II - B SOLUTIONS CONSTRUCTIVES DES SYSTEMES MECANIQUES (partie 4/4)

## B - Mouvement de Rotation d’un Solide autour d’un Axe Fixe : Mouvements de rotation particuliers, Vitesse et Accélération d'un point de solide ### Introduction Dans le domaine de la technologie des systèmes mécaniques, la compréhension du mouvement de rotation est fondamentale. Cette leçon explorera les différents types de mouvements de rotation d'un solide autour d'un axe fixe, ainsi que la manière de caractériser la vitesse et l'accélération d'un point quelconque de ce solide. Nous aborderons les concepts de position, vitesse et accélération angulaires, et leurs relations avec les grandeurs linéaires. ### Concepts Clés #### 1. Description du Mouvement de Rotation d'un Solide Indéformable Un solide indéformable est un corps dont la forme et la taille ne changent pas sous l'effet de forces extérieures. Lorsqu'un tel solide tourne autour d'un axe fixe, tous ses points décrivent des trajectoires circulaires centrées sur cet axe, dans des plans perpendiculaires à l'axe. ##### a. Position Angulaire \( \theta \) La position angulaire d'un point est l'angle qu'il forme par rapport à une direction de référence. Elle est exprimée en radians (rad). ##### b. Vitesse Angulaire \( \omega \) La vitesse angulaire caractérise la rapidité avec laquelle l'angle de rotation change. C'est la dérivée de la position angulaire par rapport au temps. \[ \omega(t) = \frac{d\theta}{dt} \] L'unité de la vitesse angulaire est le radian par seconde (rad/s). Elle peut aussi être exprimée en tours par minute (tr/min), mais il faut la convertir en rad/s pour les calculs physiques. \( 1 \text{ tour} = 2\pi \text{ radians} \) \( 1 \text{ min} = 60 \text{ s} \) ##### c. Accélération Angulaire \( \alpha \) L'accélération angulaire caractérise la rapidité avec laquelle la vitesse angulaire change. C'est la dérivée de la vitesse angulaire par rapport au temps (ou la dérivée seconde de la position angulaire). \[ \alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2} \] L'unité de l'accélération angulaire est le radian par seconde carrée (rad/s²). #### 2. Mouvements de Rotation Particuliers ##### a. Mouvement de Rotation Uniforme Un mouvement de rotation est dit uniforme lorsque la vitesse angulaire \( \omega \) est constante. Dans ce cas, l'accélération angulaire \( \alpha \) est nulle. * **Accélération angulaire:** \( \alpha = 0 \) * **Vitesse angulaire:** \( \omega = \text{constante} \) * **Position angulaire:** \[ \theta(t) = \omega t + \theta_0 \] où \( \theta_0 \) est la position angulaire initiale au temps \( t=0 \). ##### b. Mouvement de Rotation Uniformément Varié Un mouvement de rotation est dit uniformément varié lorsque l'accélération angulaire \( \alpha \) est constante (non nulle). La vitesse angulaire varie alors linéairement avec le temps. * **Accélération angulaire:** \( \alpha = \text{constante} \) * **Vitesse angulaire:** \[ \omega(t) = \alpha t + \omega_0 \] où \( \omega_0 \) est la vitesse angulaire initiale au temps \( t=0 \). * **Position angulaire:** \[ \theta(t) = \frac{1}{2}\alpha t^2 + \omega_0 t + \theta_0 \] où \( \theta_0 \) est la position angulaire initiale au temps \( t=0 \). * **Relation indépendante du temps:** \[ \omega^2 - \omega_0^2 = 2\alpha(\theta - \theta_0) \] #### 3. Vitesse d'un Point d'un Solide en Rotation Pour un point M situé à une distance \( R \) de l'axe de rotation, sa vitesse linéaire \( v \) est proportionnelle à la vitesse angulaire \( \omega \) et à la distance \( R \). \[ v = R\omega \] Le vecteur vitesse \( \vec{v} \) est toujours tangent à la trajectoire circulaire du point M et sa direction change continuellement. L'unité de la vitesse linéaire est le mètre par seconde (m/s). #### 4. Accélération d'un Point d'un Solide en Rotation L'accélération d'un point M en mouvement de rotation autour d'un axe fixe est la somme vectorielle de deux composantes : ##### a. Accélération Tangentielle (\( \vec{a}_t \)) Cette composante est responsable des changements de la **norme** de la vitesse linéaire. Elle est tangente à la trajectoire et dans le sens du mouvement si le solide accélère, ou dans le sens inverse si le solide ralentit. \[ a_t = R\alpha \] ##### b. Accélération Normale (ou Centripète) (\( \vec{a}_n \)) Cette composante est responsable des changements de la **direction** de la vitesse linéaire. Elle est toujours dirigée vers le centre de la trajectoire (l'axe de rotation) et est perpendiculaire à la vitesse tangentielle. \[ a_n = R\omega^2 = \frac{v^2}{R} \] ##### c. Accélération Totale (\( \vec{a} \)) L'accélération totale \( \vec{a} \) du point M est la somme vectorielle de ses composantes tangentielle et normale. \[ \vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n \] La norme de l'accélération totale est donnée par le théorème de Pythagore, puisque les deux composantes sont orthogonales : \[ a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{(R\alpha)^2 + (R\omega^2)^2} \] L'unité de l'accélération est le mètre par seconde carrée (m/s²). ### Vocabulaire * **Solide Indéformable (Corps Rigide) :** Un objet dont la forme et la taille ne changent pas. (angl. *Rigid body*) * **Axe de Rotation Fixe :** Une ligne droite immobile autour de laquelle un solide tourne. (angl. *Fixed axis of rotation*) * **Position Angulaire (\( \theta \)) :** Angle mesurant la rotation d'un point autour d'un axe (en radians). (angl. *Angular position*) * **Vitesse Angulaire (\( \omega \)) :** Taux de changement de la position angulaire (en rad/s). (angl. *Angular velocity*) * **Accélération Angulaire (\( \alpha \)) :** Taux de changement de la vitesse angulaire (en rad/s²). (angl. *Angular acceleration*) * **Vitesse Linéaire (\( v \)) :** Vitesse d'un point le long de sa trajectoire circulaire (en m/s). (angl. *Linear velocity*) * **Accélération Tangentielle (\( a_t \)) :** Composante de l'accélération parallèle à la trajectoire, due à la variation de la norme de la vitesse. (angl. *Tangential acceleration*) * **Accélération Normale (Centripète) (\( a_n \)) :** Composante de l'accélération perpendiculaire à la trajectoire, dirigée vers le centre, due à la variation de la direction de la vitesse. (angl. *Normal/Centripetal acceleration*) ### Exemples #### Exemple 1 : Roue en Rotation Uniforme Une roue de bicyclette tourne à une vitesse constante de 180 tr/min. Le rayon de la roue est de 35 cm. 1. **Calculer la vitesse angulaire en rad/s.** \( \omega = 180 \text{ tr/min} \times \frac{2\pi \text{ rad}}{1 \text{ tr}} \times \frac{1 \text{ min}}{60 \text{ s}} = 6\pi \text{ rad/s} \approx 18.85 \text{ rad/s} \) 2. **Calculer la vitesse linéaire d'un point sur le bord de la roue.** \( R = 35 \text{ cm} = 0.35 \text{ m} \) \( v = R\omega = 0.35 \text{ m} \times 6\pi \text{ rad/s} = 2.1\pi \text{ m/s} \approx 6.60 \text{ m/s} \) 3. **Calculer l'accélération d'un point sur le bord de la roue.** Puisque la rotation est uniforme, \( \alpha = 0 \). Donc \( a_t = R\alpha = 0 \). L'accélération est purement normale (centripète) : \( a_n = R\omega^2 = 0.35 \text{ m} \times (6\pi \text{ rad/s})^2 = 0.35 \times 36\pi^2 \text{ m/s}^2 \approx 124.2 \text{ m/s}^2 \) \( a = a_n \approx 124.2 \text{ m/s}^2 \) #### Exemple 2 : Démarrage d'un Ventilateur Un ventilateur, initialement au repos, atteint une vitesse de 1200 tr/min en 10 secondes avec une accélération angulaire constante. Le rayon des pales est de 20 cm. 1. **Calculer l'accélération angulaire \( \alpha \).** \( \omega_0 = 0 \text{ rad/s} \) \( \omega(10) = 1200 \text{ tr/min} = 1200 \times \frac{2\pi}{60} = 40\pi \text{ rad/s} \) \( \omega(t) = \alpha t + \omega_0 \Rightarrow 40\pi = \alpha \times 10 + 0 \Rightarrow \alpha = 4\pi \text{ rad/s}^2 \approx 12.57 \text{ rad/s}^2 \) 2. **Calculer la vitesse linéaire et l'accélération totale d'un point à l'extrémité d'une pale à \( t=10 \text{ s} \).** \( R = 20 \text{ cm} = 0.20 \text{ m} \) \( v = R\omega = 0.20 \text{ m} \times 40\pi \text{ rad/s} = 8\pi \text{ m/s} \approx 25.13 \text{ m/s} \) \( a_t = R\alpha = 0.20 \text{ m} \times 4\pi \text{ rad/s}^2 = 0.8\pi \text{ m/s}^2 \approx 2.51 \text{ m/s}^2 \) \( a_n = R\omega^2 = 0.20 \text{ m} \times (40\pi \text{ rad/s})^2 = 0.20 \times 1600\pi^2 \text{ m/s}^2 = 320\pi^2 \text{ m/s}^2 \approx 3158.27 \text{ m/s}^2 \) \( a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{(0.8\pi)^2 + (320\pi^2)^2} \approx \sqrt{6.31 + 997457.7} \approx 998.7 \text{ m/s}^2 \) *(Note : L'accélération normale est souvent dominante à haute vitesse angulaire.)* ### Exercices 1. Un moteur électrique tourne à 3000 tr/min. a. Quelle est sa vitesse angulaire en rad/s? b. Si le rayon de l'arbre du moteur est de 2 cm, quelle est la vitesse linéaire d'un point à sa surface? 2. Une meule, de 15 cm de rayon, est initialement au repos. Elle accélère uniformément et atteint 120 rad/s en 4 secondes. a. Quelle est l'accélération angulaire de la meule? b. Quelle est la vitesse linéaire d'un point sur son bord à \( t=4 \text{ s} \)? c. Calculez les accélérations tangentielle, normale et totale d'un point sur le bord de la meule à \( t=2 \text{ s} \). 3. Un CD tourne à 500 tr/min. Quelle est l'accélération centripète d'un point situé à 6 cm du centre du CD? ### Devoir 1. Un gyroscope a une vitesse angulaire initiale de 50 rad/s. Il subit une décélération angulaire constante de \( 5 \text{ rad/s}^2 \) jusqu'à s'arrêter. a. Combien de temps faut-il pour que le gyroscope s'arrête? b. Quel angle total (en radians et en tours) a-t-il parcouru pendant ce temps? 2. Une éolienne a des pales de 20 mètres de long. Lorsque le vent est fort, la pale tourne à 15 tr/min. a. Quelle est la vitesse angulaire des pales en rad/s? b. Quelle est la vitesse linéaire de l'extrémité d'une pale? c. Quelle est l'accélération normale de l'extrémité d'une pale? d. Si le vent faiblit et que l'éolienne ralentit avec une accélération angulaire de \( -0.1 \text{ rad/s}^2 \), calculez l'accélération tangentielle et l'accélération totale de l'extrémité de la pale au moment où sa vitesse est de 10 tr/min. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré le mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe. Nous avons défini la position angulaire (\( \theta \)), la vitesse angulaire (\( \omega \)) et l'accélération angulaire (\( \alpha \)), ainsi que leurs relations. Nous avons distingué les mouvements de rotation uniforme (\( \alpha = 0 \), \( \omega = \text{constante} \)) et uniformément varié (\( \alpha = \text{constante} \)). Enfin, nous avons appris à calculer la vitesse linéaire (\( v = R\omega \)) et les deux composantes de l'accélération d'un point : l'accélération tangentielle (\( a_t = R\alpha \)) et l'accélération normale ou centripète (\( a_n = R\omega^2 = v^2/R \)), pour obtenir l'accélération totale (\( a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} \)). Ces concepts sont essentiels pour l'analyse des systèmes mécaniques en rotation. ## A - L'Etanchéité des Mécanismes Leçon 19B - Mouvement plan sur plan d'un solide : Définition et champ des vecteurs vitesses ### Introduction Cette leçon s'inscrit dans le cadre de l'étude des solutions constructives des systèmes mécaniques, notamment l'étanchéité, qui dépend fortement de la compréhension des mouvements relatifs entre les pièces. Nous allons nous concentrer sur la description et l'analyse du **mouvement plan sur plan d'un solide**, un concept fondamental en cinématique qui permet de calculer les vitesses des différents points d'un mécanisme et de comprendre leur comportement dynamique. Maîtriser ce concept est essentiel pour la conception, l'analyse et l'optimisation des systèmes mécaniques. ### Concepts Clés #### 1. Définition du Mouvement Plan sur Plan Un solide est en **mouvement plan sur plan** (ou mouvement plan) si tous ses points décrivent des trajectoires situées dans des plans parallèles à un plan fixe de référence. Cela signifie que le mouvement du solide peut être entièrement décrit par le mouvement d'une de ses sections planes dans le plan de référence. * **Solide Indéformable:** Un solide dont la distance entre deux points quelconques reste constante au cours du mouvement. * **Exemples:** Une roue qui roule sur le sol, une bielle dans un système bielle-manivelle, une porte qui s'ouvre. #### 2. Repérage du Mouvement Pour analyser le mouvement, il est nécessaire de définir des référentiels. * **Référentiel Absolu (ou Fixe), \( R_0 \):** C'est le référentiel par rapport auquel on étudie le mouvement. Il est souvent lié au bâti du mécanisme. On peut le noter \( R_0(O_0, ext{x}_0, ext{y}_0, ext{z}_0) \). * **Référentiel Relatif (ou Mobile), \( R_1 \):** Il est lié au solide en mouvement. On peut le noter \( R_1(O_1, ext{x}_1, ext{y}_1, ext{z}_1) \). En mouvement plan sur plan, on simplifie souvent l'étude à un plan, par exemple \( (O_0, ext{x}_0, ext{y}_0) \). La position d'un point M est alors donnée par \( ext{M}(x,y) \) et l'orientation du solide par un angle \( heta \) entre les axes \( ext{x}_0 \) et \( ext{x}_1 \). #### 3. Champ des Vecteurs Vitesses Le champ des vecteurs vitesses décrit la distribution des vitesses de tous les points d'un solide à un instant donné. * **Vitesse d'un point M:** La vitesse d'un point M appartenant à un solide S, par rapport au référentiel \( R_0 \), est la dérivée de son vecteur position \( ext{OM} \) par rapport au temps: \[ \vec{V}(M)_{S/R_0} = \frac{d\vec{OM}}{dt}_{R_0} \] * **Théorème de Varignon (ou Équiprojectivité des Vitesses):** Pour deux points A et B appartenant au même solide S en mouvement plan par rapport à \( R_0 \), le vecteur vitesse du point B peut être exprimé en fonction du vecteur vitesse du point A et du vecteur vitesse angulaire \( \vec{\Omega}_{S/R_0} \) du solide S par rapport à \( R_0 \): \[ \vec{V}(B)_{S/R_0} = \vec{V}(A)_{S/R_0} + \vec{\Omega}_{S/R_0} \wedge \vec{AB} \] En mouvement plan sur plan dans le plan \( (x_0, y_0) \), le vecteur rotation est perpendiculaire à ce plan, donc \( \vec{\Omega}_{S/R_0} = \dot{\theta} \vec{z_0} \) où \( \dot{\theta} \) est la vitesse angulaire du solide. * **Centre Instantané de Rotation (CIR):** Le CIR, noté I, d'un solide S en mouvement plan par rapport à \( R_0 \) est le point (s'il existe) dont le vecteur vitesse est nul à un instant donné. \[ \vec{V}(I)_{S/R_0} = \vec{0} \] **Propriétés du CIR:** * Si la vitesse angulaire \( \vec{\Omega}_{S/R_0} \) n'est pas nulle, le CIR est unique. * La vitesse de tout autre point P du solide S est donnée par \( \vec{V}(P)_{S/R_0} = \vec{\Omega}_{S/R_0} \wedge \vec{IP} \). * Le module de la vitesse est \( ||\vec{V}(P)_{S/R_0}|| = ||\vec{\Omega}_{S/R_0}|| \cdot IP \). * Le vecteur vitesse \( \vec{V}(P)_{S/R_0} \) est perpendiculaire au segment \( IP \). **Détermination du CIR:** 1. Si les directions des vitesses de deux points A et B du solide sont connues et non parallèles, le CIR est à l'intersection des perpendiculaires à ces vitesses passant par A et B. 2. Si les vitesses de deux points A et B sont parallèles: * Si elles sont de même sens et de même module, le mouvement est une translation pure (CIR à l'infini). * Si elles sont de sens opposé, le CIR est sur la droite AB, entre A et B. * Si elles sont de même sens et de modules différents, le CIR est sur la droite AB, à l'extérieur du segment AB. * **Composition des Vitesses (Théorème de composition des vitesses):** Lorsqu'un point M appartient à un solide \( S_1 \) lui-même en mouvement par rapport à un référentiel \( R_0 \), on peut écrire la vitesse absolue du point M comme la somme de sa vitesse relative et de sa vitesse d'entraînement: \[ \vec{V}(M)_{R_0} = \vec{V}(M)_{R_1} + \vec{V}_e(M)_{R_1/R_0} \] * \( \vec{V}(M)_{R_0} \) : **Vitesse absolue** du point M par rapport au référentiel fixe \( R_0 \). * \( \vec{V}(M)_{R_1} \) : **Vitesse relative** du point M par rapport au référentiel mobile \( R_1 \). * \( \vec{V}_e(M)_{R_1/R_0} \) : **Vitesse d'entraînement**, qui est la vitesse du point du référentiel \( R_1 \) qui coïncide avec M, par rapport au référentiel \( R_0 \). ### Vocabulaire * **Mouvement Plan sur Plan:** Mouvement où tous les points du solide restent dans des plans parallèles. * **Solide Indéformable:** Corps rigide dont les dimensions ne varient pas. * **Référentiel:** Système de coordonnées utilisé pour décrire le mouvement. * **Vecteur Vitesse:** Grandeur vectorielle représentant la vitesse instantanée d'un point. * **Vitesse Angulaire (\( \vec{\Omega} \)):** Vitesse de rotation d'un solide autour d'un axe. * **Centre Instantané de Rotation (CIR):** Point du solide (ou lié au solide) dont la vitesse est nulle à un instant donné. * **Translation:** Mouvement où tous les points du solide ont la même vitesse (trajectoires parallèles). * **Rotation:** Mouvement où tous les points du solide décrivent des cercles concentriques autour d'un axe fixe. * **Composition des Vitesses:** Méthode pour déterminer la vitesse d'un point en combinant les mouvements relatifs et d'entraînement. ### Exemples 1. **Roue roulant sans glisser:** Considérez une roue de rayon R roulant sans glisser sur le sol à une vitesse \( V_0 \). Le point de contact entre la roue et le sol est le CIR. La vitesse angulaire de la roue est \( \omega = V_0 / R \). Tout point sur le pourtour de la roue aura une vitesse perpendiculaire au segment le reliant au CIR, et de module \( \omega \cdot d \), où \( d \) est la distance au CIR. 2. **Mécanisme Bielle-Manivelle:** Dans un moteur, la bielle relie le vilebrequin (manivelle) au piston. Le mouvement de la bielle est un mouvement plan sur plan. Le CIR de la bielle par rapport au bâti se déplace constamment, se trouvant à l'intersection de la droite perpendiculaire à la vitesse du point de la manivelle (axe du vilebrequin) et de la droite perpendiculaire à la vitesse du piston (qui est en translation rectiligne). 3. **Porte de garage sectionnelle:** Les panneaux de la porte sont liés les uns aux autres et glissent sur des rails. Le mouvement global des panneaux par rapport au cadre de la porte est un mouvement plan sur plan, avec des CIR qui se déplacent pour chaque panneau. ### Exercices 1. Un disque de rayon 10 cm tourne autour de son centre O à une vitesse angulaire constante de 2 rad/s. Calculez la vitesse d'un point P situé sur son bord. Indiquez la direction et le sens de cette vitesse. 2. Un solide S est en mouvement plan par rapport à un référentiel \( R_0 \). On connaît les vitesses de deux points A et B du solide: * \( \vec{V}(A)_{S/R_0} = 5\vec{x_0} \) m/s * \( \vec{V}(B)_{S/R_0} = 5\vec{y_0} \) m/s Les coordonnées de A sont (0,0) et celles de B sont (1,0) m. Déterminez graphiquement et analytiquement la position du Centre Instantané de Rotation (CIR) I du solide S. 3. En utilisant le théorème de Varignon, expliquez comment la vitesse d'un point C sur une bielle peut être calculée si vous connaissez la vitesse d'un point A (liaison avec la manivelle) et la vitesse angulaire de la bielle. ### Devoirs 1. Recherchez un mécanisme de votre choix (ex: essuie-glace, machine à coudre, vérin hydraulique) et identifiez les pièces effectuant un mouvement plan sur plan. Dessinez les positions de leurs CIR à différents instants du cycle de fonctionnement. 2. Un engrenage planétaire est composé d'un planétaire central, de satellites et d'un porte-satellites. Analysez le mouvement d'un point sur un satellite par rapport au bâti. Appliquez le théorème de composition des vitesses pour calculer la vitesse absolue de ce point en fonction des vitesses de rotation du porte-satellites et du satellite sur son axe. 3. Expliquez en quoi la compréhension du champ des vecteurs vitesses est cruciale pour la conception de joints d'étanchéité dynamiques (par exemple, des bagues d'étanchéité) qui doivent fonctionner sans fuite entre des pièces en mouvement relatif. ### Résumé Le **mouvement plan sur plan** est un concept fondamental en cinématique, décrivant un mouvement où tous les points d'un solide restent dans des plans parallèles. Pour analyser ce mouvement, nous utilisons des référentiels absolus et relatifs. Le **champ des vecteurs vitesses** est décrit par le **théorème de Varignon**, permettant de relier les vitesses de deux points d'un même solide via la vitesse angulaire. Le **Centre Instantané de Rotation (CIR)** est un outil puissant pour visualiser et calculer les vitesses, étant le point de vitesse nulle à un instant donné. Enfin, le **théorème de composition des vitesses** est essentiel pour analyser les mouvements complexes en décomposant une vitesse absolue en une vitesse relative et une vitesse d'entraînement. Maîtriser ces concepts est indispensable pour toute analyse ou conception de systèmes mécaniques. La compréhension de ces mouvements est directement liée à l'efficacité et la durabilité des solutions constructives, y compris l'étanchéité des mécanismes. ## Mouvement plan sur plan d'un solide : Composition de mouvements, des vecteurs vitesses et accélérations ### Introduction Bienvenue dans cette leçon consacrée à la dynamique des systèmes mécaniques. Aujourd'hui, nous allons explorer comment analyser le mouvement d'un solide qui se déplace dans un plan en combinant plusieurs mouvements simples. Comprendre la composition des vitesses et des accélérations est fondamental en technologie des systèmes mécaniques pour concevoir, analyser et optimiser le fonctionnement de nombreux mécanismes, comme les robots, les moteurs ou les engins de levage. Nous verrons comment utiliser des formules clés pour décomposer et reconstituer ces mouvements complexes. ### Concepts Clés #### Référentiels Pour étudier le mouvement d'un corps, il est essentiel de définir un cadre de référence, appelé **référentiel**. * **Référentiel fixe (ou absolu)**: C'est un référentiel considéré comme immobile. Par exemple, le sol de l'atelier ou le bâti d'une machine. * **Référentiel mobile (ou relatif)**: C'est un référentiel qui est en mouvement par rapport au référentiel fixe. Par exemple, une pièce en rotation ou en translation par rapport au bâti. #### Mouvement Plan sur Plan d'un Solide Un mouvement plan sur plan (ou plan) signifie que tous les points du solide restent dans un même plan ou dans des plans parallèles. Ce mouvement peut être décomposé en deux types de mouvements élémentaires : * **Translation**: Tous les points du solide ont la même vitesse et la même accélération. * **Rotation**: Le solide tourne autour d'un axe fixe ou d'un axe en mouvement. #### Composition des Vitesses (Formule de Varignon) Lorsqu'un point appartient à un solide en mouvement par rapport à un référentiel mobile, lui-même en mouvement par rapport à un référentiel fixe, sa vitesse est la somme de plusieurs composantes. C'est le principe de la composition des mouvements. Soit un point \( A \), un référentiel fixe \( R_0 \) et un référentiel mobile \( R \). La **vitesse absolue** du point \( A \) (sa vitesse par rapport au référentiel fixe \( R_0 \)) est donnée par la formule de composition des vitesses : \[ \vec{V}_{A/R_0} = \vec{V}_{A/R} + \vec{V}_{A \in R / R_0} \] Où : * \( \vec{V}_{A/R_0} \) : C'est la **vitesse absolue** du point \( A \), c'est-à-dire sa vitesse mesurée dans le référentiel fixe \( R_0 \). * \( \vec{V}_{A/R} \) : C'est la **vitesse relative** du point \( A \), c'est-à-dire sa vitesse mesurée dans le référentiel mobile \( R \). Cela correspond au mouvement de \( A \) par rapport au solide portant \( R \) (si \( A \) est un point du solide, cette vitesse est nulle si \( A \) est fixe par rapport à \( R \), sinon il s'agit d'un point glissant sur le solide). * \( \vec{V}_{A \in R / R_0} \) : C'est la **vitesse d'entraînement** du point \( A \). C'est la vitesse qu'aurait le point \( A \) s'il était *fixe* dans le référentiel mobile \( R \), mais entraîné par le mouvement de \( R \) par rapport à \( R_0 \). La vitesse d'entraînement \( \vec{V}_{A \in R / R_0} \) se décompose comme suit : \[ \vec{V}_{A \in R / R_0} = \vec{V}_{O/R_0} + \vec{\omega}_{R/R_0} \land \vec{OA} \] Où : * \( O \) est un point quelconque du référentiel mobile \( R \) (souvent son origine). * \( \vec{V}_{O/R_0} \) est la vitesse de translation de l'origine \( O \) de \( R \) par rapport à \( R_0 \). * \( \vec{\omega}_{R/R_0} \) est le vecteur vitesse de rotation angulaire du référentiel \( R \) par rapport à \( R_0 \). * \( \vec{OA} \) est le vecteur position du point \( A \) par rapport à l'origine \( O \) du référentiel mobile. * \( \land \) représente le produit vectoriel. #### Composition des Accélérations (Formule de Coriolis) De manière similaire aux vitesses, l'accélération d'un point en mouvement par rapport à un référentiel mobile nécessite une formule de composition plus complexe, connue sous le nom de **Formule de Coriolis**. Soit un point \( A \), un référentiel fixe \( R_0 \) et un référentiel mobile \( R \). L'**accélération absolue** du point \( A \) est donnée par : \[ \vec{a}_{A/R_0} = \vec{a}_{A/R} + \vec{a}_{e} + \vec{a}_{c} \] Où : * \( \vec{a}_{A/R_0} \) : C'est l'**accélération absolue** du point \( A \), mesurée dans le référentiel fixe \( R_0 \). * \( \vec{a}_{A/R} \) : C'est l'**accélération relative** du point \( A \), mesurée dans le référentiel mobile \( R \). * \( \vec{a}_{e} \) : C'est l'**accélération d'entraînement**. C'est l'accélération qu'aurait le point \( A \) s'il était fixe dans \( R \) et entraîné par le mouvement de \( R \) par rapport à \( R_0 \). Elle est donnée par : \[ \vec{a}_{e} = \vec{a}_{O/R_0} + \dot{\vec{\omega}}_{R/R_0} \land \vec{OA} + \vec{\omega}_{R/R_0} \land (\vec{\omega}_{R/R_0} \land \vec{OA}) \] Où \( \dot{\vec{\omega}}_{R/R_0} \) est le vecteur accélération angulaire de \( R \) par rapport à \( R_0 \). * \( \vec{a}_{c} \) : C'est l'**accélération de Coriolis**. C'est un terme d'accélération supplémentaire qui apparaît lorsque le point \( A \) a un mouvement relatif par rapport au référentiel mobile \( R \) et que \( R \) est lui-même en rotation par rapport à \( R_0 \). Elle est donnée par : \[ \vec{a}_{c} = 2 \vec{\omega}_{R/R_0} \land \vec{V}_{A/R} \] L'accélération de Coriolis est souvent cont intuitive, mais elle est cruciale pour analyser des systèmes rotatifs où des masses se déplacent radialement (ex: écoulement de fluides, mécanismes complexes). ### Vocabulaire * **Référentiel fixe (ou absolu)**: Cadre de référence considéré comme immobile. * **Référentiel mobile (ou relatif)**: Cadre de référence en mouvement par rapport au référentiel fixe. * **Vitesse absolue** (\( \vec{V}_{A/R_0} \)): Vitesse d'un point mesurée dans le référentiel fixe. * **Vitesse relative** (\( \vec{V}_{A/R} \)): Vitesse d'un point mesurée dans le référentiel mobile. * **Vitesse d'entraînement** (\( \vec{V}_{A \in R / R_0} \)): Vitesse qu'aurait un point s'il était fixe dans le référentiel mobile mais entraîné par celui-ci. * **Accélération absolue** (\( \vec{a}_{A/R_0} \)): Accélération d'un point mesurée dans le référentiel fixe. * **Accélération relative** (\( \vec{a}_{A/R} \)): Accélération d'un point mesurée dans le référentiel mobile. * **Accélération d'entraînement** (\( \vec{a}_{e} \)): Accélération qu'aurait un point s'il était fixe dans le référentiel mobile et entraîné par celui-ci. * **Accélération de Coriolis** (\( \vec{a}_{c} \)): Accélération additionnelle due à la combinaison du mouvement relatif du point et de la rotation du référentiel mobile. ### Exemples #### Exemple 1: Vitesse d'un point sur un bras de robot Considérons un robot dont le bras principal (solide S1) tourne autour d'un axe fixe (référentiel \( R_0 \)) avec une vitesse angulaire \( \vec{\omega}_{1} \). Un deuxième bras (solide S2) est monté sur S1 et tourne à son tour par rapport à S1 avec une vitesse angulaire \( \vec{\omega}_{2} \). Nous voulons trouver la vitesse absolue du point \( P \) situé à l'extrémité du second bras. * **Référentiel fixe** \( R_0 \). * **Référentiel mobile** \( R_1 \) lié au bras S1. * Le point \( P \) se déplace par rapport à \( R_1 \) (mouvement relatif du bras S2). La vitesse du point \( P \) par rapport à \( R_0 \) sera : \( \vec{V}_{P/R_0} = \vec{V}_{P/R_1} + \vec{V}_{P \in R_1 / R_0} \) Où \( \vec{V}_{P/R_1} \) est la vitesse due à la rotation du bras S2 par rapport à S1, et \( \vec{V}_{P \in R_1 / R_0} \) est la vitesse due à la rotation du bras S1 par rapport à \( R_0 \) entraînant le point \( P \). #### Exemple 2: Accélération dans un mécanisme bielle-manivelle Dans un mécanisme bielle-manivelle, la manivelle tourne autour d'un point fixe. La bielle est articulée à la manivelle et entraîne un piston en translation. Pour analyser les efforts sur la bielle et le piston, il est crucial de calculer l'accélération du piston. L'extrémité de la bielle liée au piston a un mouvement rectiligne par rapport au bâti, mais si l'on considère un point milieu de la bielle, son mouvement est plus complexe, impliquant potentiellement l'accélération de Coriolis si l'on change de référentiel en cours d'analyse. Si on considère un point \( M \) sur la bielle et qu'on utilise un référentiel \( R \) lié à la manivelle, alors le point \( M \) a une vitesse et une accélération relatives non nulles par rapport à \( R \). La rotation de la manivelle (référentiel \( R \)) par rapport au bâti (référentiel \( R_0 \)) induit une accélération de Coriolis sur \( M \). ### Exercices 1. Un insecte se déplace à une vitesse constante de 0,1 m/s le long du rayon d'un disque qui tourne à 2 rad/s. Le disque a un rayon de 0,5 m. Au moment où l'insecte est à mi-chemin du rayon (à 0,25 m du centre), calculez la vitesse absolue de l'insecte. Le centre du disque est fixe. * Définissez le référentiel fixe \( R_0 \) et le référentiel mobile \( R \) (lié au disque). * Identifiez \( \vec{V}_{A/R} \) et \( \vec{\omega}_{R/R_0} \). * Appliquez la formule de composition des vitesses. 2. En reprenant l'exercice 1, calculez l'accélération absolue de l'insecte à cet instant. Ignorez les frottements et la gravité. Que représente le terme de Coriolis dans ce cas ? * Calculez \( \vec{a}_{A/R} \) (accélération relative). * Calculez \( \vec{a}_{e} \) (accélération d'entraînement). * Calculez \( \vec{a}_{c} \) (accélération de Coriolis). * Appliquez la formule de composition des accélérations. ### Devoir 1. Un wagonnet se déplace sur une voie rectiligne à une vitesse constante de 5 m/s. Sur ce wagonnet, un bras articulé tourne horizontalement à une vitesse angulaire constante de 1 rad/s par rapport au wagonnet. L'extrémité du bras est à 2 m de l'articulation. Déterminez le vecteur vitesse et le vecteur accélération absolue de l'extrémité du bras. * Conseil: Décomposez le problème en choisissant judicieusement vos référentiels. 2. Expliquez avec vos propres mots l'importance de l'accélération de Coriolis dans la conception des machines tournantes (ex: pompes, turbines, mécanismes robotiques). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons abordé un aspect fondamental de la dynamique des systèmes mécaniques : la composition des mouvements, des vitesses et des accélérations dans le cas d'un mouvement plan sur plan d'un solide. Nous avons appris que pour analyser le mouvement d'un point dans un référentiel fixe lorsque celui-ci se déplace par rapport à un référentiel mobile en mouvement, il faut additionner plusieurs composantes. Les formules clés à retenir sont : * **Pour les vitesses**: \( \vec{V}_{A/R_0} = \vec{V}_{A/R} + \vec{V}_{O/R_0} + \vec{\omega}_{R/R_0} \land \vec{OA} \) * **Pour les accélérations**: \( \vec{a}_{A/R_0} = \vec{a}_{A/R} + \vec{a}_{e} + \vec{a}_{c} \) avec \( \vec{a}_{e} = \vec{a}_{O/R_0} + \dot{\vec{\omega}}_{R/R_0} \land \vec{OA} + \vec{\omega}_{R/R_0} \land (\vec{\omega}_{R/R_0} \land \vec{OA}) \) et \( \vec{a}_{c} = 2 \vec{\omega}_{R/R_0} \land \vec{V}_{A/R} \) La compréhension de ces concepts est essentielle pour quiconque travaille dans le domaine de la conception et de l'analyse des systèmes mécaniques, permettant de prédire le comportement des pièces en mouvement et de dimensionner les composants en conséquence.