COMPORTEMENT DES SYSTEMES MECANIQUES (partie 3/3)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de cette leçon, l’élève sera capable de : - réaliser le dimensionnement préliminaire d’un organe mécanique (arbre, poutre, boulon) à partir des charges d’utilisation ; - vérifier la résistance de l’organe en comparant les contraintes calculées aux limites admissibles du matériau, en tenant compte des coefficients de sécurité ; - analyser le comportement mécanique (déformations, contraintes de concentration, fatigue) et proposer des améliorations de conception. **Prérequis** : notions de statique (équilibre des forces et moments), concepts de contrainte normale et de cisaillement, loi de Hooke, unités du Système International (N, m, Pa), lecture de caractéristiques mécaniques d’un matériau (limite d’élasticité σₑ, limite de rupture σᵣ, module d’élasticité E, coefficient de Poisson ν). --- ## Introduction contextualisée Dans les ateliers de maintenance industrielle au Cameroun (usines de transformation agroalimentaire, chantiers de construction, centrales électriques), les techniciens sont souvent amenés à remplacer ou à concevoir des pièces mécaniques soumises à des charges variables. Un mauvais dimensionnement peut entraîner une rupture prématurée, des arrêts de production coûteux voire des accidents. Le présent TD vise à mettre en pratique les méthodes de calcul utilisées en bureau d’études pour garantir la fiabilité et la sécurité des organes mécaniques, conformément aux normes camerounaises (ex. : NCM 01‑001 relatif à la conception des machines). --- ## I. Dimensionnement des organes mécaniques ### 1. Principe de base Le dimensionnement consiste à déterminer les dimensions géométriques minimales d’une pièce de sorte que les contraintes induites par les charges d’exploitation restent inférieures ou égales à une contrainte admissible σₐ𝑑𝑚. > **Formule de contrainte normale** : σ = F / A où F est la force normale (N) et A la section résistante (m²). > **Formule de contrainte de cisaillement** : τ = V / A où V est l’effort tranchant (N). ### 2. Étapes de dimensionnement 1. **Détermination des charges** : identifier les forces statiques (poids, poussée) et dynamiques (vibrations, chocs) appliquées à l’organe. 2. **Choix du matériau** : consulter la fiche technique (ex. : acier S235JR, limite d’élasticité σₑ = 235 MPa, module d’élasticité E = 210 GPa). 3. **Définition du coefficient de sécurité** : généralement γ = 1,5 – 2,0 selon la criticité (norme NCM 01‑001). 4. **Calcul de la contrainte admissible** : σₐ𝑑𝑚 = σₑ / γ. 5. **Calcul de la section nécessaire** : A_req = F / σₐ𝑑𝑚 (ou τₐ𝑑𝑚 pour le cisaillement). 6. **Choix d’une forme normalisée** : sélectionner le profil commercial le plus proche (ex. : arbre cylindrique diamètre d, poutre IPE, boulon M12). ### 3. Exemple chiffré : dimensionnement d’un arbre soumis à torsion Un arbre transmet un couple T = 250 N·m provenant d’un moteur électrique. Le matériau est un acier C45 (σₑ = 350 MPa, γ = 1,8). - Contrainte admissible en cisaillement : τₐ𝑑𝑚 = σₑ/(γ·√3) = 350/(1,8·√3) ≈ 112,3 MPa (facteur 1/√3 pour passage de contrainte normale à cisaillement selon théorie de Von Mises). - Relation torsion : τ = T·r / J, avec r = d/2 et J = π·d⁴/32 pour une section circulaire pleine. - En remplaçant : τ = 16·T / (π·d³). - Résolution pour d : d³ = 16·T / (π·τₐ𝑑𝑚) = (16·250) / (π·112,3·10⁶) ≈ 1,13·10⁻⁵ m³ → d ≈ (1,13·10⁻⁵)^{1/3} ≈ 0,022 m = 22,4 mm. - On choisit l’arbre commercial le plus proche : **d = 25 mm** (standard). > **À retenir** : le diamètre d d’un arbre soumis à un couple T se calcule par d = (16·T / (π·τₐ𝑑𝑚))^{1/3}. --- ## II. Vérification de la résistance ### 1. Vérification par contraintes normales et de cisaillement Après dimensionnement, on calcule les contraintes réelles σ_calc et τ_calc dans l’organe choisi et on les compare à σₐ𝑑𝑚 et τₐ𝑑𝑚. - Si σ_calc ≤ σₐ𝑑𝑚 **et** τ_calc ≤ τₐ𝑑𝑚 → conception acceptable. - Sinon, il faut augmenter la section ou choisir un matériau plus résistant. ### 2. Vérification par critères de résistance combinée (Von Mises) Pour un état de contrainte général (σₓ, τₓy) : > **Équivalent Von Mises** : σ_vm = √(σₓ² + 3·τₓy²). On accepte la pièce si σ_vm ≤ σₐ𝑑𝑚. ### 3. Exemple de vérification : poutre en flexion simple Une poutre en acier S235JR (σₑ = 235 MPa, γ = 1,6 → σₐ𝑑𝑚 = 146,9 MPa) supporte une charge concentrée P = 10 kN à mi-portée d’une portée L = 3 m. Section choisie : profil IPE 120 (h = 120 mm, b = 64 mm, épaisseur d’âme t_w = 4,5 mm, épaisseur d’âme t_f = 6,5 mm, moment d’inertie I ≈ 3,14·10⁻⁶ m⁴). - Moment fléchissant maximal : M_max = P·L/4 = 10·10³·3/4 = 7,5·10³ N·m. - Contrainte normale maximale : σ = M_max·c / I, avec c = h/2 = 0,06 m → σ = 7,5·10³·0,06 / 3,14·10⁻⁶ ≈ 1,43·10⁸ Pa = 143 MPa. - σ (143 MPa) < σₐ𝑑𝑚 (146,9 MPa) → poutre sûre en flexion. > **À retenir** : pour une poutre en flexion, σ_max = M·c / I ; on vérifie σ_max ≤ σₐ𝑑𝑚. --- ## III. Analyse comportementale (déformations, concentration, fatigue) ### 1. Déformations élastiques - **Allongement d’une barre** : ΔL = F·L / (A·E). - **Flèche d’une poutre simplement appuyée sous charge centrale** : f = P·L³ / (48·E·I). ### 2. Concentration de contraintes Les changements brusques de géométrie (alésage, rainure, filet) provoquent un facteur de concentration Kₜ > 1. La contrainte maximale devient σ_max = Kₜ·σ_nom. > **Exemple** : pour un arbre avec un alésage de diamètre d/2, Kₜ ≈ 2,5 (tableau des facteurs de concentration). ### 3. Fatigue Sous chargement alterné, la limite d’endurance σ'ₑ (environ 0,5·σₑ pour l’acier) définit le nombre de cycles à rupture via la courbe de Wöhler (S‑N). On applique le coefficient de sécurité de fatigue γ_f (souvent 1,3 – 1,5). - **Critère de Goodman** : σ_a/σ'ₑ + σ_m/σₑ ≤ 1/γ_f, où σ_a est l’amplitude et σ_m la contrainte moyenne. ### 4. Exemple d’analyse de fatigue : boulon M10 précontraint Un boulon M10 (zone résistante A_t = 58 mm²) subit une charge alternée de ±5 kN (σ_a = 5·10³ / 58·10⁻⁶ ≈ 86,2 MPa) avec une précontrainte moyenne σ_m = 30 MPa. Acier 8.8 : σₑ = 640 MPa, σ'ₑ ≈ 0,5·σₑ = 320 MPa, γ_f = 1,4. - Calcul de Goodman : 86,2/320 + 30/640 = 0,269 + 0,047 = 0,316 ≤ 1/1,4 ≈ 0,714 → condition satisfaite → boulon sûr en fatigue. > **À retenir** : le critère de Goodman permet de vérifier la sûreté en fatigue en combinant contrainte moyenne et amplitude. --- ## Synthèse du chapitre - **Dimensionnement** : déterminer la section minimale à partir de la contrainte admissible σₐ𝑑𝑚 = σₑ/γ. - **Vérification** : comparer σ_calc, τ_calc (ou σ_vm) aux limites admissibles ; utiliser les formules de flexion, torsion, cisaillement. - **Comportement** : calculer déformations (ΔL, f), tenir compte des facteurs de concentration Kₜ, appliquer les critères de fatigue (Goodman, S‑N). - **Sécurité** : toujours appliquer un coefficient de sécurité adapté (γ ≈ 1,5‑2 pour résistance statique, γ_f ≈ 1,3‑1,5 pour fatigue). - **Outils** : tableaux de propriétés mécaniques, facteurs de concentration, courbes S‑N, logiciels de CAO pour validation. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Contrainte normale (σ) | Force normale répartie sur une section (N/m² = Pa). | | Contrainte de cisaillement (τ) | Force tangentielle répartie sur une section (Pa). | | Coefficient de sécurité (γ) | Rapport entre la limite du matériau et la contrainte admissible. | | Limite d’élasticité (σₑ) | Contrainte au-delà de laquelle la déformation devient permanente. | | Module d’élasticité (E) | Rapport contrainte/deformation dans le domaine élastique (Pa). | | Moment d’inertie (I) | Géométrie de la section résistante à la flexion (m⁴). | | Facteur de concentration (Kₜ) | Amplification de la contrainte locale due à une discontinuité de forme. | | Limite d’endurance (σ'ₑ) | Contrainte alternative pouvant être supportée un nombre théorique infinie de cycles. | | Critère de Goodman | Relation linéaire entre contrainte moyenne et amplitude pour la fatigue. | | Équivalent Von Mises (σ_vm) | Contrainte combinée utilisée pour les états de contrainte multiaxiaux. | | Section résistante (A) | Surface effective qui supporte la charge (m²). | | Flèche (f) | Déplacement vertical d’une poutre sous charge (m). | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Dimensionnement d’un arbre de transmission Un arbre doit transmettre un couple maximal de 420 N·m. Le matériau choisi est un acier 35CrMo4 (σₑ = 900 MPa). On adopte un coefficient de sécurité γ = 2,0. **Corrigé** 1. σₐ𝑑𝑚 = σₑ / γ = 900 / 2,0 = 450 MPa. 2. Pour le cisaillement, τₐ𝑑𝑚 = σₐ𝑑𝑚 / √3 = 450 / 1,732 ≈ 260 MPa. 3. Formule torsion : τ = 16·T / (π·d³) → d³ = 16·T / (π·τₐ𝑑𝑚). 4. d³ = (16·420) / (π·260·10⁶) = 6720 / (8,168·10⁸) ≈ 8,23·10⁻⁶ m³. 5. d = (8,23·10⁻⁶)^{1/3} ≈ 0,0202 m = 20,2 mm. 6. On choisit l’arbre commercial le plus proche : **d = 20 mm** (standard). > **À retenir** : pour un arbre en torsion, d = (16·T / (π·σₑ/(γ·√3)))^{1/3}. ### Exercice 2 – Vérification de flexion d’une poutre en IPE Une poutre IPE 100 (h = 100 mm, b = 55 mm, t_w = 4,0 mm, t_f = 6,5 mm) en acier S275JR (σₑ = 275 MPa, γ = 1,5) supporte une charge uniformément répartie w = 8 kN/m sur une portée L = 4 m. **Corrigé** 1. σₐ𝑑𝑚 = σₑ / γ = 275 / 1,5 = 183,3 MPa. 2. Moment d’inertie de l’IPE 100 : I ≈ 1,78·10⁻⁶ m⁴ (calculé à partir des dimensions réelles). 3. Moment fléchissant maximal pour charge udl : M_max = w·L² / 8 = 8·10³·4² / 8 = 1,6·10⁴ N·m. 4. Contrainte normale maximale : σ = M_max·c / I, avec c = h/2 = 0,05 m → σ = 1,6·10⁴·0,05 / 1,78·10⁻⁶ = 800 / 1,78·10⁻⁶ ≈ 4,49·10⁸ Pa = 449 MPa. 5. Comparaison : σ (449 MPa) > σₐ𝑑𝑚 (183,3 MPa) → la poutre est **sous-dimensionnée**. 6. Section nécessaire : I_req = M_max·c / σₐ𝑑𝑚 = 800 / 183,3·10⁶ ≈ 4,37·10⁻⁶ m⁴. 7. On choisit un profil standard dont I ≥ I_req : l’IPE 160 (I ≈ 8,64·10⁻⁶ m⁴, h = 160 mm → c = 0,08 m) donne σ = 1,6·10⁴·0,08 / 8,64·10⁻⁶ ≈ 1,48·10⁸ Pa = 148 MPa < σₐ𝑑𝑚 → poutre sûre. > **À retenir** : pour une poutre sous charge udl, σ_max = (w·L²/8)·(h/2) / I. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | # | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |---|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Oublier le coefficient de sécurité dans le calcul de σₐ𝑑𝑚 | Sous‑dimensionnement, risque de rupture sous charge normale | Toujours appliquer γ adapté (norme NCM 01‑001) avant de comparer contraintes. | | 2 | Utiliser la formule de contrainte normale pour une pièce en torsion | Sous‑estimation de la contrainte réelle, surdimensionnement inutile | Distinguer les types de contraintes : τ = T·r/J pour torsion, σ = F/A pour traction/compression. | | 3 | Négliger le facteur de concentration Kₜ aux alésages ou filets | Fissure de fatigue initiée à la géométrie critique | Appliquer Kₜ (≥ 2) dans le calcul de σ_max ou choisir des rayons de raccordement suffisants. | | 4 | Confondre contrainte moyenne σ_m et amplitude σ_a dans le critère de Goodman | Évaluation erronée de la durée de vie en fatigue | Décomposer le signal de charge : σ_a = (σ_max‑σ_min)/2, σ_m = (σ_max+σ_min)/2. | | 5 | Utiliser des unités incohérentes (mm au lieu de m) dans les formules de déformation | Résultats erronés de plusieurs ordres de grandeur | Convertir toutes les longueurs en mètres avant de calculer ΔL, f, etc. (vérifier l’homogénéité des unités). | | 6 | Ne pas vérifier l’état de surface (rugosité) avant de prédire la limite d’endurance | Surestimation de la résistance à la fatigue | Appliquer un facteur de finition de surface (surf) ≤ 1 dans le calcul de σ'ₑ selon l’état de surface (polie, usinée, forgeée). | --- *Fin du cours.*