonnée verticale d'un point (valeur de \( y \) ou \( f(x) \)). * **Domaine de définition (\( D_f \))**: Ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) \) est calculable. * **Variations**: Sens de la fonction (croissante, décroissante, constante). * **Extremum**: Point où la fonction atteint un maximum ou un minimum local. * **Asymptote**: Droite vers laquelle la courbe d'une fonction tend à s'approcher indéfiniment sans jamais l'atteindre (horizontale, verticale ou oblique). ### Exemples #### Exemple 1: Tracé d'une fonction quadratique et lecture du signe Soit la fonction \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \). 1. **Tableau de valeurs**: | x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | | :------ | :-| :-| :--| :-| :-| | \( f(x) \) | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 | 2. **Tracé**: Placez les points \( (0,3) \), \( (1,0) \), \( (2,-1) \), \( (3,0) \), \( (4,3) \) et reliez-les pour obtenir une parabole. 3. **Lecture du signe**: On observe que la courbe est en dessous de l'axe des abscisses pour \( x \in ]1, 3[ \). Donc \( f(x) < 0 \) sur cet intervalle. Elle est au-dessus pour \( x \in ]-\infty, 1[ \cup ]3, +\infty[ \), donc \( f(x) > 0 \) sur ces intervalles. Elle s'annule en \( x=1 \) et \( x=3 \). #### Exemple 2: Résolution graphique d'équations et d'inéquations Considérons la courbe d'une fonction \( g \) donnée (imaginez une courbe en forme de 'S' passant par \( (-2, 0) \), \( (0, 2) \), \( (2, 0) \) et \( (4, -2) \)). * **Résoudre \( g(x) = 2 \)**: Cherchez les points d'intersection de \( C_g \) avec la droite \( y = 2 \). Ici, le seul point est \( (0, 2) \), donc la solution est \( x = 0 \). * **Résoudre \( g(x) \ge 0 \)**: Identifiez les parties de la courbe qui sont au-dessus ou sur l'axe des abscisses. Ici, la courbe est au-dessus ou sur l'axe des abscisses pour \( x \in [-2, 2] \). Donc les solutions sont \( x \in [-2, 2] \). ### Exercices 1. Soit la fonction \( h(x) = -x^2 + 2x + 3 \). * a) Construisez un tableau de valeurs pour \( x \) variant de \( -2 \) à \( 4 \). * b) Tracez sa courbe représentative \( C_h \). * c) À partir de votre graphique, déterminez le maximum de \( h \) et la valeur de \( x \) pour laquelle il est atteint. * d) Résolvez graphiquement l'équation \( h(x) = 0 \). * e) Déterminez graphiquement les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( h(x) \ge 3 \). 2. On vous donne la courbe représentative d'une fonction \( k \) définie sur \( [-3, 5] \) (imaginez une courbe qui décroît de \( (-3, 4) \) à \( (0, -2) \), puis croît à \( (3, 3) \), puis décroît à \( (5, 1) \)). * a) Donnez le domaine de définition de \( k \). * b) Dressez le tableau de variations de \( k \). * c) Déterminez les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( k(x) > 0 \). * d) Résolvez graphiquement l'équation \( k(x) = 1 \). ### Devoirs 1. La fonction \( f \) est définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = (x-1)(x-3)(x+2) \). * a) Construisez un tableau de valeurs précis pour \( x \) variant de \( -3 \) à \( 4 \). * b) Tracez la courbe représentative \( C_f \) dans un repère adapté. * c) À l'aide de votre graphique, déterminez les racines de \( f \). * d) Résolvez graphiquement l'inéquation \( f(x) < 0 \). * e) Estimez les extrema locaux de la fonction \( f \). 2. Soient les fonctions \( f(x) = -x + 5 \) et \( g(x) = x^2 - x + 1 \). * a) Tracez les courbes représentatives de \( f \) et \( g \) sur le même graphique. * b) Déterminez graphiquement les coordonnées des points d'intersection des deux courbes. * c) Résolvez graphiquement l'inéquation \( f(x) > g(x) \). ### Résumé La représentation graphique est un pilier de l'étude des fonctions en Terminale. Elle offre une vision synthétique et intuitive du comportement d'une fonction. Grâce à elle, nous pouvons : * Visualiser le domaine de définition et l'ensemble image. * Analyser les variations (croissance, décroissance) et identifier les extrema. * Déterminer le signe d'une fonction sur différents intervalles. * Résoudre efficacement des équations et des inéquations, qu'elles soient de la forme \( f(x) = k \), \( f(x) > k \) ou \( f(x) = g(x) \). Maîtriser la construction et l'interprétation des courbes représentatives est une compétence essentielle pour la suite de vos études scientifiques.