I-A ANALYSE FONCTIONNELLE ET STRUCTURELLE DES SYSTEMES MECANIQUES I-B STATIQUE (partie 1/3)

## A - Les Tolérances Leçon 1B - Résolution Analytique des Problèmes de Statique (révision) ### Introduction Bienvenue à cette leçon de révision essentielle pour la technologie des systèmes mécaniques ! Aujourd'hui, nous allons approfondir deux concepts fondamentaux : les tolérances et la statique. Les tolérances sont cruciales pour garantir que les pièces mécaniques s'assemblent correctement et fonctionnent comme prévu, malgré les inévitables variations de fabrication. La statique, quant à elle, est l'étude de l'équilibre des corps, nous permettant de comprendre comment les forces agissent sur un système et comment s'assurer qu'il reste stable. ### Concepts Clés #### I. Les Tolérances Les tolérances sont des limites acceptables pour les dimensions et la géométrie des pièces, définies pour assurer leur bon fonctionnement et leur interchangeabilité. Sans tolérances, il serait impossible de fabriquer des pièces qui s'assemblent et fonctionnent ensemble de manière fiable. ##### A. Tolérances Dimensionnelles * **Cote nominale :** La dimension théorique ou idéale d'une pièce (ex: Ø20 mm). * **Écarts :** Les différences maximales autorisées par rapport à la cote nominale. * **Écart supérieur (ES) :** La différence algébrique entre la dimension maximale et la cote nominale. * **Écart inférieur (EI) :** La différence algébrique entre la dimension minimale et la cote nominale. * **Intervalle de tolérance (IT) :** L'amplitude de la variation admissible, calculée par \( IT = ES - EI \). * **Ajustements :** L'étude de la relation entre deux pièces (un arbre et un alésage) et le résultat de leur assemblage. * **Jeu :** Espace libre entre les pièces. Un assemblage est dit avec jeu si la dimension de l'alésage est toujours supérieure à celle de l'arbre. * **Serrage :** Interférence entre les pièces. Un assemblage est dit avec serrage si la dimension de l'arbre est toujours supérieure à celle de l'alésage. * **Incertain :** Peut être avec jeu ou serrage selon les dimensions réelles des pièces fabriquées. ##### B. Système ISO d'Ajustements Le système ISO spécifie les tolérances et les ajustements à l'aide d'une combinaison de lettres et de chiffres. * **Lettre (majuscule pour alésage, minuscule pour arbre) :** Indique la position de l'intervalle de tolérance par rapport à la ligne zéro (cote nominale). Ex : H (alésage en ligne zéro), h (arbre en ligne zéro). * **Chiffre (qualité) :** Indique l'amplitude de l'intervalle de tolérance (précision). Plus le chiffre est petit, plus la tolérance est faible (pièce précise). Ex : IT6, IT7. * Exemple : \( \text{Ø}20 \text{ H7} \) (alésage de 20 mm, position H, qualité 7). * Exemple : \( \text{Ø}20 \text{ g6} \) (arbre de 20 mm, position g, qualité 6). ##### C. Tolérances Géométriques Elles définissent les limites acceptables pour la forme, l'orientation et la position des éléments des pièces. Elles sont représentées par des symboles spécifiques sur les plans. * **Tolérances de forme :** Rectitude, planéité, circularité, cylindricité. * **Tolérances d'orientation :** Parallélisme, perpendicularité, angularité. * **Tolérances de position :** Localisation, concentricité, symétrie. * **Tolérances de battement :** Battement radial, battement axial. #### II. Résolution Analytique des Problèmes de Statique (révision) La statique est la branche de la mécanique qui étudie les systèmes matériels au repos ou en mouvement à vitesse constante. L'objectif est de déterminer les forces et les moments qui maintiennent un système en équilibre. ##### A. Principes Fondamentaux de la Statique Un corps est en équilibre si les deux conditions suivantes sont respectées : 1. **Condition d'équilibre des forces :** La somme vectorielle de toutes les forces externes agissant sur le corps est nulle. \[ \Sigma \vec{F} = \vec{0} \] En composantes, cela signifie : \( \Sigma F_x = 0 \) \( \Sigma F_y = 0 \) \( \Sigma F_z = 0 \) 2. **Condition d'équilibre des moments :** La somme vectorielle de tous les moments externes par rapport à n'importe quel point est nulle. \[ \Sigma \vec{M} = \vec{0} \] En composantes, cela signifie : \( \Sigma M_x = 0 \) \( \Sigma M_y = 0 \) \( \Sigma M_z = 0 \) ##### B. Méthodologie de Résolution Pour résoudre un problème de statique : 1. **Isoler le système :** Définir clairement le corps ou l'ensemble de corps que l'on étudie. C'est le **solide isolé**. 2. **Bilan des actions mécaniques (forces et moments) :** Représenter toutes les forces externes (forces appliquées, poids, réactions d'appuis, etc.) et moments agissant sur le solide isolé. C'est le **diagramme de corps libre (DCL)**. 3. **Choisir un repère :** Définir un système d'axes de coordonnées (x, y, z) pour faciliter la décomposition des vecteurs. 4. **Écrire les équations d'équilibre :** Appliquer le Principe Fondamental de la Statique (PFS) en écrivant les équations de somme des forces et somme des moments. 5. **Résoudre le système d'équations :** Calculer les inconnues (souvent les réactions d'appuis ou les forces internes) à l'aide des équations établies. ##### C. Types de Liaisons et Réactions Associées Les liaisons limitent les mouvements des pièces et génèrent des forces de réaction. * **Liaison pivot :** Empêche les translations (Rx, Ry). Permet une rotation. (En 2D, 2 inconnues : Fx, Fy) * **Liaison glissière (linéaire) :** Empêche une translation perpendiculaire à l'axe (Ry). Permet une translation et deux rotations. (En 2D, 1 inconnue : Fy) * **Liaison encastrement :** Empêche toutes les translations (Rx, Ry) et toutes les rotations (Mz). (En 2D, 3 inconnues : Fx, Fy, Mz) * **Appui simple (ponctuel) :** Empêche une translation perpendiculaire à la surface (Ry). (En 2D, 1 inconnue : Fy) ### Vocabulaire * **Tolérance :** Intervalle de variation admissible pour une dimension ou une forme. * **Cote nominale :** Dimension de référence idéale. * **Écart supérieur (ES) :** Différence entre la dimension maximale et la cote nominale. * **Écart inférieur (EI) :** Différence entre la dimension minimale et la cote nominale. * **Intervalle de tolérance (IT) :** L'étendue des valeurs acceptables (IT = ES - EI). * **Ajustement :** Relation dimensionnelle entre deux pièces (arbre et alésage) assemblées. * **Alésage :** Trou (partie femelle) d'un assemblage. * **Arbre :** Pièce cylindrique ou prismatique (partie mâle) d'un assemblage. * **Qualité (IT) :** Indice de précision de la tolérance (IT01 à IT18). * **Jeu :** Espace libre entre deux pièces assemblées. * **Serrage :** Interférence physique entre deux pièces assemblées. * **Statique :** Étude des corps au repos ou en mouvement à vitesse constante sous l'action de forces. * **Force :** Action mécanique capable de modifier le mouvement ou la forme d'un corps. * **Moment :** Mesure de la tendance d'une force à provoquer une rotation autour d'un point ou d'un axe (\( M = F \cdot d \)). * **Équilibre :** État d'un corps où la somme des forces et la somme des moments sont nulles. * **Réaction d'appui :** Force exercée par un support ou une liaison pour s'opposer au mouvement. * **Système isolé :** Corps ou ensemble de corps dont on analyse les forces externes. ### Exemples #### Exemple 1 : Tolérances dimensionnelles et ajustement Considérons un assemblage entre un arbre et un alésage avec les spécifications suivantes : * Alésage : \( \text{Ø}25 \text{ H7} \). Les limites sont \( \text{Ø}25,000 \text{ mm} \) et \( \text{Ø}25,021 \text{ mm} \). * Arbre : \( \text{Ø}25 \text{ h6} \). Les limites sont \( \text{Ø}24,980 \text{ mm} \) et \( \text{Ø}25,000 \text{ mm} \). 1. **Calcul du jeu maximal :**\( Jeu_{max} = \text{Alésage}_{max} - \text{Arbre}_{min} = 25,021 - 24,980 = 0,041 \text{ mm} \) 2. **Calcul du jeu minimal :**\( Jeu_{min} = \text{Alésage}_{min} - \text{Arbre}_{max} = 25,000 - 25,000 = 0,000 \text{ mm} \) Cet assemblage est un **ajustement avec jeu minimal nul**, ce qui signifie qu'il y aura toujours un jeu ou un contact parfait sans serrage. Il s'agit d'un ajustement glissant. #### Exemple 2 : Problème de Statique Une poutre horizontale de longueur L = 4 m est soumise à une force ponctuelle descendante \( F = 100 \text{ N} \) à 3 m de l'appui A. La poutre repose sur deux appuis simples : A à son extrémité gauche et B à son extrémité droite. **Méthodologie :** 1. **Solide isolé :** La poutre. 2. **DCL :** * Force \( F \) de 100 N vers le bas à 3 m de A. * Réaction \( R_A \) vers le haut à l'appui A. * Réaction \( R_B \) vers le haut à l'appui B. 3. **Repère :** Axe x horizontal, axe y vertical vers le haut. 4. **Équations d'équilibre :** * **Somme des forces en y :** \( \Sigma F_y = R_A + R_B - F = 0 \) \( R_A + R_B = 100 \text{ N} \) (Éq. 1) * **Somme des moments par rapport au point A :** (pour éliminer \( R_A \)) \( \Sigma M_A = (F \cdot 3 \text{ m}) - (R_B \cdot 4 \text{ m}) = 0 \) (La force F crée un moment positif (horaire par convention si A est l'origine, ou négatif si on prend le sens trigo). Le moment de \( R_B \) est l'opposé.) En prenant les moments positifs dans le sens anti-horaire : \( (R_B \cdot L) - (F \cdot 3) = 0 \) \( (R_B \cdot 4) - (100 \cdot 3) = 0 \) \( 4 R_B = 300 \) \( R_B = 75 \text{ N} \) (Éq. 2) 5. **Résolution :** En substituant \( R_B \) dans l'Éq. 1 : \( R_A + 75 = 100 \) \( R_A = 25 \text{ N} \) Les réactions d'appuis sont \( R_A = 25 \text{ N} \) et \( R_B = 75 \text{ N} \). ### Exercices #### Exercice 1 : Tolérances et Ajustements Un arbre de diamètre nominal 30 mm doit être assemblé dans un alésage de même diamètre nominal. Les tolérances sont les suivantes : * Alésage : \( \text{Ø}30 \text{ H8} \) (\( \text{ES} = +0,039 \text{ mm} \), \( \text{EI} = 0 \text{ mm} \)) * Arbre : \( \text{Ø}30 \text{ f7} \) (\( \text{ES} = -0,020 \text{ mm} \), \( \text{EI} = -0,052 \text{ mm} \)) 1. Donnez les dimensions maximales et minimales de l'alésage. 2. Donnez les dimensions maximales et minimales de l'arbre. 3. Calculez le jeu maximal et le jeu minimal de cet assemblage. 4. Déterminez le type d'ajustement (avec jeu, serrage, ou incertain). #### Exercice 2 : Statique Une potence est fixée au mur par un encastrement en A. Elle supporte une charge \( P = 500 \text{ N} \) à son extrémité libre B. La longueur de la potence est \( L = 2 \text{ m} \). 1. Dessinez le diagramme de corps libre (DCL) de la potence. 2. Écrivez les équations d'équilibre. 3. Calculez les réactions d'encastrement en A (forces \( F_{Ax} \), \( F_{Ay} \) et moment \( M_A \)). ### Devoirs 1. **Assemblage complexe :** Un palier doit être monté sur un arbre de transmission. Le cahier des charges exige un ajustement glissant avec un jeu minimal de \( 0,01 \text{ mm} \) et un jeu maximal ne dépassant pas \( 0,05 \text{ mm} \). * Si l'arbre a une cote nominale de \( \text{Ø}40 \text{ mm} \) avec une tolérance \( \text{h6} \) (\( \text{ES} = 0 \text{ mm} \), \( \text{EI} = -0,016 \text{ mm} \)), quelles seraient les tolérances (ES et EI) de l'alésage correspondant pour respecter les exigences du cahier des charges ? 2. **Pont simple :** Un petit pont de 10 mètres de long est supporté par deux piliers, un à chaque extrémité. Une voiture de 15 000 N est garée à 3 mètres de l'un des piliers. Le poids de la structure du pont est négligeable. * Déterminez les forces de réaction supportées par chacun des piliers. Utilisez le principe fondamental de la statique et tracez le DCL. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons révisé deux piliers de la conception mécanique : les tolérances et la statique. Les **tolérances** sont essentielles pour la fabrication et l'assemblage de pièces, permettant l'interchangeabilité et garantissant le bon fonctionnement grâce à des limites acceptables de dimensions et de formes. Nous avons vu les tolérances dimensionnelles (écarts, intervalles de tolérance, ajustements) et géométriques. La **statique**, quant à elle, nous fournit les outils pour analyser les forces et les moments agissant sur un système et s'assurer qu'il reste en **équilibre**. En appliquant le **Principe Fondamental de la Statique** (somme des forces et des moments nulle), nous pouvons calculer les réactions aux appuis et garantir la stabilité des structures. Maîtriser ces concepts est fondamental pour tout ingénieur ou technicien en mécanique. ## A - Les Ajustements Leçon 2B - Résolution Graphique des Problèmes de Statique : Cas de 2 forces ou 3 forces concourantes ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la résolution graphique des problèmes de statique. En technologie des systèmes mécaniques, il est crucial de comprendre comment les forces agissent sur un système et comment déterminer si celui-ci est en équilibre. Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur la méthode graphique pour analyser des situations où un objet est soumis à deux ou trois forces concourantes, c'est-à-dire des forces dont les lignes d'action se coupent en un même point. Cette approche visuelle est très utile pour rapidement évaluer les efforts en jeu sans avoir recours à des calculs complexes. ### Concepts Clés #### Rappel sur les Forces Une force est une action mécanique capable de modifier le mouvement d'un corps ou de le déformer. Elle est caractérisée par : * **Son point d'application :** L'endroit où la force agit sur le corps. * **Sa direction :** La ligne d'action de la force (horizontale, verticale, oblique). * **Son sens :** L'orientation sur la ligne d'action (vers le haut, vers le bas, à droite, à gauche). * **Son intensité (ou norme) :** La grandeur de la force, mesurée en Newtons (N). Une force est une grandeur vectorielle, elle est donc représentée par un vecteur. #### Condition d'Équilibre Statique Un corps est en équilibre statique si son mouvement est nul (il est immobile) ou s'il se déplace à vitesse constante sans rotation. Pour qu'un corps soit en équilibre sous l'action de plusieurs forces, la somme vectorielle de toutes les forces appliquées doit être égale au vecteur nul. C'est le principe fondamental de la statique pour les forces : \[ \sum \vec{F} = \vec{0} \] Cela signifie que l'effet de toutes les forces s'annule mutuellement. Graphiquement, cela se traduit par un polygone des forces fermé. #### Cas de 2 Forces Concourantes en Équilibre Si un système est soumis à seulement deux forces \( \vec{F_1} \) et \( \vec{F_2} \) concourantes et qu'il est en équilibre, ces deux forces doivent nécessairement être : * **De même direction** (colinéaires). * **De sens opposé.** * **De même intensité.** Graphiquement, si l'on dessine le vecteur \( \vec{F_1} \), le vecteur \( \vec{F_2} \) doit partir de la fin de \( \vec{F_1} \) et revenir au début de \( \vec{F_1} \) pour former un polygone fermé (dans ce cas, une ligne). Autrement dit, \( \vec{F_2} = -\vec{F_1} \). #### Cas de 3 Forces Concourantes en Équilibre Lorsque trois forces \( \vec{F_1} \), \( \vec{F_2} \) et \( \vec{F_3} \) concourantes agissent sur un corps en équilibre, la somme vectorielle de ces trois forces est nulle : \[ \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0} \] Graphiquement, cela signifie que si l'on représente ces trois forces bout à bout (en respectant leur direction et leur sens), elles doivent former un **polygone des forces fermé**, c'est-à-dire un triangle. ##### Méthode de Construction Graphique (Polygone des Forces) 1. **Choisissez une échelle des forces :** Par exemple, 1 cm représente 10 N. C'est essentiel pour la précision de la mesure. 2. **Dessinez la première force connue :** Tracez le vecteur représentant \( \vec{F_1} \) à l'échelle, en respectant sa direction et son sens. 3. **Dessinez la deuxième force connue :** À l'extrémité du premier vecteur, tracez le vecteur représentant \( \vec{F_2} \) à l'échelle, en respectant sa direction et son sens. 4. **Déterminez la troisième force (inconnue) :** Si le système est en équilibre, la troisième force \( \vec{F_3} \) doit fermer le polygone. Cela signifie que son origine est l'extrémité du deuxième vecteur, et son extrémité est l'origine du premier vecteur. Tracez ce vecteur. 5. **Mesurez et convertissez :** Mesurez la longueur du vecteur \( \vec{F_3} \) dessiné et utilisez l'échelle des forces pour déterminer son intensité réelle. Lisez sa direction et son sens sur votre dessin. ### Vocabulaire * **Force :** Action mécanique mesurable en Newtons (N). * **Point d'application :** Point où une force agit sur un corps. * **Direction :** Ligne le long de laquelle une force agit. * **Sens :** Orientation de la force sur sa direction. * **Intensité (ou norme) :** Grandeur de la force. * **Équilibre statique :** État d'un corps au repos sous l'action de forces. * **Forces concourantes :** Forces dont les lignes d'action se coupent en un même point. * **Polygone des forces :** Représentation graphique de la somme vectorielle des forces. Il est fermé si le système est en équilibre. * **Échelle des forces :** Rapport entre une longueur sur le dessin et une intensité de force réelle (ex : 1 cm = 20 N). ### Exemples #### Exemple 1 : Équilibre avec 3 forces Un panneau publicitaire de 200 N est suspendu par deux câbles AC et BC. Le câble AC est incliné de 30° par rapport à l'horizontale, et le câble BC de 60° par rapport à l'horizontale. Déterminez les tensions dans les câbles \( T_{AC} \) et \( T_{BC} \). ##### Résolution Graphique : 1. **Identification des forces :** * \( \vec{P} \) : Poids du panneau, intensité \( P = 200 \) N, direction verticale, sens vers le bas. * \( \vec{T_{AC}} \) : Tension dans le câble AC, direction 30° par rapport à l'horizontale (ou 60° par rapport à la verticale), sens vers le haut et vers la gauche (tirant le point C). * \( \vec{T_{BC}} \) : Tension dans le câble BC, direction 60° par rapport à l'horizontale (ou 30° par rapport à la verticale), sens vers le haut et vers la droite (tirant le point C). 2. **Choix de l'échelle :** Prenons 1 cm = 50 N. 3. **Construction du polygone des forces :** * **Dessinez \( \vec{P} \) :** Un vecteur vertical de 200 N / 50 N/cm = 4 cm, dirigé vers le bas. * **Dessinez \( \vec{T_{AC}} \) et \( \vec{T_{BC}} \) :** À l'extrémité du vecteur \( \vec{P} \), tracez une ligne de direction 60° par rapport à la verticale (représentant la direction de \( \vec{T_{AC}} \)). À l'origine du vecteur \( \vec{P} \), tracez une ligne de direction 30° par rapport à la verticale (représentant la direction de \( \vec{T_{BC}} \)). Ces deux lignes doivent se croiser pour fermer le triangle. * Le point d'intersection des deux lignes marque les extrémités de \( \vec{T_{AC}} \) et \( \vec{T_{BC}} \). Le vecteur \( \vec{T_{AC}} \) part de l'extrémité de \( \vec{P} \) et va vers le point d'intersection. Le vecteur \( \vec{T_{BC}} \) part du point d'intersection et revient à l'origine de \( \vec{P} \). 4. **Mesure et conversion :** * Mesurez la longueur de \( \vec{T_{AC}} \). Supposons que vous obteniez 3,46 cm. Alors \( T_{AC} = 3,46 \text{ cm} \times 50 \text{ N/cm} = 173 \text{ N} \). * Mesurez la longueur de \( \vec{T_{BC}} \). Supposons que vous obteniez 2 cm. Alors \( T_{BC} = 2 \text{ cm} \times 50 \text{ N/cm} = 100 \text{ N} \). ### Exercices 1. Un objet de 150 N est suspendu à un point C par deux cordes CA et CB. La corde CA forme un angle de 45° avec le plafond, et la corde CB un angle de 30° avec le plafond. Déterminez graphiquement les tensions dans les cordes CA et CB. Utilisez une échelle de 1 cm = 30 N. 2. Un anneau est tiré par trois forces. \( \vec{F_1} \) de 80 N est dirigée horizontalement vers la droite. \( \vec{F_2} \) de 100 N est dirigée à 45° au-dessus de l'horizontale vers la gauche. Déterminez graphiquement la troisième force \( \vec{F_3} \) (intensité et direction) nécessaire pour maintenir l'anneau en équilibre. Utilisez une échelle de 1 cm = 20 N. ### Devoirs 1. Un lampadaire de 30 kg (g = 9,81 m/s²) est soutenu par deux barres métalliques fixées au mur. Une barre est horizontale et l'autre forme un angle de 30° avec le mur. Déterminez graphiquement les forces exercées dans chaque barre. (Rappel : \( P = m \times g \)). 2. Un yacht est tiré par deux remorqueurs A et B. Le remorqueur A exerce une force de 1500 N à 20° de l'axe du yacht. Le remorqueur B exerce une force de 1200 N à 15° de l'axe du yacht de l'autre côté. Quelle serait l'intensité et la direction d'une troisième force que devrait exercer un troisième remorqueur C pour maintenir le yacht immobile (en équilibre) ? (Note : ce problème demande une détermination de la résultante des deux premières forces, puis la détermination de la troisième force opposée à cette résultante). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré la méthode de résolution graphique des problèmes de statique pour les cas de 2 ou 3 forces concourantes. Nous avons rappelé que la condition essentielle d'équilibre est que la somme vectorielle des forces soit nulle (\( \sum \vec{F} = \vec{0} \)). Pour 2 forces, cela implique qu'elles soient colinéaires, de sens opposés et de même intensité. Pour 3 forces, l'équilibre est représenté graphiquement par un polygone des forces fermé, qui est un triangle. La maîtrise de l'échelle des forces et la construction précise des vecteurs sont cruciales pour obtenir des résultats fiables. Cette approche visuelle offre un moyen intuitif et rapide d'analyser les systèmes en équilibre. ## A - Analyse Fonctionnelle d'un Mécanisme Leçon 3B - Résolution Graphique des Problèmes de Statique : Cas de 3 forces parallèles ### Introduction Bienvenue dans cette leçon consacrée à la résolution graphique des problèmes de statique, spécifiquement pour le cas de trois forces parallèles. Dans l'analyse des systèmes mécaniques, il est crucial de comprendre comment les forces interagissent et comment maintenir un système en équilibre. La méthode graphique offre une approche intuitive et visuelle pour déterminer les grandeurs et les positions des forces inconnues, sans avoir recours à des calculs complexes d'équations. Cette approche est particulièrement utile pour valider des résultats ou pour une première estimation rapide. ### Concepts Clés #### Rappels sur l'équilibre statique Un corps est dit en équilibre statique si son mouvement est nul, c'est-à-dire s'il est au repos ou en mouvement à vitesse constante. Pour qu'un corps soit en équilibre sous l'action de forces, deux conditions fondamentales doivent être remplies : * **Équilibre de translation :** La somme vectorielle de toutes les forces externes appliquées au corps doit être nulle. Autrement dit, le corps ne subit aucune accélération linéaire. * Mathématiquement : \( \sum \vec{F} = \vec{0} \) * Pour des forces parallèles agissant le long d'un même axe, cela se traduit par la somme algébrique des intensités des forces (en tenant compte de leur sens) est nulle. Par exemple, si l'axe est vertical : \( \sum F_y = 0 \) * **Équilibre de rotation :** La somme vectorielle de tous les moments (ou couples) des forces externes par rapport à n'importe quel point choisi arbitrairement doit être nulle. Autrement dit, le corps ne subit aucune accélération angulaire. * Mathématiquement : \( \sum \vec{M}_A = \vec{0} \) (où A est un point arbitraire) * Pour des forces parallèles, cela implique que le moment total créé par les forces qui tendent à faire tourner le corps dans un sens doit être égal au moment total créé par les forces qui tendent à le faire tourner dans l'autre sens. #### Résolution Graphique des Problèmes de Statique La méthode graphique pour la résolution de problèmes de statique impliquant des forces parallèles repose sur deux outils principaux : le polygone des forces et le polygone funiculaire. ##### Le Polygone des Forces * Pour des forces coplanaires et parallèles, le polygone des forces est en réalité une **ligne droite**. Les vecteurs forces sont placés bout à bout sur une ligne, en respectant leur direction et leur sens (par exemple, vers le haut = positif, vers le bas = négatif). * **Condition de fermeture :** Si le système est en équilibre, le point final du dernier vecteur force doit coïncider avec le point de départ du premier vecteur. Cela signifie que la somme vectorielle (ou algébrique) des forces est nulle. * **Détermination d'une force inconnue :** Si une force est inconnue, sa grandeur et son sens sont donnés par le segment qui ferme le polygone des forces. ##### Le Polygone Funiculaire (ou Polygone des Cordes) Le polygone funiculaire est un outil graphique puissant qui permet de déterminer la ligne d'action (le support) de la résultante d'un système de forces parallèles ou d'une force inconnue pour qu'un système soit en équilibre. * **Étapes de construction :** 1. **Tracer les lignes d'action :** Sur un schéma du mécanisme, représentez les lignes d'action connues des forces. 2. **Construire le polygone des forces :** À l'échelle, dessinez les forces connues bout à bout sur une ligne droite (votre polygone des forces). Marquer les points (A, B, C...) correspondant aux extrémités des forces. 3. **Choisir un pôle O :** Placez un point arbitraire 'O' (le pôle) n'importe où sur votre feuille, de préférence pas sur la ligne du polygone des forces pour une meilleure clarté. 4. **Tracer les rayons polaires :** Reliez le pôle 'O' aux extrémités de chaque vecteur force dans le polygone des forces. Ces segments sont appelés les "rayons polaires" (ou rayons d'ordre 1, 2, 3...). 5. **Construire le polygone funiculaire dans l'espace :** * Sur le schéma du mécanisme, choisissez un point arbitraire sur la ligne d'action de la première force connue (par exemple \( F_1 \)). * À partir de ce point, tracez une ligne parallèle au premier rayon polaire (reliant O au début de \( F_1 \)) jusqu'à ce qu'elle rencontre la ligne d'action de la force suivante (\( F_2 \)). * De ce nouveau point d'intersection, tracez une ligne parallèle au deuxième rayon polaire (reliant O à l'interface entre \( F_1 \) et \( F_2 \)) jusqu'à ce qu'elle rencontre la ligne d'action de \( F_3 \), et ainsi de suite. * **Détermination de la ligne d'action de la résultante ou d'une force inconnue :** L'intersection des lignes extrêmes du polygone funiculaire (la première et la dernière ligne tracées) donne un point par lequel doit passer la résultante de toutes les forces, ou la force inconnue pour que le système soit en équilibre. Si le système est en équilibre avec une force inconnue, la ligne de fermeture du funiculaire dans l'espace doit être parallèle au rayon de fermeture dans le polygone des forces (si l'on détermine la position d'une force). #### Cas de 3 Forces Parallèles en Équilibre Pour un système soumis à trois forces parallèles (\( F_1, F_2, F_3 \)), dont une est inconnue (en grandeur et/ou position), la méthode graphique se déroule comme suit : 1. **Polygone des forces :** Tracez les deux forces connues \( F_1 \) et \( F_2 \) bout à bout sur une ligne. Le segment qui ferme cette ligne donne la grandeur et le sens de la troisième force \( F_3 \) pour que la somme des forces soit nulle. 2. **Polygone funiculaire :** * Tracez les lignes d'action de \( F_1 \), \( F_2 \) et la ligne d'action possible de \( F_3 \) (si connue). * Choisissez un pôle 'O' et tracez les rayons polaires (OA, OB, OC) correspondant aux forces. * Construisez le polygone funiculaire dans l'espace en partant de la ligne d'action de \( F_1 \), puis \( F_2 \). * La ligne de fermeture du funiculaire, qui relie le début du premier rayon funiculaire à la fin du dernier, doit être parallèle au rayon polaire correspondant à la force inconnue dans le polygone des forces. L'intersection de cette ligne de fermeture avec les rayons funiculaires déjà tracés permet de déterminer la position exacte de la ligne d'action de la force inconnue. ### Vocabulaire * **Statique :** Branche de la mécanique qui étudie les conditions d'équilibre des corps sous l'action de forces. * **Force parallèle :** Forces dont les lignes d'action sont parallèles entre elles. * **Polygone des forces :** Représentation graphique des forces vectorielles placées bout à bout pour déterminer leur somme. Pour des forces parallèles, c'est une ligne droite. * **Polygone funiculaire :** Construction graphique utilisée pour déterminer la position de la résultante d'un système de forces, ou la ligne d'action d'une force inconnue pour l'équilibre. * **Pôle (O) :** Point arbitraire choisi pour construire le polygone funiculaire. * **Rayons polaires :** Segments reliant le pôle aux extrémités des vecteurs forces dans le polygone des forces. * **Ligne d'action :** Droite le long de laquelle une force s'exerce. ### Exemples #### Exemple 1 : Poutre en équilibre sur deux appuis Considérons une poutre horizontale de longueur L = 4 m, supportée à ses extrémités par deux appuis A et B. Une charge concentrée \( F_C = 200 \text{ N} \) est placée à 1.5 m de l'appui A. Déterminer graphiquement les réactions aux appuis \( R_A \) et \( R_B \). 1. **Schéma :** Dessinez la poutre avec les forces \( F_C \) et les réactions \( R_A \) (vers le haut) et \( R_B \) (vers le haut). Les trois forces sont parallèles (verticales). 2. **Polygone des forces :** Dessinez la force \( F_C \) (200 N vers le bas) sur une ligne verticale. Les forces \( R_A \) et \( R_B \) devront le fermer vers le haut. 3. **Polygone funiculaire :** Choisissez un pôle O. Tracez les rayons polaires. Construisez le funiculaire dans l'espace. La ligne de fermeture du funiculaire vous donnera le point de partage sur le polygone des forces, permettant de déterminer graphiquement les grandeurs de \( R_A \) et \( R_B \). #### Exemple 2 : Levage d'une charge Une charge de \( P = 500 \text{ kg} \) (donc une force \( F = 500 \times 9.81 = 4905 \text{ N} \)) est soulevée par deux câbles verticaux. L'un des câbles a une tension maximale de \( T_1 = 3000 \text{ N} \) et est situé à 1 m du centre de gravité de la charge. Déterminer la tension \( T_2 \) du second câble et sa position pour maintenir la charge en équilibre. * Utilisez le polygone des forces pour trouver \( T_2 \) (\( T_1 + T_2 - F = 0 \)). * Utilisez le polygone funiculaire pour trouver la position de \( T_2 \) par rapport à la charge. ### Exercices 1. Une poutre de 6 m de long est supportée à ses extrémités A et B. Une force descendante de \( F_1 = 150 \text{ N} \) est appliquée à 2 m de A et une autre force descendante de \( F_2 = 100 \text{ N} \) est appliquée à 5 m de A. Déterminez graphiquement les réactions \( R_A \) et \( R_B \) aux appuis. 2. Un meuble lourd (poids \( P = 800 \text{ N} \)) est soulevé par deux personnes. L'une d'elles exerce une force de \( F_1 = 450 \text{ N} \). La ligne d'action du poids est à 0.8 m de la première personne. Où doit se placer la deuxième personne (et quelle force \( F_2 \) doit-elle exercer) pour que le meuble soit en équilibre et parallèle au sol ? Résolvez graphiquement. ### Devoir Concevez un problème similaire à l'exemple 1 ou 2, en modifiant les valeurs et les positions des forces. Tracez un schéma clair et résolvez votre propre problème graphiquement en montrant toutes les étapes de construction du polygone des forces et du polygone funiculaire. N'oubliez pas de spécifier les échelles utilisées pour les forces et les distances. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré la méthode de résolution graphique pour les problèmes de statique impliquant trois forces parallèles. Nous avons revu les conditions d'équilibre (somme des forces et somme des moments nulles) et introduit les outils graphiques essentiels : le **polygone des forces** pour déterminer les grandeurs et les sens des forces, et le **polygone funiculaire** pour localiser précisément les lignes d'action des forces inconnues. Cette approche visuelle est un complément précieux aux calculs analytiques, offrant une compréhension intuitive des principes d'équilibre des systèmes mécaniques. La clé de la réussite réside dans la précision du tracé et le respect des échelles.