Chap 11. FORCES

# Chap 11. FORCES ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à permettre à l'élève de comprendre et d'appliquer les principes fondamentaux de la statique des forces dans un plan. À la fin de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Calculer la résultante de deux forces coplanaires en utilisant la loi du triangle ou la méthode analytique. - Décomposer une force en ses composantes selon des axes donnés (généralement horizontaux et verticaux). - Appliquer la loi du triangle des forces pour déterminer l'équilibre ou la résultante de trois forces concourantes. - Définir et calculer le moment d'une force par rapport à un point ou un axe. - Analyser l'équilibre d'une particule soumise à plusieurs forces en utilisant les conditions de somme nulle des forces. - Modéliser et résoudre des problèmes impliquant la force de frottement statique et dynamique entre deux surfaces en contact. **Prérequis** : Maîtrise des vecteurs (addition, décomposition, produit scalaire), notions de trigonométrie (sinus, cosinus, tangente), et capacité à résoudre des systèmes d'équations linéaires. --- ## I. Resultant of two coplanar forces Deux forces sont dites coplanaires lorsqu'elles agissent dans le même plan. Leur résultante est une seule force qui produit le même effet mécanique que l'action combinée des deux forces. > **Définition** : La résultante de deux forces $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$ est le vecteur $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$, obtenu par addition vectorielle. ### Méthodes de calcul #### 1. Méthode graphique (loi du parallélogramme ou du triangle) - Placer les deux forces tête à queue. - La résultante va du point d'application commun à l'extrémité de la seconde force. - La magnitude et la direction se mesurent à l'aide d'une échelle et d'un rapporteur. #### 2. Méthode analytique (recommandée pour la précision) Décomposer chaque force selon les axes $x$ (horizontal) et $y$ (vertical) : $$ \vec{F}_1 = F_{1x}\hat{i} + F_{1y}\hat{j}, \quad \vec{F}_2 = F_{2x}\hat{i} + F_{2y}\hat{j} $$ $$ \vec{R} = (F_{1x} + F_{2x})\hat{i} + (F_{1y} + F_{2y})\hat{j} $$ La magnitude du résultant est : $$ R = \sqrt{(F_{1x} + F_{2x})^2 + (F_{1y} + F_{2y})^2} $$ La direction $\theta$ (par rapport à l'axe $x$ positif) est donnée par : $$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{F_{1y} + F_{2y}}{F_{1x} + F_{2x}}\right) $$ > **À retenir** : Pour éviter les ambiguïtés de quadrant, utiliser la fonction $\text{atan2}(y, x)$ si disponible, ou vérifier les signes des composantes. ### Exemple résolu Deux forces agissent sur une particule : $\vec{F}_1 = 50\,\text{N}$ à $30^\circ$ au-dessus de l'axe $x$, $\vec{F}_2 = 40\,\text{N}$ à $120^\circ$ au-dessus de l'axe $x$. **Étape 1** : Décomposer chaque force. $$ F_{1x} = 50\cos 30^\circ = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 43.30\,\text{N}, \quad F_{1y} = 50\sin 30^\circ = 25.00\,\text{N} $$ $$ F_{2x} = 40\cos 120^\circ = 40 \times (-\frac{1}{2}) = -20.00\,\text{N}, \quad F_{2y} = 40\sin 120^\circ = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 34.64\,\text{N} $$ **Étape 2** : Sommation des composantes. $$ R_x = 43.30 + (-20.00) = 23.30\,\text{N}, \quad R_y = 25.00 + 34.64 = 59.64\,\text{N} $$ **Étape 3** : Magnitude et direction. $$ R = \sqrt{(23.30)^2 + (59.64)^2} = \sqrt{542.89 + 3556.93} = \sqrt{4099.82} \approx 64.03\,\text{N} $$ $$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{59.64}{23.30}\right) = \tan^{-1}(2.56) \approx 68.7^\circ $$ **Résultat** : La résultante est d'environ $64.0\,\text{N}$ dirigée à $68.7^\circ$ au-dessus de l'axe $x$. > **À retenir** : La résultante de deux forces dépend de leurs magnitudes et de l'angle entre elles. Si l'angle est $0^\circ$, $R = F_1 + F_2$ ; si $180^\circ$, $R = |F_1 - F_2|$. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Deux forces de $30\,\text{N}$ et $40\,\text{N}$ agissent selon un angle de $90^\circ$. Trouver la magnitude et la direction de la résultante par rapport à la force de $30\,\text{N}$. **Solution** : Prenons $F_1 = 30\,\text{N}$ le long de $x$, $F_2 = 40\,\text{N}$ le long de $y$. $$ R_x = 30, \quad R_y = 40 \Rightarrow R = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\,\text{N} $$ $$ \theta = \tan^{-1}(40/30) = \tan^{-1}(1.333) \approx 53.1^\circ \text{ au-dessus de } F_1 $$ **Exercice 2** : Une force de $100\,\text{N}$ est dirigée à $20^\circ$ sous l'axe $x$. Une autre de $80\,\text{N}$ est dirigée à $50^\circ$ au-dessus de l'axe $x$. Trouver la résultante. **Solution** : $F_{1x} = 100\cos(-20^\circ) = 100 \times 0.9397 = 93.97\,\text{N}$, $F_{1y} = 100\sin(-20^\circ) = -34.20\,\text{N}$ $F_{2x} = 80\cos 50^\circ = 80 \times 0.6428 = 51.42\,\text{N}$, $F_{2y} = 80\sin 50^\circ = 80 \times 0.7660 = 61.28\,\text{N}$ $R_x = 93.97 + 51.42 = 145.39\,\text{N}$, $R_y = -34.20 + 61.28 = 27.08\,\text{N}$ $R = \sqrt{145.39^2 + 27.08^2} \approx \sqrt{21138 + 733} = \sqrt{21871} \approx 147.9\,\text{N}$ $\theta = \tan^{-1}(27.08/145.39) \approx \tan^{-1}(0.186) \approx 10.5^\circ$ au-dessus de l'axe $x$ --- ## II. Resolution of forces into components La résolution d'une force en composantes consiste à exprimer un vecteur force comme la somme de deux ou plusieurs vecteurs perpendiculaires (généralement selon des axes choisis). > **Définition** : Toute force $\vec{F}$ de magnitude $F$ faisant un angle $\theta$ avec l'axe $x$ peut être résolue en composantes : > $$ > F_x = F\cos\theta, \quad F_y = F\sin\theta > $$ > où $F_x$ est la composante le long de $x$, $F_y$ celle le long de $y$. ### Choix des axes Les axes sont généralement choisis pour simplifier le problème : - Horizontal et vertical (pour les problèmes gravitationnels). - Le long et perpendiculaire à une pente (pour les plans inclinés). - Le long des cordes ou des barres (en statique des structures). ### Exemple résolu Une force de $120\,\text{N}$ agit à $35^\circ$ au-dessus de l'horizontale. Trouver ses composantes horizontale et verticale. **Solution** : $$ F_x = 120\cos 35^\circ = 120 \times 0.8192 = 98.30\,\text{N} $$ $$ F_y = 120\sin 35^\circ = 120 \times 0.5736 = 68.83\,\text{N} $$ La force est donc équivalente à une force de $98.3\,\text{N}$ vers la droite et $68.8\,\text{N}$ vers le haut. > **À retenir** : La résolution en composantes est linéaire et réversible : on peut toujours recomposer les composantes pour retrouver la force initiale. ### Application : Forces sur un plan incliné Un objet de masse $m$ repose sur un plan incliné faisant un angle $\alpha$ avec l'horizontale. Son poids $\vec{W} = mg$ agit verticalement vers le bas. On choisit : - $x'$ : le long du plan, vers le haut. - $y'$ : perpendiculaire au plan, vers le haut. Alors : $$ W_{x'} = -mg\sin\alpha \quad \text{(composante tendant à faire glisser l'objet vers le bas)} $$ $$ W_{y'} = -mg\cos\alpha \quad \text{(composante perpendiculaire au plan, dirigée vers le bas)} $$ > **À retenir** : Sur un plan incliné, la composante du poids parallèle au plan est $mg\sin\alpha$, et la composante normale est $mg\cos\alpha$. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Une force de $200\,\text{N}$ est dirigée à $60^\circ$ au-dessus de l'horizontale. Trouver sa composante le long de l'horizontale et celle le long de la verticale. **Solution** : $F_x = 200\cos 60^\circ = 200 \times 0.5 = 100.0\,\text{N}$ $F_y = 200\sin 60^\circ = 200 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 173.2\,\text{N}$ **Exercice 2** : Un bloc de masse $10\,\text{kg}$ est sur un plan incliné à $25^\circ$. Trouver la composante de son poids parallèle et perpendiculaire au plan. ($g = 9.8\,\text{m/s}^2$) **Solution** : $W = mg = 10 \times 9.8 = 98.0\,\text{N}$ Parallèle : $W_{\parallel} = mg\sin 25^\circ = 98.0 \times 0.4226 = 41.4\,\text{N}$ (vers le bas du plan) Perpendiculaire : $W_{\perp} = mg\cos 25^\circ = 98.0 \times 0.9063 = 88.8\,\text{N}$ (dans le plan, vers le bas) --- ## III. Triangle law of forces La loi du triangle des forces est un principe fondamental de la statique qui concerne l'équilibre de trois forces concourantes (agissant en un même point). > **Définition** : Si trois forces concourantes agissant sur une particule sont en équilibre, elles peuvent être représentées en magnitude et en direction par les trois côtés d'un triangle pris dans le même ordre. > Réciproquement, si trois forces peuvent être représentées par les côtés d'un triangle, elles sont en équilibre. ### Explication Lorsqu'on place les trois forces tête à queue, elles forment un triangle fermé si et seulement si leur somme vectorielle est nulle : $$ \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0} $$ Cela signifie que la résultante des deux premières forces est égale et opposée à la troisième. ### Exemple résolu Trois forces agissent sur une particule : $\vec{F}_1 = 50\,\text{N}$ à $0^\circ$, $\vec{F}_2 = 60\,\text{N}$ à $90^\circ$, $\vec{F}_3$ est inconnue mais le système est en équilibre. Trouver $\vec{F}_3$. **Solution** : Comme le système est en équilibre, $\vec{F}_3 = -(\vec{F}_1 + \vec{F}_2)$ Décomposer $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$ : $F_{1x} = 50$, $F_{1y} = 0$ $F_{2x} = 0$, $F_{2y} = 60$ Donc : $R_x = 50 + 0 = 50$, $R_y = 0 + 60 = 60$ Ainsi, $\vec{F}_3 = (-50)\hat{i} + (-60)\hat{j}$ Magnitude : $$ F_3 = \sqrt{(-50)^2 + (-60)^2} = \sqrt{2500 + 3600} = \sqrt{6100} \approx 78.1\,\text{N} $$ Direction : $$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-60}{-50}\right) = \tan^{-1}(1.2) \approx 50.2^\circ $$ Mais comme les deux composantes sont négatives, le vecteur pointe dans le troisième quadrant : $\theta = 180^\circ + 50.2^\circ = 230.2^\circ$ par rapport à l'axe $x$ positif, ou équivalentement : $50.2^\circ$ sous l'axe $x$ négatif, ou $40.2^\circ$ à gauche de la verticale vers le bas. > **À retenir** : Dans un triangle de forces, chaque côté représente une force, et l'angle entre deux côtés est le supplément de l'angle entre les deux forces correspondantes. ### Application : Problème avec trois forces connues en équilibre Une particule est soumise à trois forces : $F_A = 40\,\text{N}$ à $30^\circ$ au-dessus de l'horizontale, $F_B = 50\,\text{N}$ à $150^\circ$ au-dessus de l'horizontale, $F_C$ est inconnue. Le système est en équilibre. Trouver $F_C$. **Solution** : Décomposer $F_A$ et $F_B$ : $F_{Ax} = 40\cos 30^\circ = 40 \times 0.8660 = 34.64\,\text{N}$ $F_{Ay} = 40\sin 30^\circ = 20.00\,\text{N}$ $F_{Bx} = 50\cos 150^\circ = 50 \times (-\sqrt{3}/2) = -43.30\,\text{N}$ $F_{By} = 50\sin 150^\circ = 50 \times 0.5 = 25.00\,\text{N}$ Somme : $R_x = 34.64 - 43.30 = -8.66\,\text{N}$ $R_y = 20.00 + 25.00 = 45.00\,\text{N}$ Donc $\vec{F}_C = -(-8.66)\hat{i} + (-45.00)\hat{j} = 8.66\hat{i} - 45.00\hat{j}$ Magnitude : $$ F_C = \sqrt{(8.66)^2 + (-45.00)^2} = \sqrt{75.0 + 2025} = \sqrt{2100} \approx 45.8\,\text{N} $$ Direction : $$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-45.00}{8.66}\right) = \tan^{-1}(-5.196) \approx -79.1^\circ $$ Donc $79.1^\circ$ sous l'axe $x$ positif, ou $280.9^\circ$. > **À retenir** : La loi du triangle permet de trouver une force inconnue lorsque deux autres et l'équilibre sont connus, sans avoir besoin de résoudre des équations trigonométriques complexes. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Trois forces de $40\,\text{N}$, $50\,\text{N}$ et $60\,\text{N}$ agissent sur une particule et sont en équilibre. Trouver l'angle entre les forces de $40\,\text{N}$ et $50\,\text{N}$. **Solution** : En équilibre, les trois forces forment un triangle. Donc, par la loi des cosinus dans le triangle formé : Soit l'angle entre $40\,\text{N}$ et $50\,\text{N}$ soit $\theta$. Alors le côté opposé est $60\,\text{N}$. $$ 60^2 = 40^2 + 50^2 - 2 \cdot 40 \cdot 50 \cdot \cos\theta $$ $$ 3600 = 1600 + 2500 - 4000\cos\theta $$ $$ 3600 = 4100 - 4000\cos\theta \Rightarrow 4000\cos\theta = 500 \Rightarrow \cos\theta = 0.125 $$ $$ \theta = \cos^{-1}(0.125) \approx 82.8^\circ $$ **Exercice 2** : Deux forces de $70\,\text{N}$ et $80\,\text{N}$ agissent selon un angle de $120^\circ$. Une troisième force maintient l'équilibre. Trouver sa magnitude et sa direction par rapport à la première force. **Solution** : La résultante des deux premières forces doit être égale et opposée à la troisième. Décomposer : Soit $F_1 = 70\,\text{N}$ le long de $x$. $F_2 = 80\,\text{N}$ à $120^\circ$ : $F_{2x} = 80\cos 120^\circ = -40.0\,\text{N}$, $F_{2y} = 80\sin 120^\circ = 40\sqrt{3} \approx 69.28\,\text{N}$ $R_x = 70 - 40 = 30.0\,\text{N}$, $R_y = 0 + 69.28 = 69.28\,\text{N}$ $R = \sqrt{30^2 + 69.28^2} = \sqrt{900 + 4800} = \sqrt{5700} \approx 75.5\,\text{N}$ Donc la troisième force est de $75.5\,\text{N}$ dans la direction opposée à $\vec{R}$, donc à $180^\circ + \tan^{-1}(69.28/30) \approx 180^\circ + 66.5^\circ = 246.5^\circ$ par rapport à $F_1$, ou equivalentement : $180^\circ - 66.5^\circ = 113.5^\circ$ dans l'autre sens — mais la direction opposée au résultant est bien $246.5^\circ$ ou $-113.5^\circ$. Par rapport à $F_1$ (le long de $x$), l'angle est $246.5^\circ$ ou, plus simplement, l'angle entre $F_1$ et $F_3$ est $180^\circ - \tan^{-1}(69.28/30) \approx 180^\circ - 66.5^\circ = 113.5^\circ$ si on prend l'angle aigu — mais en fait, comme le résultant est dans le premier quadrant, l'opposé est dans le troisième, donc l'angle entre $F_1$ (0°) et $F_3$ est $180^\circ + 66.5^\circ = 246.5^\circ$, ou l'angle le plus petit est $360 - 246.5 = 113.5^\circ$. Donc la magnitude est $75.5\,\text{N}$, et l'angle entre $F_1$ et $F_3$ est $113.5^\circ$. --- ## IV. Moment of a force Le moment d'une force (ou couple) mesure l'effet tournant d'une force par rapport à un point ou un axe. Il est fondamental en statique pour analyser l'équilibre des corps rigides. > **Définition** : Le moment scalaire d'une force $\vec{F}$ par rapport à un point $O$ est donné par : > $$ > M_O = F \cdot d_\perp > $$ > où $d_\perp$ est la distance perpendiculaire du point $O$ à la ligne d'action de la force (le bras de levier). > En forme vectorielle : $\vec{M}_O = \vec{r} \times \vec{F}$, où $\vec{r}$ est le vecteur position du point d'application de la force par rapport à $O$. > **À retenir** : Le moment d'une force dépend de la force appliquée, de la distance au point de pivot, et de l'angle entre le bras de levier et la force. Il est nul si la force passe par le point ou si elle est parallèle au bras de levier. ### Sens du moment Par convention : - Moment positif : tendance à faire tourner le corps dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (antihoraire). - Moment négatif : tendance à faire tourner dans le sens des aiguilles d'une montre (horaire). ### Calcul du moment : méthode des composantes Si $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j}$ et $\vec{F} = F_x\hat{i} + F_y\hat{j}$, alors : $$ \vec{M}_O = \vec{r} \times \vec{F} = (x F_y - y F_x)\hat{k} $$ Donc la magnitude scalaire (avec signe) est : $$ M_O = x F_y - y F_x $$ > **À retenir** : Dans le plan $xy$, le moment scalaire par rapport à l'origine est $M = xF_y - yF_x$. Un résultat positif indique un moment antihoraire. ### Exemple résolu Une force de $100\,\text{N}$ est appliquée au point $P(3\,\text{m}, 4\,\text{m})$ dans la direction faisant un angle de $30^\circ$ avec l'axe $x$ positif. Trouver le moment de cette force par rapport à l'origine $O(0,0)$. **Solution** : Décomposer la force : $F_x = 100\cos 30^\circ = 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 86.60\,\text{N}$ $F_y = 100\sin 30^\circ = 50.00\,\text{N}$ Vecteur position : $\vec{r} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ Moment scalaire : $$ M_O = x F_y - y F_x = (3)(50.00) - (4)(86.60) = 150 - 346.4 = -196.4\,\text{N·m} $$ Le signe négatif indique un moment horaire. **Vérification par bras de levier** : La ligne d'action de la force passe par $P(3,4)$ avec une pente $\tan 30^\circ = 1/\sqrt{3} \approx 0.577$. Équation de la droite : $y - 4 = 0.577(x - 3)$ Distance de $O(0,0)$ à cette droite : $$ d_\perp = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$ Écrire sous forme $Ax + By + C = 0$ : $y - 4 = 0.577x - 1.731 \Rightarrow -0.577x + y - 2.269 = 0$ Donc $A = -0.577$, $B = 1$, $C = -2.269$ $$ d_\perp = \frac{|-0.577(0) + 1(0) - 2.269|}{\sqrt{(-0.577)^2 + 1^2}} = \frac{2.269}{\sqrt{0.333 + 1}} = \frac{2.269}{\sqrt{1.333}} \approx \frac{2.269}{1.155} \approx 1.965\,\text{m} $$ Puis $M = F \cdot d_\perp = 100 \times 1.965 = 196.5\,\text{N·m}$ Pour trouver le sens : la force tend à tourner l'objet autour de $O$. En traçant, on voit que c'est horaire → négatif. Donc $M = -196.5\,\text{N·m}$, cohérent. > **À retenir** : Le moment peut être calculé soit par $F \cdot d_\perp$, soit par $xF_y - yF_x$. Les deux méthodes doivent donner le même résultat en magnitude et en signe. ### Application : Moment d'une force poids Une barre homogène de longueur $L$ et de masse $m$ est fixée par une charnière à son extrémité gauche. Trouver le moment du poids de la barre par rapport à la charnière. **Solution** : Le poids $mg$ agit au centre de masse, à $L/2$ de la charnière, verticalement vers le bas. Si la barre est horizontale, le bras de levier est horizontal, la force est verticale → angle de $90^\circ$. $$ M = mg \cdot \frac{L}{2} $$ Sens : le poids tend à faire tourner la barre dans le sens horaire autour de la charnière → moment négatif si l'antihoraire est positif. > **À retenir** : Pour une force uniforme agissant au centre de gravité, le moment par rapport à un point est le poids multiplié par la distance horizontale (ou perpendiculaire) du point au centre de gravité. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Une force de $60\,\text{N}$ est appliquée au point $(2\,\text{m}, 5\,\text{m})$ selon la direction de l'axe $y$ positif. Trouver le moment par rapport à l'origine. **Solution** : $\vec{F} = 60\hat{j}\,\text{N}$, $\vec{r} = 2\hat{i} + 5\hat{j}$ $M_O = x F_y - y F_x = (2)(60) - (5)(0) = 120\,\text{N·m}$ Positif → antihoraire. **Exercice 2** : Une force de $80\,\text{N}$ agit au point $P(4\,\text{m}, -3\,\text{m})$ selon la direction faisant un angle de $-45^\circ$ avec l'axe $x$. Trouver le moment par rapport à l'origine. **Solution** : $F_x = 80\cos(-45^\circ) = 80 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 56.57\,\text{N}$ $F_y = 80\sin(-45^\circ) = -56.57\,\text{N}$ $\vec{r} = 4\hat{i} - 3\hat{j}$ $M_O = x F_y - y F_x = (4)(-56.57) - (-3)(56.57) = -226.28 + 169.71 = -56.57\,\text{N·m}$ Moment horaire de magnitude $56.6\,\text{N·m}$. --- ## V. Equilibrium of particles Une particule est en équilibre lorsqu'elle est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme. En statique, on s'intéresse au cas où elle est au repos. > **Définition** : Une particule est en équilibre si et seulement si la somme vectorielle de toutes les forces agissant sur elle est nulle : > $$ > \sum \vec{F} = \vec{0} > $$ > En composantes, cela donne deux équations scalaires (dans un plan) : > $$ > \sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0 > $$ > **À retenir** : Pour qu'une particule soit en équilibre, la somme des composantes selon chaque axe doit être nulle. Cela fournit deux équations indépendantes pour résoudre jusqu'à deux inconnues. ### Méthode de résolution 1. Identifier toutes les forces agissant sur la particule. 2. Choisir un système d'axes (généralement horizontal/vertical). 3. Résoudre chaque force en composantes $x$ et $y$. 4. Écrire les équations $\sum F_x = 0$ et $\sum F_y = 0$. 5. Résoudre le système pour les inconnues (forces, angles, etc.). ### Exemple résolu Une particule de masse $5\,\text{kg}$ est suspendue par deux fils faisant des angles de $30^\circ$ et $60^\circ$ avec l'horizontale. Trouver la tension dans chaque fil. ($g = 9.8\,\text{m/s}^2$) **Solution** : Poids : $W = mg = 5 \times 9.8 = 49.0\,\text{N}$ vers le bas. Soit $T_1$ la tension dans le fil à $30^\circ$, $T_2$ celle à $60^\circ$. Composantes : Pour $T_1$ : $T_{1x} = T_1\cos 30^\circ = T_1 \cdot \sqrt{3}/2$, $T_{1y} = T_1\sin 30^\circ = T_1 / 2$ Pour $T_2$ : $T_{2x} = -T_2\cos 60^\circ = -T_2 \cdot 1/2$ (négative car vers la gauche), $T_{2y} = T_2\sin 60^\circ = T_2 \cdot \sqrt{3}/2$ Poids : $W_x = 0$, $W_y = -49.0$ Équilibre : $\sum F_x = 0$ : $$ T_1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - T_2 \cdot \frac{1}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{3} T_1 = T_2 \quad (1) $$ $\sum F_y = 0$ : $$ \frac{T_1}{2} + T_2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 49.0 = 0 \quad \Rightarrow \quad T_1 + \sqrt{3} T_2 = 98.0 \quad (2) $$ Substituer (1) dans (2) : $T_1 + \sqrt{3} (\sqrt{3} T_1) = T_1 + 3T_1 = 4T_1 = 98.0 \Rightarrow T_1 = 24.5\,\text{N}$ Puis $T_2 = \sqrt{3} \times 24.5 \approx 1.732 \times 24.5 = 42.4\,\text{N}$ > **À retenir** : Dans les problèmes d'équilibre avec des cordes ou des fils, la tension est la même partout dans un fil idéal et inextensible, et agit loin de la particule le long du fil. ### Application : Équilibre sur un plan incliné avec frottement (préambule) Une particule de masse $m$ repose sur un plan incliné à angle $\alpha$. Elle est sur le point de glisser. Trouver le coefficient de frottement statique $\mu_s$. On verra cela en détail dans la prochaine section, mais ici : Forces : poids $mg$, réaction normale $N$, frottement $f_s$ (vers le haut du plan si sur le point de glisser vers le bas). Axes : $x'$ le long du plan (vers le haut), $y'$ perpendiculaire. $\sum F_{x'} = 0$ : $mg\sin\alpha - f_s = 0$ $\sum F_{y'} = 0$ : $N - mg\cos\alpha = 0$ Au point de glissement : $f_s = \mu_s N$ Donc : $mg\sin\alpha = \mu_s mg\cos\alpha \Rightarrow \mu_s = \tan\alpha$ > **À retenir** : Sur un plan incliné, le coefficient de frottement statique maximal juste avant le glissement est égal à la tangente de l'angle d'inclinaison. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Une lampe de poids $20\,\text{N}$ est suspendue par deux fils faisant des angles de $45^\circ$ avec la verticale (de chaque côté). Trouver la tension dans chaque fil. **Solution** : Les fils font $45^\circ$ avec la verticale → donc $45^\circ$ avec l'axe $y$, soit $45^\circ$ de l'horizontale ? Attention : si avec la verticale, alors l'angle avec l'horizontale est $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ — même valeur. Mais mieux : composantes. Soit $T$ la tension dans chaque fil (symétrie). Chaque fil a une composante verticale : $T\cos 45^\circ$ (puisque l'angle avec la verticale est $45^\circ$). Deux fils : $2T\cos 45^\circ = W = 20$ $$ 2T \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20 \Rightarrow T\sqrt{2} = 20 \Rightarrow T = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \approx 14.1\,\text{N} $$ **Exercice 2** : Une particule est soumise à trois forces : $10\,\text{N}$ à $0^\circ$, $15\,\text{N}$ à $90^\circ$, et une force inconnue $F$ à $\theta$. Le système est en équilibre. Trouver $F$ et $\theta$. **Solution** : $\sum F_x = 0$ : $10 + F\cos\theta = 0$ $\sum F_y = 0$ : $15 + F\sin\theta = 0$ Donc : $F\cos\theta = -10$ $F\sin\theta = -15$ Élever au carré et additionner : $F^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = (-10)^2 + (-15)^2 = 100 + 225 = 325$ $F = \sqrt{325} = 5\sqrt{13} \approx 18.0\,\text{N}$ Puis : $\tan\theta = \frac{F\sin\theta}{F\cos\theta} = \frac{-15}{-10} = 1.5$ $\theta = \tan^{-1}(1.5) \approx 56.3^\circ$ Mais comme les deux composantes sont négatives, $\theta = 180^\circ + 56.3^\circ = 236.3^\circ$ (ou $-123.7^\circ$). ---