Chap 8. DESCRIPTIVE STATISTICS

# Chap 8. DESCRIPTIVE STATISTICS ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à fournir aux élèves de Form Five (anglophone) une compréhension approfondie des méthodes statistiques descriptives utilisées pour résumer, représenter et interpréter des données. À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Collecter et représenter des données de manière appropriée (tableaux, diagrammes). - Calculer et interpréter la moyenne, la médiane et le mode pour des données non groupées et groupées. - Calculer la moyenne pondérée et comprendre son application dans des contextes réels. - Construire et interpréter les distributions de fréquences cumulées et leurs courbes (ogives). - Déterminer les quartiles, percentiles et l’étendue à partir de graphiques. - Calculer la variance et l’écart-type pour des données groupées et non groupées. - Appliquer des transformations linéaires aux variables et comprendre leur effet sur les mesures de tendance centrale et de dispersion. **Prérequis** : Notions de base en arithmétique, manipulation de fractions et de pourcentages, lecture de tableaux simples, compréhension du concept de fréquence. --- ## I. Data Collection and representation La collecte de données est la première étape de toute enquête statistique. Les données peuvent être qualitatives (catégorielles) ou quantitatives (numériques). Les données quantitatives sont further classées en discrètes (comptables) ou continues (mesurables). Une fois collectées, les données doivent être organisées pour faciliter l’analyse. Les méthodes de représentation incluent : - **Tableaux de fréquences** : listent chaque valeur ou classe avec son nombre d’occurrences. - **Diagrammes en bâtons** : pour les données discrètes ou qualitatives. - **Histogramme** : pour les données continues groupées ; les aires des barres sont proportionnelles aux fréquences. - **Polygonnes de fréquences** : obtenu en joignant les milieux supérieurs des histogrammes. - **Camembert** : pour montrer les proportions dans un tout (données qualitatives). > **À retenir** : Dans un histogramme pour des données continues, la hauteur de chaque barre représente la densité de fréquence (fréquence divisée par l’amplitude de la classe), de sorte que l’aire de la barre soit égale à la fréquence. **Exemple 1** : On recueille les notes de 30 élèves en mathématiques (sur 20) : 12, 15, 14, 16, 13, 15, 17, 14, 16, 15, 18, 14, 13, 16, 15, 17, 14, 15, 16, 18, 19, 15, 14, 16, 17, 15, 14, 16, 15, 17 On construit un tableau de fréquences : | Note (x) | Fréquence (f) | |----------|---------------| | 12 | 1 | | 13 | 2 | | 14 | 6 | | 15 | 8 | | 16 | 6 | | 17 | 4 | | 18 | 2 | | 19 | 1 | | **Total**| **30** | On peut représenter ces données par un diagramme en bâtons (discrètes) ou, si on les groupe en intervalles (ex. 12-13, 14-15, etc.), par un histogramme. **Exercice 1** : Les hauteurs (en cm) de 20 élèves sont : 150, 152, 155, 157, 160, 158, 153, 151, 156, 159, 154, 157, 161, 155, 152, 158, 156, 150, 153, 157 a) Construire un tableau de fréquences avec des classes de largeur 2 cm commençant à 150. b) Représenter les données par un histogramme. c) Quel est le type de données ? **Corrigé 1** : a) Classes : 150-151, 152-153, 154-155, 156-157, 158-159, 160-161 Fréquences : 150-151 : 2 (150,150,151) → attendez : 150,150,151 → 3 ? Liste triée : 150,150,151,152,152,153,153,154,155,155,156,156,157,157,157,158,158,159,160,161 150-151 : 150,150,151 → 3 152-153 : 152,152,153,153 → 4 154-155 : 154,155,155 → 3 156-157 : 156,156,157,157,157 → 5 158-159 : 158,158,159 → 3 160-161 : 160,161 → 2 Total : 3+4+3+5+3+2=20 ✓ b) Histogramme : barres de largeur 2, hauteurs proportionnelles aux fréquences (ou densité si on veut aire = fréquence, mais ici on peut juste mettre fréquence puisque largeur constante). c) Données quantitatives continues (mesurées à l’unité près, mais traitées comme continues pour le regroupement). --- ## II. Mode, median and Mean for ungrouped data Pour un ensemble de données non groupées, on définit : - **Mode** : valeur qui apparaît le plus fréquemment. Peut être unique, multiple (bimodal, etc.) ou inexistant. - **Médiane** : valeur du milieu lorsque les données sont ordonnées. Si n impair : valeur à la position (n+1)/2. Si n pair : moyenne des deux valeurs centrales. - **Moyenne arithmétique** : somme de toutes les valeurs divisée par le nombre de valeurs. > **À retenir** : Pour des données non groupées, > $$\text{Moyenne} = \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$ > $$\text{Médiane} = \text{valeur au rang } \left(\frac{n+1}{2}\right) \text{ après tri}$$ > $$\text{Mode} = \text{valeur avec la plus haute fréquence}$$ **Exemple 2** : Données : 5, 7, 9, 9, 10, 12, 12, 12, 15 n = 9 Somme = 5+7+9+9+10+12+12+12+15 = 91 Moyenne = 91/9 ≈ 10,11 Données ordonnées : 5,7,9,9,10,12,12,12,15 → 5e valeur = 10 → Médiane = 10 Mode = 12 (apparaît 3 fois) **Exercice 2** : Trouver la moyenne, la médiane et le mode pour : 2, 4, 4, 5, 7, 8, 8, 8, 9, 10 **Corrigé 2** : n=10 Somme = 2+4+4+5+7+8+8+8+9+10 = 65 Moyenne = 65/10 = 6,5 Données ordonnées : 2,4,4,5,7,8,8,8,9,10 → positions 5 et 6 : 7 et 8 → Médiane = (7+8)/2 = 7,5 Mode = 8 (fréquence 3) --- ## III. Mode, median and Mean for grouped data Lorsque les données sont présentées sous forme de tableau de fréquences avec des intervalles de classe, on utilise les milieux de classe pour estimer les mesures. Soit une classe [L, U) avec fréquence f, milieu de classe x = (L+U)/2. > **À retenir** : Pour des données groupées, > $$\text{Moyenne estimée} = \bar{x} = \frac{\sum f x}{\sum f}$$ > $$\text{Médiane estimée} = L + \left( \frac{\frac{n}{2} - F}{f} \right) \times c$$ > où : > L = limite inférieure de la classe médiane, > n = effectif total, > F = somme des fréquences des classes précédentes, > f = fréquence de la classe médiane, > c = largeur de la classe. > $$\text{Mode estimé} = L + \left( \frac{f_m - f_{m-1}}{(f_m - f_{m-1}) + (f_m - f_{m+1})} \right) \times c$$ > où f_m est la fréquence de la classe modale, f_{m-1} et f_{m+1} celles des classes adjacentes. **Exemple 3** : Tableau des fréquences des salaires mensuels (en milliers de FCFA) de 50 employés : | Classe (x) | Fréquence (f) | Milieu (x) | f.x | |------------|---------------|------------|---------| | 100-120 | 5 | 110 | 550 | | 120-140 | 8 | 130 | 1040 | | 140-160 | 12 | 150 | 1800 | | 160-180 | 15 | 170 | 2550 | | 180-200 | 7 | 190 | 1330 | | 200-220 | 3 | 210 | 630 | | **Total** | **50** | | **7900**| Moyenne = 7900 / 50 = 158 n=50 → n/2 = 25 Cumulatives : 100-120 : 5 120-140 : 5+8=13 140-160 : 13+12=25 → la classe médiane est 140-160 (car le 25e élément est dans cette classe) L=140, F=13 (somme avant cette classe), f=12, c=20 Médiane = 140 + ((25 - 13)/12) × 20 = 140 + (12/12)×20 = 140 + 20 = 160 Classe modale : 160-180 (f=15, la plus grande) f_m=15, f_{m-1}=12 (140-160), f_{m+1}=7 (180-200) Mode = 160 + ((15-12)/((15-12)+(15-7))) × 20 = 160 + (3/(3+8))×20 = 160 + (3/11)×20 ≈ 160 + 5,45 = 165,45 **Exercice 3** : Répartition des temps de parcours (en minutes) de 40 coureurs : | Temps (min) | Fréquence | |-------------|-----------| | 20-24 | 4 | | 24-28 | 6 | | 28-32 | 10 | | 32-36 | 12 | | 36-40 | 5 | | 40-44 | 3 | Calculer la moyenne, la médiane et le mode estimés. **Corrigé 3** : Milieux : 22, 26, 30, 34, 38, 42 Σfx = 4×22 + 6×26 + 10×30 + 12×34 + 5×38 + 3×42 = 88 + 156 + 300 + 408 + 190 + 126 = 1268 Σf = 40 Moyenne = 1268/40 = 31,7 n=40 → n/2=20 Cumulatives : 20-24 : 4 24-28 : 4+6=10 28-32 : 10+10=20 → la classe médiane est 28-32 (car le 20e élément est la dernière de cette classe) L=28, F=10 (somme avant), f=10, c=4 Médiane = 28 + ((20-10)/10)×4 = 28 + (10/10)×4 = 28+4=32 Classe modale : 32-36 (f=12) f_m=12, f_{m-1}=10 (28-32), f_{m+1}=5 (36-40) Mode = 32 + ((12-10)/((12-10)+(12-5))) × 4 = 32 + (2/(2+7))×4 = 32 + (2/9)×4 ≈ 32 + 0,89 = 32,89 --- ## IV. Weighted mean La moyenne pondérée est utilisée lorsque certaines valeurs ont plus d’importance que d’autres, représentées par des poids. > **À retenir** : > $$\text{Moyenne pondérée} = \frac{\sum (w_i \cdot x_i)}{\sum w_i}$$ > où w_i est le poids associé à la valeur x_i. **Exemple 4** : Un élève obtient les notes suivantes avec les coefficients indiqués : Mathématiques : 16 (coeff 4) Physique : 14 (coeff 3) Anglais : 12 (coeff 2) Histoire : 15 (coeff 1) Moyenne pondérée = (16×4 + 14×3 + 12×2 + 15×1) / (4+3+2+1) = (64 + 42 + 24 + 15) / 10 = 145 / 10 = 14,5 **Exercice 4** : Dans une enquête, les prix d’un produit dans 5 régions sont relevés, avec le nombre de magasins sondés comme poids : Région A : 950 FCFA (12 magasins) Région B : 1020 FCFA (8 magasins) Région C : 880 FCFA (15 magasins) Région D : 1000 FCFA (5 magasins) Région E : 970 FCFA (10 magasins) Calculer la moyenne pondérée des prix. **Corrigé 4** : Σ(w_i x_i) = 950×12 + 1020×8 + 880×15 + 1000×5 + 970×10 = 11400 + 8160 + 13200 + 5000 + 9700 = 47460 Σw_i = 12+8+15+5+10 = 50 Moyenne pondérée = 47460 / 50 = 949,2 FCFA --- ## V. Cumulative frequency Distribution and curves La distribution de fréquences cumulées montre, pour chaque valeur ou classe, le nombre d’observations qui sont inférieures ou égales à cette valeur. On distingue : - **Fréquence cumulée inférieure** (ou "less than") : nombre d’observations ≤ valeur. - **Fréquence cumulée supérieure** (ou "more than") : nombre d’observations ≥ valeur. La **courbe de fréquences cumulées** (ogive) est obtenue en représentant les fréquences cumulées en fonction des limites supérieures des classes (pour "less than") ou inférieures (pour "more than"), puis en joignant les points par des segments droits ou une courbe lisse. > **À retenir** : Pour construire une ogive "less than" : > - Utiliser les limites supérieures des classes comme abscisses. > - Utiliser les fréquences cumulées "less than" comme ordonnées. > - Relier les points par des segments droits. > L’ogive permet de lire directement la médiane, les quartiles et les percentiles. **Exemple 5** : Données du Exemple 3 (salaires) : | Classe | f | f cumulée (<) | Limite supérieure | |-------------|----|---------------|-------------------| | 100-120 | 5 | 5 | 120 | | 120-140 | 8 | 13 | 140 | | 140-160 | 12 | 25 | 160 | | 160-180 | 15 | 40 | 180 | | 180-200 | 7 | 47 | 200 | | 200-220 | 3 | 50 | 220 | On trace les points : (120,5), (140,13), (160,25), (180,40), (200,47), (220,50) et on les relie. **Exercice 5** : Pour la répartition des temps de l’Exercice 3, construire la distribution de fréquences cumulées "less than" et tracer l’ogive. Lire la médiane sur l’ogive et la comparer au résultat calculé. **Corrigé 5** : Classes : 20-24, 24-28, 28-32, 32-36, 36-40, 40-44 Limites supérieures : 24, 28, 32, 36, 40, 44 Fréquences cumulées (<) : <24 : 4 <28 : 4+6=10 <32 : 10+10=20 <36 : 20+12=32 <40 : 32+5=37 <44 : 37+3=40 Points : (24,4), (28,10), (32,20), (36,32), (40,37), (44,40) Sur l’ogive, pour n=40, médiane = valeur à laquelle la fréquence cumulée est 20 → on lit sur l’axe des x à y=20 → x≈32 → conforme au calcul (32). --- ## VI. Properties of graphs (quartiles, percentiles and range) Les quartiles divisent les données ordonnées en quatre parties égales : - Q1 : 25e percentile (25% des données ≤ Q1) - Q2 : médiane (50e percentile) - Q3 : 75e percentile (75% des données ≤ Q3) Les percentiles : le k-ième percentile est la valeur en dessous de laquelle k% des données se trouvent. L’**étendue interquartile** (EIQ) = Q3 - Q1, mesure de dispersion résistante aux valeurs aberrantes. L’**étendue** = max - min. > **À retenir** : Sur une ogive "less than" : > - Q1 correspond à la valeur où la fréquence cumulée = n/4 > - Q2 (médiane) à n/2 > - Q3 à 3n/4 > - Le k-ième percentile à (k/100)×n **Exemple 6** : Données non groupées : 3, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20 n=11 Q1 : rang = (11+1)/4 = 3 → 3e valeur = 7 Q2 : rang = (11+1)/2 = 6 → 6e valeur = 10 Q3 : rang = 3×(11+1)/4 = 9 → 9e valeur = 15 EIQ = 15 - 7 = 8 Étendue = 20 - 3 = 17 Pour des données groupées, on utilise les mêmes formules que pour la médiane, en remplaçant n/2 par n/4, 3n/4, etc. **Exercice 6** : Pour la répartition des salaires de l’Exemple 3, calculer Q1, Q3, l’EIQ et l’étendue. Données : même tableau que Exemple 3. **Corrigé 6** : n=50 Q1 : n/4 = 12,5 → classe où F < 12,5 ≤ F+f Cumulatives : 5, 13, 25,... → 12,5 est dans la classe 120-140 (car 5 < 12,5 ≤ 13) L=120, F=5, f=8, c=20 Q1 = 120 + ((12,5 - 5)/8) × 20 = 120 + (7,5/8)×20 = 120 + 18,75 = 138,75 Q3 : 3n/4 = 37,5 → cumulatives : 25, 40,... → 37,5 dans 160-180 (25 < 37,5 ≤ 40) L=160, F=25, f=15, c=20 Q3 = 160 + ((37,5 - 25)/15) × 20 = 160 + (12,5/15)×20 = 160 + 16,67 ≈ 176,67 EIQ = Q3 - Q1 = 176,67 - 138,75 = 37,92 Étendue : min = 100, max = 220 → 220 - 100 = 120 --- ## VII. Variance and standard deviation La variance mesure la dispersion moyenne des données autour de la moyenne. L’écart-type est sa racine carrée, exprimé dans les mêmes unités que les données. > **À retenir** : Pour des données non groupées : > $$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$$ > $$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$ > Pour des données groupées : > $$\sigma^2 = \frac{\sum f (x - \bar{x})^2}{\sum f}$$ > où x est le milieu de classe. > Formule alternative (utile pour le calcul) : > $$\sigma^2 = \frac{\sum f x^2}{\sum f} - \bar{x}^2$$ **Exemple 7** : Données : 4, 6, 8, 10, 12 Moyenne = (4+6+8+10+12)/5 = 40/5 = 8 Écarts au carré : (4-8)²=16, (6-8)²=4, (8-8)²=0, (10-8)²=4, (12-8)²=16 Somme = 16+4+0+4+16=40 Variance = 40/5 = 8 Écart-type = √8 ≈ 2,83 Avec la formule alternative : Σx² = 16+36+64+100+144=360 Σx²/n = 360/5=72 σ² = 72 - 8² = 72 - 64 = 8 ✓ **Exemple 8** (groupé) : Reprenons le tableau des salaires (Exemple 3) : Classe | f | x | f.x | x² | f.x² 100-120 | 5 | 110 | 550 | 12100 | 60500 120-140 | 8 | 130 | 1040 | 16900 | 135200 140-160 | 12 | 150 | 1800 | 22500 | 270000 160-180 | 15 | 170 | 2550 | 28900 | 433500 180-200 | 7 | 190 | 1330 | 36100 | 252700 200-220 | 3 | 210 | 630 | 44100 | 132300 **Σf=50** | | **Σfx=7900** | | **Σfx²=1,284,200** Moyenne = 7900/50 = 158 σ² = (Σfx² / Σf) - (moyenne)² = 1,284,200 / 50 - 158² = 25,684 - 24,964 = 0,72 Attention : unités en milliers de FCFA² → variance = 0,72 (milliers de FCFA)² Écart-type = √0,72 ≈ 0,848 milliers de FCFA = 848 FCFA Vérifions : les données sont centrées autour de 158, les écarts sont faibles → écart-type petit cohérent. **Exercice 7** : Pour la répartition des temps de l’Exercice 3, calculer la variance et l’écart-type estimés. **Corrigé 7** : Données de l’Exercice 3 : Classe | f | x | f.x | x² | f.x² 20-24 | 4 | 22 | 88 | 484 | 1936 24-28 | 6 | 26 | 156 | 676 | 4056 28-32 | 10 | 30 | 300 | 900 | 9000 32-36 | 12 | 34 | 408 | 1156 | 13872 36-40 | 5 | 38 | 190 | 1444 | 7220 40-44 | 3 | 42 | 126 | 1764 | 5292 **Σf=40** | | **Σfx=1268** | | **Σfx²=41,376** Moyenne = 1268/40 = 31,7 σ² = (41376 / 40) - (31,7)² = 1034,4 - 1004,89 = 29,51 σ = √29,51 ≈ 5,43 minutes --- ## VIII. Change of variable of linear relationship Lorsque l’on applique une transformation linéaire à une variable : $$y = a x + b$$ où a et b sont des constantes, alors les mesures de tendance centrale et de dispersion se transforment comme suit : > **À retenir** : Si $y = a x + b$, alors : > - Moyenne de y : $\bar{y} = a \bar{x} + b$ > - Médiane de y : $M_y = a M_x + b$ > - Mode de y : $Mo_y = a Mo_x + b$ > - Variance de y : $\sigma_y^2 = a^2 \sigma_x^2$ > - Écart-type de y : $\sigma_y = |a| \sigma_x$ > L’ajout d’une constante b ne change pas la dispersion ; seul le facteur d’échelle a affecte la variance (au carré) et l’écart-type (en valeur absolue). **Exemple 9** : On a un ensemble de températures en degrés Celsius avec moyenne 20°C, écart-type 5°C. On les convertit en Fahrenheit : $F = \frac{9}{5}C + 32$ Alors : Moyenne en F = (9/5)×20 + 32 = 36 + 32 = 68°F Écart-type en F = |9/5| × 5 = 9°F Variance en F = (9/5)² × 25 = (81/25)×25 = 81 °F² **Exercice 8** : Les salaires d’une entreprise ont une moyenne de 150 000 FCFA et un écart-type de 20 000 FCFA. On décide d’accorder une prime fixe de 10 000 FCFA à tous, puis d’augmenter tous les salaires de 10%. Quelle est la nouvelle moyenne et le nouvel écart-type ? **Corrigé 8** : Transformation : d’abord ajouter 10 000, puis multiplier par 1,10 → équivalent à : y = 1,10 × (x + 10 000) = 1,10x + 11 000 Donc a = 1,10, b = 11 000 Nouvelle moyenne = 1,10 × 150 000 + 11 000 = 165 000 + 11 000 = 176 000 FCFA Nouvel écart-type = |1,10| × 20 000 = 22 000 FCFA (On peut aussi penser : après prime : moyenne=160 000, écart-type=20 000 ; puis après augmentation de 10% : moyenne=176 000, écart-type=22 000) --- ## Synthèse du chapitre - La collecte de données nécessite un choix méthodique selon la nature du phénomène étudié. - La représentation graphique (tableaux, diagrammes, histogrammes, ogives) permet une interprétation visuelle rapide. - La moyenne, la médiane et le mode sont les trois mesures principales de tendance centrale ; leur calcul varie selon que les données sont groupées ou non. - La moyenne pondérée tient compte de l’importance relative des valeurs via des poids. - La distribution de fréquences cumulées et son ogive sont essentielles pour déterminer les quartiles, percentiles et médiane graphiquement. - Les quartiles et percentiles décrivent la position relative d’une valeur dans la distribution ; l’étendue interquartile est une mesure de dispersion robuste. - La variance et l’écart-type quantifient la dispersion autour de la moyenne ; des formules de calcul efficaces évitent les erreurs d’arrondi. - Une transformation linéaire $y = ax + b$ affecte les mesures de tendance centrale par translation et échelle, et les mesures de dispersion uniquement par l’échelle (variance par $a^2$, écart-type par $|a|$). ## Glossaire - **Données non groupées** : Liste brute de valeurs individuelles, sans regroupement en intervalles. - **Données groupées** : Données organisées en classes ou intervalles avec une fréquence associée à chacun. - **Fréquence cumulée** : Nombre d’observations dont la valeur est inférieure ou égale à une limite donnée. - **Ogive** : Courbe représentant la fréquence cumulée en fonction des limites supérieures (ou inférieures) des classes. - **Quartile** : Valeur qui divise les données ordonnées en quatre parties égales (Q1, Q2=Médiane, Q3). - **Percentile** : Valeur en dessous de laquelle un certain pourcentage des données se trouve. - **Variance** : Moyenne des carrés des écarts par rapport à la moyenne ; mesure de la dispersion. - **Écart-type** : Racine carrée de la variance ; exprime la dispersion dans les mêmes unités que les données. - **Transformation linéaire** : Changement d’échelle et d’origine d’une variable sous la forme $y = ax + b$. - **Moyenne pondérée** : Moyenne où chaque valeur est multipliée par un poids reflétant son importance relative.