ANALYSE FONCTIONNELLE ET STRUCTURELLE

## Objectifs et prérequis À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Décrire le principe de fonctionnement des transmissions par lien flexible (poulie‑courroie) et par frottement (roue de friction). - Calculer les rapports de vitesse et les couples transmis dans ces systèmes, en utilisant les formules appropriées avec les unités du Système International. - Identifier les différents types d’engrenages, de chaînes, de vis sans fin et d’accouplements, et expliquer leur rôle dans la transformation du mouvement. - Réaliser le dimensionnement préliminaire d’un réducteur à vis sans fin destiné à un équipement biomédical (ex. lit d’hospitalisation réglable). - Élaborer un cahier des charges, choisir les composants adaptés, monter un prototype et vérifier son fonctionnement conformément aux normes de sécurité et d’hygiène en vigueur au Cameroun. - Rédiger un rapport de TP structuré, incluant schéma, liste de matériel, procédés de montage et résultats d’essais. **Prérequis** : notions de cinématique du solide (vitesse linéaire, vitesse angulaire, couple), lecture de plans mécaniques, bases de la résistance des matériaux (contraintes admissibles, coefficient de sécurité), connaissances élémentaires en électrotechnique pour les moteurs utilisés en atelier, et respect des règles d’hygiène et de sécurité en milieu professionnel (port des EPI, consignes de lock‑out/tag‑out). --- ## Introduction contextualisée Dans les établissements de santé camerounais, les équipements tels que les lits réglables, les tables d’opération ou les appareils de rééducation nécessitent des transmissions de mouvement fiables, silencieuses et faciles à entretenir. Les techniciens supérieurs en mécanique doivent donc maîtriser à la fois les systèmes classiques (poulie‑courroie, engrenages) et les solutions spécifiques aux contraintes biomédicales (propreté, absence de lubrifiants contaminant, compacité). Ce chapitre présente, de façon progressive, les principes de transmission par lien flexible et par frottement, puis les transmissions d’obstacle et de transformation, avant de mettre en pratique ces connaissances dans un projet TP adapté au domaine médical. --- ## I. Transmission des mouvements par lien flexible et frottement ### A. Principe de la poulie‑courroie Une poulie‑courroie transmet le mouvement par adhérence entre la surface de la poulie et celle de la courroie. Le couple transmis dépend de la force normale exercée par la tension de la courroie et du coefficient de frottement μ entre les deux surfaces. > **>** \( T = (F_1 - F_2) \, r \) où \(F_1\) et \(F_2\) sont les tensions des brins serré et mou, \(r\) le rayon de la poulie (m). ### B. Types de courroies | Type | Caractéristiques | Application typique (Cameroun) | |------|------------------|--------------------------------| | Plate | Large surface de contact, faible bruit | Convoyeurs légers, ateliers de menuiserie | | Trapézoïdale (V) | Augmente la force normale grâce à l’angle en V | Machines agricoles, pompes à eau | | Crantée (synchrone) | Pas de glissement, transmission précise | Imprimantes 3D, équipements de laboratoire | ### C. Calcul de la vitesse linéaire et du rapport de transmission La vitesse linéaire de la courroie est identique aux deux poulies : > **>** \( v = \pi D_1 n_1 = \pi D_2 n_2 \) où \(D\) est le diamètre effectif (m) et \(n\) la vitesse de rotation (rev s⁻¹). Le rapport de vitesse est donc : > **>** \( i = \frac{n_1}{n_2} = \frac{D_2}{D_1} \) **Exemple chiffré** : Une poulie moteur de diamètre 120 mm entraîne une poulie réceptrice de diamètre 360 mm à 150 rev min⁻¹. - \(n_2 = 150/60 = 2,5\) rev s⁻¹ - \(v = \pi \times 0,36 \times 2,5 = 2,83\) m s⁻¹ - \(n_1 = v / (\pi \times 0,12) = 7,5\) rev s⁻¹ = 450 rev min⁻¹ - Rapport \(i = 450/150 = 3\) (réduction). ### D. Roue de friction (embrayage à friction, frein à disque) Le transfert de couple repose sur la force normale \(F_N\) exercée par un mécanisme de serrage (ressort, vérin pneumatique) et le coefficient de frottement μ des matériaux de friction (sintered bronze, céramique). > **>** \( T = \mu \, F_N \, r_{\text{eff}} \) où \(r_{\text{eff}}\) est le rayon moyen de la surface de frottement. **Normes de sécurité** : Selon la norme NCM 001‑2022 (Sécurité des machines – Freins et embrayages), le facteur de sécurité minimal pour un embrayage à friction est de 2,0 sur le couple de rupture. ### E. Entretien et hygiène - Vérifier la tension de la courroie toutes les 50 h de fonctionnement (tensiomètre optique). - Remplacer les courroies présentant des fissures, des coupures ou une usure > 30 % de l’épaisseur d’origine. - Nettoyer les surfaces de friction avec un solvant non gras (alcool isopropylique 70 %) afin d’éviter la contamination des zones stériles. --- ## II. Transmissions d’obstacle, accouplements, embrayages et transformation de mouvement ### A. Transmission par chaîne (pignon‑chaîne) La chaîne transmet le mouvement par engagement des dents du pignon avec les maillons. Elle supporte des charges élevées et fonctionne dans des environnements poussiéreux ou humides. > **>** \( v = \frac{p \, z \, n}{60} \) (m s⁻¹) où \(p\) = pas (m), \(z\) = nombre de dents du pignon, \(n\) = vitesse de rotation (tr min⁻¹). **Exemple** : Chaîne de pas 12,7 mm (0,0127 m), pignon de 18 dents tournant à 900 tr min⁻¹ → \(v = 0,0127 \times 18 \times 900 / 60 = 3,43\) m s⁻¹. ### B. Engrenages - **Droits** : transmission parallèle, simple à fabriquer. - **Hélicoïdaux** : angle de hélice β réduit le bruit, augmente la capacité de charge. - **Coniques** : transmission entre arbres intersectants (souvent 90°). Le rapport de transmission d’un couple d’engrenages est : > **>** \( i = \frac{z_2}{z_1} \) où \(z\) représente le nombre de dents. **Règle de métrologie** : Le module \(m\) (mm) relie le pas circulaire \(p\) et le nombre de dents : \(p = \pi m\). ### C. Vis sans fin La vis sans fin transforme un mouvement de rotation en translation linéaire (ou vice‑versa) avec un rapport élevé et une capacité d’autoblocage lorsque l’angle de hélice est faible (< 5°). > **>** \( i = \frac{z_{\text{roue}}}{z_{\text{vis}}} \) (souvent > 20) Le rendement mécanique η dépend du coefficient de frottement μ et de l’angle de hélice λ : > **>** \( \eta = \frac{\tan \lambda}{\tan (\lambda + \arctan \mu)} \) ### D. Accouplements | Type | Fonction | Avantages / Limites | |------|----------|---------------------| | Rigide (bride) | Transmission de couple élevé, alignement précis | Aucun désalignement toléré | | Souple (élastomère) | Absorption des vibrations, désalignement angulaire limité | Dégradation de l’élastomère avec la chaleur | | À joint homocinétique (cardan) | Transmission constante malgré désalignement angulaire | Plus coûteux, nécessite lubrification | ### E. Embrayages - **À friction simple** : utilisé pour les démarrages progressifs (ex. tables d’examen). - **À disque multiple** : capacité de couple élevée, refroidissement par huile. - **Centrifuge** : engagement automatique en fonction de la vitesse (ex. ventilateurs d’appareils d’anesthésie). > **>** Couple d’engagement : \( T_c = \mu \, F_N \, r_{\text{eff}} \, n_{\text{disques}} \) ### F. Transformation de mouvement (vis‑mère, crémaillère) La vis‑mère convertit la rotation en déplacement linéaire selon le pas de la vis : > **>** \( s = \frac{p \, n \, t}{60} \) (m) où \(t\) est le temps en secondes. ### G. Exemple chiffré complet : dimensionnement d’un réducteur à vis sans fin pour un lit médical réglable en hauteur **Données** : - Charge maximale à soulever : \(F = 1500\) N. - Vitesse de montée souhaitée : \(v_s = 0,03\) m s⁻¹ (limite supérieure de confort). - Pas de la vis : \(p = 4\) mm = 0,004 m. - Diamètre de la vis : \(d = 25\) mm → rayon \(r = 0,0125\) m (non utilisé directement). - Coefficient de frottement μ = 0,08 (acier sur bronze). - Rendement estimé du réducteur planétaire η_p = 0,95. **Étapes** : 1. **Angle de hélice λ** : > **>** \( \lambda = \arctan\!\left(\frac{p}{\pi d}\right) \) Avec les valeurs : \( \lambda = \arctan\!\left(\frac{0,004}{\pi \times 0,025}\right) \approx 0,051\) rad (≈ 2,9°). 2. **Rendement de la vis sans fin** : > **>** \( \eta_w = \frac{\tan \lambda}{\tan(\lambda + \arctan \mu)} \) \( \eta_w \approx \frac{\tan 0,051}{\tan(0,051 + 0,078)} \approx \frac{0,051}{0,130} \approx 0,39 \). 3. **Vitesse de rotation nécessaire de la vis** : > **>** \( n_w = \frac{v_s}{p} \) (rev s⁻¹) \( n_w = \frac{0,03}{0,004} = 7,5\) rev s⁻¹ = 450 tr min⁻¹. 4. **Choix du moteur** : Moteur brushless DC 24 V, couple nominal \(T_m = 2,0\) N·m, vitesse à vide \(N_m = 3000\) tr min⁻¹. 5. **Réduction de vitesse nécessaire** : > **>** \( R = \frac{N_m}{n_w} \) \( R = \frac{3000}{450} = 6,\overline{6} \approx 6,7 \). On choisira un réducteur planétaire de rapport \(R = 7\) (rendement η_p ≈ 0,95). 6. **Couple disponible à la vis** : > **>** \( T_w = T_m \times R \times \eta_p \) \( T_w = 2,0 \times 7 \times 0,95 = 13,3\) N·m. 7. **Couple réellement nécessaire pour soulever la charge** : En utilisant la relation puissance : \( P_{in} = T_w \omega_w \), \( P_{out} = F v_s \), \( \eta_w = P_{out}/P_{in} \). Donc \( T_{req} = \dfrac{F \, p}{2\pi \, \eta_w} \). > **>** \( T_{req} = \frac{F \, p}{2\pi \, \eta_w} \) \( T_{req} = \frac{1500 \times 0,004}{2\pi \times 0,39} \approx \frac{6}{2,45} \approx 2,45\) N·m. 8. **Vérification de la marge** : \( T_w \gg T_{req} \) (13,3 N·m contre 2,45 N·m), donc le moteur est largement surdimensionné, ce qui permet de prévoir une réserve pour les pertes supplémentaires ou une charge de pointe. 9. **Vérification de la course** : - Pas de vis 4 mm → pour une course de 0,4 m, nombre de tours nécessaires = \( \dfrac{0,4}{0,004} = 100\) tours. - À la vitesse réelle de la vis \(n_{w,real} = \dfrac{N_m}{R} = \dfrac{3000}{7} \approx 428,6\) tr min⁻¹, le temps de montée est : > **>** \( t = \dfrac{\text{tours}}{n_{w,real}} \times 60 \) \( t = \dfrac{100}{428,6} \times 60 \approx 14\) s, compatible avec le confort du patient. **Conclusion** : Un moteur brushless DC 24 V de 2,0 N·m à 3000 tr min⁻¹, associé à un réducteur planétaire rapport 7, entraîne une vis sans fin de pas 4 mm et diamètre 25 mm. Le système soulève 1500 N à environ 0,028 m s⁻¹ (≈ 1,7 m min⁻¹) avec une marge de sécurité importante et respecte l’encombrement axial du moteur‑réducteur (< 150 mm). La vis elle-même possède une longueur égale à la course (0,4 m) plus l’écrou, ce qui est compatible avec l’encombrement global du lit. --- ## III. TP : projet d’étude et montage pratique sur les systèmes de transmission de mouvements appliqués au domaine biomédical ### A. Cahier des charges (exemple) - **Objet** : Lit d’hospitalisation réglable en hauteur (plage 0,4 m – 0,8 m). - **Contraintes** : - Charge maximale 1500 N. - Vitesse de montée/descente ≤ 0,03 m s⁻¹ (confort patient). - Encombrement axial ≤ 150 mm (moteur‑réducteur). - Aucun lubrifiant pouvant contaminer le champ stérile → utilisation de revêtements auto‑lubrifiants (PTFE) ou de graisses alimentaires. - Conformité aux normes NCM 003‑2021 (Équipements médicaux – Sécurité mécanique). ### B. Étude de faisabilité 1. **Choix de la transmission** : Vis sans fin + écrou en bronze avec revêtement PTFE (faible frottement, pas de lubrifiant externe). 2. **Calcul du couple nécessaire** : - Pas de vis \(p = 4\) mm = 0,004 m. - Rendement de la vis sans fin (calculé à partir de l’angle de hélice λ et du coefficient de frottement μ = 0,08) : \(\eta_w \approx 0,39\). - Couple théorique (sans pertes) : \(T_{th} = \dfrac{F \, p}{2\pi} = \dfrac{1500 \times 0,004}{2\pi} \approx 0,96\) N·m. - Couple réellement nécessaire : \(T_{req} = \dfrac{T_{th}}{\eta_w} \approx \dfrac{0,96}{0,39} \approx 2,45\) N·m. 3. **Sélection du moteur** : Moteur brushless DC 24 V, couple nominal \(T_m = 2,0\) N·m, vitesse à vide \(N_m = 3000\) tr min⁻¹. 4. **Réduction de vitesse nécessaire** : - Vitesse de rotation de la vis souhaitée : \(n_w = \dfrac{v_s}{p}\). En prenant la vitesse maximale autorisée \(v_s = 0,03\) m s⁻¹, on obtient \(n_w = \dfrac{0,03}{0,004} = 7,5\) rev s⁻¹ = 450 tr min⁻¹. - Rapport de réduction : \(R = \dfrac{N_m}{n_w} = \dfrac{3000}{450} = 6,\overline{6} \approx 6,7\). - On choisira un réducteur planétaire de rapport \(R = 7\) (rendement \(\eta_p \approx 0,95\)). 5. **Vérification du couple disponible à la vis** : - Couple à la sortie du réducteur : \(T_w = T_m \times R \times \eta_p = 2,0 \times 7 \times 0,95 = 13,3\) N·m. - Comme \(T_w \gg T_{req}\) (13,3 N·m contre 2,45 N·m), le moteur est largement surdimensionné, ce qui permet de prévoir une réserve pour les pertes supplémentaires ou une charge de pointe. 6. **Vérification de la course** : - Pas de vis 4 mm → pour une course de 0,4 m, nombre de tours nécessaires = \(0,4 / 0,004 = 100\) tours. - Vitesse réelle de la vis : \(n_{w,real} = N_m / R = 3000 / 7 \approx 428,6\) tr min⁻¹. - Temps de montée : \(t = \dfrac{100}{428,6} \times 60 \approx 14\) s, compatible avec le confort du patient. ### C. Montage étape par étape | Étape | Action | Outils / Consommables | |------|--------|-----------------------| | 1 | Préparer le châssis en aluminium profilé (longerons 80 × 40 mm). | Scie à métaux, perceuse, vis M6. | | 2 | Fixer la vis sans fin (acier traité, diamètre 25 mm, pas 4 mm) sur le support moteur avec bride rigide. | Clé dynamométrique (couple de serrage 8 N·m). | | 3 | Monter l’écrou en bronze PTFE sur la crémaillère fixée au plateau du lit. | Mallette de montage, contrôle du jeu axial (< 0,05 mm). | | 4 | Installer le réducteur planétaire rapport 7 entre le moteur et la vis sans fin, vérifier l’alignement axial et radial. | Comparateur, jeu de cales, clé dynamométrique (couple selon spécification du réducteur). | | 5 | Aligner le moteur brushless DC 24 V (2,0 N·m, 3000 tr min⁻¹) avec le réducteur, fixer avec bride. | Clé dynamométrique, tournevis. | | 6 | Raccorder l’alimentation électrique (24 V DC) via un variateur de vitesse avec limite de courant 2 A. | Soudure, connecteurs rapides, gaine thermo‑rétractable. | | 7 | Effectuer un essai à vide : vérifier l’absence de bruits anormaux, mesurer la course avec un laser télémètre. | Laser télémètre, sonomètre. | | 8 | Charger le lit avec des masses simulées (1500 N) et répéter l’essai de montée/descente. | Poids étalonnés, dynamomètre. | | 9 | Mesurer la température du moteur après 10 cycles de fonctionnement (doit rester < 60 °C). | Thermocouple ou caméra infrarouge. | | 10 | Rédiger le procès‑verbal de conformité (vérification du couple de démarrage, temps de course, température du moteur < 60 °C). | Formulaire de rapport, appareil de mesure de température. | ### D. Essais et validation - **Essai de charge statique** : appliquer 1500 N pendant 5 min, vérifier l’absence de déformation permanente (> 0,1 mm). - **Essai de dynamique** : réaliser 10 cycles complets montée/descente, mesurer le temps moyen et l’écart‑type (< 1,0 s). - **Essai d’hygiène** : essuyer les surfaces avec un chiffon imbibé d’alcool 70 %, contrôler l’absence de résidus gras (test à l’eau). ### E. Rapport de TP Le rapport doit contenir : 1. Introduction (objectif, contexte biomédical). 2. Schéma fonctionnel du système (blocs : moteur, réducteur planétaire, vis sans fin, écrou, lit). 3. Calculs de dimensionnement (tableau récapitulatif). 4. Liste de matériel avec références fournisseurs locaux (ex. Société Camerounaise de Mécanique – SCM). 5. Procédé de montage détaillé (photos légendées). 6. Résultats des essais (tableaux, graphiques). 7. Conclusion et pistes d’amélioration (ex. ajout d’un capteur de fin de course). 8. Bibliographie (normes NCM, manuels de conception mécanique). --- ## Synthèse du chapitre - **Transmission par poulie‑courroie** : vitesse linéaire identique, rapport \(i = D_2/D_1\), couple \(T = (F_1-F_2)r\). - **Roue de friction** : \(T = \mu F_N r_{\text{eff}}\) ; facteur de sécurité ≥ 2 (NCM 001‑2022). - **Chaîne** : \(v = pzn/60\) ; adapté aux charges élevées et environnements poussiéreux. - **Engrenages** : rapport \(i = z_2/z_1\) ; module \(m = p/\pi\). - **Vis sans fin** : rapport élevé \(i = z_{\text{roue}}/z_{\text{vis}}\) ; rendement \(\eta = \frac{\tan \lambda}{\tan (\lambda+\arctan \mu)}\). - **Accouplements** : rigides (alignement précis), souples (absorption vibrations), homocinétiques (désanglement angulaire). - **Embrayages** : à friction simple, disque multiple, centrifuge ; couple \(T_c = \mu F_N r_{\text{eff}} n_{\text{disques}}\). - **Transformation vis‑mère/crémaillère** : déplacement \(s = p n t /60\). - **Projet biomédical** : choix vis sans fin + écrou PTFE, moteur brushless + réducteur planétaire, validation conformité NCM 003‑2021. --- ## Glossaire - **Pas (p)** : distance entre deux points homologues consécutifs d’une vis ou d’une chaîne (m). - **Module (m)** : rapport du pas au π, caractérise la taille des dents d’engrenage (mm). - **Coefficient de frottement (μ)** : rapport de la force de frottement à la force normale, sans unité. - **Rapport de transmission (i)** : rapport de la vitesse d’entrée à la vitesse de sortie (adimensionnel). - **Couple (T)** : moment de force tendant à faire tourner un arbre (N·m). - **Rendement (η)** : rapport puissance utile sur puissance d’entrée (pourcentage ou valeur entre 0 et 1). - **Jeu axial** : déplacement libre le long de l’axe d’un élément mécanique (mm). - **Limite d’élasticité** : contrainte maximale au-delà de laquelle la déformation devient permanente (Pa). --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Dimensionnement d’une poulie‑courroie Un moteur entraîne une poulie de diamètre 100 mm à 1200 tr min⁻¹. On souhaite entraîner une seconde poulie à 300 tr min⁻¹. **a)** Calculer le diamètre de la poulie menée. **b)** Déterminer la vitesse linéaire de la courroie (en m s⁻¹). **c)** Si la tension du brin serré est de 800 N et celle du brin mou 200 N, quel couple est transmis par la poulie menée de rayon 0,15 m ? **Corrigé** a) Rapport de vitesse \(i = n_1/n_2 = 1200/300 = 4\). Comme \(i = D_2/D_1\) → \(D_2 = i \times D_1 = 4 \times 0,10 = 0,40\) m = 400 mm. b) Vitesse linéaire \(v = \pi D_1 n_1 = \pi \times 0,10 \times (1200/60) = \pi \times 0,10 \times 20 = 6,28\) m s⁻¹. c) Couple transmis \(T = (F_1-F_2) r = (800-200) \times 0,15 = 600 \times 0,15 = 90\) N·m. --- ### Exercice 2 – Choix d’un réducteur vis sans fin pour une table d’examen Une table d’examen doit supporter une charge maximale de 800 N et se déplacer à 0,015 m s⁻¹. Le pas de la vis est de 3 mm. Le moteur disponible fournit un couple de 1,8 N·m à 1500 tr min⁻¹. **a)** Calculer le couple nécessaire pour soulever la charge (rayon de la vis = 20 mm). **b)** Déterminer le rapport de réduction requis si l’on néglige les pertes. **c)** Vérifier si le moteur choisi suffit en tenant compte d’un rendement estimé de 55 % pour la vis sans fin. **Corrigé** a) Couple nécessaire \(T = F \times r = 800 \times 0,020 = 16\) N·m. b) Rapport idéal \(i = T/T_m = 16 / 1,8 \approx 8,9\) → on choisira un rapport de 9. c) Couple moteur réellement nécessaire avec rendement η = 0,55 : \(T_m' = T/(i \times \eta) = 16/(9 \times 0,55) = 16/4,95 \approx 3,23\) N·m. Comme le moteur ne fournit que 1,8 N·m, il est sous‑dimensionné. Il faudrait soit augmenter le couple du moteur (ex. moteur 3,5 N·m), soit réduire le rapport (ex. utiliser une vis de pas plus grand) ou ajouter un étage de réduction supplémentaire. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Oublier de vérifier la tension de la courroie après quelques heures de fonctionnement | Glissement, perte de transmission, usure prématurée | Utiliser un tensiomètre optique chaque 50 h ; tendre selon les préconisations du fabricant (généralement 1 % de flèche). | | 2 | Monter un accouplement rigide sans vérifier l’alignement des arbres | Vibrations excessives, fatigue prématurée des paliers, risque de rupture | Mesurer l’alignement avec un comparateur d’horloge ; tolérance maximale 0,05 mm pour accouplements rigides. | | 3 | Utiliser une graisse ordinaire sur une vis sans fin destinée à un équipement médical | Contamination du champ stérile, risque d’infection | Appliquer exclusivement des lubrifiants agréés « alimentaire » ou « médical » (ex. graisse PTFE, huile silicone) ; éliminer tout excès. | | 4 | Négliger le facteur de sécurité sur le calcul du couple d’un embrayage à friction | Dérapage sous charge, perte de freinage, accident | Appliquer un facteur de sécurité d’au moins 2,0 sur le couple de rupture calculé (NCM 001‑2022). | | 5 | Oublier d’isoler l’alimentation électrique avant toute intervention mécanique | Risque de choc électrique, déclenchement intempestif du moteur | Mettre en place une procédure de lock‑out/tag‑out (LOTO) ; vérifier l’absence de tension avec un voltmètre avant de toucher aux fils. | | 6 | Utiliser une chaîne avec un pas inadapté au pignon (pas différent) | Saut de dents, usure rapide, bruit excessif | Vérifier que le pas de la chaîne et celui du pignon sont identiques (ex. 12,7 mm pour chaîne ISO 06B). | --- *Fin du cours.*