Chap 12. DYNAMICS

# Chap 12. DYNAMICS ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Décrire le mouvement d'une particule à l'aide des concepts de déplacement, vitesse et accélération, en tant que grandeurs vectorielles. - Calculer la vitesse relative entre deux corps en mouvement. - Appliquer les trois lois de Newton pour analyser les forces agissant sur un corps et prédire son mouvement. - Résoudre des problèmes de dynamique en une et deux dimensions en utilisant des équations du mouvement et des diagrammes des forces libres. - Interpréter graphiquement les relations entre déplacement, vitesse et accélération. **Prérequis** : Maîtrise des notions suivantes : - Algèbre de base et résolution d'équations du premier et second degré. - Trigonométrie élémentaire (sinus, cosinus, tangente, théorème de Pythagore). - Notions de vecteurs : addition, soustraction, résolution en composantes, produit scalaire (notion intuitive). - Concepts de vitesse moyenne et accélération moyenne en ligne droite (cinématique de base). --- ## Introduction La dynamique est la branche de la mécanique qui étudie les causes du mouvement, en particulier l'effet des forces sur le mouvement des corps. Elle s'appuie sur la cinématique, qui décrit le mouvement sans en considérer les causes. Dans ce chapitre, nous revisitons d'abord les concepts cinématiques essentiels — déplacement, vitesse, accélération — en les formalisant comme des vecteurs. Nous introduisons ensuite la notion de vitesse relative, cruciale pour l'analyse du mouvement dans des référentiels en mouvement. Enfin, nous présentons les trois lois de Newton, fondements de la mécanique classique, qui permettent de relier les forces agissant sur un corps à son accélération. Cette approche unifiée vectorielle et newtonienne est essentielle pour résoudre des problèmes réels en physique et en ingénierie. --- ## I. Kinematics of a moving particle ### Définition du mouvement d'une particule Une particule est un corps dont les dimensions sont négligeables par rapport aux distances impliquées dans le problème. Son mouvement est décrit par sa position dans l'espace en fonction du temps. > **Position** : Le vecteur position $\vec{r}(t)$ d'une particule à l'instant $t$ est le vecteur allant de l'origine du référentiel à la particule. En coordonnées cartésiennes 2D : $\vec{r}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j}$. ### Déplacement > **Déplacement** : Le déplacement $\vec{s}$ d'une particule entre les instants $t_1$ et $t_2$ est la variation de son vecteur position : $\vec{s} = \vec{r}(t_2) - \vec{r}(t_1)$. C'est une grandeur vectorielle indépendante du trajet parcouru. **Propriétés** : - Le déplacement est nul si la particule revient à son point de départ. - Le déplacement n'est pas nécessairement égal à la distance parcourue (grandeur scalaire). **Exemple résolu** : Une particule se déplace de $A(2, 3)$ à $B(-1, 7)$ dans un référentiel xy. Calculer son déplacement. **Solution** : $\vec{r}_A = 2\hat{i} + 3\hat{j}$, $\vec{r}_B = -1\hat{i} + 7\hat{j}$ $\vec{s} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (-1-2)\hat{i} + (7-3)\hat{j} = -3\hat{i} + 4\hat{j}$ Donc, $\vec{s} = \langle -3, 4 \rangle$ m. Sa magnitude est $|\vec{s}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5$ m, et sa direction fait un angle $\theta = \tan^{-1}(4/-3)$ avec l'axe $x$ (dans le deuxième quadrant). **Exercice d'application** : Une particule se trouve aux points $P(1, -2)$ à $t=0$ s et $Q(4, 5)$ à $t=3$ s. a) Trouver son déplacement entre $t=0$ et $t=3$ s. b) Quelle est la distance parcourue si elle se déplace en ligne droite ? **Corrigé** : a) $\vec{s} = (4-1)\hat{i} + (5-(-2))\hat{j} = 3\hat{i} + 7\hat{j}$ m b) Comme le mouvement est rectiligne, distance = $|\vec{s}| = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{58} \approx 7,62$ m --- ## II. Speed, velocity and acceleration ### Vitesse > **Vitesse moyenne** : $\vec{v}_{avg} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{\vec{r}(t_2) - \vec{r}(t_1)}{t_2 - t_1}$ > **Vitesse instantanée** : $\vec{v}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}$ La vitesse est le taux de variation du déplacement. C'est un vecteur tangent à la trajectoire. **Exemple résolu** : Le vecteur position d'une particule est donné par $\vec{r}(t) = (2t^2)\hat{i} + (3t)\hat{j}$ m. Trouver sa vitesse instantanée à $t=2$ s. **Solution** : $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2)\hat{i} + \frac{d}{dt}(3t)\hat{j} = 4t\hat{i} + 3\hat{j}$ À $t=2$ : $\vec{v}(2) = 4(2)\hat{i} + 3\hat{j} = 8\hat{i} + 3\hat{j}$ m/s Magnitude : $|\vec{v}| = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{73} \approx 8,54$ m/s Direction : $\theta = \tan^{-1}(3/8) \approx 20,6^\circ$ par rapport à l'axe $x$. **Exercice d'application** : Un corps a pour équation de mouvement : $x(t) = 5t - t^2$, $y(t) = 2t^2$. a) Trouver les composantes de la vitesse à $t=1$ s. b) Calculer la vitesse et sa direction à cet instant. **Corrigé** : a) $v_x = dx/dt = 5 - 2t = 5 - 2(1) = 3$ m/s $v_y = dy/dt = 4t = 4(1) = 4$ m/s Donc $\vec{v} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ m/s b) $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ m/s, $\theta = \tan^{-1}(4/3) \approx 53,1^\circ$ ### Accélération > **Accélération moyenne** : $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ > **Accélération instantanée** : $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$ L'accélération est le taux de variation de la vitesse. Elle peut provoquer un changement de vitesse ou de direction. **Exemple résolu** : Donné $\vec{v}(t) = (6t)\hat{i} + (4 - 2t)\hat{j}$ m/s, trouver l'accélération à $t=3$ s. **Solution** : $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = 6\hat{i} - 2\hat{j}$ m/s² (constante !) À $t=3$ : $\vec{a} = 6\hat{i} - 2\hat{j}$ m/s² Magnitude : $\sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6,32$ m/s² Direction : $\theta = \tan^{-1}(-2/6) \approx -18,4^\circ$ (ou $341,6^\circ$). **Exercice d'application** : La vitesse d'une particule est $\vec{v}(t) = (t^2 - 4t)\hat{i} + (3t)\hat{j}$ m/s. a) Trouver son accélération en fonction du temps. b) Quelle est son accélération à $t=2$ s ? **Corrigé** : a) $\vec{a}(t) = d\vec{v}/dt = (2t - 4)\hat{i} + 3\hat{j}$ b) À $t=2$ : $\vec{a} = (4-4)\hat{i} + 3\hat{j} = 0\hat{i} + 3\hat{j} = 3\hat{j}$ m/s² --- ## III. Displacement, velocity and acceleration as vectors Cette section renforce le caractère vectoriel des grandeurs cinématiques. Nous insistons sur la résolution en composantes et l'utilisation des vecteurs unitaires $\hat{i}, \hat{j}$ (et $\hat{k}$ en 3D, bien que ce chapitre se limite au plan). **Addition et soustraction de vecteurs** : Si $\vec{a} = a_x\hat{i} + a_y\hat{j}$ et $\vec{b} = b_x\hat{i} + b_y\hat{j}$, alors : $\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x)\hat{i} + (a_y + b_y)\hat{j}$ $\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x)\hat{i} + (a_y - b_y)\hat{j}$ **Produit scalaire** (notion introduite pour projection) : $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ Utile pour trouver la composante d'un vecteur le long d'une direction. **Exemple résolu** : Un objet a une vitesse $\vec{v} = 10\hat{i} + 5\hat{j}$ m/s. Trouver la composante de sa vitesse le long de la direction du vecteur $\vec{d} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$. **Solution** : Tout d'abord, normer $\vec{d}$ : $|\vec{d}| = \sqrt{3^2+4^2}=5$, donc $\hat{d} = \frac{3}{5}\hat{i} + \frac{4}{5}\hat{j}$ Composante : $\vec{v} \cdot \hat{d} = (10)(3/5) + (5)(4/5) = 6 + 4 = 10$ m/s Donc, la composante de $\vec{v}$ le long de $\vec{d}$ est $10$ m/s. **Exercice d'application** : L'accélération d'un corps est $\vec{a} = 4\hat{i} - 3\hat{j}$ m/s². a) Trouver sa composante le long de l'axe $x$. b) Trouver sa composante le long de la direction faisant un angle de $45^\circ$ avec l'axe $x$. **Corrigé** : a) Composante le long de $\hat{i}$ : $\vec{a} \cdot \hat{i} = 4$ m/s² b) Unitaire à $45^\circ$ : $\hat{u} = \cos45^\circ \hat{i} + \sin45^\circ \hat{j} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\hat{i} + \hat{j})$ Composante : $\vec{a} \cdot \hat{u} = 4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + (-3)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(4-3) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$ m/s² --- ## IV. Relative velocity > **Vitesse relative** : La vitesse du corps $A$ par rapport au corps $B$ est notée $\vec{v}_{A/B}$ et définie par : > $$\vec{v}_{A/B} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$$ > Cela signifie : « quelle est la vitesse que je mesurerais si j'étais sur $B$ et que je regardais $A$ ? » Cette définition est cruciale pour analyser le mouvement dans des référentiels en mouvement (comme un bateau dans un courant, ou un avion dans le vent). **Exemple résolu** : Un bateau se déplace à $8$ m/s vers le nord relativement à l'eau. Le courant d'eau coule à $3$ m/s vers l'est relativement à la terre. Trouver la vitesse du bateau relativement à la terre. **Solution** : On veut $\vec{v}_{boat/earth}$. On sait : $\vec{v}_{boat/water} = 8\hat{j}$ m/s (nord) $\vec{v}_{water/earth} = 3\hat{i}$ m/s (est) Par la règle de composition des vitesses : $\vec{v}_{boat/earth} = \vec{v}_{boat/water} + \vec{v}_{water/earth} = 0\hat{i} + 8\hat{j} + 3\hat{i} + 0\hat{j} = 3\hat{i} + 8\hat{j}$ m/s Magnitude : $\sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{73} \approx 8,54$ m/s Direction : $\theta = \tan^{-1}(8/3) \approx 69,4^\circ$ au nord de l'est. **Exercice d'application** : Un avion vole à $200$ m/s vers l'est relativement à l'air. Le vent souffle à $30$ m/s vers le nord relativement au sol. a) Quelle est la vitesse de l'avion relativement au sol ? b) Si l'avion veut aller directement vers le nord relativement au sol, dans quelle direction doit-il pointer son nez relativement à l'air ? **Corrigé** : a) $\vec{v}_{plane/ground} = \vec{v}_{plane/air} + \vec{v}_{air/ground} = 200\hat{i} + 30\hat{j}$ m/s Magnitude : $\sqrt{200^2+30^2} = \sqrt{40900} \approx 202,2$ m/s Direction : $\tan^{-1}(30/200) \approx 8,5^\circ$ au nord de l'est b) Pour aller vers le nord ($\vec{v}_{plane/ground} = v\hat{j}$), on a besoin : $\vec{v}_{plane/air} = \vec{v}_{plane/ground} - \vec{v}_{air/ground} = v\hat{j} - 30\hat{j} = (v-30)\hat{j}$ Mais $\vec{v}_{plane/air}$ doit avoir une magnitude de $200$ m/s et pointer dans une direction telle que sa composante $x$ annule celle du vent ? En fait : on veut $\vec{v}_{plane/ground}$ purement nord, donc : $\vec{v}_{plane/air} + \vec{v}_{air/ground} = v_{pg}\hat{j}$ $\vec{v}_{plane/air} + 30\hat{j} = v_{pg}\hat{j}$ Donc $\vec{v}_{plane/air}$ doit avoir une composante $x$ nulle ? Non : En réalité : $\vec{v}_{plane/ground} = \vec{v}_{plane/air} + \vec{v}_{air/ground}$ On veut $\vec{v}_{plane/ground} = 0\hat{i} + v_{pg}\hat{j}$ Donc : $\vec{v}_{plane/air} + 30\hat{j} = 0\hat{i} + v_{pg}\hat{j}$ Donc $\vec{v}_{plane/air} = 0\hat{i} + (v_{pg} - 30)\hat{j}$ Mais $|\vec{v}_{plane/air}| = 200$, donc : $0^2 + (v_{pg} - 30)^2 = 200^2$ $(v_{pg} - 30)^2 = 40000$ $v_{pg} - 30 = \pm 200$ On prend la valeur positive pour avancer vers le nord : $v_{pg} = 230$ m/s Donc $\vec{v}_{plane/air} = 0\hat{i} + 200\hat{j}$ m/s → il doit pointer directement vers le nord relativement à l'air. Attendez : si le vent vient du sud (vers le nord), et qu'on veut aller vers le nord, on doit effectivement pointer vers le nord pour compenser ? Revoir : $\vec{v}_{air/ground} = 30\hat{j}$ (vent vers le nord) Si l'avion pointe vers le nord relativement à l'air : $\vec{v}_{plane/air} = 200\hat{j}$ Alors $\vec{v}_{plane/ground} = 200\hat{j} + 30\hat{j} = 230\hat{j}$ → vers le nord, correct. Donc pour aller vers le nord relativement au sol, il doit pointer vers le nord relativement à l'air. Réponse : il doit pointer vers le nord (0° par rapport au nord). **Exercice d'application** : Deux voitures se déplacent sur une route droite. La voiture A va à $20$ m/s vers l'est, la voiture B à $15$ m/s vers l'ouest. a) Quelle est la vitesse de A par rapport à B ? b) Quelle est la vitesse de B par rapport à A ? **Corrigé** : Prendre l'est comme direction positive. $\vec{v}_A = +20$ m/s, $\vec{v}_B = -15$ m/s a) $\vec{v}_{A/B} = \vec{v}_A - \vec{v}_B = 20 - (-15) = 35$ m/s vers l'est b) $\vec{v}_{B/A} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = -15 - 20 = -35$ m/s → $35$ m/s vers l'ouest --- ## V. Newton’s laws of motion ### Première loi de Newton (principe d'inertie) > **Première loi** : Un corps demeure au repos ou en mouvement rectiligne uniforme tant que la somme des forces extérieures agissant sur lui est nulle. > $$\sum \vec{F} = 0 \implies \vec{a} = 0$$ Cette loi définit les référentiels galiléens (inertiels) : ceux dans lesquels elle est vérifiée. **Exemple résolu** : Un livre repose sur une table horizontale. Quelles sont les forces agissant sur lui et pourquoi ne bouge-t-il pas ? **Solution** : Forces : poids $\vec{P} = m\vec{g}$ vers le bas, réaction normale $\vec{N}$ de la table vers le haut. Comme le livre est au repos, $\sum \vec{F} = 0$ → $\vec{N} + \vec{P} = 0$ → $|\vec{N}| = |\vec{P}| = mg$ La somme des forces est nulle, donc d'après la première loi, l'accélération est nulle : il reste au repos. **Exercice d'application** : Un astronaute flotte immobile dans la station spatiale internationale. Quelle peut-on dire sur la somme des forces agissant sur lui ? **Corrigé** : Comme il est au repos (ou en mouvement uniforme) relativement à la station, et en supposant que la station est un référentiel galiléen approximatif, la somme des forces agissant sur lui est nulle. ### Deuxième loi de Newton > **Deuxième loi** : La somme des forces extérieures agissant sur un corps est égale au produit de sa masse par son accélération : > $$\sum \vec{F} = m\vec{a}$$ > C'est l'équation fondamentale de la dynamique. Cette loi permet de calculer l'accélération si l'on connaît les forces, ou inversement de trouver une force inconnue si l'on connaît le mouvement. **Exemple résolu** : Un bloc de masse $5$ kg est tiré sur une surface horizontale sans frottement par une force de $20$ N agissant à $30^\circ$ au-dessus de l'horizontale. Trouver son accélération. **Solution** : Décomposer la force : $F_x = 20 \cos 30^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17,32$ N $F_y = 20 \sin 30^\circ = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ N Forces verticales : poids $P = mg = 5 \cdot 9,8 = 49$ N vers le bas, réaction normale $N$ vers le haut. Comme il n'y a pas d'accélération verticale (il reste sur la surface) : $\sum F_y = N + F_y - P = 0$ → $N = P - F_y = 49 - 10 = 39$ N Dans la direction $x$ : $\sum F_x = F_x = m a_x$ → $a_x = F_x / m = 17,32 / 5 \approx 3,46$ m/s² Donc $\vec{a} = 3,46\hat{i}$ m/s² (le mouvement est purement horizontal). **Exercice d'application** : Une masse de $2$ kg est soumise à deux forces : $\vec{F}_1 = 5\hat{i} + 3\hat{j}$ N et $\vec{F}_2 = -2\hat{i} + 7\hat{j}$ N. a) Trouver la force résultante. b) Calculer l'accélération du corps. **Corrigé** : a) $\vec{F}_{res} = (5-2)\hat{i} + (3+7)\hat{j} = 3\hat{i} + 10\hat{j}$ N b) $\vec{a} = \vec{F}_{res}/m = (3/2)\hat{i} + (10/2)\hat{j} = 1,5\hat{i} + 5\hat{j}$ m/s² ### Troisième loi de Newton (principe d'action-réaction) > **Troisième loi** : Lorsque le corps $A$ exerce une force sur le corps $B$, le corps $B$ exerce simultanément sur le corps $A$ une force égale en magnitude, opposée en direction et de même nature : > $$\vec{F}_{A \text{ sur } B} = -\vec{F}_{B \text{ sur } A}$$ Cette loi implique que les forces apparaissent toujours par paires. Elle ne signifie pas que les forces s'annulent sur un même corps (elles agissent sur des corps différents). **Exemple résolu** : Un homme de masse $70$ kg pousse un mur avec une force de $150$ N. Quelle force le mur exerce-t-il sur l'homme ? Quel est son accélération s'il est sur une surface sans frottement ? **Solution** : Par la troisième loi, le mur exerce sur l'homme une force de $150$ N, opposée à celle qu'il applique (donc vers l'arrière s'il pousse vers l'avant). Comme il n'y a pas de frottement, la seule force horizontale sur l'homme est cette réaction du mur : $\sum F_x = -150$ N (si on prend la direction du poussée comme positive). Donc $a_x = F_x / m = -150 / 70 \approx -2,14$ m/s² → il accélère vers l'arrière à $2,14$ m/s². **Exercice d'application** : Deux patineurs sur glace, l'un de masse $60$ kg et l'autre de masse $90$ kg, se poussent mutuellement. Si le premier acquiert une accélération de $0,5$ m/s², quelle est l'accélération du second ? **Corrigé** : La force que le premier exerce sur le second est égale et opposée à celle que le second exerce sur le premier. Sur le premier : $F = m_1 a_1 = 60 \times 0,5 = 30$ N (force exercée par le second sur le premier) Donc la force exercée par le premier sur le second est $-30$ N (opposée). Sur le second : $F = m_2 a_2$ → $-30 = 90 \times a_2$ → $a_2 = -30/90 = -1/3 \approx -0,333$ m/s² La magnitude est $0,333$ m/s², et la direction est opposée à celle du premier. --- ## Synthèse du chapitre - Le déplacement $\vec{s}$, la vitesse $\vec{v}$ et l'accélération $\vec{a}$ sont des grandeurs vectorielles définies respectivement comme : $\vec{s} = \Delta \vec{r}$, $\vec{v} = d\vec{r}/dt$, $\vec{a} = d\vec{v}/dt = d^2\vec{r}/dt^2$ - Dans un système cartésien, ces vecteurs se décomposent en composantes : $\vec{v} = v_x\hat{i} + v_y\hat{j}$, avec $v_x = dx/dt$, $v_y = dy/dt$ - La vitesse relative de $A$ par rapport à $B$ est : $\vec{v}_{A/B} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$ - Les lois de Newton forment le fondement de la dynamique : 1. Loi d'inertie : $\sum \vec{F} = 0 \iff \vec{a} = 0$ 2. Fondamentale : $\sum \vec{F} = m\vec{a}$ 3. Action-réaction : $\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$ - Pour résoudre un problème de dynamique : 1. Identifier le corps d'intérêt et tracer son diagramme des forces libres (FBD) 2. Choisir un système de coordonnées adapté (souvent aligné avec le mouvement) 3. Écrire $\sum F_x = m a_x$ et $\sum F_y = m a_y$ 4. Utiliser la cinématique si nécessaire pour relier accélération, vitesse et déplacement 5. Résoudre les équations pour les inconnues (forces, accélération, etc.) --- ## Glossaire - **Vecteur** : Grandeur ayant une magnitude, une direction et un sens (ex. : déplacement, vitesse, force). - **Composante** : Projection d'un vecteur sur un axe donné (ex. : $v_x$ est la composante $x$ de la vitesse). - **Référentiel galiléen** : Cadre de référence dans lequel la première loi de Newton est vérifiée (mouvement uniforme ou au repos absolu). - **Diagramme des forces libres (FBD)** : Représentation schématique d'un corps isolé, montrant toutes les forces agissant sur lui. - **Force nette** : Somme vectorielle de toutes les forces agissant sur un corps ($\sum \vec{F}$). - **Accélération centripète** : Accélération dirigée vers le centre d'une trajectoire courbée, responsable du changement de direction de la vitesse. - **Mouvement relatif** : Mouvement d'un corps observé depuis un référentiel en mouvement lui-même. - **Inertie** : Propriété d'un corps de résister aux changements de son état de mouvement (mesurée par sa masse). - **Réaction normale** : Force exercée par une surface sur un corps en contact, perpendiculairement à cette surface. - **Frottement** : Force qui s'oppose au mouvement relatif entre deux surfaces en contact. - **Unité SI de force** : Le newton (N), défini comme $1\,\text{N} = 1\,\text{kg} \cdot \text{m}/\text{s}^2$. - **Équation du mouvement** : Équation différentielle reliant la position, la vitesse et l'accélération d'un corps en fonction du temps.