Chap 13. WORK, ENERGY, POWER

# Chap 13. WORK, ENERGY, POWER ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Définir et appliquer le principe d'impulsion-mouvement dans des contextes unidimensionnels et bidimensionnels. - Calculer le travail effectué par une force constante ou variable, en lien avec le théorème de l'énergie cinétique. - Définir l'énergie cinétique, l'énergie potentielle gravitationnelle et élastique, et appliquer le principe de conservation de l'énergie mécanique. - Définir la puissance comme taux de transfert d'énergie ou de travail, et la calculer dans des situations variées. - Résoudre des problèmes intégrant travail, énergie, puissance et impulsion, en utilisant des diagrammes corps libres et des équations d'équilibre ou de mouvement. - Interpréter graphiquement les relations entre force, déplacement, travail et puissance. **Prérequis** : Maîtrise des notions de : - Vecteurs (addition, résolution, produit scalaire). - Lois de Newton du mouvement (notamment la deuxième loi : $ \vec{F} = m\vec{a} $). - Cinématique rectiligne et curviligne (équations du mouvement uniformément accéléré). - Notions de base de l'énergie (définition intuitive de travail et d'énergie). - Calcul différentiel et intégral élémentaire (pour les cas de force variable). --- ## I. The Impulse-Momentum Principle ### Définition de l'impulsion et du mouvement linéaire L'**impulsion** d'une force résultante agissant sur un corps pendant un intervalle de temps $ \Delta t $ est définie comme l'intégrale temporelle de cette force : $$ \vec{J} = \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}_{\text{net}} \, dt $$ Pour une force constante, cela se réduit à : $$ \vec{J} = \vec{F}_{\text{net}} \Delta t $$ Le **mouvement linéaire** (ou quantité de mouvement) d'un corps de masse $ m $ se déplaçant à la vitesse $ \vec{v} $ est défini par : $$ \vec{p} = m\vec{v} $$ ### Principe d'impulsion-mouvement Le principe d'impulsion-mouvement établit que la variation du mouvement linéaire d'un corps est égale à l'impulsion nette de la force résultante agissant sur lui pendant l'intervalle de temps considéré : > $$ > \Delta \vec{p} = \vec{J} \quad \text{ou} \quad m\vec{v}_f - m\vec{v}_i = \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}_{\text{net}} \, dt > $$ Ce principe est une reformulation intégrée de la deuxième loi de Newton et est particulièrement utile lorsque les forces varient avec le temps ou lorsque l'intervalle de temps est court (comme lors d'un choc). ### Propriétés - L'impulsion est une grandeur vectorielle, de même direction que la force nette moyenne. - Elle se mesure en newton-seconde (N·s), équivalent à kg·m/s (même unité que le mouvement linéaire). - Si la force nette est nulle sur un intervalle, alors le mouvement linéaire est conservé. - Lors d'un choc entre deux corps isolés, l'impulsion interne d'un corps sur l'autre est égale et opposée, ce qui entraîne la conservation du mouvement linéaire total du système. ### Exemple résolu 1 : Impulsion d'une force variable Une particule de masse $ 2,0 \, \text{kg} $ subit une force résultante variant avec le temps selon $ F(t) = 4t \, \text{N} $, agissant dans la direction positive de l'axe $ x $, de $ t = 0 $ à $ t = 3,0 \, \text{s} $. Sa vitesse initiale est $ v_i = 0 $. Trouver sa vitesse finale. **Solution** : L'impulsion est : $$ J = \int_{0}^{3} 4t \, dt = 4 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^3 = 2 \cdot (9 - 0) = 18 \, \text{N·s} $$ Par le principe d'impulsion-mouvement : $$ \Delta p = J \Rightarrow m(v_f - v_i) = 18 $$ $$ 2,0 (v_f - 0) = 18 \Rightarrow v_f = \frac{18}{2,0} = 9,0 \, \text{m/s} $$ > **À retenir** : L'impulsion d'une force variable se calcule par intégration temporelle ; elle équivaut à la variation du mouvement linéaire. ### Exemple résolu 2 : Choc parfaitement inélastique Un wagon de masse $ m_1 = 1500 \, \text{kg} $ se déplace à $ v_1 = 12,0 \, \text{m/s} $ vers la droite. Il entre en choc et s'attache à un wagon identique au repos ($ m_2 = 1500 \, \text{kg}, v_2 = 0 $). Trouver la vitesse finale du système attaché. **Solution** : Comme il n'y a pas de force externe nette dans la direction horizontale (supposant frottements négligeables pendant le choc), le mouvement linéaire total est conservé : $$ m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_f $$ $$ 1500 \cdot 12,0 + 1500 \cdot 0 = (1500 + 1500) v_f $$ $$ 18000 = 3000 v_f \Rightarrow v_f = \frac{18000}{3000} = 6,0 \, \text{m/s} $$ > **À retenir** : Dans un choc parfaitement inélastique, les corps se collent et mouvement linéaire est conservé, mais pas l'énergie cinétique. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Une balle de masse $ 0,15 \, \text{kg} $ est frappée par une batte qui exerce une force moyenne de $ 300 \, \text{N} $ pendant $ 0,02 \, \text{s} $. Si la balle était initialement au repos, quelle est sa vitesse après l'impact ? **Solution** : $$ J = F \Delta t = 300 \times 0,02 = 6,0 \, \text{N·s} $$ $$ \Delta p = m v_f - 0 = 6,0 \Rightarrow 0,15 v_f = 6,0 \Rightarrow v_f = \frac{6,0}{0,15} = 40 \, \text{m/s} $$ **Exercice 2** : Un objet de masse $ 4,0 \, \text{kg} $ voit sa vitesse changer de $ 5,0 \, \text{m/s} $ vers la droite à $ 3,0 \, \text{m/s} $ vers la gauche en $ 2,0 \, \text{s} $. Quelle est la force moyenne nette agissant sur lui ? **Solution** : Prenons la droite comme direction positive. $$ v_i = +5,0 \, \text{m/s}, \quad v_f = -3,0 \, \text{m/s} $$ $$ \Delta p = m(v_f - v_i) = 4,0 \times (-3,0 - 5,0) = 4,0 \times (-8,0) = -32 \, \text{kg·m/s} $$ $$ F_{\text{net, avg}} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{-32}{2,0} = -16 \, \text{N} $$ La force moyenne nette est de $ 16 \, \text{N} $ vers la gauche. --- ## II. Work, Energy and Power ### Définition du travail Le **travail** $ W $ effectué par une force constante $ \vec{F} $ sur un objet subissant un déplacement $ \vec{d} $ est défini comme le produit scalaire de la force et du déplacement : > $$ > W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd \cos\theta > $$ > où $ \theta $ est l'angle entre $ \vec{F} $ et $ \vec{d} $. Le travail est une grandeur scalaire, mesurée en joules (J), où $ 1 \, \text{J} = 1 \, \text{N·m} $. ### Propriétés du travail - Si $ \theta = 0^\circ $, $ W = Fd $ (travail positif). - Si $ \theta = 90^\circ $, $ W = 0 $ (aucune composante de force dans la direction du déplacement). - Si $ \theta = 180^\circ $, $ W = -Fd $ (travail négatif, la force s'oppose au mouvement). - Le travail net sur un objet est égal à la variation de son énergie cinétique (théorème de l'énergie cinétique). ### Théorème de l'énergie cinétique Le travail net effectué par toutes les forces agissant sur un objet est égal à la variation de son énergie cinétique : > $$ > W_{\text{net}} = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 > $$ Ce théorème est une conséquence directe de la deuxième loi de Newton et de la définition du travail. ### Exemple résolu 1 : Travail d'une force constante Un bloc de masse $ 5,0 \, \text{kg} $ est tiré sur une surface horizontale sans frottement par une force de $ 20 \, \text{N} $ dirigée à $ 30^\circ $ au-dessus de l'horizontale, sur un déplacement de $ 4,0 \, \text{m} $. Trouver le travail effectué par cette force. **Solution** : $$ W = F d \cos\theta = 20 \times 4,0 \times \cos 30^\circ = 80 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3} \approx 69,3 \, \text{J} $$ > **À retenir** : Seul la composante de la force parallèle au déplacement effectue du travail. ### Exemple résolu 2 : Application du théorème de l'énergie cinétique Une voiture de masse $ 1200 \, \text{kg} $ ralentit de $ 25,0 \, \text{m/s} $ à $ 10,0 \, \text{m/s} $ sur une distance de $ 80,0 \, \text{m} $ en raison d'une force de freinage constante. Trouver la magnitude de cette force. **Solution** : En utilisant le théorème de l'énergie cinétique : $$ W_{\text{net}} = \Delta K = \frac{1}{2} m (v_f^2 - v_i^2) $$ $$ W_{\text{net}} = \frac{1}{2} \times 1200 \times (10,0^2 - 25,0^2) = 600 \times (100 - 625) = 600 \times (-525) = -315000 \, \text{J} $$ Ce travail net est effectué uniquement par la force de freinage $ F $ (opposée au déplacement), donc : $$ W = -F d \Rightarrow -315000 = -F \times 80,0 \Rightarrow F = \frac{315000}{80,0} = 3937,5 \, \text{N} \approx 3,94 \times 10^3 \, \text{N} $$ > **À retenir** : Le théorème de l'énergie cinétique permet de relier travail et variation de vitesse sans passer par l'accélération ou le temps. ### Énergie potentielle L'**énergie potentielle** est l'énergie associée à la position ou à la configuration d'un système dans un champ de force conservatif. #### Énergie potentielle gravitationnelle Près de la surface de la Terre, pour un objet de masse $ m $ à une hauteur $ h $ au-dessus d'un référentiel choisi, l'énergie potentielle gravitationnelle est : > $$ > U_g = mgh > $$ > où $ g = 9,8 \, \text{m/s}^2 $. #### Énergie potentielle élastique Pour un ressort obéissant à la loi de Hooke ($ F = -kx $), l'énergie potentielle stockée lorsqu'il est étiré ou compressé d'une distance $ x $ par rapport à sa longueur d'équilibre est : > $$ > U_s = \frac{1}{2} k x^2 > $$ > où $ k $ est la constante de raideur du ressort (en N/m). ### Principe de conservation de l'énergie mécanique Dans un système soumis uniquement à des forces conservatives (comme la gravité ou l'élasticité), l'énergie mécanique totale (somme de l'énergie cinétique et des énergies potentielles) est conservée : > $$ > E_{\text{mech}} = K + U = \text{constante} > $$ > c'est-à-dire : > $$ > K_i + U_i = K_f + U_f > $$ Si des forces non conservatives (comme le frottement) agissent, alors : $$ W_{\text{nc}} = \Delta E_{\text{mech}} = (K_f + U_f) - (K_i + U_i) $$ où $ W_{\text{nc}} $ est le travail effectué par les forces non conservatives. ### Exemple résolu 3 : Conservation de l'énergie mécanique Un bloc de masse $ 2,0 \, \text{kg} $ est lâché depuis le repos au sommet d'un plan incliné lisse de hauteur $ 5,0 \, \text{m} $. Quelle est sa vitesse lorsqu'il atteint la base ? **Solution** : Énergie mécanique initiale (en haut) : uniquement potentielle gravitationnelle. $$ E_i = U_{g,i} = mgh = 2,0 \times 9,8 \times 5,0 = 98 \, \text{J} $$ Énergie mécanique finale (en bas) : uniquement cinétique (on prend $ U_g = 0 $ en bas). $$ E_f = K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 $$ Par conservation : $$ \frac{1}{2} m v_f^2 = mgh \Rightarrow v_f^2 = 2gh \Rightarrow v_f = \sqrt{2 \times 9,8 \times 5,0} = \sqrt{98} \approx 9,90 \, \text{m/s} $$ > **À retenir** : Dans l'absence de frottement, l'énergie potentielle gravitationnelle se convertit entièrement en énergie cinétique lors d'une chute libre ou d'un glissement sur un plan incliné lisse. ### Définition de la puissance La **puissance** $ P $ est le taux auquel du travail est effectué ou de l'énergie est transférée. Elle se définit comme : > $$ > P = \frac{dW}{dt} \quad \text{(puissance instantanée)} > $$ > Pour un travail constant sur un intervalle de temps $ \Delta t $ : > $$ > P_{\text{avg}} = \frac{W}{\Delta t} > $$ > Si une force $ \vec{F} $ agit sur un objet se déplaçant à la vitesse $ \vec{v} $, alors : > $$ > P = \vec{F} \cdot \vec{v} > $$ La puissance se mesure en watts (W), où $ 1 \, \text{W} = 1 \, \text{J/s} $. ### Exemple résolu 4 : Puissance d'une force constante Un moteur exerce une force de $ 500 \, \text{N} $ pour tirer un objet à une vitesse constante de $ 4,0 \, \text{m/s} $ dans la direction de la force. Quelle est la puissance délivrée par le moteur ? **Solution** : $$ P = F v \cos\theta = 500 \times 4,0 \times \cos 0^\circ = 2000 \, \text{W} = 2,0 \, \text{kW} $$ > **À retenir** : Lorsque la force et la vitesse sont dans la même direction, la puissance est simplement le produit de leur intensité. ### Exemple résolu 5 : Puissance moyenne lors d'une accélération Une voiture de masse $ 1000 \, \text{kg} $ accélère uniformément du repos à $ 20,0 \, \text{m/s} $ en $ 10,0 \, \text{s} $. Trouver la puissance moyenne du moteur pendant cette accélération, en négligeant les frottements. **Solution** : Le travail effectué est égal à la variation d'énergie cinétique : $$ W = \Delta K = \frac{1}{2} m v_f^2 - 0 = \frac{1}{2} \times 1000 \times (20,0)^2 = 500 \times 400 = 200000 \, \text{J} $$ Puis : $$ P_{\text{avg}} = \frac{W}{\Delta t} = \frac{200000}{10,0} = 20000 \, \text{W} = 20,0 \, \text{kW} $$ > **À retenir** : La puissance moyenne est le travail total divisé par le temps écoulé ; elle peut aussi être trouvée comme la moyenne de la puissance instantanée si l'accélération est uniforme. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Un homme de masse $ 70,0 \, \text{kg} $ monte un escalier de hauteur verticale $ 5,0 \, \text{m} $ en $ 10,0 \, \text{s} $. Quelle est sa puissance moyenne utile ? **Solution** : Le travail utile est l'augmentation de l'énergie potentielle gravitationnelle : $$ W = mgh = 70,0 \times 9,8 \times 5,0 = 3430 \, \text{J} $$ $$ P_{\text{avg}} = \frac{3430}{10,0} = 343 \, \text{W} $$ **Exercice 2** : Un ressort de constante $ k = 200 \, \text{N/m} $ est compressé de $ 0,10 \, \text{m} $. Quelle énergie est stockée dans le ressort ? Si cette énergie est entièrement transférée à une balle de masse $ 0,050 \, \text{kg} $ au repos, quelle vitesse acquiert-elle ? **Solution** : Énergie stockée : $$ U_s = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times (0,10)^2 = 100 \times 0,01 = 1,0 \, \text{J} $$ Cette énergie devient énergie cinétique de la balle : $$ \frac{1}{2} m v^2 = 1,0 \Rightarrow \frac{1}{2} \times 0,050 \times v^2 = 1,0 \Rightarrow 0,025 v^2 = 1,0 \Rightarrow v^2 = 40 \Rightarrow v = \sqrt{40} \approx 6,32 \, \text{m/s} $$ --- ## Synthèse du chapitre - **Principe d'impulsion-mouvement** : $ \Delta \vec{p} = \int \vec{F}_{\text{net}} \, dt $ ; utile pour les forces variables ou les chocs. - **Mouvement linéaire** : $ \vec{p} = m\vec{v} $, conservé en l'absence de force externe nette. - **Travail** : $ W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\theta $, mesuré en joules. - **Théorème de l'énergie cinétique** : $ W_{\text{net}} = \Delta K $ ; relie travail et variation de vitesse. - **Énergie potentielle gravitationnelle** : $ U_g = mgh $. - **Énergie potentielle élastique** : $ U_s = \frac{1}{2} k x^2 $. - **Conservation de l'énergie mécanique** : $ K_i + U_i = K_f + U_f $ si seules les forces conservatives agissent. - **Puissance** : $ P = \frac{dW}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v} $, mesurée en watts. - **Puissance moyenne** : $ P_{\text{avg}} = \frac{W}{\Delta t} $. --- ## Glossaire - **Impulsion** : Intégrale temporelle de la force résultante ; égale à la variation du mouvement linéaire. - **Mouvement linéaire (quantité de mouvement)** : Produit de la masse et de la vitesse d'un corps ; grandeur vectorielle. - **Théorème de l'énergie cinétique** : Le travail net sur un objet équivaut à sa variation d'énergie cinétique. - **Énergie cinétique** : Énergie associée au mouvement ; $ K = \frac{1}{2} mv^2 $. - **Énergie potentielle gravitationnelle** : Énergie due à la position dans un champ gravitationnel uniforme ; $ U_g = mgh $. - **Énergie potentielle élastique** : Énergie stockée dans un ressort déformé ; $ U_s = \frac{1}{2} kx^2 $. - **Force conservative** : Force dont le travail dépend uniquement des positions initiale et finale (ex. : gravité, ressort). - **Puissance** : Taux de transfert d'énergie ou de travail ; $ P = dW/dt $ ou $ \vec{F} \cdot \vec{v} $. - **Watt (W)** : Unité de puissance ; équivaut à un joule par seconde. - **Joule (J)** : Unité de travail ou d'énergie ; équivaut à un newton-mètre.