Statistiques à deux variables (suite)

# Statistiques à deux variables (suite) ## Ajustements linéaires ### Introduction Dans le domaine des statistiques à deux variables, nous cherchons souvent à comprendre la relation entre deux phénomènes. Lorsque cette relation semble suivre une tendance linéaire, l'ajustement linéaire est un outil puissant pour la modéliser. Ce chapitre explore comment trouver la meilleure droite qui décrit cette relation, permettant ainsi des prévisions et une meilleure compréhension des données. ### Concepts Clés #### Nuage de points Le nuage de points est la représentation graphique d'une série statistique double \( (x_i, y_i) \) pour \( i = 1, \dots, n \). Chaque point \( M_i(x_i, y_i) \) représente une observation. Il permet de visualiser l'existence et la nature d'une éventuelle relation (linéaire, non linéaire, pas de relation) entre les deux variables X et Y. #### Point moyen G Le point moyen \( G \) d'une série statistique double est le point dont les coordonnées sont les moyennes arithmétiques des variables X et Y. Ses coordonnées sont \( G(\bar{x}, \bar{y}) \), où : * \( \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \) * \( \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i \) La droite d'ajustement linéaire passera toujours par ce point moyen. #### Ajustement affine (ou linéaire) Lorsqu'un nuage de points suggère une relation linéaire entre X et Y, l'ajustement affine consiste à déterminer l'équation d'une droite \( D \) d'équation \( y = ax + b \) qui modélise au mieux cette tendance. Cette droite est appelée **droite de régression**. #### Droite de régression par la méthode des moindres carrés La méthode des moindres carrés est la technique la plus courante pour trouver la droite de régression. Elle consiste à minimiser la somme des carrés des distances verticales entre chaque point du nuage et la droite. C'est-à-dire, elle minimise \( \sum_{i=1}^{n} (y_i - (ax_i + b))^2 \). ##### Calcul des coefficients a et b Les coefficients \( a \) (pente) et \( b \) (ordonnée à l'origine) de la droite de régression \( y = ax + b \) sont donnés par les formules suivantes : * **Coefficient directeur \( a \) :** \[ a = \frac{Cov(X,Y)}{V(X)} \] Où \( Cov(X,Y) \) est la covariance des variables X et Y, et \( V(X) \) est la variance de X. * \( Cov(X,Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \bar{x}\bar{y} \) * \( V(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - (\bar{x})^2 \) * **Ordonnée à l'origine \( b \) :** Puisque la droite passe par le point moyen \( G(\bar{x}, \bar{y}) \), on a \( \bar{y} = a\bar{x} + b \), ce qui donne : \[ b = \bar{y} - a\bar{x} \] ##### Interprétation des coefficients * **\( a \) (pente) :** Il représente la variation moyenne de Y pour une augmentation d'une unité de X. Si \( a > 0 \), la tendance est croissante ; si \( a < 0 \), elle est décroissante. * **\( b \) (ordonnée à l'origine) :** C'est la valeur de Y lorsque X est égal à 0. Son interprétation n'est pertinente que si la valeur \( X=0 \) a un sens dans le contexte de l'étude. #### Prédiction et extrapolation Une fois la droite de régression déterminée, elle peut être utilisée pour estimer la valeur de Y pour une valeur de X donnée. C'est la **prédiction**. * **Interpolation :** Prédiction pour une valeur de X située à l'intérieur de l'intervalle des valeurs de X observées. C'est généralement fiable. * **Extrapolation :** Prédiction pour une valeur de X située en dehors de l'intervalle des valeurs de X observées. L'extrapolation doit être utilisée avec prudence car la tendance linéaire observée n'est pas garantie de se poursuivre au-delà des données mesurées. #### Coefficient de corrélation linéaire r Le coefficient de corrélation linéaire \( r \) mesure la force et la direction de la relation linéaire entre X et Y. Il est donné par la formule : \[ r = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \] Où \( \sigma_X = \sqrt{V(X)} \) et \( \sigma_Y = \sqrt{V(Y)} \) sont les écarts-types de X et Y respectivement. ##### Propriétés et interprétation de \( r \): * \( -1 \le r \le 1 \). * Si \( r \) est proche de 1, il y a une forte corrélation linéaire positive (les deux variables augmentent ou diminuent ensemble). * Si \( r \) est proche de -1, il y a une forte corrélation linéaire négative (quand l'une augmente, l'autre diminue). * Si \( r \) est proche de 0, il n'y a pas de corrélation linéaire. Cela ne signifie pas qu'il n'y a pas de relation du tout, juste pas de relation *linéaire*. * Un coefficient de corrélation élevé n'implique pas nécessairement un lien de causalité. ### Vocabulaire * **Nuage de points :** Représentation graphique des données d'une série statistique double. * **Point moyen G :** Point dont les coordonnées sont les moyennes des variables X et Y. * **Ajustement linéaire (affine) :** Démarche visant à modéliser la relation entre deux variables par une droite. * **Droite de régression :** La droite qui modélise au mieux la relation linéaire, obtenue par la méthode des moindres carrés. * **Méthode des moindres carrés :** Technique mathématique pour trouver la droite qui minimise la somme des carrés des écarts entre les points et la droite. * **Covariance \( Cov(X,Y) \) :** Mesure la tendance de deux variables à varier ensemble. * **Variance \( V(X) \) :** Mesure la dispersion des valeurs d'une variable autour de sa moyenne. * **Coefficient de corrélation linéaire \( r \) :** Mesure la force et le sens de la relation linéaire entre deux variables. * **Extrapolation :** Prédiction en dehors de l'intervalle des données observées. ### Exemples **Exemple 1 : Relation entre budget publicitaire et ventes** Une entreprise a enregistré les dépenses publicitaires (en milliers d'euros, X) et les ventes réalisées (en millions d'euros, Y) sur 6 trimestres : | X (Budget pub) | 10 | 12 | 15 | 18 | 20 | 25 | |----------------|----|----|----|----|----|----| | Y (Ventes) | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 11 | 1. **Calculer les moyennes :** \( \bar{x} = (10+12+15+18+20+25)/6 = 16.67 \) \( \bar{y} = (5+6+7+8+9+11)/6 = 7.67 \) Le point moyen est \( G(16.67, 7.67) \). 2. **Calculer la covariance et la variance de X :** (Les calculs détaillés peuvent être longs à la main. En général, on utilise une calculatrice ou un logiciel.) Supposons après calculs : \( Cov(X,Y) \approx 17.5 \) \( V(X) \approx 26.89 \) 3. **Calculer le coefficient \( a \) :** \[ a = \frac{17.5}{26.89} \approx 0.65 \] 4. **Calculer le coefficient \( b \) :** \[ b = \bar{y} - a\bar{x} = 7.67 - 0.65 \times 16.67 \approx 7.67 - 10.89 = -3.22 \] 5. **Équation de la droite de régression :** \( y = 0.65x - 3.22 \) 6. **Prédiction :** Si l'entreprise dépense 22 milliers d'euros en publicité, quelles seraient les ventes estimées ? \( y = 0.65(22) - 3.22 = 14.3 - 3.22 = 11.08 \) Les ventes estimées seraient de 11.08 millions d'euros. 7. **Coefficient de corrélation linéaire :** Supposons que \( \sigma_X \approx 5.18 \) et \( \sigma_Y \approx 2.06 \). \[ r = \frac{17.5}{5.18 \times 2.06} \approx \frac{17.5}{10.67} \approx 0.98 \] Un \( r \) proche de 1 indique une très forte corrélation linéaire positive : plus le budget publicitaire augmente, plus les ventes augmentent. ### Exercices **Exercice 1 : Compréhension des concepts** 1. Qu'est-ce qu'un nuage de points et à quoi sert-il ? 2. Quel est le rôle du point moyen \( G \) dans l'ajustement linéaire ? 3. Expliquez le principe de la méthode des moindres carrés. 4. Que signifie un coefficient de corrélation linéaire de -0.9 ? Et de 0.1 ? **Exercice 2 : Application simple** Une étude a mesuré la taille (X, en cm) et le poids (Y, en kg) de 5 enfants : | X (Taille) | 120 | 125 | 130 | 135 | 140 | |------------|-----|-----|-----|-----|-----| | Y (Poids) | 25 | 28 | 32 | 33 | 36 | À l'aide de votre calculatrice : 1. Calculez les coordonnées du point moyen \( G \). 2. Déterminez l'équation de la droite de régression \( y = ax + b \). 3. Estimez le poids d'un enfant mesurant 132 cm. 4. Calculez et interprétez le coefficient de corrélation linéaire \( r \). ### Devoirs **Devoir 1 : Analyse complète** Le tableau suivant montre le nombre d'heures de révision (X) et la note obtenue (Y) à un examen pour 7 étudiants : | X (Heures de révision) | 5 | 8 | 10 | 12 | 15 | 18 | 20 | |------------------------|----|----|----|----|----|----|----| | Y (Note sur 20) | 10 | 12 | 13 | 14 | 16 | 17 | 18 | 1. Représentez le nuage de points et le point moyen \( G \). 2. Calculez \( \bar{x} \) et \( \bar{y} \). 3. Déterminez, en détaillant les calculs, la covariance \( Cov(X,Y) \) et la variance \( V(X) \). 4. En déduire les coefficients \( a \) et \( b \) de la droite de régression \( y = ax + b \) (arrondir à 2 décimales). 5. Tracez la droite de régression sur votre nuage de points. 6. Quel serait la note estimée pour un étudiant ayant révisé 13 heures ? 7. Un étudiant a révisé 25 heures. Estimez sa note. Commentez la validité de cette estimation. 8. Calculez et interprétez le coefficient de corrélation linéaire \( r \). Que pouvez-vous en conclure sur la relation entre les heures de révision et la note ? ### Résumé Ce cours a couvert les concepts fondamentaux des ajustements linéaires. Nous avons appris à représenter des données bivariées à l'aide d'un nuage de points, à calculer le point moyen, et à déterminer l'équation de la droite de régression par la méthode des moindres carrés \( (y = ax + b) \). Nous avons vu comment calculer les coefficients \( a \) et \( b \) en utilisant la covariance et la variance. Enfin, nous avons exploré l'utilisation de cette droite pour la prédiction (interpolation et extrapolation) et la mesure de la force de la relation linéaire grâce au coefficient de corrélation linéaire \( r \). Comprendre ces outils est essentiel pour analyser et modéliser les relations entre variables dans de nombreux domaines. ## Ajustements linéaires ### Introduction Dans le domaine des statistiques à deux variables, nous avons souvent des données qui, lorsqu'elles sont représentées graphiquement, semblent suivre une tendance linéaire. L'objectif de l'ajustement linéaire est de trouver la droite qui "colle le mieux" à ces points, appelée droite de régression. Cette droite nous permet de modéliser la relation entre les deux variables, de faire des prévisions et de mieux comprendre le phénomène étudié. ### Concepts Clés #### 1. Nuage de points Un nuage de points est une représentation graphique des couples de données \( (x_i, y_i) \) sur un plan cartésien. Il permet de visualiser rapidement s'il existe une relation (linéaire ou non) entre les deux variables. #### 2. Point moyen G Le point moyen G, noté \( G(\bar{x}, \bar{y}) \), est le centre de gravité du nuage de points. Ses coordonnées sont calculées comme suit : * Abscisse moyenne : \( \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \) * Ordonnée moyenne : \( \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i \) La droite d'ajustement linéaire passe toujours par le point moyen G. #### 3. Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés Lorsque le nuage de points présente une forme allongée, on peut envisager un ajustement linéaire. La méthode des moindres carrés est la technique la plus courante pour déterminer la droite de régression. Elle consiste à trouver la droite \( D \) d'équation \( y = ax + b \) qui minimise la somme des carrés des distances verticales entre chaque point du nuage \( M_i(x_i, y_i) \) et cette droite. Ces distances sont appelées résidus. La droite de régression des moindres carrés a pour équation \[ y = ax + b \] où : * Le coefficient directeur \( a \) est donné par : \[ a = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)} \] * \( \text{Cov}(X,Y) \) est la covariance entre X et Y : \( \text{Cov}(X,Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) \) * \( V(X) \) est la variance de X : \( V(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \) * L'ordonnée à l'origine \( b \) est donnée par : \[ b = \bar{y} - a\bar{x} \] #### 4. Coefficient de corrélation linéaire \( r \) Le coefficient de corrélation linéaire \( r \) mesure la force et le sens de la relation linéaire entre deux variables. Il est défini par : \[ r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \] où \( \sigma_X \) et \( \sigma_Y \) sont les écarts-types de X et Y respectivement. \( r \) est toujours compris entre -1 et 1 (\( -1 \le r \le 1 \)). * Si \( r \) est proche de 1 : forte corrélation linéaire positive (les points montent). * Si \( r \) est proche de -1 : forte corrélation linéaire négative (les points descendent). * Si \( r \) est proche de 0 : faible ou absence de corrélation linéaire (les points sont dispersés). #### 5. Prévisions Une fois la droite de régression établie, on peut l'utiliser pour faire des prévisions : * **Interpolation :** Estimer une valeur de \( y \) pour une valeur de \( x \) qui se trouve entre les valeurs extrêmes de \( x \) du jeu de données. Cela est généralement fiable. * **Extrapolation :** Estimer une valeur de \( y \) pour une valeur de \( x \) qui est en dehors des valeurs observées. Cela doit être fait avec prudence car la relation linéaire pourrait ne pas se maintenir en dehors du domaine d'observation. ### Vocabulaire * **Nuage de points :** Représentation graphique de couples de données. * **Point moyen G :** Centre de gravité du nuage de points.\( (\bar{x}, \bar{y}) \) * **Ajustement linéaire :** Recherche de la droite qui modélise le mieux une relation linéaire entre variables. * **Droites de régression (ou droite des moindres carrés) :** La droite \( y = ax+b \) obtenue par la méthode des moindres carrés. * **Méthode des moindres carrés :** Technique pour minimiser la somme des carrés des écarts entre les points et la droite. * **Covariance :** Mesure la tendance de deux variables à varier ensemble. * **Variance :** Mesure la dispersion des valeurs d'une variable autour de sa moyenne. * **Écart-type :** Racine carrée de la variance, mesure de dispersion. * **Coefficient de corrélation linéaire \( r \) :** Indique la force et le sens de la relation linéaire entre deux variables. * **Interpolation :** Prédiction à l'intérieur de l'intervalle des données observées. * **Extrapolation :** Prédiction en dehors de l'intervalle des données observées. ### Exemples Considérons les données suivantes qui représentent le nombre d'heures d'étude par jour (X) et la note obtenue à un examen (Y) pour 5 étudiants : | X (heures) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---| | Y (notes) | 5 | 7 | 8 | 10 | 12 | 1. **Calcul du point moyen G :** * \( \bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = \frac{15}{5} = 3 \) * \( \bar{y} = \frac{5+7+8+10+12}{5} = \frac{42}{5} = 8.4 \) Le point moyen est \( G(3; 8.4) \). 2. **Calcul de la covariance et de la variance de X :** * Calculons \( x_i - \bar{x} \) et \( y_i - \bar{y} \): | \( x_i \) | \( y_i \) | \( x_i - \bar{x} \) | \( y_i - \bar{y} \) | \( (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) \) | \( (x_i - \bar{x})^2 \) | |---|---|---|---|---|---| | 1 | 5 | -2 | -3.4 | 6.8 | 4 | | 2 | 7 | -1 | -1.4 | 1.4 | 1 | | 3 | 8 | 0 | -0.4 | 0 | 0 | | 4 | 10 | 1 | 1.6 | 1.6 | 1 | | 5 | 12 | 2 | 3.6 | 7.2 | 4 | | **Somme** | | | | **17** | **10** | * \( \text{Cov}(X,Y) = \frac{17}{5} = 3.4 \) * \( V(X) = \frac{10}{5} = 2 \) 3. **Calcul des coefficients de la droite de régression \( y = ax+b \) :** * \( a = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)} = \frac{3.4}{2} = 1.7 \) * \( b = \bar{y} - a\bar{x} = 8.4 - 1.7 \times 3 = 8.4 - 5.1 = 3.3 \) L'équation de la droite de régression est \( y = 1.7x + 3.3 \). 4. **Calcul du coefficient de corrélation linéaire \( r \) :** * \( \sigma_X = \sqrt{V(X)} = \sqrt{2} \approx 1.414 \) * Calculons \( V(Y) \) : \( \sum (y_i - \bar{y})^2 = (-3.4)^2 + (-1.4)^2 + (-0.4)^2 + (1.6)^2 + (3.6)^2 = 11.56 + 1.96 + 0.16 + 2.56 + 12.96 = 29.2 \) * \( V(Y) = \frac{29.2}{5} = 5.84 \) * \( \sigma_Y = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{5.84} \approx 2.417 \) * \( r = \frac{3.4}{1.414 \times 2.417} \approx \frac{3.4}{3.419} \approx 0.994 \) Le coefficient de corrélation est très proche de 1, indiquant une très forte corrélation linéaire positive. 5. **Prévision :** Si un étudiant étudie 6 heures (extrapolation), quelle note peut-il espérer ? \( y = 1.7 \times 6 + 3.3 = 10.2 + 3.3 = 13.5 \). ### Exercices Un chercheur étudie la relation entre l'âge (en années) et la tension artérielle systolique (en mmHg) d'un groupe de personnes. Voici les données pour 6 individus : | Âge (X) | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | |---|---|---|---|---|---| | Tension (Y) | 120 | 130 | 145 | 150 | 165 | 170 | 1. Tracez le nuage de points. 2. Calculez les coordonnées du point moyen G. 3. Déterminez l'équation de la droite de régression \( y = ax+b \) par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients à 2 décimales). 4. Calculez le coefficient de corrélation linéaire \( r \) (arrondir à 3 décimales) et interprétez sa valeur. 5. Estimez la tension artérielle d'une personne de 55 ans. 6. Estimez la tension artérielle d'une personne de 90 ans. Que pensez-vous de la fiabilité de cette prévision ? ### Devoirs Un agriculteur veut étudier la relation entre la quantité d'engrais (en kg/hectare) qu'il utilise et le rendement de sa récolte (en quintaux/hectare). Il a enregistré les données suivantes sur 7 parcelles différentes : | Engrais (X) | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | |---|---|---|---|---|---|---|---| | Rendement (Y) | 30 | 35 | 40 | 42 | 45 | 48 | 50 | 1. Construisez le nuage de points. 2. Calculez le point moyen G. 3. Utilisez la méthode des moindres carrés pour trouver l'équation de la droite de régression \( y = ax+b \). 4. Calculez le coefficient de corrélation linéaire \( r \) et analysez la relation entre l'engrais et le rendement. 5. L'agriculteur envisage d'utiliser 120 kg d'engrais par hectare. Quel rendement peut-il prévoir ? Discutez des limites de cette prévision. 6. Si l'agriculteur souhaite obtenir un rendement de 55 quintaux/hectare, quelle quantité d'engrais devrait-il utiliser selon ce modèle ? ### Résumé L'ajustement linéaire est une méthode statistique puissante pour modéliser une relation entre deux variables lorsque leur nuage de points suggère une tendance linéaire. Nous avons appris à : * Visualiser les données avec un **nuage de points**. * Calculer le **point moyen G**. * Déterminer l'équation de la **droite de régression** \( y = ax+b \) en utilisant la **méthode des moindres carrés**. * Évaluer la force et le sens de la relation linéaire à l'aide du **coefficient de corrélation linéaire \( r \)**. * Faire des **prévisions** par interpolation ou extrapolation, en gardant à l'esprit les limites de cette dernière. Il est crucial d'interpréter correctement le coefficient de corrélation et de ne pas appliquer l'ajustement linéaire de manière aveugle si la relation entre les variables n'est pas linéaire.