Angles orientés et trigonométrie (suite et fin)

# Angles orientés et trigonométrie (suite et fin) ## Cos, sin et tan d’un angle orienté ### Introduction Dans les chapitres précédents, nous avons exploré la notion d'angle orienté et les radians. Nous allons maintenant utiliser ces connaissances pour définir de nouvelles fonctions, le cosinus, le sinus et la tangente, qui permettent de décrire la position d'un point sur un cercle et, par extension, d'analyser les relations entre les angles et les longueurs dans des contextes plus larges que les triangles rectangles. Ces outils sont fondamentaux en mathématiques et en physique. ### Concepts Clés #### Le cercle trigonométrique Le **cercle trigonométrique** est un cercle de rayon 1, centré à l'origine \(O(0;0)\) d'un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\). Il est orienté dans le sens direct (ou sens trigonométrique), qui est le sens inverse des aiguilles d'une montre. * Tout point \(M\) sur le cercle trigonométrique peut être associé à un angle orienté \( \alpha \) (ou \(x\)) dont une mesure est donnée par l'arc \( \widehat{AM} \), où \(A\) est le point de coordonnées \((1;0)\). #### Définition du cosinus et du sinus d'un angle orienté Soit un angle orienté \( \alpha \) (mesuré en radians) et \(M\) le point du cercle trigonométrique associé à cet angle. * Le **cosinus** de l'angle \( \alpha \), noté \( \cos \alpha \), est l'**abscisse** du point \(M\). * Le **sinus** de l'angle \( \alpha \), noté \( \sin \alpha \), est l'**ordonnée** du point \(M\). Ainsi, les coordonnées du point \(M\) sont \(( \cos \alpha; \sin \alpha )\). #### Propriétés fondamentales ##### Intervalle de valeurs Puisque le point \(M\) se trouve sur le cercle de rayon 1, ses coordonnées sont nécessairement comprises entre -1 et 1. * \( -1 \le \cos \alpha \le 1 \) * \( -1 \le \sin \alpha \le 1 \) ##### Relation fondamentale de la trigonométrie Appliquons le théorème de Pythagore au triangle rectangle formé par l'origine \(O\), le point \(M( \cos \alpha; \sin \alpha )\) et sa projection sur l'axe des abscisses. Le rayon du cercle étant 1, on a: \[ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \] Cette relation est fondamentale et doit être mémorisée. Notez que \( \cos^2 \alpha \) signifie \( (\cos \alpha)^2 \). ##### Angles associés Il existe des relations entre les cosinus et sinus d'angles particuliers, appelés angles associés: * **Angles opposés:** * \( \cos(-\alpha) = \cos \alpha \) * \( \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \) * **Angles supplémentaires (différence \( \pi \)):** * \( \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha \) * \( \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha \) * **Angles différant de \( \pi \):** * \( \cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha \) * \( \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha \) * **Angles complémentaires (différence \( \frac{\pi}{2} \)):** * \( \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha \) * \( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \) * **Angles différant de \( \frac{\pi}{2} \):** * \( \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \) * \( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \) * **Périodicité:** Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période \( 2\pi \). Cela signifie que pour tout entier relatif \(k\): * \( \cos(\alpha + 2k\pi) = \cos \alpha \) * \( \sin(\alpha + 2k\pi) = \sin \alpha \) #### Définition de la tangente d'un angle orienté La **tangente** d'un angle \( \alpha \), notée \( \tan \alpha \), est définie par le rapport du sinus sur le cosinus de cet angle: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Cette définition n'est valable que lorsque \( \cos \alpha \neq 0 \). Si \( \cos \alpha = 0 \), la tangente n'est pas définie. Cela se produit pour \( \alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi \) où \(k\) est un entier relatif (c'est-à-dire pour les angles \( \frac{\pi}{2} \), \( \frac{3\pi}{2} \), \( \frac{5\pi}{2} \), etc.). #### Valeurs remarquables Il est essentiel de connaître les valeurs du cosinus, du sinus et de la tangente pour certains angles particuliers: * Pour \( \alpha = 0 \): * \( \cos 0 = 1 \) * \( \sin 0 = 0 \) * \( \tan 0 = 0 \) * Pour \( \alpha = \frac{\pi}{6} \) (30°): * \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) * \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \) * \( \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \) * Pour \( \alpha = \frac{\pi}{4} \) (45°): * \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) * \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) * \( \tan \frac{\pi}{4} = 1 \) * Pour \( \alpha = \frac{\pi}{3} \) (60°): * \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \) * \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) * \( \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \) * Pour \( \alpha = \frac{\pi}{2} \) (90°): * \( \cos \frac{\pi}{2} = 0 \) * \( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \) * \( \tan \frac{\pi}{2} \) n'est pas définie * Pour \( \alpha = \pi \) (180°): * \( \cos \pi = -1 \) * \( \sin \pi = 0 \) * \( \tan \pi = 0 \) ### Vocabulaire * **Cercle trigonométrique:** Cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère orthonormé, utilisé pour définir les fonctions trigonométriques. * **Angle orienté:** Mesure de la rotation entre deux demi-droites issues du même point, avec un sens positif (sens inverse des aiguilles d'une montre). * **Cosinus (\( \cos \alpha \)):** Abscisse du point sur le cercle trigonométrique associé à l'angle \( \alpha \). * **Sinus (\( \sin \alpha \)):** Ordonnée du point sur le cercle trigonométrique associé à l'angle \( \alpha \). * **Tangente (\( \tan \alpha \)):** Rapport du sinus sur le cosinus de l'angle (quand le cosinus est non nul). * **Radien:** Unité de mesure des angles (un angle de 1 radian intercepte un arc de cercle de longueur égale au rayon). * **Sens direct (trigonométrique):** Sens positif des angles, inverse des aiguilles d'une montre. * **Sens indirect (horaire):** Sens négatif des angles, sens des aiguilles d'une montre. ### Exemples #### Exemple 1: Calcul de valeurs trigonométriques Calculer \( \cos(\frac{2\pi}{3}) \), \( \sin(\frac{2\pi}{3}) \) et \( \tan(\frac{2\pi}{3}) \). * On remarque que \( \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} \). En utilisant les angles associés: * \( \cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \) * \( \sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) * \( \tan(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sin(\frac{2\pi}{3})}{\cos(\frac{2\pi}{3})} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} \) #### Exemple 2: Utilisation de la relation fondamentale Sachant que \( \cos x = \frac{3}{5} \) et que \( x \) appartient à l'intervalle \( [-\frac{\pi}{2}; 0] \), déterminer \( \sin x \). * On utilise la relation fondamentale: \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \) * \( (\frac{3}{5})^2 + \sin^2 x = 1 \) * \( \frac{9}{25} + \sin^2 x = 1 \) * \( \sin^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25} \) * Donc \( \sin x = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \) ou \( \sin x = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \). * L'intervalle \( [-\frac{\pi}{2}; 0] \) correspond au quatrième cadran du cercle trigonométrique, où le sinus est négatif. Donc, \( \sin x = -\frac{4}{5} \). ### Exercices 1. Placer les points associés aux angles suivants sur un cercle trigonométrique: * \( \frac{\pi}{4} \) * \( \frac{5\pi}{6} \) * \( -\frac{\pi}{3} \) * \( \frac{3\pi}{2} \) 2. Calculer les valeurs exactes de: * \( \cos(\frac{5\pi}{6}) \) * \( \sin(-\frac{\pi}{4}) \) * \( \tan(\frac{4\pi}{3}) \) 3. Sachant que \( \sin x = \frac{1}{3} \) et que \( x \) est dans l'intervalle \( [\frac{\pi}{2}; \pi] \), déterminer la valeur exacte de \( \cos x \). 4. Vrai ou Faux? Justifier. * Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( \cos x + \sin x = 1 \). * Il existe un angle \( x \) tel que \( \cos x = 2 \). ### Devoir 1. Compléter le tableau suivant avec les valeurs exactes: | Angle \( \alpha \) | \( \cos \alpha \) | \( \sin \alpha \) | \( \tan \alpha \) | |:------------------:|:-----------------:|:-----------------:|:-----------------:| | \( \frac{\pi}{6} \) | | | | | \( \frac{\pi}{2} \) | | | | | \( \frac{3\pi}{4} \) | | | | | \( -\frac{5\pi}{6} \) | | | | 2. Sachant que \( \tan x = -\sqrt{3} \) et que \( x \) appartient à l'intervalle \( ]-\frac{\pi}{2}; 0[ \), déterminer les valeurs exactes de \( \cos x \) et \( \sin x \). 3. Démontrer que pour tout \( x \) pour lequel \( \tan x \) est définie, on a: \[ 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \] 4. Résoudre les équations suivantes pour \( x \in [0; 2\pi[ \): * \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) * \( \sin x = -\frac{1}{2} \) ### Résumé Cette leçon a approfondi notre compréhension des angles orientés en introduisant le cosinus, le sinus et la tangente. Nous avons vu que sur le cercle trigonométrique de rayon 1: * Le **cosinus** d'un angle est l'**abscisse** du point associé à cet angle. * Le **sinus** d'un angle est l'**ordonnée** du point associé à cet angle. * Ces valeurs sont toujours comprises entre -1 et 1. * La **relation fondamentale** \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \) est cruciale. * La **tangente** d'un angle est le rapport \( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), définie lorsque \( \cos \alpha \neq 0 \). * Il est important de maîtriser les **valeurs remarquables** et les **relations entre les angles associés** pour simplifier les calculs et résoudre des problèmes trigonométriques. Ces outils sont essentiels pour la suite de votre parcours en mathématiques. ## Points images des angles associés à un réel donné ### Introduction Dans cette leçon, nous allons approfondir notre compréhension des angles orientés et de la trigonométrie. Nous allons explorer comment différents angles, qui sont "associés" à un angle de référence donné, peuvent être représentés sur le cercle trigonométrique. Comprendre ces relations de symétrie nous permettra de simplifier des expressions trigonométriques et de résoudre des problèmes plus facilement. ### Concepts Clés #### 1. Rappel du Cercle Trigonométrique Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine du plan cartésien. Chaque réel \( x \) peut être associé à un unique point M sur ce cercle. L'abscisse de M est \( \cos(x) \) et son ordonnée est \( \sin(x) \). #### 2. Angles Associés et leurs Points Images Soit \( x \) un nombre réel et M le point image de \( x \) sur le cercle trigonométrique. Nous allons étudier les points images de plusieurs angles associés à \( x \). ##### a. Angles Opposés: \( -x \) * Le point image de \( -x \) est le symétrique du point M par rapport à l'axe des abscisses (axe \( Ox \)). * Relations trigonométriques: * \[ \cos(-x) = \cos(x) \] * \[ \sin(-x) = -\sin(x) \] * \[ \tan(-x) = -\tan(x) \] (si \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \)) ##### b. Angles Supplémentaires: \( \pi - x \) * Le point image de \( \pi - x \) est le symétrique du point M par rapport à l'axe des ordonnées (axe \( Oy \)). * Relations trigonométriques: * \[ \cos(\pi - x) = -\cos(x) \] * \[ \sin(\pi - x) = \sin(x) \] * \[ \tan(\pi - x) = -\tan(x) \] (si \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \)) ##### c. Angles Différant de \( \pi \) : \( \pi + x \) * Le point image de \( \pi + x \) est le symétrique du point M par rapport à l'origine (point O). * Relations trigonométriques: * \[ \cos(\pi + x) = -\cos(x) \] * \[ \sin(\pi + x) = -\sin(x) \] * \[ \tan(\pi + x) = \tan(x) \] (si \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \)) ##### d. Angles Complémentaires: \( \frac{\pi}{2} - x \) * Le point image de \( \frac{\pi}{2} - x \) est le symétrique du point M par rapport à la première bissectrice (droite d'équation \( y=x \)). * Relations trigonométriques: * \[ \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x) \] * \[ \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x) \] * \[ \tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{\tan(x)} \] (si \( x \neq k\frac{\pi}{2} \)) ##### e. Angles de la forme \( \frac{\pi}{2} + x \) * Le point image de \( \frac{\pi}{2} + x \) est le symétrique du point M par rapport à la deuxième bissectrice (droite d'équation \( y=-x \)). * Relations trigonométriques: * \[ \cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x) \] * \[ \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x) \] * \[ \tan(\frac{\pi}{2} + x) = -\frac{1}{\tan(x)} \] (si \( x \neq k\frac{\pi}{2} \)) ##### f. Angles modulo \( 2\pi \) : \( x + 2k\pi \) * Les angles \( x \) et \( x + 2k\pi \) (où \( k \) est un entier relatif) correspondent au même point image sur le cercle trigonométrique. * Relations trigonométriques: * \[ \cos(x + 2k\pi) = \cos(x) \] * \[ \sin(x + 2k\pi) = \sin(x) \] * \[ \tan(x + 2k\pi) = \tan(x) \] ### Vocabulaire * **Angle orienté:** Un angle dont le sens de rotation est spécifié (positif si anti-horaire, négatif si horaire). * **Cercle trigonométrique:** Cercle de rayon 1 centré à l'origine, utilisé pour représenter les valeurs de sinus et cosinus des angles. * **Point image:** Le point sur le cercle trigonométrique associé à un nombre réel donné. * **Angles opposés:** Deux angles \( x \) et \( -x \). * **Angles supplémentaires:** Deux angles \( x \) et \( \pi - x \) dont la somme est \( \pi \). * **Angles complémentaires:** Deux angles \( x \) et \( \frac{\pi}{2} - x \) dont la somme est \( \frac{\pi}{2} \). * **Symétrie axiale:** Une transformation qui reflète un objet par rapport à une droite (l'axe de symétrie). * **Symétrie centrale:** Une transformation qui reflète un objet par rapport à un point (le centre de symétrie). ### Exemples #### Exemple 1: Calcul de valeurs trigonométriques Sachant que \( \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \) et \( \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \): * Calculer \( \cos(-\frac{\pi}{3}) \) et \( \sin(-\frac{\pi}{3}) \). * \( \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \) * \( \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) * Calculer \( \cos(\frac{2\pi}{3}) \) et \( \sin(\frac{2\pi}{3}) \). * Remarquons que \( \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} \). * \( \cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \) * \( \sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) #### Exemple 2: Simplification d'expressions Simplifier l'expression suivante: \( A = \cos(\pi - x) + \sin(-x) + \cos(x + 2\pi) \). * En utilisant les relations des angles associés: * \( \cos(\pi - x) = -\cos(x) \) * \( \sin(-x) = -\sin(x) \) * \( \cos(x + 2\pi) = \cos(x) \) * Donc, \( A = -\cos(x) - \sin(x) + \cos(x) = -\sin(x) \). ### Exercices 1. Sachant que \( \cos(x) = 0.8 \) et \( \sin(x) = 0.6 \), calculez: * a) \( \cos(-x) \) * b) \( \sin(\pi - x) \) * c) \( \cos(\pi + x) \) * d) \( \sin(\frac{\pi}{2} - x) \) 2. Reliez chaque expression de gauche à son équivalent de droite: * \( \cos(x) \) A) \( -\cos(x) \) * \( \sin(-x) \) B) \( \sin(x) \) * \( \cos(\pi - x) \) C) \( -\sin(x) \) * \( \sin(\pi + x) \) D) \( \cos(x) \) * \( \cos(\frac{\pi}{2} - x) \) E) \( -\cos(x) \) 3. Simplifiez l'expression suivante: \[ E = \sin(\frac{\pi}{2} + x) + \cos(\frac{\pi}{2} - x) - \sin(x + 4\pi) \] ### Devoir 1. Démontrez que, pour tout réel \( x \) pour lequel les expressions sont définies: \[ \tan(\pi + x) = \tan(x) \] \[ \tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{\tan(x)} \] 2. Si \( x = \frac{\pi}{4} \), calculez les valeurs exactes de: * a) \( \sin(\frac{3\pi}{4}) \) (angle de la forme \( \pi - x \)) * b) \( \cos(\frac{5\pi}{4}) \) (angle de la forme \( \pi + x \)) * c) \( \sin(-\frac{\pi}{4}) \) * d) \( \cos(\frac{7\pi}{4}) \) (angle de la forme \( -x \) ou \( x + 2k\pi \)) 3. Simplifiez l'expression suivante au maximum: \[ F = \frac{\sin(\pi - x) \cdot \cos(\pi + x)}{\sin(-x) \cdot \cos(\frac{\pi}{2} - x)} \] ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les points images sur le cercle trigonométrique des angles associés à un réel \( x \). Nous avons vu que ces points sont liés par des symétries (axiales ou centrale), ce qui nous permet d'établir des relations fondamentales entre leurs cosinus, sinus et tangentes. Ces identités sont cruciales pour simplifier des expressions et résoudre des problèmes en trigonométrie. Les relations clés à retenir sont celles concernant \( -x \), \( \pi - x \), \( \pi + x \), \( \frac{\pi}{2} - x \) et \( \frac{\pi}{2} + x \), ainsi que la périodicité \( 2\pi \).