Chap 9. PROBABILITY

# Chap 9. PROBABILITY ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Définir la probabilité d'un événement dans un espace échantillonnal fini. - Calculer la probabilité d'événements complémentaires, mutuellement exclusifs, indépendants et exhaustifs. - Appliquer les règles de probabilité (addition, multiplication) pour résoudre des problèmes composés. - Identifier et distinguer les types d'événements dans des situations réelles. - Résoudre des exercices d'application avec rigueur et justification. **Prérequis** : Notions de ensembles (union, intersection, complément), comptage fondamental (principe de multiplication, permutations simples), notation des ensembles et logique propositionnelle de base. --- ## I. Definition of probability La probabilité mesure la chance qu'un événement se produise dans une expérience aléatoire. Elle est définie comme le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre total de cas également possibles, sous l'hypothèse d'équiprobabilité. > **Définition** : Dans un espace échantillonnal fini $S$ où tous les résultats sont également probables, la probabilité d'un événement $A \subseteq S$ est : > $$ > P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} > $$ > où $n(A)$ est le nombre d'éléments dans $A$ et $n(S)$ le nombre total de résultats possibles. **Propriétés** : 1. $0 \leq P(A) \leq 1$ pour tout événement $A$. 2. $P(S) = 1$ (événement certain). 3. $P(\emptyset) = 0$ (événement impossible). 4. Si $A$ et $B$ sont disjoints (mutuellement exclusifs), alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. **Exemple 1** : Un dé équilibré à 6 faces est lancé. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ? - $S = \{1,2,3,4,5,6\}$, $n(S) = 6$ - $A = \{2,4,6\}$, $n(A) = 3$ - $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ **Exemple 2** : Une urne contient 5 boules rouges, 3 bleues et 2 vertes. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle ne soit pas verte ? - $S = \{R_1,R_2,R_3,R_4,R_5,B_1,B_2,B_3,V_1,V_2\}$, $n(S) = 10$ - $A = \text{boule verte} = \{V_1,V_2\}$, $n(A) = 2$ - $P(\text{pas verte}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ **Exercices d'application corrigés** : **Exercice 1** : Une pièce de monnaie équilibrée est lancée deux fois. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une face ? - $S = \{HH, HT, TH, TT\}$, $n(S) = 4$ - $A = \{HT, TH\}$, $n(A) = 2$ - $P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ **Exercice 2** : Dans une classe de 30 élèves, 18 aiment les mathématiques, 12 aiment la physique, et 5 aiment les deux. Quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard aime au moins une de ces deux matières ? - Soit $M$ = aime les maths, $P$ = aime la physique. - $n(M) = 18$, $n(P) = 12$, $n(M \cap P) = 5$ - $n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P) = 18 + 12 - 5 = 25$ - $P(M \cup P) = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$ **Exercice 3** : Un sac contient 4 balles noires et 6 blanches. On tire deux balles sans remise. Quelle est la probabilité que les deux soient noires ? - Première tirage : $P(\text{noire}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ - Deuxième tirage (après avoir retiré une noire) : $P(\text{noire}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ - $P(\text{deux noires}) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$ --- ## II. Compound events (Complementary, Mutually Exclusive, independent events, Exhaustive) Les événements composés résultent de la combinaison d'événements simples via des opérations ensemblistes. Nous étudions quatre types clés : complémentaires, mutuellement exclusifs, indépendants et exhaustifs. ### A. Complementary events Deux événements sont complémentaires si l'un se produit exactement quand l'autre ne se produit pas. Leur union forme l'espace échantillonnal, et leur intersection est vide. > **Définition** : Pour tout événement $A$, son complémentaire $\bar{A}$ (ou $A^c$) est l'ensemble des résultats de $S$ qui ne sont pas dans $A$. On a : > $$ > P(\bar{A}) = 1 - P(A) > $$ **Propriétés** : - $A \cup \bar{A} = S$ - $A \cap \bar{A} = \emptyset$ - $P(A) + P(\bar{A}) = 1$ **Exemple 1** : La probabilité qu'il pleuve demain est $0,3$. Quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ? - $P(\text{pas de pluie}) = 1 - 0,3 = 0,7$ **Exemple 2** : Un dé est lancé. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre supérieur à 4 ? - $A = \{5,6\}$, $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ - $\bar{A} = \{1,2,3,4\}$, $P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ **Exercice 1** : La probabilité qu'un étudiant échoue un test est $0,15$. Quelle est la probabilité qu'il le réussisse ? - $P(\text{réussite}) = 1 - 0,15 = 0,85$ **Exercice 2** : Dans un jeu, la probabilité de gagner est $\frac{3}{8}$. Quelle est la probabilité de ne pas gagner ? - $P(\text{pas de gain}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ ### B. Mutually Exclusive events Deux événements sont mutuellement exclusifs s'ils ne peuvent pas se produire simultanément. Leur intersection est vide. > **Définition** : Deux événements $A$ et $B$ sont mutuellement exclusifs si $A \cap B = \emptyset$. Dans ce cas : > $$ > P(A \cup B) = P(A) + P(B) > $$ **Propriétés** : - Si $A$ et $B$ sont mutuellement exclusifs, alors $P(A \cap B) = 0$. - La règle d'addition générale : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ se réduit à $P(A) + P(B)$ quand ils sont mutuellement exclusifs. **Exemple 1** : On tire une carte d'un jeu standard de 52 cartes. Quelle est la probabilité qu'elle soit un cœur ou un trèfle ? - $A$ = cœur, $n(A) = 13$ - $B$ = trèfle, $n(B) = 13$ - $A \cap B = \emptyset$ (une carte ne peut pas être les deux) - $P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{13}{52} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$ **Exemple 2** : Un dé est lancé. Quelle est la probabilité d'obtenir un 2 ou un 5 ? - $A = \{2\}$, $P(A) = \frac{1}{6}$ - $B = \{5\}$, $P(B) = \frac{1}{6}$ - $A \cap B = \emptyset$ - $P(A \cup B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ **Exercice 1** : Une urne contient 7 boules rouges, 5 bleues et 3 vertes. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ou bleue ? - $P(\text{rouge}) = \frac{7}{15}$, $P(\text{bleue}) = \frac{5}{15}$ - Mutuellement exclusives : $P(\text{rouge ou bleue}) = \frac{7}{15} + \frac{5}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ **Exercice 2** : Dans un tirage au sort, les probabilités de gagner le premier, deuxième et troisième prix sont respectivement $0,1$, $0,05$ et $0,02$. Ces événements sont-ils mutuellement exclusifs ? Quelle est la probabilité de gagner au moins un prix ? - Oui, on ne peut gagner qu'un seul prix. - $P(\text{au moins un}) = 0,1 + 0,05 + 0,02 = 0,17$ ### C. Independent events Deux événements sont indépendants si la survenue de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre. > **Définition** : Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si : > $$ > P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) > $$ > Équivalentement, $P(A|B) = P(A)$ et $P(B|A) = P(B)$. **Propriétés** : - L'indépendance implique que la probabilité conjointe est le produit des probabilités individuelles. - Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\bar{B}$, $\bar{A}$ et $B$, $\bar{A}$ et $\bar{B}$ sont également indépendants. - L'indépendance n'implique pas l'exclusivité mutuelle (et vice versa). **Exemple 1** : On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité d'obtenir un 6 sur le premier dé et un 4 sur le second ? - $A$ = 6 sur premier dé, $P(A) = \frac{1}{6}$ - $B$ = 4 sur second dé, $P(B) = \frac{1}{6}$ - Indépendants : $P(A \cap B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ **Exemple 2** : Une pièce est lancée et un dé est lancé. Quelle est la probabilité d'obtenir une face et un nombre pair ? - $A$ = face, $P(A) = \frac{1}{2}$ - $B$ = nombre pair sur dé ($\ \{2,4,6\}$), $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ - Indépendants : $P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ **Exercice 1** : La probabilité qu'il pleuve demain est $0,4$. La probabilité que le trafic soit dense est $0,3$. Ces événements sont indépendants. Quelle est la probabilité qu'il pleuve ET que le trafic soit dense ? - $P(\text{pluie et trafic dense}) = 0,4 \times 0,3 = 0,12$ **Exercice 2** : Un étudiant a une probabilité de $0,7$ de réussir un test de maths et $0,6$ de réussir un test de physique. Les résultats sont indépendants. Quelle est la probabilité qu'il réussisse les deux ? - $P(\text{maths et physique}) = 0,7 \times 0,6 = 0,42$ **Exercice 3** : Quelle est la probabilité qu'il échoue au moins un des deux tests ? - $P(\text{échoue maths}) = 1 - 0,7 = 0,3$ - $P(\text{échoue physique}) = 1 - 0,6 = 0,4$ - $P(\text{échoue les deux}) = 0,3 \times 0,4 = 0,12$ (indépendance) - $P(\text{échoue au moins un}) = 1 - P(\text{réussite les deux}) = 1 - 0,42 = 0,58$ - Ou : $P(\text{échoue maths ou physique}) = 0,3 + 0,4 - 0,12 = 0,58$ ### D. Exhaustive events Un ensemble d'événements est exhaustif si au moins l'un d'entre eux doit se produire. Leur union couvre tout l'espace échantillonnal. > **Définition** : Des événements $A_1, A_2, \dots, A_n$ sont exhaustifs si : > $$ > A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = S > $$ > Dans ce cas : > $$ > P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_n) \geq 1 > $$ > Si ils sont en plus mutuellement exclusifs, alors : > $$ > P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_n) = 1 > $$ **Propriétés** : - Un partition de $S$ est un ensemble d'événements qui sont à la fois mutuellement exclusifs et exhaustifs. - Dans une partition, la somme des probabilités est exactement 1. - Les événements complémentaires $A$ et $\bar{A}$ forment toujours une partition de $S$. **Exemple 1** : Lors du lancer d'un dé, les événements "obtenir un 1", "un 2", ..., "un 6" sont mutuellement exclusifs et exhaustifs. - $P(1) + P(2) + \dots + P(6) = \frac{1}{6} \times 6 = 1$ **Exemple 2** : Lors du lancer d'une pièce, les événements "face" et "pile" sont mutuellement exclusifs et exhaustifs. - $P(\text{face}) + P(\text{pile}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ **Exercice 1** : Un sac contient 10 boules : 4 rouges, 3 bleues, 3 vertes. Les événements "tirer une rouge", "une bleue", "une verte" sont-ils exhaustifs ? Mutuellement exclusifs ? - Oui, ils sont mutuellement exclusifs (une boule ne peut avoir qu'une couleur). - Oui, ils sont exhaustifs (toute boule est rouge, bleue ou verte). - Somme des probabilités : $\frac{4}{10} + \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = 1$ **Exercice 2** : Dans une enquête, les réponses possibles à une question sont : "Oui", "Non", "Ne sait pas". Les probabilités estimées sont $0,6$, $0,3$, $0,1$. Ces événements forment-ils une partition ? - Mutuellement exclusifs ? Oui (on ne peut donner qu'une réponse). - Exhaustifs ? Oui (toutes les réponses possibles sont couvertes). - Somme : $0,6 + 0,3 + 0,1 = 1$ → Oui, c'est une partition. **Exercice 3** : Un dé est lancé. Les événements "résultat pair" et "résultat impair" forment-ils une partition ? - Mutuellement exclusifs ? Oui (un nombre ne peut pas être pair et impair). - Exhaustifs ? Oui (tout entier est soit pair soit impair). - $P(\text{pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, $P(\text{impair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ - Somme : $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ → Oui, partition. --- ## Synthèse du chapitre - **Définition de la probabilité** : $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ pour un espace échantillonnal fini équiprobable. - **Événement complémentaire** : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ ; utilisé pour simplifier les calculs de "pas de". - **Événements mutuellement exclusifs** : $A \cap B = \emptyset$ → $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. - **Événements indépendants** : $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ; la survenue d'un n'affecte pas l'autre. - **Événements exhaustifs** : $\bigcup A_i = S$ ; si en plus mutuellement exclusifs → $\sum P(A_i) =