Chap3: Séries statistiques à deux variables

# Chap3: Séries statistiques à deux variables ## Point moyen ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur les séries statistiques à deux variables. En Terminale, nous allons approfondir notre compréhension des données en analysant des situations où deux caractéristiques sont observées simultanément. Un concept clé pour résumer et comprendre la "tendance centrale" de ces données est le **point moyen**. Il s'agit d'un point unique qui représente le centre de gravité de l'ensemble de vos données, agissant comme un résumé essentiel de la distribution conjointe des deux variables. ### Concepts Clés #### Séries statistiques à deux variables Une série statistique à deux variables est un ensemble de \(n\) observations où chaque observation est une paire de valeurs numériques \( (x_i, y_i) \). Chaque \(x_i\) représente la valeur de la première variable et chaque \(y_i\) la valeur de la seconde variable pour la \(i\)-ième observation. * **Exemple :** Si nous mesurons la taille (première variable) et le poids (seconde variable) de plusieurs élèves, chaque élève fournit une paire \( (taille_i, poids_i) \). * **Représentation graphique :** Ces paires de points peuvent être représentées dans un plan cartésien, formant ce qu'on appelle un **nuage de points**. #### Définition et calcul du point moyen (ou centre de gravité) G Le point moyen, souvent noté \(G\), est un point dont les coordonnées sont la moyenne des valeurs de la première variable (\(x\)) et la moyenne des valeurs de la seconde variable (\(y\)). Les coordonnées de \(G\) sont \( (ar{x}, ar{y}) \), où : * \(\bar{x}\) est la moyenne arithmétique des \(x_i\) : \[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \] * \(\bar{y}\) est la moyenne arithmétique des \(y_i\) : \[ \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i \] **Interprétation :** Le point moyen \(G\) est considéré comme le centre d'équilibre ou le centre de gravité du nuage de points. Si chaque point du nuage avait la même masse, \(G\) serait le point d'équilibre de ce système. #### Intérêt du point moyen * **Synthèse des données :** Il offre une représentation simple et unique de la tendance centrale des données bidimensionnelles. * **Analyse de régression :** Dans l'étude de la régression linéaire (qui sera abordée plus tard), la droite de régression passe toujours par le point moyen \(G\). C'est une propriété fondamentale et très utile. * **Comparaison :** Il permet de comparer facilement différentes séries statistiques. ### Vocabulaire * **Série statistique à deux variables :** Ensemble de \(n\) observations où chaque observation est une paire de valeurs numériques \( (x_i, y_i) \). * **Nuage de points :** Représentation graphique d'une série statistique à deux variables dans un plan cartésien, où chaque point a pour coordonnées \( (x_i, y_i) \). * **Point moyen (ou centre de gravité) \(G\) :** Point unique dont les coordonnées sont la moyenne des \(x_i\) et la moyenne des \(y_i\). * **Variable \(x\) :** La première caractéristique numérique observée. * **Variable \(y\) :** La seconde caractéristique numérique observée. ### Exemples #### Exemple 1 : Nombre d'heures de révision et note obtenue Un groupe de 5 élèves a enregistré le nombre d'heures passées à réviser une matière (\(x\)) et la note qu'ils ont obtenue à l'examen (\(y\)). | Élève | Heures de révision (\(x_i\)) | Note (\(y_i\)) | |-------|-------------------------------|------------------| | 1 | 2 | 8 | | 2 | 5 | 14 | | 3 | 3 | 10 | | 4 | 6 | 16 | | 5 | 4 | 12 | **Calcul du point moyen G :** 1. **Calcul de \(\bar{x}\) :** \[ \bar{x} = \frac{2+5+3+6+4}{5} = \frac{20}{5} = 4 \] 2. **Calcul de \(\bar{y}\) :** \[ \bar{y} = \frac{8+14+10+16+12}{5} = \frac{60}{5} = 12 \] Le point moyen est donc \(G(4, 12)\). #### Exemple 2 : Ventes et dépenses publicitaires Une entreprise a enregistré les dépenses publicitaires (en milliers d'euros, \(x\)) et le chiffre d'affaires (en milliers d'euros, \(y\)) sur 4 trimestres. | Trimestre | Dépenses Publicitaires (\(x_i\)) | Chiffre d'affaires (\(y_i\)) | |-----------|---------------------------------|----------------------------------| | 1 | 10 | 120 | | 2 | 15 | 150 | | 3 | 8 | 110 | | 4 | 12 | 130 | **Calcul du point moyen G :** 1. **Calcul de \(\bar{x}\) :** \[ \bar{x} = \frac{10+15+8+12}{4} = \frac{45}{4} = 11.25 \] 2. **Calcul de \(\bar{y}\) :** \[ \bar{y} = \frac{120+150+110+130}{4} = \frac{510}{4} = 127.5 \] Le point moyen est donc \(G(11.25, 127.5)\). Ce point représente les dépenses publicitaires moyennes et le chiffre d'affaires moyen sur cette période. ### Exercices #### Exercice 1 Un chercheur a mesuré l'âge (en années, \(x\)) et la pression artérielle systolique (en mmHg, \(y\)) pour 6 individus. | Individu | Âge (\(x_i\)) | Pression (\(y_i\)) | |----------|---------------|-------------------| | 1 | 30 | 120 | | 2 | 45 | 135 | | 3 | 25 | 115 | | 4 | 50 | 140 | | 5 | 35 | 125 | | 6 | 40 | 130 | 1. Calculez la moyenne des âges (\(\bar{x}\)). 2. Calculez la moyenne des pressions artérielles (\(\bar{y}\)). 3. Déterminez les coordonnées du point moyen \(G\). 4. Interprétez ce point moyen dans le contexte de l'étude. #### Exercice 2 Voici les données sur le nombre d'heures passées devant un écran (\(x\)) et le nombre moyen d'heures de sommeil (\(y\)) par nuit pour 5 étudiants. | Étudiant | Heures écran (\(x_i\)) | Heures sommeil (\(y_i\)) | |----------|------------------------|--------------------------| | 1 | 3 | 9 | | 2 | 6 | 7 | | 3 | 4 | 8 | | 4 | 8 | 6 | | 5 | 5 | 7.5 | 1. Calculez \(\bar{x}\). 2. Calculez \(\bar{y}\). 3. Donnez les coordonnées de \(G\). ### Devoir à la maison #### Devoir 1 Une entreprise étudie la relation entre le prix de vente d'un article (en euros, \(x\)) et le nombre d'unités vendues par jour (\(y\)). Voici les données pour 7 jours : | Jour | Prix (\(x_i\)) | Unités vendues (\(y_i\)) | |------|---------------|--------------------------| | 1 | 10 | 50 | | 2 | 12 | 45 | | 3 | 9 | 55 | | 4 | 11 | 48 | | 5 | 13 | 40 | | 6 | 10.5 | 52 | | 7 | 11.5 | 47 | 1. Calculez \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\). 2. Déterminez les coordonnées du point moyen \(G\). 3. Expliquez l'importance du point moyen dans ce contexte commercial. 4. Si vous deviez tracer le nuage de points et le point moyen, où positionneriez-vous \(G\) par rapport à l'ensemble des points ? #### Devoir 2 Créez votre propre série statistique à deux variables avec au moins 5 paires de données. Ces données peuvent être liées à n'importe quel sujet qui vous intéresse (par exemple, température journalière et consommation d'électricité, nombre de buts marqués et nombre de victoires d'une équipe, etc.). 1. Listez vos données dans un tableau. 2. Calculez \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\) pour votre série. 3. Indiquez les coordonnées de votre point moyen \(G\). ### Résumé Le **point moyen \(G\)** est un concept fondamental dans l'étude des séries statistiques à deux variables. Il fournit une synthèse concise de la distribution de ces données. Ses coordonnées \( (ar{x}, ar{y}) \) sont obtenues en calculant simplement la moyenne arithmétique de chaque variable séparément. Agissant comme le centre de gravité du nuage de points, le point moyen est un outil précieux non seulement pour la visualisation et l'interprétation des données, mais aussi comme un point de passage obligatoire pour la future droite de régression. Maîtriser son calcul et sa signification est une étape essentielle pour analyser des relations entre deux variables. ## Ajustement linéaire par la méthode de Mayer ### Introduction En mathématiques, il est fréquent de rencontrer des situations où deux grandeurs évoluent de manière liée. Par exemple, le nombre d'années d'études peut être lié au salaire, ou la température extérieure à la consommation d'énergie. Lorsque ces grandeurs peuvent être représentées par des couples de données \( (x_i, y_i) \), on parle de séries statistiques à deux variables. L'objectif de l'ajustement linéaire est de trouver une relation mathématique simple, souvent une droite, qui modélise au mieux la tendance observée entre ces deux variables. Cette droite nous permettra ensuite de faire des prévisions. La méthode de Mayer est l'une des techniques utilisées pour déterminer l'équation de cette droite d'ajustement. ### Concepts Clés #### Séries statistiques à deux variables Une série statistique à deux variables, aussi appelée série double, est un ensemble de couples de données \( (x_i, y_i) \) où chaque \( x_i \) est associé à un \( y_i \). Par exemple, si \( x_i \) représente l'année et \( y_i \) le nombre d'abonnés à un service, alors \( (x_i, y_i) \) est un couple de données de la série. #### Nuage de points Le nuage de points est la représentation graphique d'une série statistique à deux variables dans un repère. Chaque couple \( (x_i, y_i) \) est un point du plan. L'observation de ce nuage permet de déceler une éventuelle corrélation entre les variables et de visualiser la forme de cette corrélation (linéaire, parabolique, exponentielle, etc.). #### Ajustement linéaire Lorsque le nuage de points présente une forme allongée qui suggère une tendance rectiligne, on parle d'ajustement linéaire. L'objectif est de trouver l'équation d'une droite, \( y = ax + b \), qui passe "au plus près" de l'ensemble des points. Cette droite est appelée droite d'ajustement ou droite de régression. L'ajustement linéaire est utile pour : * **L'interpolation :** estimer une valeur de \( y \) pour une valeur de \( x \) située à l'intérieur de la plage des données observées. * **L'extrapolation :** prédire une valeur de \( y \) pour une valeur de \( x \) située en dehors de la plage des données observées. L'extrapolation doit être utilisée avec prudence, car la tendance observée ne se prolonge pas toujours indéfiniment. #### La méthode de Mayer La méthode de Mayer est une technique simple pour déterminer une droite d'ajustement linéaire. Elle repose sur le principe suivant : ##### 1. Ordonner et diviser la série La première étape consiste à ordonner les couples de données \( (x_i, y_i) \) selon les valeurs croissantes de \( x_i \). Ensuite, on divise la série en deux sous-séries d'effectifs égaux ou quasi-égaux. * Si le nombre total de points \( N \) est pair, chaque sous-série aura \( N/2 \) points. * Si le nombre total de points \( N \) est impair, la première sous-série aura \( (N+1)/2 \) points et la deuxième \( (N-1)/2 \) points (ou inversement, parfois le point du milieu est retiré, mais la première approche est plus courante au lycée). ##### 2. Calculer les points moyens \( G_1 \) et \( G_2 \) Pour chaque sous-série, on calcule le point moyen. Le point moyen d'un ensemble de points \( (x_i, y_i) \) est le point \( G(\bar{x}, \bar{y}) \) dont les coordonnées sont la moyenne arithmétique des \( x_i \) et la moyenne arithmétique des \( y_i \) respectifs. * **Pour la première sous-série :** \( G_1 (\bar{x_1}, \bar{y_1}) \) * \( \bar{x_1} = \frac{1}{n_1} \sum_{i \in S_1} x_i \) * \( \bar{y_1} = \frac{1}{n_1} \sum_{i \in S_1} y_i \) * **Pour la deuxième sous-série :** \( G_2 (\bar{x_2}, \bar{y_2}) \) * \( \bar{x_2} = \frac{1}{n_2} \sum_{i \in S_2} x_i \) * \( \bar{y_2} = \frac{1}{n_2} \sum_{i \in S_2} y_i \) Où \( n_1 \) et \( n_2 \) sont les effectifs des première et deuxième sous-séries, et \( S_1 \) et \( S_2 \) désignent les ensembles d'indices des points de chaque sous-série. ##### 3. Déterminer l'équation de la droite de Mayer La droite de Mayer est la droite qui passe par les deux points moyens \( G_1 \) et \( G_2 \). Son équation est de la forme \( y = ax + b \). * **Calcul du coefficient directeur \( a \) :** Le coefficient directeur \( a \) de la droite passant par \( G_1 (\bar{x_1}, \bar{y_1}) \) et \( G_2 (\bar{x_2}, \bar{y_2}) \) est donné par la formule : \[ a = \frac{\bar{y_2} - \bar{y_1}}{\bar{x_2} - \bar{x_1}} \] * **Calcul de l'ordonnée à l'origine \( b \) :** Une fois \( a \) calculé, on peut déterminer \( b \) en utilisant les coordonnées de l'un des points moyens (par exemple \( G_1 \)). Puisque \( G_1 \) appartient à la droite, ses coordonnées vérifient l'équation \( y = ax + b \) : \( \bar{y_1} = a\bar{x_1} + b \) D'où : \( b = \bar{y_1} - a\bar{x_1} \) * **Équation finale :** L'équation de la droite de Mayer est alors \( y = ax + b \) avec les valeurs de \( a \) et \( b \) calculées. ### Vocabulaire * **Série statistique à deux variables :** Ensemble de couples de données \( (x_i, y_i) \). * **Nuage de points :** Représentation graphique d'une série statistique à deux variables. * **Ajustement linéaire :** Modélisation d'une relation entre deux variables par une droite. * **Interpolation :** Estimation d'une valeur à l'intérieur de la plage de données connues. * **Extrapolation :** Prédiction d'une valeur en dehors de la plage de données connues. * **Point moyen :** Point dont les coordonnées sont les moyennes des \( x_i \) et des \( y_i \) d'un ensemble de points. * **Droite de Mayer :** Droite d'ajustement linéaire obtenue par la méthode de Mayer, passant par les deux points moyens \( G_1 \) et \( G_2 \). ### Exemples Considérons les données de ventes d'une entreprise (en milliers d'euros) en fonction de l'année (rang de l'année à partir de 2010). | Rang de l'année \( x_i \) | Ventes \( y_i \) (en milliers d'euros) | | :----------------------: | :----------------------------------: | | 1 (2010) | 12 | | 2 (2011) | 15 | | 3 (2012) | 18 | | 4 (2013) | 20 | | 5 (2014) | 23 | | 6 (2015) | 25 | #### Application de la méthode de Mayer 1. **Ordonner et diviser la série :** Les données sont déjà ordonnées selon \( x_i \). Nous avons \( N=6 \) points. Nous divisons en deux groupes de \( N/2 = 3 \) points. * **Groupe 1 :** \( (1, 12), (2, 15), (3, 18) \) * **Groupe 2 :** \( (4, 20), (5, 23), (6, 25) \) 2. **Calculer les points moyens \( G_1 \) et \( G_2 \) :** * **Pour \( G_1 \) :** \( \bar{x_1} = \frac{1+2+3}{3} = \frac{6}{3} = 2 \) \( \bar{y_1} = \frac{12+15+18}{3} = \frac{45}{3} = 15 \) Donc, \( G_1 (2, 15) \). * **Pour \( G_2 \) :** \( \bar{x_2} = \frac{4+5+6}{3} = \frac{15}{3} = 5 \) \( \bar{y_2} = \frac{20+23+25}{3} = \frac{68}{3} \approx 22.67 \) Donc, \( G_2 (5, 22.67) \). 3. **Déterminer l'équation de la droite de Mayer \( y = ax + b \) :** * **Calcul du coefficient directeur \( a \) :** \[ a = \frac{\bar{y_2} - \bar{y_1}}{\bar{x_2} - \bar{x_1}} = \frac{22.67 - 15}{5 - 2} = \frac{7.67}{3} \approx 2.56 \] * **Calcul de l'ordonnée à l'origine \( b \) :** En utilisant \( G_1 (2, 15) \) : \( 15 = 2.56 \times 2 + b \) \( 15 = 5.12 + b \) \( b = 15 - 5.12 = 9.88 \) * **Équation de la droite de Mayer :** \( y = 2.56x + 9.88 \) #### Prévision Utilisons cette droite pour prévoir les ventes en 2017 (soit \( x=8 \) puisque 2010 correspond à \( x=1 \)) : \( y = 2.56 \times 8 + 9.88 \) \( y = 20.48 + 9.88 \) \( y = 30.36 \) On peut estimer les ventes à 30.36 milliers d'euros en 2017. ### Exercices 1. **Données :** On observe l'évolution du prix d'un article (en euros) en fonction du nombre d'unités produites (en centaines). | Nombre d'unités \( x_i \) (en centaines) | Prix \( y_i \) (en euros) | | :-------------------------------------: | :-----------------------: | | 1 | 80 | | 2 | 75 | | 3 | 70 | | 4 | 65 | | 5 | 60 | | 6 | 58 | En utilisant la méthode de Mayer : * a) Calculez les coordonnées des points moyens \( G_1 \) et \( G_2 \). * b) Déterminez l'équation de la droite de Mayer sous la forme \( y = ax + b \). * c) Estimez le prix de l'article si 800 unités sont produites (c'est-à-dire \( x=8 \)). ### Devoirs 1. **Données :** Le tableau suivant donne le pourcentage de réussite au baccalauréat dans un lycée sur plusieurs années, en prenant l'année 2010 comme rang 0. | Rang de l'année \( x_i \) | Pourcentage de réussite \( y_i \) | | :----------------------: | :--------------------------------: | | 0 (2010) | 85 | | 1 (2011) | 87 | | 2 (2012) | 86 | | 3 (2013) | 89 | | 4 (2014) | 91 | | 5 (2015) | 90 | | 6 (2016) | 92 | En utilisant la méthode de Mayer : * a) Les données sont-elles ordonnées ? Si non, ordonnez-les. * b) Divisez la série en deux sous-séries et calculez les points moyens \( G_1 \) et \( G_2 \). * c) Déterminez l'équation de la droite d'ajustement linéaire par la méthode de Mayer. * d) Prévoyez le pourcentage de réussite pour l'année 2018 (soit \( x=8 \)). ### Résumé La méthode de Mayer est une approche simple et rapide pour réaliser un ajustement linéaire d'une série statistique à deux variables. Elle consiste à : 1. Ordonner les données selon \( x_i \) et les diviser en deux groupes d'effectifs (presque) égaux. 2. Calculer le point moyen \( G_1 \) pour le premier groupe et \( G_2 \) pour le second groupe. 3. Déterminer l'équation de la droite \( y = ax + b \) qui passe par ces deux points moyens. Cette droite d'ajustement permet ensuite de modéliser la tendance et de réaliser des prévisions (interpolation ou extrapolation), bien qu'il faille rester vigilant lors de l'extrapolation. ## Utilisation de la droite de Mayer ### Introduction En statistiques, lorsque nous étudions des séries à deux variables (ou séries chronologiques), nous cherchons souvent à déterminer s'il existe une relation linéaire entre ces deux variables. L'objectif est de modéliser cette relation par une droite, appelée droite d'ajustement ou de régression. La droite de Mayer est l'une des méthodes utilisées pour réaliser un ajustement affine, c'est-à-dire trouver la droite qui "colle le mieux" à un nuage de points. Cette méthode est relativement simple à mettre en œuvre et fournit une première approximation utile pour la prévision ou l'interprétation. ### Concepts Clés #### Séries statistiques à deux variables Une série statistique à deux variables \( (x_i, y_i) \) est un ensemble de couples de valeurs pour \( i=1, ..., n \). Ces données peuvent être représentées graphiquement par un **nuage de points** dans un repère orthogonal. Chaque point \( M_i \) a pour coordonnées \( (x_i, y_i) \). #### Problème de l'ajustement affine Lorsque le nuage de points présente une forme allongée qui semble suivre une direction générale, on dit qu'il y a une **corrélation linéaire**. L'ajustement affine consiste à trouver l'équation d'une droite \( D \) d'équation \( y = ax + b \) qui décrit au mieux cette tendance linéaire. Cette droite permet de modéliser la relation et, éventuellement, de faire des prévisions. #### Principe de la droite de Mayer La méthode de Mayer consiste à diviser le nuage de points en deux sous-nuages de taille (presque) égale, puis à calculer le point moyen (ou barycentre) de chacun de ces sous-nuages. La droite de Mayer est alors la droite qui passe par ces deux points moyens. ##### Étapes de construction de la droite de Mayer: 1. **Ordonner les données :** Classez les couples \( (x_i, y_i) \) selon les valeurs croissantes de \( x_i \). 2. **Partager le nuage de points :** Divisez le nuage de points ordonné en deux sous-nuages \( N_1 \) et \( N_2 \) contenant un nombre de points quasi-égal. S'il y a un nombre impair de points, le point médian peut être attribué à l'un ou l'autre des sous-nuages (souvent le premier ou le second), ou exclu de l'analyse dans certaines variantes. Pour simplifier, nous prendrons des sous-nuages de tailles \( n_1 = n/2 \) et \( n_2 = n - n_1 \) si \( n \) est pair, ou \( n_1 = (n+1)/2 \) et \( n_2 = (n-1)/2 \) (ou l'inverse) si \( n \) est impair. 3. **Calculer les points moyens :** Pour chaque sous-nuage, calculez les coordonnées du point moyen \( G_1(\bar{x_1}, ar{y_1}) \) et \( G_2(\bar{x_2}, ar{y_2}) \). * \( \bar{x_k} = \frac{1}{n_k} \sum_{M_i \in N_k} x_i \) * \( \bar{y_k} = \frac{1}{n_k} \sum_{M_i \in N_k} y_i \) 4. **Déterminer l'équation de la droite :** La droite de Mayer est la droite passant par \( G_1 \) et \( G_2 \). Son équation \( y = ax+b \) peut être trouvée en utilisant les coordonnées de ces deux points. * **Calcul du coefficient directeur \( a \) :** \[ a = \frac{ar{y_2} - ar{y_1}}{ar{x_2} - ar{x_1}} \] * **Calcul de l'ordonnée à l'origine \( b \) :** Utilisez l'un des points moyens (par exemple \( G_1 \)) et la valeur de \( a \) : \( ar{y_1} = aar{x_1} + b \), d'où \( b = ar{y_1} - aar{x_1} \). ### Vocabulaire * **Nuage de points :** Représentation graphique des couples \( (x_i, y_i) \) d'une série statistique à deux variables. * **Ajustement affine :** Méthode visant à modéliser la relation entre deux variables par une droite. * **Corrélation linéaire :** Indique une tendance linéaire entre deux variables, visible sur le nuage de points. * **Point moyen (ou barycentre) :** Point dont les coordonnées sont les moyennes arithmétiques des coordonnées des points d'un sous-nuage. Pour un ensemble de points \( (x_i, y_i) \), le point moyen est \( (ar{x}, ar{y}) \). * **Droite de Mayer :** Droite d'ajustement affine obtenue en reliant les deux points moyens de deux sous-nuages de points. * **Extrapolation :** Utilisation de la droite d'ajustement pour faire des prévisions en dehors de l'intervalle des \( x_i \) observés. À utiliser avec prudence. * **Interpolation :** Utilisation de la droite d'ajustement pour faire des prévisions à l'intérieur de l'intervalle des \( x_i \) observés. ### Exemples Considérons les données suivantes qui représentent le temps de révision (en heures) et la note obtenue (sur 20) par 8 élèves : | Temps de révision (x) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |-----------------------|---|---|---|---|---|---|---|---| | Note (y) | 8 | 10| 12| 13| 15| 16| 18| 20| 1. **Ordonner les données :** Les données sont déjà ordonnées selon \( x \) croissant. 2. **Partager en deux sous-nuages :** Il y a 8 points. Nous allons créer deux sous-nuages de 4 points chacun. * \( N_1 \) : \( (2,8), (3,10), (4,12), (5,13) \) * \( N_2 \) : \( (6,15), (7,16), (8,18), (9,20) \) 3. **Calculer les points moyens :** * **Pour \( N_1 \) :** * \( ar{x_1} = \frac{2+3+4+5}{4} = \frac{14}{4} = 3.5 \) * \( ar{y_1} = \frac{8+10+12+13}{4} = \frac{43}{4} = 10.75 \) Donc \( G_1(3.5 ; 10.75) \) * **Pour \( N_2 \) :** * \( ar{x_2} = \frac{6+7+8+9}{4} = \frac{30}{4} = 7.5 \) * \( ar{y_2} = \frac{15+16+18+20}{4} = \frac{69}{4} = 17.25 \) Donc \( G_2(7.5 ; 17.25) \) 4. **Déterminer l'équation de la droite de Mayer \( y=ax+b \) :** * **Calcul de \( a \) :** \[ a = \frac{ar{y_2} - ar{y_1}}{ar{x_2} - ar{x_1}} = \frac{17.25 - 10.75}{7.5 - 3.5} = \frac{6.5}{4} = 1.625 \] * **Calcul de \( b \) :** En utilisant \( G_1 \) : \( 10.75 = 1.625 \times 3.5 + b \) \( 10.75 = 5.6875 + b \) \( b = 10.75 - 5.6875 = 5.0625 \] L'équation de la droite de Mayer est donc : \[ y = 1.625x + 5.0625 \] Cette droite peut être utilisée pour estimer la note d'un élève ayant révisé un certain nombre d'heures (par exemple, pour 5.5 heures de révision, la note estimée serait \( y = 1.625 \times 5.5 + 5.0625 = 8.9375 + 5.0625 = 14 \) environ). ### Exercices 1. **Exercice 1 :** Les données suivantes représentent la taille (en cm) et le poids (en kg) de 6 personnes : | Taille (x) | 160 | 165 | 170 | 175 | 180 | 185 | |------------|-----|-----|-----|-----|-----|-----| | Poids (y) | 55 | 60 | 68 | 70 | 75 | 82 | Déterminez l'équation de la droite de Mayer pour ces données. 2. **Exercice 2 :** Une entreprise observe l'évolution de ses ventes (en milliers d'euros) en fonction des dépenses publicitaires (en centaines d'euros) sur 7 mois : | Dépenses publicitaires (x) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |----------------------------|---|---|---|---|---|---|---| | Ventes (y) | 10| 15| 18| 20| 24| 27| 30| a) Calculez les coordonnées des deux points moyens \( G_1 \) et \( G_2 \). b) Écrivez l'équation de la droite de Mayer. c) Estimez les ventes si l'entreprise dépense 800 euros en publicité (\( x=8 \)). ### Devoir 1. **Devoir 1 :** Un apiculteur relève la production de miel (en kg) d'une ruche en fonction du nombre de jours depuis le début de la saison. Les données sont : | Jours (x) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | |---------------------|----|----|----|----|----|----|----|----| | Production (y) (kg) | 0.5| 1.2| 2.0| 2.8| 3.5| 4.1| 4.8| 5.5| a) Construisez la droite de Mayer pour ces données. b) En utilisant l'équation de la droite, estimez la production de miel au 90ème jour. 2. **Devoir 2 :** Les données suivantes montrent la consommation de carburant (en litres) d'une voiture en fonction de la distance parcourue (en km) pour 9 trajets : | Distance (x) (km) | 50 | 75 | 100| 125| 150| 175| 200| 225| 250| |-------------------|----|----|----|----|----|----|----|----|----| | Carburant (y) (L) | 3 | 4.5| 6 | 7.5| 9 | 10.5| 12 | 13.5| 15 | *Attention :* Le nombre de points est impair. Décidez comment répartir les points dans les deux sous-nuages (par exemple, le point central peut être inclus dans le premier groupe, ou dans le second, ou omis). Indiquez clairement votre choix. a) Calculez les points moyens \( G_1 \) et \( G_2 \) selon votre choix de répartition. b) Déterminez l'équation de la droite de Mayer. c) Quelle serait la consommation estimée pour un trajet de 300 km ? ### Résumé La droite de Mayer est une méthode d'ajustement affine qui permet de modéliser une relation linéaire entre deux variables statistiques. Sa construction repose sur le calcul des points moyens de deux sous-nuages de points obtenus après avoir ordonné et divisé la série de données. La droite de Mayer est la droite passant par ces deux points moyens. Elle est utile pour analyser une tendance et faire des prévisions, bien qu'elle soit une approximation et que d'autres méthodes (comme la régression linéaire par moindres carrés) puissent offrir une meilleure précision dans certains cas. ## Nuage de points ### Introduction Bienvenue au chapitre 3 : Séries statistiques à deux variables. Dans cette leçon, nous allons explorer un outil graphique essentiel pour visualiser la relation entre deux variables : le nuage de points. Il nous aidera à comprendre si deux grandeurs évoluent de manière liée ou non, et à déceler des tendances. ### Concepts clés #### Séries statistiques à deux variables ##### Définition Une série statistique à deux variables \( (X, Y) \) est un ensemble de \( n \) couples de valeurs \( (x_i, y_i) \) pour \( i = 1, \dots, n \). Chaque couple \( (x_i, y_i) \) représente une observation où \( x_i \) est la valeur de la première variable et \( y_i \) est la valeur de la seconde variable pour le \( i \)-ème individu ou observation. ##### Exemples * La taille et le poids d'un groupe d'élèves. * Le nombre d'heures d'étude et la note obtenue à un examen. #### Le nuage de points ##### Définition et but Un nuage de points est la représentation graphique d'une série statistique à deux variables dans un repère orthogonal. Chaque couple \( (x_i, y_i) \) est représenté par un point \( M_i \) de coordonnées \( (x_i, y_i) \). Son but est de visualiser la forme de la relation entre les deux variables et de déceler une éventuelle corrélation. ##### Construction 1. Choisir un repère orthogonal adapté aux valeurs de \( X \) et \( Y \). 2. Placer chaque point \( M_i(x_i, y_i) \) dans ce repère. ##### Le point moyen Le point moyen \( G \) du nuage a pour coordonnées \( (\bar{x}, \bar{y}) \), où \( \bar{x} \) est la moyenne des \( x_i \) et \( \bar{y} \) est la moyenne des \( y_i \). \[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \] \[ \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \] Ce point est souvent un bon indicateur du 'centre' du nuage de points et est utile pour la modélisation ultérieure. #### Interprétation d'un nuage de points et corrélation ##### Détection d'une corrélation La forme du nuage de points nous aide à juger s'il existe une corrélation entre les variables \( X \) et \( Y \). Une corrélation est une relation statistique entre deux variables. Elle ne signifie pas nécessairement un lien de causalité. ##### Types de corrélation ###### Corrélation positive (ou directe) Les points tendent à suivre une ligne montante. Lorsque \( X \) augmente, \( Y \) a tendance à augmenter. On dit que les variables évoluent dans le même sens. * **Exemple :** Plus le nombre d'heures d'étude augmente, plus la note à l'examen est généralement élevée. ###### Corrélation négative (ou inverse) Les points tendent à suivre une ligne descendante. Lorsque \( X \) augmente, \( Y \) a tendance à diminuer. Les variables évoluent en sens inverse. * **Exemple :** Plus on fait de kilomètres avec une voiture, plus sa valeur de revente diminue. ###### Absence de corrélation Les points sont dispersés sans suivre de direction particulière. Il n'y a pas de lien apparent entre \( X \) et \( Y \). * **Exemple :** La taille d'une personne et son nombre de frères et sœurs. ##### Force de la corrélation Plus les points sont proches d'un alignement (près d'une droite), plus la corrélation est forte. Si les points sont très dispersés, la corrélation est faible. La quantification de cette force sera vue avec le coefficient de corrélation linéaire. ### Vocabulaire * **Série statistique à deux variables :** Ensemble de couples de valeurs observées pour deux grandeurs. * **Nuage de points :** Représentation graphique d'une série statistique à deux variables, où chaque couple est un point dans un repère. * **Point moyen (G) :** Point dont les coordonnées sont les moyennes des variables (\( \bar{x}, \bar{y} \)). * **Corrélation :** Lien statistique entre deux variables, indiquant si elles tendent à évoluer ensemble. * **Corrélation positive :** Les deux variables évoluent dans le même sens (quand l'une augmente, l'autre tend à augmenter). * **Corrélation négative :** Les deux variables évoluent en sens inverse (quand l'une augmente, l'autre tend à diminuer). * **Absence de corrélation :** Pas de lien apparent entre les variables. ### Exemples #### Exemple 1 : Corrélation positive Voici les tailles (en cm) et poids (en kg) de 5 élèves : | Élève | Taille (X) | Poids (Y) | |-------|------------|-----------| | 1 | 160 | 55 | | 2 | 175 | 70 | | 3 | 165 | 60 | | 4 | 180 | 75 | | 5 | 170 | 65 | **Question :** Construisez le nuage de points et décrivez la corrélation. **Solution :** Les points seraient \( (160, 55), (175, 70), (165, 60), (180, 75), (170, 65) \). En les plaçant dans un repère, on observe que les points montent de gauche à droite, suggérant une corrélation positive forte : plus la taille augmente, plus le poids a tendance à augmenter. #### Exemple 2 : Absence de corrélation Un chercheur s'intéresse à la relation entre le nombre d'heures de sommeil (X) et la note obtenue (Y) à un quiz surprise pour 5 étudiants : | Étudiant | Heures de sommeil (X) | Note au quiz (Y) | |----------|-----------------------|------------------| | A | 7 | 12 | | B | 9 | 8 | | C | 6 | 15 | | D | 8 | 10 | | E | 7 | 11 | **Question :** Construisez le nuage de points et décrivez la corrélation. **Solution :** Le nuage de points montrerait des points dispersés sans direction claire. Cela indique une absence de corrélation évidente entre le nombre d'heures de sommeil et la note au quiz surprise pour cet échantillon. ### Exercices #### Exercice 1 Un professeur a relevé le nombre d'heures de révision (X) et la note obtenue (Y) par 6 élèves à un contrôle : | Élève | X | Y | |-------|---|---| | A | 2 | 8 | | B | 4 | 12| | C | 3 | 10| | D | 5 | 15| | E | 1 | 6 | | F | 4 | 11| 1. Construisez le nuage de points associé à cette série statistique dans un repère orthogonal. 2. Calculez les coordonnées du point moyen G.\( (\bar{x}, \bar{y}) \). 3. Décrivez la nature et la force de la corrélation observée. #### Exercice 2 Décrivez le type de corrélation que vous attendriez dans les situations suivantes (positive, négative, ou nulle) et justifiez brièvement : a) Le nombre de cigarettes fumées par jour et l'espérance de vie. b) La taille d'une personne et le nombre de ses animaux de compagnie. c) Le prix d'un produit et la quantité de ce produit demandée par les consommateurs (pour la plupart des biens). ### Devoirs #### Devoir 1 Le tableau ci-dessous donne l'âge (X, en années) et la tension artérielle systolique (Y, en mmHg) de 7 personnes : | Personne | Âge (X) | Tension (Y) | |----------|---------|-------------| | 1 | 25 | 120 | | 2 | 30 | 125 | | 3 | 40 | 130 | | 4 | 50 | 135 | | 5 | 60 | 140 | | 6 | 65 | 142 | | 7 | 70 | 145 | 1. Représentez cette série statistique par un nuage de points dans un repère approprié. 2. Déterminez les coordonnées du point moyen G du nuage. 3. Que pouvez-vous dire de la corrélation entre l'âge et la tension artérielle d'après le nuage de points ? Est-elle forte ou faible ? #### Devoir 2 Un étudiant veut analyser la relation entre le nombre d'heures passées sur les réseaux sociaux par semaine (X) et sa moyenne générale à l'école (Y). Il collecte les données suivantes pour 8 semaines : | Semaine | Heures RS (X) | Moyenne (Y) | |---------|---------------|-------------| | 1 | 10 | 14 | | 2 | 15 | 12 | | 3 | 5 | 16 | | 4 | 20 | 10 | | 5 | 12 | 13 | | 6 | 8 | 15 | | 7 | 18 | 11 | | 8 | 22 | 9 | 1. Tracez le nuage de points correspondant à ces données. 2. Quelle est la nature de la corrélation observée (positive, négative, nulle) ? Expliquez votre réponse en décrivant l'allure du nuage. 3. Calculez les moyennes \( \bar{x} \) et \( \bar{y} \). ### Résumé Le nuage de points est un outil graphique fondamental pour étudier la relation entre deux variables. Chaque observation \( (x_i, y_i) \) est représentée par un point dans un repère orthogonal. L'observation de la forme du nuage permet de déceler l'existence et le type de corrélation : * **Positive :** Les variables évoluent dans le même sens (points formant une tendance montante). * **Négative :** Les variables évoluent en sens inverse (points formant une tendance descendante). * **Nulle :** Il n'y a pas de lien apparent entre les variables (points dispersés sans direction claire). La force de la corrélation est indiquée par le degré d'alignement des points. Plus les points sont proches d'une droite, plus la corrélation est forte. Le point moyen \( G(\bar{x}, \bar{y}) \) est un point caractéristique du nuage, représentant le centre de la distribution des points.