Chap1: Nombres complexes: approche algébrique

# Chap1: Nombres complexes: approche algébrique ## Équations de degré 2 dans C ### Introduction En classe de Première, nous avons appris à résoudre des équations du second degré de la forme \[ az^2+bz+c=0 \] dans l'ensemble des nombres réels \[ \mathbb{R} \]. Nous avons vu que le discriminant \[ \Delta = b^2-4ac \] jouait un rôle clé dans la nature et le nombre de solutions. Cependant, lorsque \[ \Delta < 0 \], nous concluions qu'il n'y avait pas de solutions réelles. Avec l'introduction des nombres complexes \[ \mathbb{C} \], il est désormais possible de trouver des solutions pour ces équations, même lorsque le discriminant est négatif. Ce chapitre va explorer comment résoudre ces équations dans l'ensemble des nombres complexes. ### Concepts Clés #### Forme générale de l'équation Une équation du second degré dans \[ \mathbb{C} \] est de la forme: \[ az^2+bz+c=0 \] où \[ a, b, c \] sont des nombres réels avec \[ a \neq 0 \], et \[ z \] est l'inconnue complexe. #### Calcul du discriminant Le discriminant \[ \Delta \] se calcule de la même manière que dans \[ \mathbb{R} \]: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] #### Résolution selon le signe du discriminant ##### Cas 1: \[ \Delta > 0 \] Si le discriminant est strictement positif, l'équation admet deux solutions réelles distinctes, qui sont aussi des solutions complexes (puisque \[ \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \]): \[ z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \] \[ z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \] ##### Cas 2: \[ \Delta = 0 \] Si le discriminant est nul, l'équation admet une unique solution réelle (dite solution double): \[ z_0 = \frac{-b}{2a} \] ##### Cas 3: \[ \Delta < 0 \] C'est le cas le plus important dans \[ \mathbb{C} \]. Si le discriminant est strictement négatif, l'équation n'admet pas de solutions réelles, mais elle admet deux solutions complexes conjuguées. On peut écrire \[ \Delta = -1 \times |\Delta| = i^2 \times |\Delta| = (i\sqrt{|\Delta|})^2 \]. Les deux solutions complexes sont alors: \[ z_1 = \frac{-b - i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \] \[ z_2 = \frac{-b + i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \] Il est important de noter que \[ z_2 \] est le conjugué de \[ z_1 \] (c'est-à-dire \[ z_2 = \overline{z_1} \]). #### Propriétés des solutions (Formules de Viète) Soient \[ z_1 \] et \[ z_2 \] les solutions de l'équation \[ az^2+bz+c=0 \]. On a les relations suivantes: * **Somme des solutions:** \[ z_1 + z_2 = -\frac{b}{a} \] * **Produit des solutions:** \[ z_1 z_2 = \frac{c}{a} \] Ces formules sont très utiles pour vérifier des solutions ou pour construire une équation à partir de ses racines. ### Vocabulaire * **Nombre complexe:** Un nombre de la forme \[ a+ib \] où \[ a \] et \[ b \] sont des réels et \[ i \] est l'unité imaginaire telle que \[ i^2 = -1 \]. * **Unité imaginaire:** Le nombre \[ i \] tel que \[ i^2 = -1 \]. * **Discriminant:** La valeur \[ \Delta = b^2 - 4ac \] qui détermine la nature et le nombre des solutions d'une équation du second degré. * **Solutions conjuguées:** Deux nombres complexes de la forme \[ x+iy \] et \[ x-iy \]. Leur partie réelle est identique et leur partie imaginaire est opposée. * **Équation du second degré:** Une équation polynomiale où le degré le plus élevé de l'inconnue est 2. ### Exemples #### Exemple 1: Résolution d'une équation avec \[ \Delta < 0 \] Résolvons l'équation \[ z^2 - 4z + 5 = 0 \] dans \[ \mathbb{C} \]. Ici, \[ a=1, b=-4, c=5 \]. Calculons le discriminant: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4 \] Puisque \[ \Delta < 0 \], il y a deux solutions complexes conjuguées. On a \[ |\Delta| = |-4| = 4 \], donc \[ \sqrt{|\Delta|} = \sqrt{4} = 2 \]. Les solutions sont: \[ z_1 = \frac{-(-4) - i\sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 - 2i}{2} = 2 - i \] \[ z_2 = \frac{-(-4) + i\sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 + 2i}{2} = 2 + i \] L'ensemble des solutions est \[ S = \{2-i, 2+i\} \]. #### Exemple 2: Résolution d'une équation avec \[ \Delta = 0 \] Résolvons l'équation \[ z^2 + 6z + 9 = 0 \] dans \[ \mathbb{C} \]. Ici, \[ a=1, b=6, c=9 \]. Calculons le discriminant: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0 \] Puisque \[ \Delta = 0 \], il y a une unique solution réelle (double): \[ z_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2(1)} = -3 \] L'ensemble des solutions est \[ S = \{-3\} \]. #### Exemple 3: Résolution d'une équation avec \[ \Delta > 0 \] Résolvons l'équation \[ z^2 - 5z + 6 = 0 \] dans \[ \mathbb{C} \]. Ici, \[ a=1, b=-5, c=6 \]. Calculons le discriminant: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \] Puisque \[ \Delta > 0 \], il y a deux solutions réelles distinctes: \[ z_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ z_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] L'ensemble des solutions est \[ S = \{2, 3\} \]. #### Exemple 4: Utilisation des formules de Viète Soit l'équation \[ z^2 - 4z + 13 = 0 \]. Supposons que \[ z_1 = 2+3i \] est une solution. Trouver l'autre solution \[ z_2 \] sans recalculer le discriminant. D'après les formules de Viète, nous savons que \[ z_1 + z_2 = -\frac{b}{a} \]. Dans cette équation, \[ a=1, b=-4, c=13 \]. Donc, \[ z_1 + z_2 = -\frac{-4}{1} = 4 \]. Nous avons \[ 2+3i + z_2 = 4 \], ce qui implique \[ z_2 = 4 - (2+3i) = 4 - 2 - 3i = 2-3i \]. La deuxième solution est \[ 2-3i \]. On aurait pu aussi utiliser le fait que si les coefficients sont réels et qu'une solution est complexe, alors son conjugué est aussi une solution. ### Exercices (en classe) Résolvez les équations suivantes dans \[ \mathbb{C} \]: 1. \[ z^2 + z + 1 = 0 \] 2. \[ 2z^2 - 3z + 2 = 0 \] 3. \[ z^2 - 10z + 25 = 0 \] 4. \[ z^2 + 9 = 0 \] 5. Sachant que \[ z_1 = 1-i \] est une solution de \[ z^2 - 2z + 2 = 0 \], déterminez la deuxième solution en utilisant les formules de Viète. ### Devoir (à la maison) Résolvez les équations suivantes dans \[ \mathbb{C} \]: 1. \[ z^2 - 6z + 13 = 0 \] 2. \[ 3z^2 + 2z + 1 = 0 \] 3. \[ 4z^2 - 12z + 9 = 0 \] 4. \[ z^2 + 2z + 5 = 0 \] 5. Trouvez les réels \[ m \] pour que l'équation \[ z^2 - 2z + m = 0 \] admette une solution réelle unique. ### Résumé La résolution des équations du second degré \[ az^2+bz+c=0 \] (avec \[ a,b,c \] réels et \[ a \neq 0 \]) dans l'ensemble des nombres complexes \[ \mathbb{C} \] suit la même logique que dans \[ \mathbb{R} \], basée sur le discriminant \[ \Delta = b^2 - 4ac \]. * Si \[ \Delta > 0 \], il existe deux solutions réelles distinctes. * Si \[ \Delta = 0 \], il existe une unique solution réelle double. * Si \[ \Delta < 0 \], il existe deux solutions complexes conjuguées de la forme \[ \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \]. Les formules de Viète \[ z_1 + z_2 = -b/a \] et \[ z_1 z_2 = c/a \] restent valables dans \[ \mathbb{C} \] et sont utiles pour la vérification ou la construction d'équations. ## Méthodes de factorisation des polynômes d'une variable complexe de degré 3 ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la factorisation des polynômes de degré 3 à coefficients complexes. En Terminale, vous avez déjà rencontré les polynômes de degré 2 (les trinômes) et savez comment trouver leurs racines et les factoriser. Avec l'introduction des nombres complexes, nous pouvons désormais factoriser n'importe quel polynôme de degré \( n \) en facteurs du premier degré sur l'ensemble des nombres complexes. Cette leçon se concentrera spécifiquement sur les polynômes de degré 3, en explorant les méthodes pour trouver leurs racines complexes et les factoriser complètement. La factorisation d'un polynôme est une étape cruciale pour résoudre des équations polynomiales, simplifier des expressions et étudier le comportement de fonctions. Nous verrons comment, une fois qu'une racine est trouvée, le problème peut être réduit à la factorisation d'un polynôme de degré 2, que nous savons déjà résoudre. ### Concepts Clés #### Définition d'un polynôme de degré 3 Un polynôme de degré 3 à une variable complexe \( z \) est une expression de la forme: \[ P(z) = az^3 + bz^2 + cz + d \] où \( a, b, c, d \) sont des nombres complexes (avec \( a \neq 0 \)). #### Le Théorème Fondamental de l'Algèbre Ce théorème est essentiel en algèbre complexe. Il stipule que: * Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine complexe. Une conséquence directe de ce théorème est que tout polynôme de degré \( n \) admet exactement \( n \) racines complexes, comptées avec leur multiplicité. Pour un polynôme de degré 3, cela signifie qu'il a toujours 3 racines complexes (distinctes ou confondues). #### Principe de Factorisation Si \( z_0 \) est une racine d'un polynôme \( P(z) \), cela signifie que \( P(z_0) = 0 \). Dans ce cas, \( (z - z_0) \) est un facteur de \( P(z) \). Nous pouvons alors écrire \( P(z) = (z - z_0)Q(z) \), où \( Q(z) \) est un polynôme de degré 2. Si \( z_1, z_2, z_3 \) sont les trois racines du polynôme \( P(z) = az^3 + bz^2 + cz + d \), alors sa factorisation complète est: \[ P(z) = a(z - z_1)(z - z_2)(z - z_3) \] #### Méthodes pour trouver la première racine et réduire le degré ##### 1. Recherche de racines évidentes Pour des polynômes à coefficients entiers ou relativement simples, on peut souvent trouver une racine «évidente» en testant des valeurs simples comme \( 0, 1, -1, 2, -2, i, -i \), etc. Si vous trouvez une telle racine \( z_0 \), vous pouvez passer à l'étape suivante. ##### 2. Division euclidienne de polynômes Une fois que vous avez trouvé une racine \( z_0 \), vous savez que \( P(z) \) est divisible par \( (z - z_0) \). Vous pouvez effectuer une division euclidienne pour trouver le polynôme quotient \( Q(z) \) de degré 2: \[ P(z) = (z - z_0)Q(z) + R(z) \] Puisque \( z_0 \) est une racine, le reste \( R(z) \) sera nul. \( Q(z) \) sera de la forme \( Az^2 + Bz + C \). ##### 3. Méthode d'identification des coefficients Alternativement à la division euclidienne, vous pouvez poser \( P(z) = (z - z_0)(Az^2 + Bz + C) \) et développer le second membre. En identifiant les coefficients de chaque puissance de \( z \) avec ceux de \( P(z) \), vous obtiendrez un système d'équations pour trouver \( A, B, C \). ##### 4. Cas des coefficients réels Si le polynôme \( P(z) \) a des coefficients **réels**, et si \( z_0 \) est une racine complexe non réelle (c'est-à-dire \( Im(z_0) eq 0 \)), alors son conjugué \( \overline{z_0} \) est aussi une racine de \( P(z) \). Dans ce cas, le produit \( (z - z_0)(z - \overline{z_0}) \) est un facteur de \( P(z) \). Ce produit est un trinôme du second degré à coefficients réels: \[ (z - z_0)(z - \overline{z_0}) = z^2 - (z_0 + \overline{z_0})z + z_0\overline{z_0} = z^2 - 2Re(z_0)z + |z_0|^2 \] Vous pouvez ensuite diviser \( P(z) \) par ce trinôme réel pour trouver la dernière racine réelle ou poursuivre la factorisation. #### Factorisation complète du polynôme de degré 2 Une fois que vous avez réduit le problème à un polynôme du second degré \( Q(z) = Az^2 + Bz + C \), vous pouvez trouver ses racines \( z_2 \) et \( z_3 \) en utilisant le discriminant \( \Delta = B^2 - 4AC \): * Si \( \Delta = 0 \): \( z = -B/(2A) \) (racine double). * Si \( \Delta > 0 \): \( z = rac{-B eq \sqrt{\Delta}}{2A} \) (deux racines réelles distinctes). * Si \( \Delta < 0 \): \( z = rac{-B eq i\sqrt{-\Delta}}{2A} \) (deux racines complexes conjuguées). Vous devez savoir calculer les racines carrées de nombres complexes si \( \Delta \) est un nombre complexe. Si \( \Delta = \delta e^{i\theta} \), alors \( \sqrt{\Delta} = \pm \sqrt{\delta} e^{i\theta/2} \). ### Vocabulaire * **Polynôme de degré 3**: Expression de la forme \( az^3 + bz^2 + cz + d \) avec \( a \neq 0 \). * **Racine (ou zéro)**: Une valeur \( z_0 \) pour laquelle \( P(z_0) = 0 \). * **Factorisation**: Écrire un polynôme comme un produit de facteurs de degré inférieur, généralement du premier degré sur \( \mathbb{C} \). * **Division euclidienne**: Processus de division d'un polynôme par un autre, résultant en un quotient et un reste. * **Coefficients complexes/réels**: Les nombres \( a, b, c, d \) du polynôme, qui peuvent être des nombres complexes ou, dans un cas particulier, des nombres réels. * **Conjugué**: Pour un nombre complexe \( z = x + iy \), son conjugué est \( \overline{z} = x - iy \). * **Théorème fondamental de l'algèbre**: Théorème garantissant l'existence de racines complexes pour tout polynôme non constant. * **Discriminant**: La valeur \( \Delta = B^2 - 4AC \) utilisée pour trouver les racines d'un polynôme du second degré. ### Exemples #### Exemple 1: Polynôme à coefficients réels avec une racine réelle évidente Factoriser \( P(z) = z^3 - 2z^2 + z - 2 \). 1. **Recherche d'une racine évidente:** Essayons \( z=1 \): \( P(1) = 1 - 2 + 1 - 2 = -2 \neq 0 \). Essayons \( z=2 \): \( P(2) = 2^3 - 2(2^2) + 2 - 2 = 8 - 8 + 2 - 2 = 0 \). Donc \( z_0 = 2 \) est une racine, et \( (z-2) \) est un facteur de \( P(z) \). 2. **Division euclidienne ou identification:** Utilisons l'identification des coefficients. On cherche \( A, B, C \) tels que: \( z^3 - 2z^2 + z - 2 = (z-2)(Az^2 + Bz + C) \) \( = Az^3 + Bz^2 + Cz - 2Az^2 - 2Bz - 2C \) \( = Az^3 + (B-2A)z^2 + (C-2B)z - 2C \) Par identification: * \( A = 1 \) * \( B - 2A = -2 \Rightarrow B - 2(1) = -2 \Rightarrow B = 0 \) * \( C - 2B = 1 \Rightarrow C - 2(0) = 1 \Rightarrow C = 1 \) * \( -2C = -2 \Rightarrow C = 1 \) (cohérent) Donc \( Q(z) = z^2 + 1 \). On a \( P(z) = (z-2)(z^2+1) \). 3. **Factorisation du polynôme du second degré:** Les racines de \( z^2 + 1 = 0 \) sont \( z^2 = -1 \), donc \( z = i \) ou \( z = -i \). 4. **Factorisation complète:** \( P(z) = (z-2)(z-i)(z+i) \) #### Exemple 2: Polynôme avec une racine complexe donnée Factoriser \( P(z) = z^3 - (1+i)z^2 + (2+i)z - 2i \) sachant que \( z_0 = i \) est une racine. 1. **Vérification de la racine (si non donnée):** \( P(i) = i^3 - (1+i)i^2 + (2+i)i - 2i \) \( = -i - (1+i)(-1) + 2i + i^2 - 2i \) \( = -i + (1+i) + 2i - 1 - 2i \) \( = -i + 1 + i + 2i - 1 - 2i = 0 \). La racine est confirmée. 2. **Identification des coefficients:** On cherche \( A, B, C \) tels que \( P(z) = (z-i)(Az^2 + Bz + C) \). \( P(z) = Az^3 + Bz^2 + Cz - iAz^2 - iBz - iC \) \( = Az^3 + (B-iA)z^2 + (C-iB)z - iC \) Par identification avec \( P(z) = z^3 - (1+i)z^2 + (2+i)z - 2i \): * \( A = 1 \) * \( B - iA = -(1+i) \Rightarrow B - i(1) = -1 - i \Rightarrow B = -1 \) * \( C - iB = 2+i \Rightarrow C - i(-1) = 2+i \Rightarrow C + i = 2+i \Rightarrow C = 2 \) * \( -iC = -2i \Rightarrow C = 2 \) (cohérent) Donc \( Q(z) = z^2 - z + 2 \). On a \( P(z) = (z-i)(z^2-z+2) \). 3. **Factorisation du polynôme du second degré:** Pour \( z^2 - z + 2 = 0 \), calculons le discriminant: \( \Delta = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 \) Les racines sont: \( z = rac{-(-1) eq \sqrt{-7}}{2(1)} = rac{1 eq i\sqrt{7}}{2} \) Donc \( z_2 = rac{1+i\sqrt{7}}{2} \) et \( z_3 = rac{1-i\sqrt{7}}{2} \). 4. **Factorisation complète:** \( P(z) = (z-i)(z - rac{1+i\sqrt{7}}{2})(z - rac{1-i\sqrt{7}}{2}) \) ### Exercices 1. Factoriser complètement le polynôme \( P(z) = z^3 + z^2 + z + 1 \). *(Indice: cherchez une racine évidente parmi \( -1, i, -i \).)* 2. Factoriser complètement le polynôme \( P(z) = z^3 - 3z^2 + 3z - 2 \) sachant que \( z_0 = 2 \) est une de ses racines. 3. Factoriser complètement le polynôme \( P(z) = z^3 - (3+i)z^2 + (2+3i)z - 2i \) sachant que \( z_0 = i \) est une de ses racines. ### Devoirs à la maison 1. Factoriser complètement le polynôme \( P(z) = z^3 - 4z^2 + 6z - 4 \) en sachant qu'il admet une racine réelle. Donnez toutes les racines sous forme algébrique. 2. Soit le polynôme \( P(z) = z^3 + (1-2i)z^2 + (1-2i)z - 2i \). a. Vérifier que \( z_0 = 2i \) est une racine de \( P(z) \). b. En déduire une factorisation complète de \( P(z) \). ### Résumé Pour factoriser un polynôme de degré 3 de la forme \( P(z) = az^3 + bz^2 + cz + d \) sur \( \mathbb{C} \), suivez ces étapes clés: 1. **Trouver une première racine (\( z_0 \)):** Cela peut être fait par la recherche de racines évidentes, ou en utilisant des informations données dans l'énoncé. Si les coefficients sont réels, et qu'une racine complexe \( z_0 \) est connue, alors son conjugué \( \overline{z_0} \) est aussi une racine. 2. **Réduire le polynôme:** Une fois \( z_0 \) trouvée, \( (z - z_0) \) est un facteur de \( P(z) \). Effectuez une division euclidienne ou utilisez la méthode d'identification des coefficients pour trouver le polynôme quotient \( Q(z) \) de degré 2 tel que \( P(z) = (z - z_0)Q(z) \). 3. **Factoriser le polynôme de degré 2:** Utilisez le discriminant \( \Delta = B^2 - 4AC \) pour trouver les deux racines de \( Q(z) = Az^2 + Bz + C \). 4. **Écrire la factorisation complète:** Le polynôme \( P(z) \) peut alors être écrit sous la forme \( P(z) = a(z - z_0)(z - z_1)(z - z_2) \), où \( z_1 \) et \( z_2 \) sont les racines de \( Q(z) \). Grâce aux nombres complexes, tout polynôme de degré 3 peut toujours être factorisé en trois facteurs du premier degré.